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最新二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

最新二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
最新二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

专题:超几何分布与二项分布

● 假定某批产品共有100个,其中有5个次品,采用不放回和放回抽样方式从中取出10件产品,那么次品数X 的概率分布如何?

一、先考虑不放回抽样:

从100件产品中随机取10件有C 10

100种等可能基本事件.{X = 2}表示的随机事件是“取到

2件次品和8件正品”,依据乘法原理有C 25C 8

95种基本事件,根据古典概型,得

P (X = 2) = C 25C 8

95

C 10100

则称X 服从超几何分布

类似地,可以求得X 取其它值时对应的随机事件的概率,从而得到次品数X 的分布列

X 0 1 2 3 4 5 P C 05C 595C 10100

C 15C 495

C 10100

C 25C 395

C 10100

C 35C 295

C 10100

C 45C 195

C 10100

C 55C 095

C 10100

二、再考虑放回抽样:

从100件产品中有放回抽取10次,有10010种等可能基本事件.{X = 2}表示的随机事件

是“取到2件次品和8件正品”,依据乘法原理有C 2

10·52·958种基本事件,根据古典概型,得

P (X = 2) = C 2

10·52·95810010 = C 210(5100)2(95100)8

. 一般地,若随机变量X 的分布列为

P (X = k ) = C k n p k q n - k ,

其中0 < p < 1,p + q = 1,k = 0,1,2,…,n ,则称X 服从参数为n ,p 的二项分布记作X ~B (n ,p )。 例1: 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.

解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑

球的概率均为,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1

~35X B ?? ???,.

3

03

1464(0)55125P X C ????

==?= ? ?????

∴;

12

13

1448(1)55125

P X C ????

==?= ? ?????;

21

23

1412(2)55125P X C ????

==?= ? ?????

3

33

141

(3)55125

P X C ????==?= ? ?

????. 因此,X 的分布列为

X 0 1 2 3

P

64125 48125 12125 1125

2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有:

03283107(0)15C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101

(2)15

C C P Y C ===.

因此,Y 的分布列为

Y 0 1 2

P

715 715 1

15

辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的.

超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别:

超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要; 超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复) 当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布

超几何分布与二项分布练习:

1.一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类:A 类、B 类、C 类.检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检,若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品,就需要调整设备,否则不需要调整.已知该生产线上生产的每件产品为A 类品,B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05,且各件产品的质量情况互不影响.

(1)求在一次抽检后,设备不需要调整的概率;

(2)若检验员一天抽检3次,以ξ表示一天中需要调整设备的次数,求ξ的分布列. 2、.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔.打算采用现场答题的方式来进行,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才能入选.

(1)求甲答对试题数ξ的概率分布;

(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率.

3、已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.

现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X 的分布列; (Ⅱ)求X 的数学期望E (X ).

4、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发

生故障的概率分别为1

10

和p .

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49

50

,求p 的值;

(Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布

列及数学期望E ξ.

5、有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体,从

这些小正方体中随机地任取1个,设小正方体涂上颜色的面数为ξ. (1)求0ξ=的概率; (2)求ξ的分布列和数学期望.

6、一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.

(1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的分布列与期望。

7、甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为1()2

p p >,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

5

9

. (1)求p 的值; (2)设ξ表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.

8、某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选手选一题答一题的方式

进行,每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛:答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个问题的概率相

同,并且相互之间没有影响,答题连续两次答错的概率为9

1

⑴求选手甲可进入决赛的概率;

⑵设选手甲在初赛中答题的个数为ξ,试求ξ的分布列,并求ξ的数学期望 9、一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字

是2,2张卡片上的数字是3,学 科 网从盒中任取3张卡片.

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列(注:若三个数c b a ,,满足 c b a ≤≤,则称b 为这三个数的中位数).

10、学志愿者协会有某大6名男同学,4名女同学. 在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7

名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;

(Ⅱ)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.

