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二次函数经典例题及答案

1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。

(1) 求这条抛物线的函数关系式；

(2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ

1 2 9 . 135

y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析

一2 25

试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐

标代入解析式求出a的值，即可得解；

(2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得

到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/

OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标.

试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为(

25 -4 , - 2),

???设抛物线解析式为

2 25 y=a (x+4) - 2

为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点

(2) 存在点 Q (-1 , -4 ) , Q (2 -9，-

) , Q( - ] , - 4 ) 25

理由如下：???抛物线顶点坐标为( -4 , - 2 ),

???点D 的坐标为(-4 , 0),

令 x=0，则 y=-],

￡

令 y=0，则-x 2+4x- _ =0, 2

整理得，x +8x-9=0 , 解得 x i =1, X 2=-9 ,

???点 A (-9 , 0), C ( 0,-.),

? OA=9 OC=. , AD=-4- (-9 ) =-4+9=5 ,

Jdf + OC‘ =. ^9; + (-)1 =—

在Rt △ AOC 中 ,根据勾股定理， AC=

OC 7 逛 __ — ■ — * AC 座5

? sin / OAC=

OA _ 9 _ 2來 JC ~9^--r

cos / OAC=

■

① AD=QD 时，过Q 作QE 丄x 轴于点E ,

???抛物线过点 B (1, 0)，二 a (1+4)

-25=0，解得 a=2 ,

所以，抛物线解析式为

y=】(x+4) 2孚

即 y= _ x 2+4x-

J'A

E3EJ：

DE T

根据等腰三角形三线合一的性质，AQ=2?ADcos/ OAC=X 5X QE i=AQ?sin / OAC=衣

AE=AQ?cos / OA C A/5=8,

所以，OE=OA-A E=9-8=1 , 所以，点Q的坐标为(-1 , -4 );

②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E2,

QE2=AQ?sin / OAC=X :'=上,

AE=AQ?cos / OAC=X

所以，OE=OA-AE=9-2 上, 所以，点Q的坐标为(2J- -9 , - * );

③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点巳,

所以，OE=9-】=-,

?/ QE3丄x 轴，OCL OA ???△ AQE s s^ ACO

QE OC

:--

5 9

即］,

解得 Q 3E 3=-,

所以，点Q 的坐标为(-_ ，- ■),

综上所述，在线段 AC 上存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2 -9，-

) , Q(-】,-4 ), 使得△ ADQ 为

等腰三角形.

2. 如图，直线y= - x+3与x 轴，y 轴分别交于B , C 两点，抛物线y= - x 2+bx+c 经过B, C 两点，点A

是抛物线与x 轴的另一个交点.

(1) 求B C 两点坐标； (2) 求此抛物线的函数解析式； (3)

在抛物线上是否存在点 P ,使S"A =S A CAB 若存在，求出P 点坐标，若

不存在，请说明理由.

1) B ( 3, 0) C ( 0, 3)( 2)此抛物线的解析式为 y= - x 2+2x+3 . ( 3)存在这样的 P 点，其坐

试题分析：(1)已知了过B 、C 两点的直线的解析式，当 x=0时可求岀C 点的坐标，当y=0是可求岀B 点的

坐标. (2)

由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B 、C 两点

的坐标代入抛物线中即可求岀抛物线的解析式. (3)

根据(2)

的抛物线的解析式可得岀 A 点的坐标，由此可求岀 AB 的长，由于S MAB =G CAB ,而 AB 边为定值.由此可求岀P 点的纵坐标，然后将P 点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求岀 P 点的坐

标.

试题解析：(1)丁直线y= - x+3经过B C

标为 P (0, 3),( 2, 3)

???当x=0 时y=3

当y=0时x=3

? B ( 3 , 0) C (0, 3)

(2 )???抛物线y= - x +bx+c 经过B、C

r-32+3A+r = 0

...V

0+0+c = 3

…b=2，c=3 .

?此抛物线的解析式为y= - x +2x+3.

(3)当y=0 时，—x +2x+3=0 ; x i= - 1，X2=3.? A (- 1，0)

设P (x，y)

■/ S^ PAB=S^CAB

1 1

?—■ X 4X |y|= —X 4 X 3

?y=3 或y= —3

①当y=3 时，3= —x +2x+3

?x i=0，X2=2

P ( 0，3)或(2, 3)

②当y= — 3 时，-3= —x +2x+3

?x i=i+ 广，X2=i — ,r

?P (1+ J -，—3 )或(1 - .；' -，- 3).

因此存在这样的 P 点，其坐标为 P ( 0, 3),( 2, 3)( 1+」二，-3)或(1 -〒，-3)

已知：如图，抛物线 y=ax+bx+2与x 轴的交点是 A ( 3, 0)、B( 6, 0),与y 轴的交点是C.

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2)

设P(x , y ) (0v x v 6)是抛物线上的动点，过点P 作PQ/ y 轴交直线BC 于点Q

① 当x 取何值时，线段 PQ 的长度取得最大值，其最大值是多少？

② 是否存在这样的点 P ,使厶OAQ 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

(1)

所求抛物线的函数表达式是

y=「x 2 - x+2 . ( 2)当x=3时，线段PQ 的长度取得最大值.

最

3 3 12 _6_

大值是 1.( 3) P (3, 0)或 P (】，?！)或 P ( 1，二)

析试题分析：(1)已知了 A , B 的坐标，可用待定系数法求岀函数的解析式. (2)?QP 其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在(

1)中已经求岀，而一次

函数可根据 B , C 的坐标，用待定系数法求岀. 那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得岀的新的函数就是关于 PQ x 的函数关系式，那么可根据函数的性质求岀对应的x 的取值.

(3 )分三种情况进行讨论：

当/ QOA=90时，Q 与C 重合，显然不合题意?因此这种情况不成立; 当/ OAQ=90时，P 与A 重合，因此 P 的坐标就是 A 的坐标；

当/ OQA=90时，如果设 QP 与x 轴的交点为 D,那么根据射影定理可得岀

DQ=OD?DA 由此可得岀关于x 的方程即可求出x 的值，然后将x 代入二次函数式中即可得出 P 的坐标.

试题解析：(1 )???抛物线过 A (3, 0), B ( 6, 0),

------- d

_— \p

PQ 的最大值以及相

J9fl + 3i+2=0

a ——

t 9

解得：.0 = T,

???所求抛物线的函数表达式是丁 X2- x+2 .

(2)①??当x=0 时，y=2 ,

???点C的坐标为(0, 2).

设直线BC的函数表达式是y=kx+b .

则有 - ,

Jt = -i

:3 解得：0 = 2 .

?直线BC的函数表达式是y= - .- x+2 .

?0v x v 6，点P、Q的横坐标相同，

1 ]

?PQ=y o-y p=(―丄x+2)—( - x2-x+2)

1 2

=—-X2+ -- x

=—■( x—3) 2+1

???当x=3时，线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.

②解：当/ OAQ=90。时，点P与点A重合，

?P (3, 0)

当/ QOA=90。时，点P与点C重合，

?x=0 (不合题意)

当/ OQA=90。时，

设PQ与x轴交于点D .

???/ ODQ+ / ADQ=90 °，/ QAD+ / AQD=90 ° ,