重庆巴蜀中学高2018级高一上期末数学试题及答案

x

A 、－1

B 、1

C 、－2

D 、2

重庆市巴蜀中学 2015-2016 第一学期期末考试

高 2018 届（一上）数学试题卷 第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分）

一、选择题（本大题 12小题，每小题 5分，共 60分，每小题只有一项符合题目要求。 ）

1、集合 M

1,1,3,5 ，集合 N 3,1,5 ，则以下选项正确的是（ ）

A 、第一象限角

B 、第二象限角

C 、第三象限角

D 、第四象限角

5、f （3x ）＝ x ，则 f （10）＝（ ）

3 10 A 、log 310

B 、 lg3

C 、 103

D 、310

6、为了得到 y ＝sin （2x- ）的图像，可以将函数 y ＝sin2x 的图像（ ）

6

e x ,x ≤0

7、下列函数中，与函数 y ＝ 1 x 的奇偶性相同，且在（－ ∞，0）上单调性也相同的是 （ ）x

,x 0 e

1 2 3

A 、y ＝－

B 、y ＝ x +2

C 、y ＝x －3

8、 tan70 cos10 ( 3 tan 20 1)的值为( )

2、“x ≥3”是“ x ﹥3”成立的

（

A 、充分不必要条件 ）

B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条

件

3、 sin585 的值为（

）

2

A 、－ 2

B 、 2

C 、－ 3

D 、 3

2

2

2

2

4、若 θ是第四象限

角，

且 cos

cos ，则 是（ ）

A 、 N M

2 2 2

B 、 N M

C 、 M N 1,5

D 、 M N 3, 1,3

A 、向右平移 个单位长度

6

C 、向左平移 个单位长度

6

B 、向右平移 个单位长度

12

D 、向左平移 个单位长度

12

D 、y ＝ log 1 x

e

f （cos β）的大小关系是（ ）

第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分）

二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）

13、函数 f （x ）＝ x （x 1） 的定义域为 。 14、函数 y ＝ x 2 x 1 的值域为

。

15、当 t 0,2 时，函数 f （t ）＝（ 1+sint ）（1+cost ）的最大值为

。

16、f （x ）是定义在 D 上的函数，若存在区间 m,n D （m ﹤n ），使函数 f （x ）在 m,n 上的

值域恰为 km,kn ，则称函数 f （x ）是k 型函数。 ① f （x ）＝3- 4不可能是 k 型函数；

x

② 若函数 y ＝- 1 x 2+x 是 3型函数，则 m ＝-4，n ＝0；

2

③ 设函数 f （x ）＝ 3x 1是 2型函数，则 m+n ＝1；

④ 若函数 y ＝（a a 2）x 1

（a 0）是 1型函数，转文 n-m 的最大值为 2 3。 a 2x 3

正确的序号是 。

9、定义在 R 上的函数 f （x ）满足 f （x-1）的对称轴为 x ＝1， f （x+1） 4

＝

f (4

x) ( f(x) 0)

，且

在区间（ 2015， 2016）上单调递减。已知 α，

β是钝角三角形中两锐角，则 f （ sin α）和 A 、 f (sin ) f (cos ) B 、 f (sin ) f(cos ) C 、 f (sin ) f (cos )