超几何分布与二项分布练习题答案 :

1、解析:(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”,i =1,2. B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”,i =1,2. C 表示事件“一次抽检后,设备不需要调整”. 则C =A 1·A 2+A 1·B 2+B 1·A 2.

由已知P (A i )=0.9,P (B i )=0.05 i =1,2. 所以,所求的概率为

P (C )=P (A 1·A 2)+P (A 1·B 2)+P (B 1·A 2) =0.92+2×0.9×0.05=0.9.

(2)由(1)知一次抽检后,设备需要调整的概率为

p =P (C )=1-0.9=0.1,依题意知ξ~B (3,0.1),ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 p

0.729

0.243

0.027

0.001

2、解析:(1)依题意,甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3,则

P (ξ=0)=C 3

4C 310=130,P (ξ=1)=C 16·C 24

C 310=310,

P (ξ=2)=C 26·C 14C 310=12,P (ξ=3)=C 36

C 310

=16,

其分布列如下:

ξ 0 1 2 3 P

130

310

12

16

超几何分布与二项分布练习题答案

2、(2)法一:设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ,则

2P (A )=C 26C 14+C 36C 310=60+20120=23, P (B )=C 28C 12+C 38

C 310

=56+56120=1415.

因为事件A 、B 相互独立,

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

P ()A ·B =P ()A ·P ()

B =? ?

???1-23? ??

??1-1415=145,

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P =1-P ()

A ·

B =1-145=44

45.

答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44

45.

法二:甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

P =P ()A ·B +P ()

A ·

B +P ()A ·B =23×115+13×1415+23×1415=44

45

. 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44

45 3、【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.

(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.

35395

(3)42

C P X C ===

; 21

5439

20

(4)42C C P X C ===;

12543

915(5)42C C P X C ===; 3

4392

(6)42

C P X C ===.

故,所求X 的分布列为

X 3 4

5 6

P

5

42

2010

4221

=

155

4214=

21

4221

=

(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为: E (X )=6

4

13

()3

i i P X i =?==

∑.

1. 4、[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么

1-P(C)=1-101P=50

49 ,解得P=51

........4 分

(2)由题意,P(ξ=0)=100011013

03

=)(C P(ξ=1)=1000

2710111012

13

=-)()(C P(ξ=2)=1000

2431011101223

=-)()(C P(ξ=3)=1000

729101110130

33

=-)()(C 所以,随机变量ξ的概率分布列为:

ξ 0

1

2

3

P

1000

1 1000

27

1000

243

1000

729

故随机变量X 的数学期望为:

E ξ=010

2710007293100024321000271100010=?+?+?+? . [点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.

5、(1)60个1×1×1的小正方体中,没有涂上颜色的有6个,

61

(0)6010

P ξ=== … (3分)

(2)由(1)可知

1(0)10P ξ==

;11(1)30P ξ==;2(2)5P ξ==;2

(3)15P ξ== … (7分)

分布列

ξ

0 1 2 3

p

1

10 1130 25 215

… (10分)

E ξ=0×

110+1×1130+2×25+3×215=4730

…(12分) 6、解: (1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,两球恰好颜色不同,也就是说从5个球中摸出一球,若第一次摸到白球,则第二次摸到黑球;若第一次摸到黑球,则第二次摸到白球.

因此它的概率P 是:1111

33221111555512

25

C C C C P C C C C =?+?= ……………………4分

(2)设摸得白球的个数为ξ,则ξ=0,1,2。

2112

3232222

555331

(0);(1);(2);10510

C C C C P P P C C C ξξξ?========= …………7分 ξ的分布列为:

ξ 0

1

2

P

103

53 10

1 5

4

10125311030=?+?+?

=ξE …………………………………… 7、解 (1)当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止,

故2

2

5

(1)9

p p +-=, 解得13p =或23p =.

