专题37 空间几何体(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
专题37 空间几何体（知识梳理）
一、空间几何体
1、空间几何体的基本定义
如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。
围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。 几何体不是实实在在的物体。
平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。
例1-1．下列是几何体的是( )。
A 、方砖
B 、足球
C 、圆锥
D 、魔方
【答案】C
【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。
例1-2．判断下列说法是否正确：
(1)平静的湖面是一个平面。 (×)
(2)一个平面长3cm ，宽4cm 。 (×)
(3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。 (×)
(4)书桌面是平面。 (×)
(5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。 (√)
【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。
(6)平行四边形是一个平面。 (×)
(7)长方体是由六个平面围成的几何体。 (×)
(8)任何一个平面图形都是一个平面。 (×)
(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。 (√)
(10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。 (×)
(11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。 (√) 例1-3．下列说法正确的是 。
①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。
【答案】②③
【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；
②正确；③正确。
[多选]例1-4．下列说法正确的是( )。
A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面
B 、一个几何体可以没有顶点
C 、一个几何体可以没有棱
D 、一个几何体可以没有面
【答案】BC
【解析】球只有一个曲面围成，故A 错、B 对、C 对，由于几何体是空间图形，故一定有面，D 错，
故选BC 。
例1-5．如图所示的是平行四边形ABCD 所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD ；②平面BD ；③平面AD ；④平面ABC ；⑤AC ；⑥平面α。其中不正确的是( )。
A 、④⑤
B 、③④⑤
C 、②③④⑤
D 、③⑤
【答案】D
【解析】③中AD 不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误。故选D 。
例1-6．下列结论正确的个数有( )。
①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线。
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
【答案】C
【解析】只有⑤不正确。故选C 。
2、斜二测画法及相关计算
(1)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤：
①画轴：在平面图形上取互相垂直的x 轴和y 轴，作出与之对应的x '轴和y '轴，使得它们正方向的夹角为 45(或 135)；
②画线(取长度)：平面图形中与x 轴平行(或重合)的线段画出与x '轴平行(或重合)的线段，且长度不变， 平面图形中与y 轴平行(或重合)的线段画出与y '轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半；
③连续(去辅助线)：连接有关线段，擦去做图过程中的辅助线。
讲解：用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x 轴和y 轴平行(或重合)的线段。
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： ①原图形
直观图S S 42= ②直观图原图形S S 22=。 例2-1．判断对错：
(1)相等的角在直观图中对应的角仍然相等；相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等。 (×)
(2)平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行。 (√)
(3)线段的中点在直观图中仍然是线段的中点。 (√)
(4)利用斜二测画法画直观图时，①三角形的直观图还是三角形； (√)
②平行四边形的直观图还是平行四边形； (√)
③正方形的直观图还是正方形； (×)
④菱形的直观图还是菱形。 (×)
例2-2．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( )。
A 、在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D 、斜二测坐标系取的角可能是 135
【答案】C
【解析】由平行于x 轴或z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，
平行于y 轴的线段长度在直观图中是原来的一半，∴C 不对，故选C 。
例2-3．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图并说明画法。
【解析】(1)画x '轴，y '轴，使 45='''∠y O x ；
(2)Ox 轴上取点)0,3(D ，在x O ''轴上取D '、B '，使OD D O =''，OB B O =''(如图)，
在y O ''轴上取C '，使OC C O 21=''，在x O ''轴下方过D '作y O A D ''''//，使DA A D 2
1=''； (3)连接A O ''、B A ''、C B ''，所得四边形C B A O ''''就是四边形OABC 的直观图。
注意：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点。
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段。
例2-4．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法。
【解析】(1)画轴：画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴， 45=∠xOy (或 135)， 90=∠xOz ，如左图；
(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD ；
(3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高；
(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，
并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如右图。
注意：(1)画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可；
(2)直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”。
例2-5．如图，C B A '''?是水平放置的ABC ?斜二测画法的直观图，6=''C A ，4=''C B ，能否判断ABC ?的形状并求B A ''边的实际长度是多少？
【解析】根据斜二测画法规则知： 90=∠ACB ，故ABC ?为直角三角形，
