自动控制原理-第9章 控制系统的非线性问题
9 控制系统的非线性问题
9.1概述
在物理世界中，理想的线性系统并不存在。严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图9-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图9-1 伺服电动机特性
9.1.1控制系统中的典型非线性特性的类型
常见典型非线性特性有饱和非线性、间隙非线性、死区非线性、继电非线性等。 9.1.1.1饱和非线性
控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。如图9-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为引入饱和非线性特性以限制过载。
图9-2 饱和非线性
9.1.1.2不灵敏区(死区)非线性
控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感，电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。如图9-3所示，其特性是输入信号在?<
一定值后才有输出的特性称为不灵敏区非线性，其中区域?<
a
?
图9-3 不灵敏区非线性特性
图9-4 具有不灵敏区的饱和特性
死区特性给系统带来稳态误差和低速运动不稳定影响。但死区特性会减弱振荡、过滤输入端小幅度干扰，提高系统抗干扰能力。
9.1.1.3 具有不灵敏区的饱和非线性特性
在很多情况下，系统元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。如电枢电压控制的直流电动机的控制特性就具有这种特性。具有不灵敏区的饱和非线性特性如图9-4所示。
9.1.1.4 继电器非线性
实际继电器的特性如图9-5所示，输入和输出之间的关系不完全是单值的。由于继电器吸合及释放状态下磁路的磁阻不同，吸合与释放电流是不相同的。因此，继电器的特性有一个滞环。这种特性称为具有滞环的三位置继电特性。当1-=m 时，可得到纯滞环的两位置继电特性，如图9-6所示。当1=m 时，可得到具有三位置的理想继电非线性特性，如图9-7所示。
图9-5 具有滞环的三位置继电非线性特性 图9-6 具有滞环的两位置继电非线性特性
9.1.1.5 间隙非线性
间隙非线性形成的原因是由于滞后作用，如磁性材料的滞后现象，机械传动中的干摩擦与传动间隙。间隙非线性也称滞环非线性。间隙非线性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量的变化超出一定数值(间隙)后，输出量才跟着变化。齿轮传动中的间隙是最
明显的例子。间隙非线性如图9-8所示。
图9-7 具有三位置的理想继电非线性特性
图9-8 间隙非线性特性
9.1.2非线性控制系统的特殊性
非线性系统与线性系统相比，有许多独有的特点：
（1）线性系统的稳定性由系统的闭环极点决定，也就是说一旦系统确定，其稳定性也随即确定，与初始条件和输入信号无关。而非线性系统的稳定性除了与系统的闭环极点相关外，还与初始条件和输入信号相关。对于某一个确定的非线性系统，在一种初始条件下是稳定的，而在另一种初始条件下则可能是不稳定的，或者在一种输入信号作用下是稳定，而在另一种输入信号作用下却是不稳定的。
（2）线性系统的运动状态不是收敛与平衡状态，就是发散。理论上说，当系统处于临界时，会出现等幅振荡。但是在实际情况下，这种状态不可能维持，外界环境或系统参数稍有变化，系统就会趋于平衡状态或发散状态。而非线性系统的运动状态除了收敛和发散以外，还有等幅振荡的状态。这种振荡状态在没有外界作用的情况下，也会存在，而且保持一定的幅度和频率，称为自持振荡、自振荡或自激振荡。自持振荡由系统结构和参数决定，是非线性系统独有的现象。
（3）线性系统在输入某一频率的正弦信号时，输出的稳态分量是同频率的正弦信，系统只会改变输入信号的幅度和相位。而在非线性系统中，当输入信号是某一频率的正弦信号时，输出信号不仅含有同频率的正弦分量，还含有高次谐波分量。因此，在分析线性系统时采用的频率特性、传递函数等方法不能应用于非线性系统的分析。
