2012年全国高中数学联赛模拟试题二
2012年全国高中数学联赛模拟试题二
一、选择题：每题6分，满分36分
1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知
n
m x =
50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ）
A 50
B 100
C 165
D 173 2、若2
6cos cos ,22sin sin =
+=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ）
A
2
2 B
2
3 C 2
6 D 1
3、P 为椭圆
19
162
2
=+y
x
在第一象限上的动点，过点P 引圆92
2
=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分
别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ）
A
2
9 B
32
9 C
4
27 D
34
27
4．函数2
0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） .
(A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞
5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y
x y
+
++的最大值为（ ） . (A) 2 (B)
23
(C) 4 (D)
43
6．直线y=5与1y =-在区间40,
πω?????
?
上截曲线
sin (0, 0)2y m x n m n ω
=+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n=
2
2
m ≤
（B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2
2
m > （D ）3,2m n >=
二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有
23
)
()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f .
8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对
称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为
1
+n n 的点为n A ，横坐标为
n
n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为
（1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .
11．设,A B 为抛物线2
2(0)y px p =>上相异两点，则2
2
O A O B
AB
+-
的最小值为
___________________．
12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
564035aGA bGB cGC ++=0
，则B ∠=__________．
三、解答题：每小题20分，满分60分
13、设集合A和B都是由正整数组成的集合，|A|＝10，|B|＝9，并且集合A满足如下条件：若
|
{B
b
,
y
u
A
x=.令}
b
+
=
+
∈
A∈
{v
a
B
a
}
v
u
y
A
x
v
u
y
,
x+
,，则}
,
{
=
,
+
∈,
,
求证：|A+B|≥50. （|X|表示集合X的元素个数）
14已知在正方体1111ABC D A B C D -中，,,,O E F G 分别为
11
11,
,
,B D B B A D D C 的中点，且1AB =． 求四面体O E F G 的体积．
A
1
15在平面直角坐标系中, 已知圆1C 与圆2C 相交于点P ，Q , 点P 的坐标为()3,2, 两圆半径的乘积为132
．若圆1C 和2C 均与直线l : y kx =及x 轴相切，求直线l 的方程．