D 、以上情况均有可能

10、已知关于 x 的方程 4x +m ·2x +m 2-1＝0 有实根， 则实数 m 的取值范围是（ ）

A 、

23

B 、

233

,1

2x ,x ≤0

11、设函数 f （x ）＝ 2 ,x ≤ 0 ，

log 2 x,x 0 22

f （f （x ）＝2a 2y 2

+ay ，则正实数 A 、4 B 、2

12、已知函数 f （x ）＝ cos （ asinx ） A 、 0,4

B 、

2

0,4

C 、 对任意给定的 a 的最小值是

1 4

23

233,1

y （2, ） ，都存在唯一的 x R ，满足

）

1 2

-sin （bcosx ）无零点，则

C 、

D 、

a 2+

b 2 的取值范围（ ）

C 、 0, 22

2

D 、 0,2

D 、 1,

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步

骤

17、（本小题满分10 分）

已知 A xx22x 8 ，B xx a 5 ，且A B R，求a的取值范围。

18、（本小题满分12 分）

4

已知0 ，tan 23

2

（1）求sin22sin2的值；（2）求sin（2）的值

cos cos 2 3

2

已知f（x）＝x t2 2t 3为偶函数（t z），且在x （0, ）单调递增。

（1）求f（x）的表达式；

（2）若函数g（x）＝log a a f （x） x 在区间2,4 上单调递减函数（ a 0且a 1），求实数

a 的取值范围。

3

函数f(x)＝3cos ( 2x ) cos( ) xsin( x) ( 0,0 ) 同时满足下

3 4 2 列两个条件：① f( x)图像最值点与左右相邻的两个对称中心构成等腰直角三角形

2

② ( 2,0) 是f(x )的一个对称中心、

3 ( 1) 当x 0,2 时，求函数f(x)的单调递减区间；

(2) 令g(x) f 2(x 5) 1 f (x 1) m，若g(x)在x 5,3时有零点，求此时m 的

6 4 3 6 2

取值范围。

已知二次函数f（x）＝x2-16x+q+3。

（1）若函数在区间1,1 上最大值除以最小值为-2，求实数q 的值；

（2）问是否存在常数t（t≥0），当x t,10 时，f（x）的值域为区间D，且区间 D 的长度为12－t（视区间a, b 的长度为b-a）

22、（本小题满分12 分）

已知集合 A ＝t∣t使x∣x22tx 4t 3 0 R ，

集合B＝t∣t使x∣x 22tx 2t 0 ，其中x，t 均为实数。（1）求A ∩B；

（2）设m 为实数，g（）sin2mcos 2m, , 3，求

M ＝m∣g( ) A B

2

四、附加题：本题满分15 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或盐酸步骤。本题所得

分数计入总分。

23、已知分数f（x）的定义域为0,1 ，且f（x）的图像连续不间断。若函数f（x ）满足：对于给定的m （m R且0 m 1），存在x0 0,1 m ，使得f（x0）＝f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）。