（4）线性系统满足叠加原理。而非线性系统不满足叠加原理。对非线性系统的分析，重点是系统的稳定性，系统是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度是多少，如何减小和消除自持振荡等。
9.1.3 非线性控制系统的分析方法
目前尚没有通用的求解非线性微分方程的方法。虽然有一些针对特定非线性问题的系统分析与设计方法，但其适用范围有限。因此分析非线性系统要根据其不同特点，选用有针对性不同方法。
（1）相平面分析法非线性控制系统的相平面分析法是一种用图解法求解二阶非线性常微分方程的方法。相平面上的轨迹曲线描述了系统状态的变化过程，因此可以在相平面图上分析平衡状态的稳定性和系统的时间响应特性。
（2）描述函数法描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种工程近似方法。应用描述函数法研究非线性控制系统的自持振荡时，能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率)与系统参数(如放大系数、时间常数等)的关系，给系统的初步设计提供一个思考方向。描述函数法是线性控制系统理论中的频率法在非线性系统中的推广。
此外还有线性化近似方法，逐段线性近似法等。
用计算机直接求解非线性微分方程，以数值解形式进行仿真研究，是分析、设计复杂非线性系统的有效方法。随着计算机技术的发展，计算机仿真已成为研究非线性系统的重要手段。
本章重点讨论非线性系统的描述函数分析方法和相平面分析法。
9.2描述函数法
描述函数法是一种基于谐波线性化概念，将分析线性系统的频率响应法移植到分析非线性系统中的一种工程近似方法。其基本思想是：当系统满足某种条件时，系统中非线性环节的输出信号中的高次谐波分量可以忽略，用基波近似输出信号，由此导出非线性环节的近似频率特性，即描述函数。此时的非线性系统就近似为一个线性系统，可以用线性系统分析方法中的频率响应法对其进行分析。描述函数法主要用于分析非线性系统的稳定性，是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度，消除和减弱自持振荡的方法等。
9.2.1描述函数的基本概念
9.2.1.1继电特性引例
理想继电特性如图9-9（a ）所示，当输入正弦信号t Xsin x ω=时，其输出y(t)是一个与输入正弦函数同频率的周期方波。
()
b
图9-9 理想继电特性及输入、输出波形与输出波形
输出周期函数可展开成富里叶级数 ）
????+++
=
ωωωπ
5sin 5
1
3sin 31(sin 4M
y(t)t t =
∑
∞
=++0
1
2)12sin(M
4n n t
n ωπ
(9-1)
由式（9-1）可以看出，方波函数可以看做是无数个正弦信号分量的叠加。这些分量中，有一个与输入信号频率相同的分量，称为基波分量（或一次谐波分量），其幅值最大。其他分量的频率均为输入信号频率的奇数倍，统称为高次谐波。频率愈高的分量，振幅愈小，各谐波分量的振幅与频率的关系称为该方波的频谱，如图9-9（b ）所示。
9.2.1.2 谐波线性化
对于任意非线性特性，设输入的正弦信号为t x ωsin X =，输出波形为y(t)。 输出y(t)有富氏形式：
)
sin(]
)sin(cos [)(1
010n n n n n n t n Y A t n B t n A A t y ?ωωω++=++=∑∑∞
=∞
=）（
式中 ?
=
π
ωπ200)()(21
A t d t y
)()cos()(120t d t n t y A n ωωππ
?
=
（9-2） )()sin()(1
20
t d t n t y B n ωωπ
π
?
=
（9-3）
2
2n
n n
B A Y +=
，n
n
n B A arctan
=? 对于本章所讨论的几种典型非线性特性，均属于奇对称函数，y(t)是对称的，则A 0=0；若为单位奇对称函数，则A 0=A 1=0。
谐波线性化的基本思想或处理方法是略去输出高次谐波分量，用输出y(t)的基波分量y 1(t)近似地代替整个输出。即
)sin(sin cos )(y(t)11111?ωωω+=+=≈t Y t B t A t y （9-4）
式中 21211B A Y +=； 1
11arctan B A =?
?
=πωωπ201)(cos )(1
A t d t t y （9-4a ） ?
