绝对值函数和绝对值不等式
典型例题:
【过关习题4】
1.【2018年学考选考十校联盟,☆☆】已知a ,b 是实数,则“|a |≤1且|b |≤1”是“|a +b |+|a -b |≤2”的 .
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
2.【2018年绍兴高三适应性考试,,☆☆】已知a >0,函数f (x )=|x 2+|x -a |-3|在区间[-1,1]上的最大值是2,则a = .
3.【2018年温州二模,17,,☆☆☆】已知f (x )=x 2-ax ,|f (f (x ))|≤1在[1,2]上恒成立,则实数a 的最大值为 .
4.【2017年绍兴诸暨二模,,☆☆☆☆】已知函数f (x )=|x 2+ax +b |在区间[0,c ]内的最大值为M (a ,b ∈R ,c >0为常数)且存在实数a ,b ,使得M 取最小值2,则a +b +c = .
5.【☆☆】设正实数x ,y ,则|x -y |+1
x
+y 2的最小值为 .
6.【2017年杭州二模,10,☆☆】设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R)的两个零点为x 1、x 2,若|x 1|+|x 2|≤2,则 .
A .|a |≥1
B .|b |≤1
C .|a +2b |≥2
D .|a +2b |≤2
7.【2017年浙江4月份学考,☆☆】已知a ,b ∈R ,a ≠1,则|a +b |+????1
a +1-
b 的最小值为 . 8.【2017年浙江绍兴市柯桥中学5月质检,8,☆☆】已知x ,y ∈R ,则 . A .若|x 2+y |+|x -y 2|≤1,则????x +122+????y -122≤3
2 B .若|x 2-y |+|x -y 2|≤1,则????x -122+????y -122≤32 C .若|x +y 2|+|x 2-y |≤1,则????x +122+????y +122≤32 D .若|x +y 2|+|x 2+y |≤1,则????x -122+????y +122≤32
9.【2016年浙江高考,8,☆☆☆】已知实数a 、b 、c ,下面四个选项中正确的是 . A .若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1,则a 2+b 2+c 2<100 B .若|a 2+b +c |+|a 2+b -c |≤1,则a 2+b 2+c 2<100 C .若|a +b +c 2|+|a +b -c 2|≤1,则a 2+b 2+c 2<100 D .若|a 2+b +c |+|a +b 2-c |≤1,则a 2+b 2+c 2<100
10.【2017年杭州高级中学最后一模,17,☆☆】设实数x ,y ,z 满足???|x +2y -3z |≤6,
|x -2y +3z |≤6,
|x -2y -3z |≤6,|x +2y +3z |≤6,
则
|x |+|y |+|z |的最大值为 .
11.【2017年浙江名校协作体,7,☆】设f (x )=|2x -1|,若f (x )≥|a +1|-|2a -1|
|a |对任意的a
≠0恒成立,则x 的取值范围为 .
12.【2016年浙江样卷,☆】已知f (x )=ax 2+bx +c ,a 、b 、c ∈R ,且a ≠0,记M (a ,b ,c )为|f (x )|在[0,1]上的最大值,则
a +
b +2c
M (a ,b ,c )
的最大值是 .
13.【☆☆】设函数f (x )=|x 2+ax +b |,若对任意的实数a 、b ,总存在x 0∈[0,4]使得f (x 0)≥m 成立,则实数m 的取值范围是 .
14.【2017年浙江缙云、富阳、长兴联考,☆☆☆】已知函数f (x )=-x 3-3x 2+x ,记M (a ,b )为函数g (x )=|ax +b -f (x )|(a >0,b ∈R)在[-2,0]上的最大值,则M (a ,b )的最小值为 . 15.【2017年杭州一模,9,☆☆☆】设函数f (x )=x 2+ax +b ,记M 为函数y =|f (x )|在[-1,1]上的最大值,N 为|a |+|b |的最大值,则 . A .若M =13,则N =3 B .若M =1
2,则N =3
C .若M =2,则N =3
D .若M =3,则N =3
16.【2017年诸暨,☆☆☆】设函数f (x )=|ax +2x +b |,若对任意的x ∈[0,4],函数f (x )≤
1
2恒成立,则a +2b = .
17.【浙江省绍兴市2017届高三二模,17,☆☆☆】已知对任意实数x 都有|a cos 2x +b sin x +c |≤1恒成立,则|a sin x +b |的最大值为 .
18.【浙江省嘉兴市2016届高三教学质量测试(二),14,☆☆】
设max{a ,b }=?
??a (a ≥b )b (a
-2x +n |
的最小值为 .
19.【☆☆】已知f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),若对任意的|x |≤1,都有|f (x )|≤1,则|a |+|b |+|c |的最大值为 .
20.【2014年湖南高考,☆☆】在直角平面坐标系xOy 中,O 为原点,A (-1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足|CD →|=1,则|OA →+OB →+OD →
|的最大值为 .