1

4x 1,0 ≤x≤

4

13

（1）已知函数f（x）4x 1,1 x 3，若f（x）具有性质P（m），求m 最大值；44

4x 5,3≤x≤1

4

（2）若函数f（x）满足f（0）＝f（1），求证：对任意k N 且k≥2，函数f（x）具有性质P（1）

重庆市巴蜀中学 2015-2016 第一学期期末考试

高 2018 届（一上）数学试题卷答案

1、解：集合 M={-1 ，1，3，5}，集合 N={-3 ，1，5}，

N ∈M 不正确，∈是元素与集合之间的关系，故 A 不正确，

N? M 不正确，集合 N 中的元素不都是集合 M 中的元素，故 B 不正确，

对于 C ，M ∩N={ -1，1，3，5}∩{-3，1，5}={1 ，5}，故 C 正确，

对于 D ，M ∪N={-1 ，1，3，5}∪{-3，1，5}={-3 ，-1，1，3，5}，故 D 不正确． 故选：

C ．

2、解：若 x=3 满足 x ≥3，但 x > 3 不成立，

若 x >3，则 x ≥3成立，

即“x ≥3是”“x >3”成立的必要不充分条件， 故选： B

当 x=0 时， f （0）=1；

1

3、解： sin585 =°sin （585°-360 °）

=sin225 =°sin （45°+180°） =-sin45 =°- 22 ，

故选 A ．

4、解：∵ θ是第四象限

角，

∴ 2k π+ ≤θ≤ 2k π，

+k2∈πZ ；

2

3

∴k π+ ≤ ≤ k π +，πk ∈Z ； 42

又 |cos |=-cos ，

22

∴ 是第二象限角．

2

5、解：∵ f （3x ） =x ，

故选： B ．

∴设 3x =t ，则 x=log 3t ， ∴f （t ）=log 3t ， ∴f （10）=log 310．

6、解： y=sin （ 2x- ）=sin2 6

故选： A ．

x- ），

12

故将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位，可得 y=sin

12

2x- ）的图象，

6

故选： B ．

7、解：函数 y= e x ,x ≥0

（1）x ,x 0

当x>0 时，-x<0，f（-x）=（1）-x=e x=f（x），

e

当x<0 时，-x>0，f（-x）=e-x=f（x），

则有在R 上，f（-x ）=f（x）．

则f（x）为偶函数，且在x<0 上递减．

对于A．f（-x）=-f （x），则为奇函数，则 A 不满足；

对于B．则函数为偶函数，在x<0上递减，则 B 满足；

对于C．f（-x）=（-x）3-3=-x3-3≠（f x），则不为偶函数，则 C 不满足；

1

对于D．f（-x）=f（x），则为偶函数，当x< 0时，y=log 1（- x）递增，则 D 不满足．e 故选B．

8、解：tan70 ° ?cos1(0 °3 tan20 -°1)

sin 70 sin 20

= ?cos10(° 3 ? -1 )

cos70 cos 20

cos20 cos10 3sin 20 cos20

=?