=πωωπ20
1)(sin )(1
t d t t y B (9-4b)
因此，对于一个非线性元件，我们可以用输入t Xsin x ω=和输出)sin((t)y 111?ω+=t Y 近似描述其基本性质。非线性元件的输出是一个与其输入同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与
线性元件在正弦输入下的输出在形式上十分相似，故有些学者（特别是苏联学者）也称上述近似处理为谐波线性化。
9.2.1.3 描述函数
非线性特性在进行谐波线性化之后，可以仿照幅相频率特性的定义，建立非线性特性的等效幅相特性，即描述函数。
非线性元件的描述函数是由输出的基波分量y 1(t)对输入x 的复数比来定义的，即
1
12
12111arctan B A X
B A X
Y
N ∠
+=
∠=? （9-5） 式中 N ——非线性元件的描述函数； X ——正弦输入的幅值；
Y 1——输出信号一次谐波的幅值；
φ1——输出信号一次基波与输入信号的相位差。
描述函数的实质是用一个等效线性元件替代原来的非线性元件，而等效线性元件的幅相特性函数N 是输入信号t Xsin x(t)ω=的幅值X 的函数。
图9-10所示为包括非线性元件的非线性系统框图，即非线性系统分成线性部分G （S ）与非线性部分N （X ）。
图9-10 典型非线性系统
把非线性元件等效为一个放大倍数为复数的放大器，与频率ω无关。这相当于线性系统中的放大器，其放大倍数是一个普通常数。
系统闭环传递函数为 ()()
()1()()
N X G s s N X G s Φ=
+
闭环系统特征方程为 1()()0N X G s +=
9.2.2 典型非线性元件的描述函数
9.2.2.1理想继电特性的描述函数
理想继电特性的数学表达式为 ,0
(),0M x y x M x ??=?-??
图9-11 理想继电特性及输入、输出波形
由于正弦信号是单值奇函数，因此，00=A ,01=A 及1?=0。 根据式（9-4b ）得富氏级数基波分量的系数B 1
?
=
π
ωωπ20
1)(sin )(1
t td t y B ，
因为y(t)是周期2π的方波，且对π点奇对称，故1B 可改写为
?
=
=
2
14)(sin 4
π
π
ωωπ
M
t td M B
因此基数分量为 t M
t y ωπ
sin 4)(1=
X
M X Y X N π40)(01=∠=
（9-6） 显然，理想继电特性的描述函数是一个实数量，并且只是输入振幅X 的函数。
9.2.2.2死区特性的描述函数
假设输入正弦信号函数为()sin x t X t ω=，则输出特性的数学表达式为：
11()0,(0
t<)()(sin ),(t )2
y t y t K X t a ωθπωθω=???=-≤≤??〈
当t>
2
π
ω时，死区特性及其输入、输出波形，如图9-12所示。
当输入信号幅值在死区范围内时，输出为零，只有输入信号幅值大于死区时，才有输出，故输出为一些不连续、不完整的正弦波形。
图9-12 死区特性及输入、输出波形 图9-13 死区特性描述函数
由于死区特性为单值奇对称函数，故0A 0=，01=A ，01=?, 而??
?-=
=
2
20
11
)(sin )sin (4
)(sin )(1
B π
?
π
ωωωπ
ωωπ
t td t X K t td t y
并且由于y(t)在一个周期中波形对称，即当1~0?时，y(t)=0, 故1B 的积分值只要计算
???
-
=
2
2
2
11
1
)(sin 4)(sin
4π
?π
?ωωπ
ωωπ
t td K t td KX
B
111cos 4)2sin 4124(4?π
??ππ?
-+-=
K KX 其中1sin ?X =?，即)arcsin(1X ?=?，代入上式并整理得
???
???????? ???-?-?-=211arcsin 22X X X XK B ππ
其描述函数为???
???????? ???-?+?=∠=20
11arcsin 2K -K 0)(X X X X B X N π ?≥X (9-7)
图9-13所示为X ?与K N 的关系曲线。
由图9-13可见，当1X ≥?时，输出为零，从而描述函数的值也为零；如死区?很小，或输入的振幅很大时，0X ≈?，K X N ≈)(，亦即可认为描述函数为常量，恰好等于死区特性线性段的斜率，
这表明死区影响可忽略不计。
9.2.2.3饱和非线性特性的描述函数
假设输入正弦信号函数为()sin x t X t ω=，则饱和非线性特性的数学表达式为：
11()KX sin t,(0t )(),(t )2
y t y t Ka ωωθπ
θω=≤≤??