21.【浙江省2017年预赛,10,☆☆☆】已知f (x )=???-2x , x <0,
x 2-1,x ≥0,
若方程f (x )+21-x 2+|f (x )
-21-x 2|-2ax -4=0有三个不等的实数根x 1,x 2,x 3,且x 1 22.【2006年辽宁,☆】已知函数f (x )=12(sin x +cos x )-1 2|sin x -cos x |,则f (x )的值域为 . 23.【2008年江西,☆】函数y =tan x +sin x -|tan x -sin x |在区间???? π2,3π2内的图像是 . A B C D 24.【浙江省绍兴市2015年高三教学质量调测,15,☆☆☆】当且仅当x ∈(a ,b )∪(c ,d )(b ≤c )时,函数f (x )=2x 2+x +2的图像在函数g (x )=|2x +1|+|x -t |的下方,则b -a+d -c 的取值范围为 . 25.【2016高考浙江文数,☆☆】已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,a ·b =1.若e 为平面单位向量,则|a · e |+|b ·e |的最大值是______. 26.【2014年四川预赛,9,☆☆】已知a 、b 为实数,对任何满足0≤x ≤1的实数x ,都有|ax +b |≤1成立,则|20a +14b |+|20a -14b |的最大值是 . 27.【2014年黑龙江预赛,14,☆☆】已知f (x )=???-x 2 +x ,x ≤1, log 12 x , x >1,g (x )=|x -k |+|x -1|,若对任 意的x 1,x 2∈R ,都有f (x 1)≤g (x 2)成立,则实数k 的取值范围为 . 28.【2014年全国联赛,3,☆☆】若函数f (x )=x 2+a |x -1|在[0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 29.【2015年湖北预赛,1,☆☆】若对任意实数x ,|x +a |+|x +1|≤2a 恒成立,则实数a 的最小值为 . 30.【2016年山东预赛,1,☆☆☆】方程x =|x -|x -6||的解为 . 31.【2016年陕西预赛,12,☆☆】设x ∈R ,则函数f (x )=|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为 . 32.【2016年浙江预赛,11,☆☆☆】设a ∈R ,方程||x -a |-a |=2恰有三个不同的实数根,则a = . 33. 【1982年全国,4,☆☆】由曲线|x -1|+|y -1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是 . A .1 B .2 C .π D .4 34.【2017年江苏预赛,5,,☆☆】定义区间[x 1,x 2]的长度为x 2-x 1.若函数y =|log 2x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,2],则区间[a ,b ]的长度的最大值和最小值的差为 . 35.【2018年浙江预赛,8,☆】设f (x )=|x +1|+|x |-|x -2|,则f (f (x ))+1=0有 个不同的解. 36.【2015年全国,6,☆☆】在平面直角坐标系xOy 中,点集 K ={(x ,y )|(|x |+3|y |-6)(3|x |+|y |-6)≤0} 所对应的平面区域的面积为 . 37.【2008年湖南预赛,9,☆☆☆】在平行直角坐标系中,定义点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)之间的“直角距离”为d (P ,Q )=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.若C (x ,y )到点A (1,3)、B (6,9)的“直角距离”相等,其中实数x 、y 满足0≤x ≤10,0≤y ≤10,则所有满足条件点C 的轨迹的长度之和为 . 38.【2014年湖北预赛,4,☆☆】在直角坐标系中,曲线|x -1|+|x+1|+|y |=3围成的图形的面积是 . 39.【2017年金华十校期末调研考试,9,☆☆】设x 、y ∈R ,下列不等式成立的是 . A .1+|x +y |+|xy |≥|x |+|y | B .1+2|x +y |≥|x |+|y | C .1+2|xy |≥|x |+|y | D .|x +y |+2|xy |≥|x |+|y | 40.【2017年绍兴市高三教学质量调测,9,☆☆☆】记min{x ,y }=???y ,x ≥y ,x ,x 设f (x )=min{x 2,x 3},则 . A .存在t >0,|f (t )+f (-t )|>f (t )-f (-t ) B .存在t >0,|f (t )-f (-t )|≥f (t )-f (-t ) C .存在t >0,|f (1+t )+f (1-t )|>f (1+t )+f (1-t ) D .存在t >0,|f (1+t )-f (1-t )|>f (1+t )-f (1-t ) 41.【浙江省2016届高三下学期第二次五校联考(理),18,☆☆☆】已知函数f (x )=ax 2+bx +c , g(x)=c|x|+bx+a,对任意x∈[-1,1],|f (x)|≤1 2. (I)求|f (2)|的取值范围; (II)证明:对任意的x∈[-1,1],都有|g(x)|≤1 42.【浙江省嘉兴市2016届高三期末考试,20,☆☆☆】已知函数f (x)=-x2+2bx+c,,设函数g(x)=|f (x)|在区间[-1,1]上的最大值为M. (I)若b=2,试求出M; (II)若M≥k对任意的b,c恒成立,试求出k的最大值. 43.【2016四川预赛,16,☆☆☆☆】已知a为实数,函数f (x)=|x2-ax|-ln x,请讨论函数 f (x)的单调性.