sin 20 sin 20

= cos10×2sin(20°-30 °) sin 20

sin 20

故选C．

= =-1 ．

sin 20

9、解： f （x-1 ）的对称轴为x=1，

可得y=f （x）的对称轴为x=0，

即有f（-x）=f（x），又f（x）f（x+1）=4，

可得f（x+1）f（x+2）=4，即为f（x+2）=f（x），函数f（x）为最小正周期为 2 的偶函数．

f（x）在区间（2015，2016）上单调递减，

可得f（x）在（-1，0）上递减，在（0，1）上递增，由α，β是钝角三角形中两锐角，可得α+β<，

2

即有0<α<- β<，

22

则0

2

则f（sin α）

故选： B ．

10、解：令 2x =t （t > 0），可得 t 2+mt+m 2-1=0 有正根，

m 2 4（m 2 1） ≥ 0

23

m 0 ，∴ -

≤m < -1；

23 m 2 1 0

2

② 一个正根，一个负数根， m 2-1<0，∴ -1< m <1； ③ m=-1 时， t 2-t=0，t=0 或 1，符合题意，

11、解：根据 f （ x ）的函数，我们易得出其值域为： R ， 又∵f （x ）=2x ，（x ≤0）时，值

域为（ 0，1］；f （x ）=log 2x ，（ x >0）时，其值域为 R ， ∴可以看出 f （x ）的值域为（ 0，

1］上有

两个解， 要想 f

即， a 2 b 2 ≥2 （k=0，取得最小）， 所以，a 2+b 2≥4 ，

2

因此，当原函数 f （x ）没有零点时， a 2+b 2< ，

4

2

所以， a 2+b 2的取值范围是：

① 有两个正根， 综上所述， - 2 3 ≤m <1．

3

故选： B ．

f （x ））=2a 2y 2

+ay ，在 y ∈（2，+∞）上只有唯一的 x ∈R 满足， f （x ））> 1 （因为 2a 2y 2

+ay > 0），

必有 f 所以： f （x ）>2， 解得： x >4，

当 x >4 时，x 与 f （f （x ））存在

22

∴2a 2y 2+ay >1，y ∈（ 2，+∞），且

a >0， 所以有：（2ay-1）（ay+1）> 0，

11

解得： y > 1

或者 y < - 1 （舍去）， 对应的关系，

2a ∴ 1

≤2，

2a 1

∴ a ≥ ，

4

12、解：假设函数

故选： C

f （x ）存在零点 x 0，即 f （ x 0）=0，

由题意， cos （asinx 0）=sin （bcosx 0）， 根据诱导公式得： asinx 0+bcosx 0=2k π+ ，

2

即， a 2 b 2 sin

x 0+φ） =2k π+ （ k ∈

Z ），

要使该方程有解， 则 a 2 b 2 ≥|2k π2+|min ，

［0， ）．

4 故答案为： B 。

13、 解：由题意得： x （x-1）≥0，解得： x ≥1或 x ≤0， 故函数 f （x ）的定义域是：

｛x|x ≥1或 x ≤0｝， 故答案为：：｛x|x ≥1或 x ≤ 0｝．

14 、解：当 -1

当 x ≥2时， y=x-2- （x+1） =-3， 所以 y 的取值范围是 ［-3， 3］． 故答案为： ［-3 ，3］．

15、解： f （ t ）=（1+sint ）（ 1+cost ）=1+（sint+cost ）+sintcost ， 令 m=sint+cost= 2 sin

（t+ ）∈［- 2 ， 2 ］，

4

m 2

1

即有 m 2=1+2sintcost ，即 sintcost= m 1 ，

2

22

则f （t ）

=1+m+m2 1=（m 1）2

，

22

即有 m=-1 时，f （t ）取得最小值 0；

m= 2 ，即 t= 时， f （t ）取得最大值，且为

4 3 2 2

故答案为： 3 2 2

2

16、解：①， f （x ）的定义域是 ｛x|x ≠0，｝ 且 f （2）=3- 4

2

1

∴f （x ）在［2，4］上的值域是 ［1， 2］，f （x ）是 1 型函数，∴①错误；

2

1 2 1 2

②y=- x 2+x 是3型函数，即- x 2+x=3x ，解得 x=0，或 x=-4，∴m=-4，n=0，∴②正确；

22

③设函数 f （x ）=|3x -1|是 2 型函数，则当定义域为 ［m ，n ］时，函数值域为 ［2m ，

2n ］，

=1，f （4） =3- 4 =2，

4

1）

=20；

9

若 m+n=1，则 2-（3m +3n ）=2，即 3m +3n =0 不成立，

若 m ≥0，则函数 f （x ）=|3x -1|=3x -1 为增函数， 则 f （m ） 3n

1 2m ，则（ 3m +3n ）-2=2（m+n ）， f （ n ） 3 1

2 n

若 m+n=1，则（ 3m +3n ）-2=2，即 3m +3n =4， 当 m=0， n=1 时，等式成立，则③正确， ④，y=

（a a 2

）x 1

（ a ≠0）是 1型函数，即（ a 2+a ）x-1=a 2x 2，∴a 2x 2 ax

2

a +a ）

x+1=0，

∴方程的两根之差 x 1-x 2= （a 21） 42

1 2 32 ≤ 2 3 ，

a 2

a 2 a a 2 3

即 n-m 的最大值为 2 3 ，∴④正确；

3

故答案为：②③④

17、