?=≤≤??（a 改b ,1θ改1?） 式中K 为斜率。饱和特性及其输入、输出波形如图9-14所示。
图9-14 饱和特性及其输入、输出波形
图9-15 饱和特性描述函数
由图可见，当正弦输入信号的振幅b X <时，工作在线性段，没有非线性的影响。当b X ≥时才进入非线性区。因此饱和特性的描述函数仅在b X ≥的情况下才有意义。
由于饱和特性为单值奇对称函数，所以010==A A ，01=?， 且?
=
π
ωωπ
20
1)()sin()(1
B t d t n t y
??
????+=??2
21
1)(sin )(KXsin 4π
??ωωωωπt td Kb t td
???
?
??????? ??-+=
2
1arcsin 2X b X
b
X b KX π ， b X ≥
故描述函数为
???
???????? ??-+==2
11arcsin 2)(X b X b X b K X B X N π b X ≥ （9-8） X b 与K N 之间的关系如图9-15所示。
9.2.3 用描述函数法分析非线性系统的稳定性
用描述函数法分析非线性系统的稳定性，首先将系统
化简成图9－16所示的形式。系统的频率响应为
)
j (G )X (N )
j (G )X (N )j (R )j (C ωωωω+=1 （9－9）
可以看出，当ωj s =时，系统的特征方程为
01=+)j (G )X (N ω
（9－10）
图9－16 非线性系统
或者写成
)
X (N )j (G 1
-
=ω
（8－11）
其中，)X (N /1-称为非线性环节的负倒描述函数。)(ωj G 与)X (N /1-之间的相对位置就决定了非线性系统的稳定性，证明略去。
判断非线性系统的稳定性，首先应在s 平面上画出)(ωj G 与)X (N /1-轨迹，并在)(ωj G 上标明ω增大的方向，在)X (N /1-上标明X 增大的方向。如果非线性系统中的线性部分满足最小相位条件，则非线性系统稳定性的判定规则如下：
1) 如果)(ωj G 不包围)X (N /1-的轨迹，如图9－17a 所示，则系统稳定。)(ωj G 离)
X (N /1-越远，系统的相对稳定性越好。
2) 如果)(ωj G 包围)X (N /1-，如图9－17b 所示，则系统不稳定。
3) 如果)(ωj G 与)X (N /1-相交，如图9－17c 所示。若交点处0ωω=，而0X X =，设某一时
刻有t sin X )t (e 00ω=。可以看出，此信号经过系统闭环回路一周回到输入端仍然为
t sin X 00ω，系统中存在一个等幅振荡。该振荡可能是自持振荡，也可能在一定条件下收敛或
发散。
1. 自
持振
荡的确定
当)(ωj G 与)X (N /1-相交时，方程
)
(1
)(X N j G -
=ω 的解对应着一个周期运动的信号的振幅和频率。若这个等幅振荡在系统受到轻微扰动作用后偏离原来的运动状态，而当扰动消失后，系统又回到原来频率和振幅的等幅持续振荡，则这种等幅振荡称为非线性系统的自持振荡。自持振荡是一种稳定的等幅振荡，而不稳定的等幅振荡在系统受到扰动的时候，会收敛、发散或转移到另一个稳定的周期运动状态。
如图9－18所示，)(ωj G 与)(/1X N -有两个交点a 和b 。假设系统工作在a 点，当受到轻微的