ABC ?中，6=AC ，8=BC ，故1022=+=BC AC AB 。 注意：(1)还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x '轴、y '轴平行的直线或线段。平行于x '轴的线段长度不变，平行于y '轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可；
(2)求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解；
(3)原图的面积S 与直观图的面积S '之间的关系为S S '=22。
例2-6．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形C B A O ''''，则原平面图形的周长和面积分别为( )。
A 、a 2 24
2a B 、a 8 222a C 、a 2a D 、a 2 22a
【答案】B
【解析】由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积，
∴a BC OA ==，a OB 22=， 90=∠BOA ，∴a OC AB 3==，原图形的周长为a 8，
∴22222a a a S =?=，故选B 。
二、构成空间几何体的基本元素
1、构成空间几何体的基本元素
点、线、面是构成空间几何体的基本元素。
(1)点是元素，直线(线段)是点的集合，平面是点的集合(也是线的集合)。
(2)线段是直线的子集，直线是平面的子集。线段、直线、平面都是无限集。
(3)线有直线和曲线之分。面有平面和曲面之分。
2、平面及其表示方法
(1)平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的。
(2)平面的表示方法：
图形表示
在立体几何中，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成无限延展的
符号表示 平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名， 还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名
(1)
(2)
(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体。
4、点、线、面的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与直线有相交、平行与既不相交也不平行三种位置关系。
(2)空间中直线与平面的位置关系
①直线在平面内；
②直线与平面平行：直线与平面没有公共点；
③直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点。
讲解：直线与平面垂直：观察直线1AA 和平面AC ，我们看到直线1AA 和平面内的两条相交直线AB 和AD 都垂直，容易想象，当AD 在平面AC 内绕点A 旋转到任何位置时，都会与1AA 垂直。直线1AA 给我们与平面AC 垂直的形象，这时我们说直线1AA 和平面AC 垂直，点A 为垂足，记作直线⊥1AA 平面AC 。直线1AA 称作平面AC 的垂线，平面AC 称作直线1AA 的垂面。
点到平面的距离：在上图中，容易验证，线段1AA 为点1A 到平面AC 内的点所连线段的最短的一条，线段1AA 的长称作点1A 到平面AC 的距离。
5、空间中平面与平面的位置关系
(1)两个平面相交：两个平面相交于一条直线，此时我们说这两个平面相交、如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直。
(2)两个平面平行：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行。
在上图中，在长方体1111D C B A ABCD -中，如果面ABCD 和面1111D C B A 分别作为长方体的底面，则棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 都与底面垂直且等长，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的长度称作两个底面间的距离。
例3-1．下列关于长方体的叙述不正确的是( )。
A 、将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B 、长方体中相对的面都相互平行
C 、长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D、两底面之间的棱互相平行且等长
【答案】A
【解析】A中只有移动相同距离才能形成长方体，故选A。
例3-2．已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面m。其中正确结论的个数是( )。
的面积可以等于12
A、0B、1C、2D、3
【答案】A
【解析】在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；
通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错，故选A。
例3-3．一条曲线作平行移动，形成的面是( )。
A、平面
B、曲面
C、平面或曲面
D、锥面
【答案】C
【解析】曲面平行移动时若方向不变可形成平面，若方向改变则形成曲面。故选C。
例3-4．判断下列说法是否正确：
(1)长方体可看成一个矩形上各点沿垂线向上移动相同距离到矩形所形成的几何体。(√)
(2)一条直线平行移动，生成的面一定是平面。(×)
(3)一个点运动形成一条直线。(×)
(4)直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面。(√)
(5)矩形上各点沿同一方向移动形成长方体。(×) 例3-5．想象一下图中AB围绕l旋转一周形成的空间几何体。
【解析】
例3-6．三个平面分空间有几种情况？并说明每种情况下能将空间分成几部分。
【解析】4种，
分别为4部分，6部分，8部分(两个面成十字，第三个面与两个面的交线垂直)，7部分。
例3-7．如图所示，在长方体D C B A ABCD ''''-中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：
(1)与直线C B ''平行的平面有哪几个？
(2)与直线C B ''垂直的平面有哪几个？
(3)与平面C B ''平行的平面有哪几个？
(4)与平面C B ''垂直的平面有哪几个？
解：(1)与直线C B ''平行的平面有：平面D A '，平面AC ；
(2)与直线C B ''垂直的平面有：平面B A '，平面D C '；
(3)与平面C B ''平行的平面有：平面D A '；
(4)与平面C B ''垂直的平面有：平面B A '，平面C A ''，平面D C '，平面AC 。
三、多面体与棱柱
1、多面体的相关定义：
(1)由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体。
(2)面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面。
(3)棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱。
(4)顶点：棱与棱的公共点边称为多面体的顶点。
(5)对角线：一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；
连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线。
(6)截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面。
2、棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
(1)底面：两个互相平行的平面叫底面，这两面与平行于底面的截面都是全等多边形。
(2)侧面：其余各面叫侧面，侧面都是平行四边形。
(3)侧棱：两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧棱都平行且相等。各不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
(4)顶点：侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。
