最新北师大版九年级数学下册全套教案
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法:
引导—探索法. 学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵
2
2
2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?
三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB
的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?
2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)
3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置
升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则
tanθ＝______.
5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
五、课后练习：
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.
2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.
3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.
6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=12
5
, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.
7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=
3
4
,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?
8、探究:
⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.
⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.
§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）
学习目标：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.
2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.
4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.
2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点：
用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法：
探索——交流法. 学习过程：
一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图
E D
B
A
C
B A
C B
D
A C E F
(2) 211
122BA C A BA C A 和有什么关系? 2
112BA BC BA BC 和
呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?
(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.
二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：
三、例题：
例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.
例2、做一做：
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝
13
12
，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.
四、随堂练习：
1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.
2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝5
4
，BC=20，求△ABC 的周长和面积.
3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=
2
1
，则sinA= .
4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2
＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
D
B A
C
B A C
1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=3
4
,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=9
41
,则AC=______,BC=_______.
3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=4
5
,则BC=_____.
4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )
A.sinA=34
B.cosA=35
C.tanA=34
D.cosB=3
5
5、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BC AC
等于( ) A.34 B.43 C.35 D.45
6、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35
,那么tanA 等于( )
A.43
B.34
C.45
D.54
7、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是
A ．135
B ．1312
C ．125
D ．5
12
8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan α
9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )
A.CD AC
B.DB CB
C.CB AB
D.CD
CB
10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m
A.
100sin β B.100sin β C.100
cos β
D. 100cos β 11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.
14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?
15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=
4
5
.求：s △ABD ：s △BCD
D
C
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标：
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 学习重点：
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
学习难点： 进一步体会三角函数的意义. 学习方法： 自主探索法 学习过程： 一、问题引入
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 二、新课
[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?
[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 2
60°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
三、随堂练习 1.计算：
(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；
(3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷1
32
30sin 1+-?；
⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0
-｜1-sin30°｜1+(
2
1)-1
；
⑺sin60°+?-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0
-cos60°-2
11-.
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)
四、课后练习：
1、Rt △ABC 中，8,60=?=∠c A ，则__________,==b a ；
2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；
3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600
（B ）900
（C ）1200
（D ）150
5、有一个角是?30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）
cm 41 （B ）cm 2
1
（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ?中，?=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）
33 （C ）23 （D ）2
1
7、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．
（A ）2
1 （B ）22
（C ）23 （D ）1
8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元
9、计算：
⑴、?+?60cos 60sin 2
2
⑵、??-?30cos 30sin 260sin
⑶、?-?45cos 30sin 2
⑷、3245cos 2-+?
?
15020米30米