扰动时，使非线性环节的振幅增加，即工作点沿)X (N /1-的曲线向X 增大的方向运动到c 点。由
图9－17 非线性系统稳定性分析
(G )
X (N ∞
-
a
b
c
图9－18 自持振荡分析
∞0
于c 点被)(ωj G 包围，属于不稳定点，系统的响应发散。此时，工作点会继续沿)X (N /1-的曲线向X 增大的方向运动至b 点。若系统受到轻微扰动使工作点沿)X (N /1-的曲线向X 减小的方向运动到d 点。由于d 点不被)(ωj G 包围，属于稳定点，系统的响应收敛。此时，工作点会继续沿
)X (N /1-的曲线向X 减小的方向运动，直到X 减小为零。显然，a 属于不稳定的等幅振荡点，
不是自持振荡点。
假设系统工作在b 点，当受到轻微的扰动时，使非线性环节的振幅增加，即工作点沿)(/1X N -的曲线向X 增大的方向运动到e 点。由于e 点不被)(ωj G 包围，属于稳定点，系统的响应收敛。此时，工作点会继续沿)X (N /1-的曲线向X 减小的方向回到b 点。若系统受到轻微扰动使工作点沿
)X (N /1-的曲线向X 减小的方向运动到f 点。由于f 点被)(ωj G 包围，属于不稳定点，系统的
响应发散。此时，工作点会继续沿)X (N /1-的曲线向X 增大的方向回到b 点。显然，b 是一个稳定的等幅振荡点，是自持振荡点。
从上面的分析可以看出，图9－18所示系统在非线性环节的输入信号振幅a X X <时，系统收敛；当
a X X >时，系统产生自持振荡。系统的稳定性与初始
条件及输入信号有关，这是非线性系统与线性系统的一个明显的区别。判断周期运动点是否是自持振荡点的方法为：如图9－19所示，将)(ωj G 包围的区域看作是不稳定区域，不被)(ωj G 包围的区域看作是稳定区域。当交点处的)X (N /1-轨迹沿)X (N /1-增大的方向由不稳定区域进入稳定区域时，该交点时自持振荡点。反之，当交点处的)X (N /1-轨迹沿)X (N /1-增大的方向由稳定区域进入不稳定区域时，该交点不是自持振荡点。
9.3 相轨迹法
相轨迹法是适用于二阶非线性系统的几何解法。对于二阶动力学系统，如已知两个状态变量，则该系统的动力学性能就完全能被描述。一般的二阶系统均可表示为
0),(=+x x f x
（9-12） x
x x x ==21,，二阶系统也可以写成状态空间方程表示，即 ??
?
??
??==),(),(2122
2111x x f dt dx x x f dt
dx （9-13）
上式两边相除，得
图9－19 自持振荡的判别
-
)
,()
,(21121212x x f x x f dx dx = （9-14） 解上式可得
)(12x g x =
以1x 为横坐标，以2x 为纵坐标，便构成分析系统的相平面图。系统每一时刻的状态即“相”均相应于平面上的一点，以时间作为参变量变化时，该点在21x x -平面上对应的曲线就是相轨迹。轨迹的起始点就是初始值[])0()0(21x x -，其轨迹表示在某一输入激励下系统的反应。如果相轨迹趋于无穷大，则系统不稳定；如果相轨迹趋于原点，则系统稳定；如果相轨迹最后形成围绕原点不断循环
的环，则系统存在极限环的持续振荡。
对于二阶系统状态变量是两个，通常选取x （广义位移），和1x （广义速度）作为状态变量
???
==x
x x x 21 （9-15） 则
??
?