对角线：不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线。
棱柱的高：两个底面的距离叫做棱柱的高。
(5)棱柱的分类
①棱柱的底面可以是三角形，四边形，五边形……我们把这样的棱柱叫分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……； ②按侧棱与底面是否垂直分为：直棱柱、斜棱柱，直棱柱按底面是不是正多边形分为：正棱柱、其他直棱
柱。
③特殊的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形。
直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。
平行六面体：底面是平行四边形的棱柱。
直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。
长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体。
正方体：底面和侧面是正方形的棱柱叫做长方体。
点评：几种常见四棱柱的关系：
例4-1．下列说法中正确的是()。
A、棱柱的面中，至少有两个互相平行
B、棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C、棱柱中各条棱长都相等
D、棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
【答案】A
【解析】总结：棱柱的特征：①有两个面相互平行且全等；②其余各面都是平行四边形；
③每相邻两个四边形的公共边都互相平行。故选A。
例4-2．下列关于棱柱的说法正确的个数是( )。
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱。
A、1
B、2
C、3
D、4
【答案】A
【解析】四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；
说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；
底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确。故选A。
例4-3．下列说法中正确的是( )。
A、直四棱柱是直平行六面体
B、直平行六面体是长方体
C、六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D、底面是正方形的四棱柱是正四棱柱
【答案】C
【解析】直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；
直平行六面体的底面不一定是矩形，故B 错；
C 正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故
D 错。故选C 。
例4-4．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )。
A 、底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱
B 、底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱
C 、底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱
D 、底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
【答案】D
【解析】选项A 、B 中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C 中底面不是正方形，
故排除选项A 、B 、C ，故选D 。
例4-5．如图的长方体1111D C B A ABCD -。
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱。
【解析】(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义。
(2)截面BCFE 右侧部分是三棱柱，它的底面是1BEB ?与1CFC ?，
侧棱是EF 、11C B 、BC ，截面左侧部分是四棱柱，
它的底面是四边形1ABEA 与四边形1DCFD ，侧棱是AD 、BC 、EF 、11D A 。
点评：正确判断几何体类型的方法：要正确判断几何体的类型，就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征、对于有些四棱柱，互相平行的平面不只是两个，所以对于底面来说并不固定、棱柱的概念中两个面互相平行，指的是两个底面互相平行、但由于棱柱的放置方式不同，两个底面的位置就不一样，但无论如何放置，都应该满足棱柱的定义。
3．棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
(1)底面：棱锥中的多边形叫做棱锥的底面。是几边形就叫几棱锥。
(2)侧面：棱锥中除底面以外的各个面都叫做棱锥的侧面。
(3)顶点：棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
(4)对角面：棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面。
(5)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
正棱锥的斜高：正棱锥侧面等腰三角形底边上的高，叫做正棱锥的斜高。
(6)棱锥截面性质定理及推论
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
推论1：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。
推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。
例5-1．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( )。
A 、三棱锥有四个面是三角形
B 、棱锥都是有两个面是互相平行的多边形
C 、棱锥的侧面都是三角形
D 、棱锥的侧棱相交于一点
【答案】B
【解析】总结：棱锥的特征：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个公共顶点的三角形，故选B 。 例5-2．侧棱长为32的正三棱锥ABC V -中， 40=∠=∠=∠AVC BVC AVB ，过点A 作截面AEF ，则截面AEF ?周长的最小值为 。
【答案】6
【解析】沿侧棱VA 把三棱锥ABC V -展开在一个平面内，
则A A '即为截面AEF ?周长的最小值，
且 120='∠A AV ，62
332230cos 2=??=??=' VA A A 。 例5-3．正三棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是( )。
A 、)0(∞+，
B 、)2
1(∞+， C 、)22(∞+， D 、)33(∞+， 【答案】D
【解析】正三棱锥的顶点到底面的投影为底面的中点，
则底面的中点到底面顶点的连线与底棱的比值为3
3， 则k 的取值范围是)3
3(∞+，，故选D 。 变式1．正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是( )。
A 、)0(∞+，
B 、)2
1(∞+， C 、)22(∞+， D 、)33(∞+， 【答案】C
【解析】正四棱锥的顶点到底面的投影为底面的中点，
则底面的中点到底面顶点的连线与底棱的比值为2
2，则k 的取值范围是)22(∞+，，故选C 。 变式2．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是( )。
A 、正三棱锥
B 、正四棱锥
C 、正五棱锥
D 、正六棱锥
【答案】D
【解析】正六棱锥的顶点到底面的投影为底面的中点，
则底面的中点到底面顶点的连线与底棱的比值为1，
则k 的取值范围是),1(+∞，此时各棱长不相等，故选D 。
变式3．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，能围成一个棱锥侧面的正三角形的个数的最大值是( )。