又12p >

,所以2

3

p =.…………………6分 (2)依题意知ξ的所有可能取值为2,4,6.

5

(2)9

P ξ==,

5520

(4)(1)9981P ξ==-?=,

52016

(6)198181

P ξ==--=,

所以随机变量ξ的分布列为:

……9分

ξ 2

4 6

P

59

2081 1681

所以ξ的数学期望52016266

2469818181

E ξ=?

+?+?=

.………………12分 8、⑴设选手甲任答一题,正确的概率为p ,依题意91)1(2=

-p ……1分,3

2

=p ……2分,甲选答3道题目后进入决赛的概率为27

8

)32(3=……3分,甲选答4道、5道题目后进入决

赛的概率分别为27831)32(323=?C 、81

16)31()32(2

324=C ……5分,所以,选手甲可进入决赛的

概率81

64

8116278278=

++=P ……6分. ⑵ξ可取3,4,5……7分,依题意3

1

271278)3(=+==ξP ……8分,

27

10

3132)31(3231)32()4(223223=

??+??==C C P ξ……9分, 27

831)32()31(32)31()32()5(22

242224=

??+??==C C P ξ……10分, (或27

8

)]4()3([1)5(==+=-==ξξξP P P ……10分) 所以,ξ的分布列为:

……11分

27

107

278527104313=

?+?+?=ξE ……12分. 9、(Ⅰ)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 33

433

95

84

C C P C +== (Ⅱ)X 的所有可能值为1,2,3,且

()()21311121345434236333991743

1,24284C C C C C C C C C P X P X C C +++======,()21

273

91312

C C P X C ===. 故X 的分布列为

X 1 2 3

P

17

42 4384 112

ξ

3

4

5

P

31 2710 278

从而()1743147

12342841228

E X =?

+?+?=

10、(Ⅰ)解:设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ,则

()12

03

3737310

4960

C C C C P A C ??=

=

. 所以,选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960

. 所以,()f x 的最小正周期22

T p

p =

=. (Ⅱ)解:随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.

()346

3

10

k k C C P x k C -×==()0,1,2,3k =. 所以,随机变量X 的分布列是

X

0 1 2 3

P

16 12

3

10 130

随机变量X 的数学期望()1

13161236

210

30

5

0E X ?

?

=+??.

初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析

初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1.如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体,那么其三种视图中面积最小的是( ) A .主视图 B .俯视图 C .左视图 D .一样大 【答案】C 【解析】 如图,该几何体主视图是由5个小正方形组成, 左视图是由3个小正方形组成, 俯视图是由5个小正方形组成, 故三种视图面积最小的是左视图, 故选C . 2.如图,一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内,把其中一部分图形挪动了位置,发现矩形的长留出5cm ,宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是( ) A .210824(3) cm - B .(2 108123cm - C .(2 54243cm - D .(2 54123cm - 【答案】A 【解析】 【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ,高为hcm ,分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽,由题意列出方程求出a =2,h =9?36ah 求解. 【详解】 解:设正六棱柱的底面边长为acm ,高为hcm ,

如图,正六边形边长AB =acm 时,由正六边形的性质可知∠BAD =30°, ∴BD = 12a cm ,AD =32 a cm , ∴AC =2AD =3a cm , ∴挪动前所在矩形的长为(2h +23a )cm ,宽为(4a + 1 2 a )cm , 挪动后所在矩形的长为(h +2a +3a )cm ,宽为4acm , 由题意得:(2h +23a )?(h +2a +3a )=5,(4a +1 2 a )?4a =1, ∴a =2,h =9?23, ∴该六棱柱的侧面积是6ah =6×2×(9?23)=210824(3) cm -; 故选:A . 【点睛】 本题考查了几何体的展开图,正六棱柱的性质,含30度角的直角三角形的性质;能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键. 3.将一副三角板如下图放置,使点A 落在DE 上,若BC DE P ,则AFC ∠的度数为( ) A .90° B .75° C .105° D .120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠,再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数. 【详解】