????-==),(212
2
1x x f dt dx x dt
dx （9-16）
相平面法的主要工作是作相轨迹图，有了相轨迹图，系统的性能也就表示出来了。
9.3.1 相轨迹的作图法
9.3.1.1解析法
例9-1 单位质量的自由落体运动。
当忽略大气影响时，单位质量的自由落体运动方程为
g x
= dx
x
d x dt dx dx x d x dt d x
)()()( =?== 所以 g dx
x
d x
=)( 即 gdx x d x
= 图9-20 两边积分得 C gx x
+=22
（C 为常数）
以x （即1x ）为横坐标，以1x （即2x ）为纵坐标，作相平面图，如图9-20所示。
能用解析法作相平面图的系统只有比较简单的二阶线性系统，对于大多数非线性系统很难用解析法示出解。因此，对于分析非线性系统更实用的是图解法（等倾线法）。
9.3.1.1等倾线法
对于一般的二阶系统，令x
x x x ==21,，则系统可表示为 ),(),(2122
2111
x x f dt
dx x x f dt
dx ==
上两式相除得
)
,()
,(21121212x x f x x f dx dx = 所谓等倾线是指相平面内对应相轨迹上具有等斜率的线。设斜率为k ，则
1
2
dx dx k =
相应于不同的k 值画不同的等倾线，则可得到相轨迹切线的方向场。从过初始点的短倾线开始画，连续相邻近的短倾线，依次往后连接，即组成相轨迹图。显然，等倾线的间隔越密集，相轨迹的精度越高。
例9-2 非线性方程 0)1(2.02=+-+x x x x
。 设斜率为k ，令x
x x x ==21,则 21x x
= 1221)1(2.0x x x x
---= 2
12
12122
112)1(2.0)1(2.0x x x x x x x dx dx ---=---= 即 2
1
2
1)1(2.0x x x k -
--=
所以 k
x x x --=
)1(2.02
11
2 （9-17）
当短倾线倾角为0o时，其斜率k 为0，式（9-17）变为
)
1(2.02
11
2x x x -=
该式表示的曲线上的每一点斜率为0，如图9-21中所示。 当短倾线倾角为45o时，其斜率k 为1，式（9-17）变为 1
)1(2.02
11
2--=
x x x
该式表示的曲线上的每一点斜率为1，如图9-21中所示。 图9-21 等倾线法例 如上可以作出其他斜率的倾线，这样就可以作出如图9-21所示的斜率分布场。画每根相轨迹时，先找初始点，再顺序把相邻不同斜率的折线连接起来，即可作出近似的相轨迹图。
9.3.2 奇点
奇点即平衡点，是系统处于平衡状态相平面上的点。此时，系统的速度和加速度均为零，
以x 为横坐标，以x
为纵坐标，相轨迹在奇点处的斜率为0/0型，与普通点不同，奇点可以有无穷多条相轨迹通过，解的惟一性不适合于奇点。
例9-3 系统 022
=++x x T x T
ξ 因为 022
=++x x
T dx
x
d x
T ξ 则
x T x x T dx x
d 22--=
ξ 系统奇点需满足
0=dx x
d 即 ???==--0
022x T x x
T ξ
解得 ??
?==00
x
x 点即为该系统奇点。 对于不同类型的阻尼比ξ，二阶系统的相平面图不同，如图9-22所示。
当阻尼比10??ξ时，系统有一对负实部的共轭复根，系统稳定，其相轨迹呈螺线型，轨迹族收敛于奇点，这种奇点称为稳定焦点。
当阻尼比01??-ξ时，系统有一对正实部的共轭复根，系统不稳定，其相轨迹也呈螺线型，但轨迹族是从奇点螺旋发散出来的，这种奇点称为不稳定焦点。
当阻尼比1?ξ时，系统有两个正实根，系统不稳定，相平面内的轨迹族直接从奇点发散出来，这种奇点称为不稳定节点。
当阻尼比1?ξ时，系统有两个负实根，系统稳定，相平面内的轨迹族无振荡地收敛于奇点，这种奇点称为稳定节点。
当阻尼比0=ξ时，系统有一对共轭虚根，系统等幅振荡，其相轨迹为一族围绕奇点的封闭曲线，这种奇点称为中心点。
如果线性二阶系统的x
项和x 项异号，即 022=++-x x T x
T ξ 则系统有一个正实根，有一个负实根，系统是不稳定的，其相轨迹呈马鞍形，中心中奇点，这种奇
点称为鞍点。
有了奇点的概念，便可以利用对奇点的认识较快地画出相轨迹的草图，其步骤为： 1）求出奇点；
2）在奇点附近通过线性化判断奇点的类型，并在奇点附近画出相应的相轨迹线； 3）在远离奇点处用等倾线等方法完成相轨迹图。 例9-4 有如下非线性系统方程：
025.02=+++x x x x
即 025.02=+++x x x
dx
x
d x
则 x
x x x dx x d 225.0---=
解 ???==---00
25.02x
x x x
得奇点为 ???=-=??