解：对于集合 A ：由 x 2+2x-8>0，化为（ x+4） 解得 x >2 或 x < -4， ∴A= （-∞，-4）∪（ 2 ，+∞）．

对于集合 B ：由 |x-a|< 5，化为 a-50，

∴B=（ a-5，a+5）． ∵A ∪B=R ，

a 5 ≥ 2

∴，

a 5 ≤ 4

∴a 的取值范围是 [-

解得 -3≤a ≤．1

．

4

18、解： 0<α< ，tan α=

23

2 sin 2

sin 2 2

cos

cos 2

2 tan 2

2 tan =

2= 2 tan 2

16 2 4

93 2 16 若 n ≤0，则函数 f （x ）=|3x -1|=1-3x ，为减函数，

则

f （m ） 2n ，即 1 3n m 2n f

（ n ） 2m 1 3n 2m

即 2-（3m +3n ）=2（ m+n ）

4 4 3

（2）0<α<，tan α=，可得sin α=，cosα=，

2 3 5 5

2 3 1 3 3 1 4 4 3 3 sin（-α）= cosα+ sin α= × + ×= ．

3 2 2 2 5 2 5 10

19、解：（1）∵在x∈（0，+∞）单调递增，

2

∴-t2+2t+3>0，

即t2-2t-3<0，得-1< t<3，

∵t∈z，

∴t=0，1，2，

若t=0，则f（x）=x3为奇函数，不满足条件．

若t=1，则f（x）=x4为偶函数，满足条件．

若t=2，则f（x）=x3为奇函数，不满足条件．

故 f （x）的表达式为f（x）=x4；

（2）∵f（x）=x4，

∴g（x）=log a[a f （x） -x]=log a（ax2-x）

2

设t=ax2-x，则y=log a t，

若g（x）=log a[af（x）-x]（a>0，且a≠1﹚在区间[2，4]上是单调递减函数，则t=ax2-x 和y=log a t 的单调性相反，

2 1 1

若a> 1，则t=ax2-x 在区间[2，4]上是单调递减函数，则对称轴x=- ≥4，

2 a 2a

1

即a≤1，此时不满足条件．

8 21 若0

2a 且当x=2 时，t=4a-2>0，

0a1

解得a≥1，即1

42

1 a

2

20、解：（1）∵f（x）= 3 cos2（ωx+φ）-cos（ωx+φ）?sin（ωx+φ+ ）- 3 34

3 3 cos（2 x 2 ） 1 3 3 3 = - sin（2ω x+2φ）- - cos（2ω x+2φ）-

66

1[ 3

cos （2ω x+2φ）- 1 sin （ 2ω x+2φ）]

2 2 2

1 = cos （ 2ω

x+2φ+），

26 6 2 ∴函数周期 T= 2 ， 2

∵令 2ωx+2φ+

=0，可得函数的一个最大值点

6

令 2ω x+2φ+ =- ，可得函数的一个最大值点 2

2

2 （-

3 ， 2

令 2ω x+2φ+

= 6 0），

，可得函数的一个最大值点

2

2 3

2 ，0） ∴由题意可得： |AB|2=2|OB|2，即

得：

2

解得 ω

2= ， 4 ∵ω>0，解得： ω＝

2

1

∴f （x ）

=1

2 cos （πx+2φ6+），

O 的坐标为：（ - 62 2 ， 12），

22

O 的左相邻的对称点 A 的坐标为：

O 的右相邻的对称点 B 的坐标

为：

22

2

=2[ （ 3 + 6 ）

22

2 1 2 2

+（- 2 ）2]，

∵（ 2 ， 3

2

0）是 f （x ）的一个对称中心， ∴ +2φ+ =k π+ ，

3 k ∈Z ，解得：φ

6 ∴由 0< φ<

，可得： 2 15 ∴f （ x ） = cos

（πx+ ），

26 ∵x ∈

[0，2]时，

πx+5 ∈[ 5 ，

66

=3 17

]， ]，

即：

=

k

12

cos （ +2φ+ ）

236

，k ∈Z ，

6

=0，

∴当利用余弦函数的图象可得，

当

55

πx+ ∈ [ π，]

π x+5 ∈[2 6

17 π， ] 时单调递减，

即函数 f （ x ）的单调递减区间为：

15

[0， 1]∪[5，2]．

5

2）∵由（ 1）可得： f （x- 5）=

6

1 =- sin π．x

2

25 =f （x- ） 6 在 x ∈

[ 5 ， 6 1 +m- （ sin π

x+ 4 1 sin πx+ ） 4

∵x ∈[ ， 3 ] ，

sin

2

1

（

sin π

x+1 ）

44

17 ∴ m ∈ [- ，

64 f （x-13） ∴g x ）

17 64 x ） 4 1 ∴ m= （ 4 5 +1f （x- 1） 4 3 3

] 时有零点，即方程： 2 ）2=0在 x ∈

[5， 6 5， 6 1

]，sin 2

+m= 1 cos 2πx

- 1 sin 48 π

x+m 1=7 +m-1 （sin 64 4 πx+4），

21、 解： 1）

∴函数 f x ） ∴f （x ） 2-17在 x ∈

[ 5， 64 π∈x

[-1， 3 3 ] 时有解， 2 3 3 ] 时有解， 2 13 πx+ ∈[- ，

44 34]， 2∈[0，69

4]， -18]． ∵二次函数 f （x ）=x 2

-16x+q+3 的对称轴为 x=8， 在区间 [-1 ， 1] 上是减函数， max =f （-1）=20+q ，f （x ）min =f （1）=-12+q ， 由题意得：