数学高考复习点拨:二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析. 例 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到 黑球的概率均为,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ?? ???,. 3 03 1464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴;1 2 131448(1)55125 P X C ????==?= ? ? ????; 2123 1412(2)55125P X C ????==?= ? ?????;30 33141(3)55125 P X C ????==?= ? ? ????. 因此,X 的分布列为 2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有: 03283107 (0)15 C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101(2)15C C P Y C ===. 因此,Y 的分布列为 辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样. 超几何分布和二项分布都是离散型分布,超几何分布和二项分布的区别: 超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要; 超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复) 当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布........

超几何分布与项分布

10 超几何分布与二项分布 ?选择题(共9小题) 则p (!< i 今)的值为( 则 P ( 1^X €013)等于( A .—〔丄)2012 6. (2010?江西)一位国王的铸币大臣在每箱 100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方 法来检测.方法一:在 10箱中各任意抽查一枚;方法二:在 5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至 少一枚劣币的概率分别记为 P 1和P 2.则( ) A . P 1=P 2 B . P 1V P 2 C . P 1> P 2 D .以上三种情况都有可能 1. (2004?辽宁)已知随机变量 E 的概率分布如下,则 P ( e =io )=( E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 2 2 |2 2 2 2 2 _2_ 1 ¥ 33 34 35 3 3s 2 B . 2 C . 1 310 39 m D.- 310 2. (2011?黄冈模拟)随机变量 2、3、4、 …),其中a 是常数, r=2 +1,贝y n 的期望值是( -1 L P 1 2 1 6 1 3 29 3& 4.设随机变量X 的概率分布为 (k=1 , 2, 3, 4, 5),则P 绪g) A .亠 Io 5.电子手表厂生产某批电子手表正品率为 上,次品率为「现对该批电子手表进行测试,设第 X 次首次测到正品, E 的概率分布规律为 (n=1、 A . 1 B . 3. (2008?石景山区一模)已知随机变量 E 的分布列为且设

A ■ J B ? _ C ? _ D ?; [16 24^ 243 245 8 (2012?衡阳模拟)已知随机变量严N (0, a2),且p (4 1)=p (M a-3)的值为() A . 2 B . - 2 C. 0 D . 1 9. 设随机变量匕N (0, 1),若P (E翱=p,则P (- 1 v M 0)=() A . 1- P B. P C. D ?丄—p 二?填空题(共5小题) 10. ________________________________________________________________________________________________ (2010?上海模拟)在10件产品中有2件次品,任意抽取3件,则抽到次品个数的数学期望的值是 _____________________________________ . 11?有一批产品,其中有6件正品和4件次品,从中任取3件,至少有2件次品的概率为___________________________________ . 12. ____________________________________________________________________________________ (2010?枣庄模拟)设随机变量X?B (n,0.5),且DX=2,则事件X=1 ”的概率为_______________________________________________ (作数字作答.) 13. 若随机变量X服从二项分布,且X?B (10,0.8 ),贝U EX、DX分别是___________________________,____________ . 14. (2011?浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为丄,得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生3 得到面试的公司个数.若P (X=0 )=—,则随机变量X的数学期望E (X)= . 12 -------------------------------------------------------- 三.解答题(共3小题) 15. (2009?朝阳区二模)在袋子中装有10个大小相同的小球,其中黑球有3个,白球有n ( 2《韦,且n希)个, 其余的球为红球. (I )若n=5,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的概率; (H )从袋里任意取出2个球,如果这两个球的颜色相同的概率是,求红球的个数; |15| (川)在(n)的条件下,从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分,取出1个黑球记2分,取出1个红球 记3分.用E表示取出的2个球所得分数的和,写出E的分布列,并求E的数学期望E E

【数学】高考复习点拨:二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布辨析 山东 韩文文 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析. 例 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到 黑球的概率均为,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ?? ??? ,. 03 31464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴; 12 1 31448(1)55125P X C ????==?= ? ?????; 21 2 31412(2)55125P X C ????==?= ? ?????; 30 33141(3)55125P X C ????==?= ? ?????. 因此,X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有: 03283107(0)15 C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101(2)15C C P Y C ===. 因此,Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 715 715 115 辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的.

