二次函数的图象和性质测试题
第二十一章自主检测
(满分：120分 时间：100分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2＋x －2＝0是一元二次方程，则a 满足( )
A ．a ≠1
B ．a ≠－1
C ．a ≠±1
D ．为任意实数
2．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )
A ．(x ＋1)2＝6
B ．(x －1)2＝6
C ．(x ＋2)2＝9
D ．(x －2)2＝9
3．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A ．k >－1
B ．k >－1且k ≠0
C ．k <1
D ．k <1且k ≠0
4．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2013－a －b 的值是
( )
A ．2018
B ．2008
C ．2014 D. 2012
5．方程x 2－9＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )
A ．12
B ．12或15
C ．15
D ．不能确定
6．对于任意实数k ，关于x 的方程x 2－2(k ＋1)x －k 2＋2k －1＝0的根的情况为( )
A ．有两个相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定
7．已知函数y ＝kx ＋b 的图象如图21-1，则一元二次方程x 2＋x ＋k －1＝0根的存在情况是( )
A ．没有实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定
8．已知实数a ，b 分别满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋a b
的值是( ) A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－11
图21-1 图21-2
9．如图21-2，在长为100 m ，宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644 m 2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m ，则可列方程为( )
A ．100×80－100x －80x ＝7644
B ．(100－x )(80－x )＋x 2＝7644
C ．(100－x )(80－x )＝7644
D ．100x ＋80x ＝356
10．图21-3是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )
图21-3 A ．32 B ．126 C ．135 D ．144
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．一元二次方程x 2－3＝0的解为________________．
12．把一元二次方程(x －3)2＝4化为一般形式为：________________，二次项为：________，一次项系数为：________，常数项为：________.
13．已知2是关于x 的一元二次方程x 2＋4x －p ＝0的一个根，则该方程的另一个根是__________．
14．已知x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个根，则1x 1＋1x 2
＝__________. 15．若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是________．
16．一个长100 m ，宽60 m 的游泳池扩建成一个周长为600 m 的大型水上游乐场，把游泳池的长增加x m ，那么x 等于多少时，水上游乐场的面积为20 000 m 2？列出方程__________________________．
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
17．用公式法解方程：2x 2－4x －5＝0.
18．用配方法解方程：x 2－4x ＋1＝0.
19．用因式分解法解方程：(y －1)2＋2y (1－y )＝0.
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
20．若a ，b ，c 是△ABC 的三条边，且a 2－6a ＋b 2－10c ＋c 2＝8b －50，判断此三角形的形状．
21．如图21-4，在宽为20 m，长为32 m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570 m2，道路应为多宽？
图21-4
22．在实数范围内定义一种新运算“”，其规则为：a b＝a2－b2，根据这个规则：
(1)求43的值；
(2)求(x＋2)5＝0中x的值．
五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
23．已知：关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0.
(1)当m取何值时，方程有两个实数根？
(2)为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
24．已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程：
x2－1＝0，
x2＋x－2＝0，
x2＋2x－3＝0，
…
x2＋(n－1)x－n＝0.
(1)请解上述4个一元二次方程；
(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
第二十一章自主检测
1．C 2.B 3.B 4.A 5.C 6.C 7.C 8.A 9.C 10.D
11．x ＝±3 12.x 2－6x ＋5＝0 x 2 －6 5 13.－6
14．－2 15.k ≤4，且k ≠0
16．(x ＋100)(200－x )＝20 000
17．解：∵a ＝2，b ＝－4，c ＝－5，
∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－5)＝56>0.
∴x ＝4±562×2
＝4±2 144. ∴x 1＝2＋142，x 2＝2－142
. 18．解：∵x 2－4x ＋1＝0，
∴x 2－4x ＋4＝4－1，即(x －2)2＝3.
∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.
19．解：∵(y －1)2＋2y (1－y )＝0，
∴(y －1)2－2y (y －1)＝0.∴(y －1)(y －1－2y )＝0.
∴y －1＝0或y －1－2y ＝0.∴y 1＝1，y 2＝－1.
20．解：将a 2－6a ＋b 2－10c ＋c 2＝8b －50变形为a 2－6a ＋9＋b 2－8b ＋16＋c 2－10c ＋25＝0，
∴(a －3)2＋(b －4)2＋(c －5)2＝0.
∴a －3＝0，b －4＝0，c －5＝0.∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.
∵32＋42＝52，∴△ABC 为直角三角形．
21．解：设道路宽为x m ，
(32－2x )(20－x )＝570，
640－32x －40x ＋2x 2＝570，
x 2－36x ＋35＝0，
(x －1)(x －35)＝0，
x 1＝1，x 2＝35(舍去)．
答：道路应宽1 m.
22．解：(1)4△3＝42－32＝16－9＝7.
(2)∵(x ＋2)△5＝0，即(x ＋2)2－52＝0，
∴x 1＝－7，x 2＝3.
23．解：(1)当Δ≥0时，方程有两个实数根，
∴[－2(m ＋1)]2－4m 2＝8m ＋4≥0.∴m ≥－12
. (2)取m ＝0时，原方程可化为x 2－2x ＝0，
解得x 1＝0，x 2＝2.(答案不唯一)
24．解：(1)x 2－1＝(x ＋1)(x －1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝1.
x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)＝0，∴x 1＝－2，x 2＝1.
x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)＝0，∴x 1＝－3，x 2＝1.
…
x 2＋(n －1)x －n ＝(x ＋n )(x －1)＝0，∴x 1＝－n ，x 2＝1.
(2)共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根；两根之和等于一次项系数的相反数．
25．解：(1)设每千克应涨价x 元，
则(10＋x )(500－20x )＝6000.
解得x ＝5或x ＝10.
为了使顾客得到实惠，所以x ＝5.
(2)设涨价x 元时总利润为y ，则
y＝(10＋x)(500－20x)
＝－20x2＋300x＋5000＝－20(x－7.5)2＋6125
当x＝7.5时，取得最大值，最大值为6125.
答：(1)要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元．(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．