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
【答案】C
【解析】由于顶角之和小于 360，故选C 。
例5-4．所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体，正四面体ABCD 的棱长为a ，M 、N 分别为棱BC 、AD 的中点，则MN 的长度为( )。
A 、a
B 、a 22
C 、a 23
D 、a 33 【答案】B
【解析】如图所示，连接BN 、CN ，∵正四面体的四个面都是正三角形，∴CN BN =，
∴BC MN ⊥，∴在MNC Rt ?中，a a a MN 2
2)2()23(22=-=，故选B 。 例5-5．用两个平面将如图所示的三棱柱C B A ABC '''-分为三个三棱锥。
【解析】如图，三棱柱C B A ABC '''-可分为三棱锥ABC C -'、三棱锥C B A B '''-和三棱锥A AB C '-'。
4、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
(1)上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面。
(2)侧面：棱台中除上下底面以外的各个面都叫做棱台的侧面。侧面都是梯形。
(3)侧棱：棱台侧面相交的线段叫做棱台的侧棱。棱台的各侧棱的反向延长线交于一点。
(4)棱台的高：棱台上下两个底面的距离叫做棱台的高。
(5)正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。
①正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形。各等腰梯形的高相等，它叫做正棱台的斜高；
②正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形；
③正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形。
例6-1．关于棱台，下列说法正确的是( )。
A 、两底面可以不相似
B 、侧面都是全等的梯形
C 、侧棱长一定相等
D 、侧棱延长后交于一点
【答案】D
解析】棱台的三个特征：①两底面相互平行且相似，②各侧棱延长后交于一点，③侧面都是梯形，
故选D 。
例6-2．一个棱台的上、下底面积之比为94：，若棱台的高是4cm ，求截得这个棱台的棱锥的高。
【解析】如图，将棱台还原为棱锥，设PO 是原棱锥的高，O O '是棱台的高，
∵棱台的上、下底面积之比为9:4，
∴它们的底面对应边长之比3:2:=''AB B A ，∴3:2:='PA A P ，
由于AO O A //''，∴PO O P PA A P '='， 即324=-='-PO PO PO O O PO ，∴12=PO cm ，即原棱锥的高是12cm 。 点评：(1)由于棱台是由棱锥用平行于底面的平面截来的，因此棱台上、下底面是相似多边形，
它们的面积比等于相似比的平方，而相似比又等于小、大棱锥的高之比、侧棱长之比；
(2)解答此类问题的关键是画好图形，找出棱台与截得棱台的棱锥的量的关系，
画图时为了简便，也可以画截面图。
例6-3．如图所示，正四棱台C A '的高是17cm ，两底面的边长分别是4cm 和16cm 。
(1)求这个棱台的侧棱长和斜高。
(2)求该棱台的侧面积与表面积。
【解析】(1)设棱台C A '两底面的中心分别是O '和O ，
C B ''、BC 的中点分别是E '、E ，
连接O O '、E E '、OB 、B O ''、E O ''、OE ，
则四边形O B OB ''、O E OE ''都是直角梯形，且17='O O cm ，
在正方形ABCD 中，16=BC cm ，则28=OB cm ，8=OE cm ，
在正方形D C B A ''''中，4=''C B cm ，则22=''B O cm ，2=''E O cm ，
在直角梯形B OB O ''中，19)2228(17)(2222=-+=''-+'='B O OB O O B B cm ，
在直角梯形E OE O ''中，135)28(17)(2222=-+=''-+'='E O OE O O E E cm ，
即这个棱台的侧棱长为19cm ，斜高为135cm ；
(2)13200135)164(2
14=?+??=侧S 2cm ， 2721320016164413200+=?+?+=++=下底面上底面侧表面积S S S S 2cm 。
立体几何空间角
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 （2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角 （3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则 叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-， 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=， 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
空间立体几何练习题(含答案)
第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图
文科立体几何面角二面角专题-带答案
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面 ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值； （II）求证：⊥平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.
（1）求证； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，
，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，， （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面；
高考数学专题复习立体几何专题空间角
立体几何专题：空间角 第一节：异面直线所成的角 一、基础知识 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直 角）叫做 。 2.范围： ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式 （1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法： 可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来 方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ? 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ （3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练 例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱 1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1= c ，求异面直线D 1B 和AC 所成 的角的余弦值。 方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） A B 1 B 1 A 1D 1 C C D
《空间解析几何2》教学大纲.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
(完整版)空间向量与立体几何题型归纳
空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)
3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．
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