超几何分布与二项分布

超几何分布与二项分布 一.选择题(共9小题) 1.(2004?辽宁)已知随机变量ξ的概率分布如下,则P(ξ=10)=() ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m A.B.C.D. 2.(2011?黄冈模拟)随机变量ξ的概率分布规律为(n=1、2、3、4、…),其中a是常数,则的值为() A.B.C.D. 3.(2008?石景山区一模)已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1,则η的期望值是() A.1B.C.D. 4.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),则=()A.B.C.D. 5.电子手表厂生产某批电子手表正品率为,次品率为,现对该批电子手表进行测试,设第X次首次测到正品, 则P(1≤X≤2013)等于() A.B.C.D. 6.(2010?江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2.则() A.P1=P2B.P1<P2 C.P1>P2D.以上三种情况都有可能 7.(2011?潍坊二模)设X为随机变量,X~B,若随机变量X的数学期望EX=2,则P(X=2)等于()

A.B.C.D. 8.(2012?衡阳模拟)已知随机变量ξ~N(0,a2),且p(ξ>1)=p(ξ<a﹣3)的值为()A.2B.﹣2 C.0D.1 9.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ≥1)=p,则P(﹣1<ξ<0)=() A.1﹣p B.p C. +p D. ﹣P 二.填空题(共5小题) 10.(2010?上海模拟)在10件产品中有2件次品,任意抽取3件,则抽到次品个数的数学期望的值是_________.11.有一批产品,其中有6件正品和4件次品,从中任取3件,至少有2件次品的概率为_________.12.(2010?枣庄模拟)设随机变量X~B(n,0.5),且DX=2,则事件“X=1”的概率为_________(作数字作答.)13.若随机变量X服从二项分布,且X~B(10,0.8),则EX、DX分别是_________,_________.14.(2011?浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=_________. 三.解答题(共3小题) 15.(2009?朝阳区二模)在袋子中装有10个大小相同的小球,其中黑球有3个,白球有n(2≤n≤5,且n≠3)个,其余的球为红球. (Ⅰ)若n=5,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的概率;(Ⅱ)从袋里任意取出2个球,如果这两个球的颜色相同的概率是,求红球的个数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分,取出1个黑球记2分,取出1个红球记3分.用ξ表示取出的2个球所得分数的和,写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望Eξ.

初一几何证明典型例题

初一几何证明典型例题 1、已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD解:延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC 在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=2ADBC 2、已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2ABCDEF21证明:连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△EDF (S、 A、S)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在△BEF中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF。∵ ∠ABC=∠AED。∴ ∠ABE=∠AEB。∴ AB=AE。在△ABF和△AEF中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ABF≌△AEF。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3、已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=ACBACDF21E 过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF,可得,∠EFD=CGDDE =DC∠FDE=∠GDC(对顶角)∴△EFD≌△CGDEF=CG∠CGD= ∠EFD又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC 为等腰三角形,AC=CG又 EF=CG∴EF=ACA 4、已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD =∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=

高考复习点拨:二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析. 例 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到 黑球的概率均为,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ?? ??? ,. 03 31464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴; 12 131448(1)55125 P X C ????==?= ? ?????; 212 31412(2)55125P X C ????==?= ? ?????; 30 3 3141(3)55125P X C ????==?= ? ?????. 因此,X 的分布列为 2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有: 03283107(0)15C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101(2)15 C C P Y C ===. 因此,Y 的分布列为 到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的.