?==0
2
,00
x x x x 在（0，0）点附近，因x 很小，系统可近似为
025.0=++x x x
解 ???==5
.022
2
n n ξωω
得 ??
?
??=
=822ξωn
可见，10??ξ，该奇点为稳定焦点。
在（-2，0）点附近，令2+=*
x x ，
系统方程为 0)2()2(25.02=-+-++****x x x x
即025.02
=+-+****x x x x
在（-2，0）点附近，因*x 很小，系统可近似为
025.0=-+***x x x
*x
与*x 异号，故其奇点为鞍点。 图9-23 奇点应用例 该系统的相平面图如图9-23所示。由图可知，该系统在有些初始状态下是稳定的，收敛于原点，
而在有些初始状态下是不稳定的。
8.3.3 从相轨迹求时间信息
通过以下方法求出时间信息：
1）dt dx
x
= 则 x
dx dt =
通过积分，可得： dx x
t t x x ?
=
-2
1
112 当然，上式也可以通过取合理的增量，变成下式求出时间
x
x
t ?=
? 2）),(x x f x
= dt
x d x
= 则
),(x
x f dt
x
d = 则 ),(x
x f x d dt =
通过积分，可得： x d x x f t t x
x
?
=
-21)
,(1
12 9.3.4 非线性系统的相平面分析（略）
9.4 改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用
非线性因素的存在，往往给系统带来不利的影响，如静差增大、响应迟钝或发生自振等等。消
除或减小非线性因素的影响，是非线性系统研究中一个有实际意义的课题。非线性特性类型很多，在系统中接入的方式也各不相同，没有通用的解决办法，只能根据具体问题灵活采取适宜的校正补偿措施。
9.4.1 改变线性部分的参数或针对线性部分进行校正
（1）改变参数。
减小线性部分增益，)(ωj G 曲线会收缩，当)(ωj G 曲线与)(1A N -曲线不再相交时，自振消失。由于)(ωj G 不再包围)(1A N -曲线，闭环系统能够稳定工作。
（2）利用反馈校正方法。
为了消除系统自身的自振，可在线性部分加入局部反馈，适当选取反馈系数，可以改变线性环节幅相特性曲线的形状，使校正后的()G j βω曲线不再与负倒描述函数曲线相交，故自振不复存在。从而保证了系统的稳定性。
9.4.2 改变非线性特性
系统部件中固有的非线性特性，一般是不易改变的，要消除或减小其对系统的影响，可以引入新的非线性特性。作为一个例子，设1N 为饱和特性，若选择2N 为死区特性，并使死区范围?等于饱和特性的线性段范围，且保持二者线性段斜率相同，则并联后总的输入输出特性为线性特性。如图9-24所示。
图9-24 死区特性和饱和特性并联
由描述函数也可以证明：
21222()sin 1()2()sin 1()2K N X arc A A A K N X arc A A A πππ??
???=
+-????
??
???=--
-????
故 K )X (N )X (N =+21
9.4.3 非线性特性的利用
非线性特性可以给系统的控制性能带来许多不利的影响，但是如果运用得当，有可能获得线性系统所无法比拟的良好效果。
图9-25 非线性阻尼控制
图9-25所示为非线性阻尼控制系统结构图。在线性控制中，常用速度反馈来增加系统的阻尼，改善动态响应的平稳性。但是这种校正在减小超调的同时，往往降低响应的速度，使系统的稳态误差增加。采用非线性校正，在速度反馈通道中串入死区特性。则系统输出量较小、小于死区0ε时，没有速度反馈，系统处于弱阻尼状态，响应较快。而当输出量增大、超过死区0ε时，速度反馈被接入，系统阻尼增大，从而
抑止了超调量，使输出快速、平稳地跟踪输入指令。图9-26中1、2、3所示为系统分别在无速度反馈、采用线性速度反馈和采用非线性速度反馈三种情况下的阶跃响应曲线。由图可见，非线性速度反馈时，系统的动态过程（曲线3）既快又稳，具有良好的控制性能。
试用描述函数法确定：
（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围；
（2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。