20 q 12 q

4 =-2，解得： q=

4

；

3 t8

2）当 8 t ≥10 8时，即 0≤t ≤时6，

f （x ）的值域为： [f （8），f （t ） t ≥

0 ]，

即[q-61，t 2

-16t+q+3]． 22 ∴t -16t+q+3-（q-61）=t -16t+64=12-t ． ∴t 2-15t+52=0，∴ t= 15 17

2 经检验不合题意，舍

去． t8 当 8 t ≥10 8 时，即 6≤

即[q-61，q-57]． ∴q-57-（q-61）=4=12-t ．

1

cos π，

x

∴t=8 经检验 t=8 不合题意，舍去．

当 t ≥8时， f （x ）的值域为： [f （t ），f （10）]， 即[t 3-16t+q+3，q-57] ∴q-57-（t 2-16t+q+3）=-t 2+16t-60=12-t

2

∴t 2-17t+72=0，∴t=8 或 t=9． 经检验 t=8 或 t=9 满足题意，

所以存在常数 t （t ≥）0，当 x ∈[t ，10]时，f （x ）的值域为区间 D ，且 D 的长度为 12-t ．

22、

解：（ 1）∵集合 A={t|t 使{x|x 2+2tx-4t- 3≠ 0}=R}， ∴△1=（2t ）2+4（4t+3）<0， ∴A={t|-3

∵集合 B={t|t 使{x|x 2+2tx-2t=0}= ?}， ∴△2=4t 2-4（-2t ）<0， ∴B={t|-2

2）∵ g （α）=-sin 2α +mcos α-2m ， α∈ [ π， 3

2

∴g （α）=（cos α-m ）2- m -2m ，

令 t=cos α，则 t ∈[-1 ，0]，

∴h （m ）=t 2+mt-2m-1，

2

∴-2

解得： - t

t 2 t 2

2

由 t ∈[-1，0]，得： 0

3

2

故 M={m|0

3

23、

1

解：（ 1） m 的最大值为 1 ．

2

1

1

1

1 1

首先当 m= 1时，取 x 0=1，则 f （x 0）=f （1）=1，f （x 0+m ）=f （ 1+1）=f （1）=1 1 所以函数 f （x ）具有性质 P （ 1

）

（3 分）

2 11 假设存在 1

（ m ），则 0<1-m < 1 ．

22

1

当 x 0=0 时， x 0+m ∈

（ 1 ， 1），f （x 0）=1，f （x 0+m ）> 1，f （x 0）≠（f x 0+m ）；

2

1

当 x 0∈（0，1-m ］时，x 0+m ∈（ ，1］，f （x 0）< 1，f （x 0+m ）≥1，f （x 0）≠

3 2 2 2 2

2π，]

（f x0+m）；2

所以不存在x0∈（0，1-m］，使得f（x0）=f（x0+m），所以，m 的最大值为1．?（7 分）

2 （2）证明：任取

k∈N*且k≥2

1 k 1 1 设g（x）=f（x+ 1）-f（x），其中x∈［0，k 1］，则有g（0）=f （1）-f（0）k k k

1 2 1 g（1）=f（2）-f（1）k k k

t t 1 t

g（t）=f（t + 1）-f（t）k k k k

k 1 k 1 g（k 1）=f（1）-f（k 1）kk

以上各式相加得：g（0）+g（1）+?+g（t）+?+g（k 1）=f（1）-f（0）=0

k k k

1 k 1 当g（0）、g（1）、?、g（k 1）中有一个为0时，kk 不妨设为g （i）=0，i∈{0，1，?，k-1} ，

k

i i 1 i 1 即g（i）=f（i + 1）-f （i）=0，则函数f（x）具有性质P（1）；k k k k k

1 k 1

当g（0）、g（1）、?、g（k 1）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，kk

不妨设g（i）> 0，g（j）< 0，其中i ≠，j i，j∈{0，1，?，k-1}，kk

由于g（x）是连续的，所以当j>i 时，至少存在一个x0∈（i，j）（当j

一kk

个x0∈（i，j））kk 使得g（x0）=0，

1 即g（x0）=f

（x0+ ）-f （x0）=0

k

1 所以，函数f（x）具有性质P（1）?（1

2 分）

k