超几何分布和二项分布的联系和区别精编版

超几何分布和二项分布的联系和区别 开滦一中 张智民 在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢? 好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释. 诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的 教材中的定义: (一)超几何分布的定义 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k) =n N k -n M -N k M C C C , ,2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布 (二)独立重复试验和二项分布的定义 1)独立重复试验:在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则 P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布 在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率 为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n (k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。 1.本质区别 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题; (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题 2.计算公式 超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)

初一几何典型例题难题

初一几何典型例题 1、如图,/ AOB=90 , 0M 平分/ AOB ,将直角三角尺的顶点P 在射线0M 上移动,两直角分别与 0A , 0B 相较于C , D 两点, 则PC 与PD 相等吗?试说明理由。 PC=PD 证明:作PE 丄0A 于点 V 0M 是角平分线 ??? PE=PF / EPF=90 V/ CPD=90 ???/ CPE= / DPF V/ PEC= / PFD=90 ???△ PCEPDF ??? PC=PD AF 丄 BE 证明: V CD=CE , CA=CB , / ACD= / BCE=90 ???△ ACD 尢 BCE ???/ CBE= / CAD V/ CBE+ / BEC=90 ???/ EAF+ / AEF=90 ???/ AFE=90 ??? AF 丄 BE E , PF 丄0B 于点F D 在BC 上,连接AD 、BE , AD 的延长线交BE 于点F 。试判断AF 与 0 D 2、如图,把两个含有45°角的三角尺按图所示的方式放置, BE 的位置关系。并说明理由。

3、如图,已知直线11 II 12,且13和11、12分别交于A、B两点,点P在直线AB上。 (1)如果点P在A、B两点之间运动,试求出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系,并说明理由; (2)如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与A、B不重合),试探究/ 1、/ 2、/ 3之间的关系,请画出图形,并说明理由。解:(1)/ 1 + / 2= / 3; 理由:过点P作11的平行线PQ, V 11 // 12, ???11 // 12 / PQ, ? / 1 = / 4,/ 2= / 5. V/ 4+/ 5= / 3,(2)同理:理由:当点? / 1 + / 2= / 3; / 1-/2= / 3 或/2- / 1 = / 3. P在下侧时,过点P作11的平行线PQ, V 11 // 12 ? 11 // 12 / PQ, ?/ 2=/ 4,/ 1= / 3+/ 4, ?/ 1-/2= / 3; 当点P在上侧时,同理可得/ 2- / 1 = / 3 ? 4、D、E是三角形^ ABC内的两点,连接BD、DE、EC,求证AB+AC > BD+DE+EC 解答:延长DE分别交AB、AC于F、G。 由于FB+FD>BD AF+AG>FG EG+GOEC 所以FB+FD+FA+AG+EG+GOBD+FG+EC

二项分布和超几何分布(含答案)

超几何分布和二项分布 一、两者的定义是不同的 1超几何分布的定义 2独立重复试验与二项分布的定义 (1)独立重复试验. (2)二项分布. 本质区别 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是放回抽样问题. (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题. 二、两者之间是有联系的 人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题:

例1某批n件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验,问: (1)当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件产品的概率各是多少?(2)根据(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?

【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外,本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系: 第一,n次试验中,某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时,X服从二项分布;当这n次试验是不放回摸球问题,事件A为摸到某种特性(如某种颜色)的球时,X服从超几何分布 第二,在不放回n次摸球试验中,摸到某种颜色的次数X服从超几何分布,但是当袋子中的球的数目N 很大时,X的分布列近似于二项分布,并且随着N的增加,这种近似的精度也增加. 从以上分析可以看出两者之间的联系: 当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布. 例2袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取一个球,求(1)又放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2)无放回地抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.

超几何分布与二项分布的区别与联系

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。在实际应用中,如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢?本文笔者就此问题予以阐述。 一、超几何分布与二项分布的定义 1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为 P (X=k)= C M k C n-m n-k C N ,k=0,1,2,…,m 其中m=min {M,n},且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N*。其分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量X 服从超几何分布。 2.一般地,在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次 独立重复试验。在n 次独立重复试验中,设事件A 发生的次数X ,在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为 P (X=k)=C n k P k (1-p ) n-k ,k=0,1,2,…,n 。此时 称随机变量X 服从二项分布,记作X ~B (n ,p),并称p 为成功概率。 二、超几何分布与二项分布的区别 从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果(不研究试验中先后取的顺序),并且是无放回的抽取;二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果,并且是有放回的抽取。超几何分布是无放回的抽取,即每做一次试验,下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化,即每次发生的概率都不相等。实质上,超几何分布是古典概型的一种特例。二项分布是有放回的抽取,每做一次试验,发生同一事件A 的概率都相同。这就是二者之间的区别。本文笔者举例说明: 例1:在装有4个黑球6个白球的袋子中,任取2个,试求:(1)不放回地抽取,取到黑球数X 的分布列;(2)有放回地抽取,取到黑球数的分布列。 解:(1)是不放回地抽取,X 服从超几何分布。从10个球中任取2球的结果数为C 102 ,从10个球中任取2 个,其中恰有k 个黑球的结果数为C 4k C 62-k ,那么从10个球中任取2个,其中恰有k 个黑球的概率为 P (X=k )= C 4k C 62-k C 10 2 ,k=0,1,2。 所以随机变量X 的分布列是 (2)是有放回地抽取,每次抽到黑球的概率相同,X ~B (2,0.4)。那么从10个球中任取2个,其中恰有k 个黑球的概率为 P (X=k )=C 2K ·0.4K ·0.62-K ,k=0,1,2。所以随机变量X 的分布列是 三、超几何分布与二项分布的联系 例2某批n 件产品的次品率为2%,现从中任意地抽出3件进行检验。问:当n=500,5000,50000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少? 解:(1)当有放回地抽取时,次品数X ~B (3,0.02) P (X=1)=C 3 1 ·0.02·(1-0.02)2≈0.057624(2)无放回地抽取时,X 服从超几何分布 n=500时,P (X=1)= C 101C 4902 C 500 3 ≈0.057853n=5000时,P (X=1)= C 1001 C 49002C 5000 3≈0.057647n=50000时,P (X=1)= C 10001 C 49000 2 C 50000 3 ≈0.057626 说明:当产品总数很大而抽出的产品较少时,每次抽出产品后,次品率近似不变,这样就可以近似看成每次抽样的结果是相互独立的,抽出产品中的次品件数近似服从二项分布。 总之,在教学过程中,教师要让学生深刻体会超几何分布与二项分布的区别与联系,引导学生发掘题中所给的隐含条件,抓住实质,从而能够正确解题,并能利用所学知识解决一些实际问题。 超几何分布与二项分布的区别与联系 X 012P 0.36 0.48 0.16

初一几何典型例题

初一几何典型例题 1、如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角尺的顶点P在射线OM上移动,两直角分别与OA,OB相较于C,D两点,则PC与PD相等吗?试说明理由。 PC=PD 证明:作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F ∵OM是角平分线 ∴PE=PF ∠EPF=90° ∵∠CPD=90° ∴∠CPE=∠DPF ∵∠PEC=∠PFD=90° ∴△PCE≌△PDF ∴PC=PD 2、如图,把两个含有45°角的三角尺按图所示的方式放置,D在BC上,连接AD、BE,AD的延长线交BE于点F。试判断AF与BE的位置关系。并说明理由。 AF⊥BE 证明: ∵CD=CE,CA=CB,∠ACD=∠BCE=90° ∴△ACD≌△BCE

∵∠CBE+∠BEC=90° ∴∠EAF+∠AEF=90° ∴∠AFE=90° ∴AF⊥BE 3、如图,已知直线l1‖l2,且l3和l1、l2分别交于A、B两点,点P在直线AB上。 (1)如果点P在A、B两点之间运动,试求出∠1、∠2、∠3之间的关系,并说明理由; (2)如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与A、B不重合),试探究∠1、∠2、∠3之间的关系,请画出图形,并说明理由。解:(1)∠1+∠2=∠3; 理由:过点P作l1的平行线PQ, ∵l1∥l2,∴l1∥l2∥PQ, ∴∠1=∠4,∠2=∠5. ∵∠4+∠5=∠3,∴∠1+∠2=∠3; (2)同理:∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3. 理由:当点P在下侧时,过点P作l1的平行线PQ, ∵l1∥l2 ∴l1∥l2∥PQ, ∴∠2=∠4,∠1=∠3+∠4,

当点P在上侧时,同理可得∠2-∠1=∠3. 4、D、E是三角形△ABC内的两点,连接BD、DE、EC,求证AB+AC>BD+DE+EC 解答:延长DE分别交AB、AC于F、G。 由于FB+FD>BD AF+AG>FG EG+GC>EC 所以 FB+FD+FA+AG+EG+GC>BD+FG+EC 即AB+AC+FD+EG>BD+FD+EG+DE+EC 所以AB+AC>BD+DE+EC 5、D为等边△ABC的边BC上任意一点,延长BC至G。作∠ADE=60°(E.C在AD同侧)与∠ACG的角平分线相交于E,连AE。求证:ADE为等边三角形。 解:如图,作DF‖AC交AB于F. ∵DF‖AC.等边△ABC. ∴等边△BFD.

《二项分布与超几何分布》复习课程

二项分布与超几何分布 ★ 知 识 梳理 ★ 1.条件概率:称)()()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率。 特别提醒: ①0≤P (B|A )≤1; ②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 2. 相互独立事件:如果事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 特别提醒: ①如果事件A 、B 是相互独立事件,那么,A 与_B 、_A 与B 、_A 与_ B 都是相互独立事件 ②两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ,则有P (A ·B )= P (A )·P (B ) 推广:如果事件A 1,A 2,…A n 相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。即:P (A 1·A 2·…·A n )= P (A 1)·P (A 2)·…·P(A n ) 3.独立重复试验: 在同样的条件下,重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式: P n (k )=C k n P k (1-P ) n -k ,其中,k =0,1,2,…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ,(k =0,1,2,…,n ,p q -=1). 于是得到随机变量ξ 0 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … 0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式 011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ 中的各项的值,所以称这样的随机变量ξ服从二项分布, 记作ξ~B (n ,p ),其中n ,p 为参数,并记k n k k n q p C -=b (k ;n ,p ). 6. 两点分布: X 0 1 P 1-p p 特别提醒: 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. 7. 超几何分布: 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则

二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳与练习

二项分布?还是超几何分布 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析.例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球,从中随机地连续抽取 3 次,每次取 1 个球.求:( 1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; ( 2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:( 1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1, 2, 3.又由于每次取到黑球的概率 均为1 , 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验,则 1 ,.5X~B 35 0312 ∴ P(X 0) C301 464 ;P(X 1)C31 1 448 ; 5512555125 21 P(X 3) C33 130 P(X 2) C321 412 ;4 1 .5512555125 因此, X 的分布列为 X0123 P 6448121 125125125125 (2)不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0, 1,2,且有: P(Y 0)C20C837 ;P(Y1)C21C82 7 ;P(Y2)C22C81 1 . C10315C10315C10315 因此, Y 的分布列为 Y012 771 P 1515 15 例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495] , (495,500] ,,, ,(510,515] ,由此得到样本的频率分布直方图,如图4 ( 1)根据频率分布直方图,求重量超过505 克的产品数量 , ( 2)在上述抽取的40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过505 克 的产品数量,求Y 的分布列; ( 3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过505 克的概率。

初一几何证明典型例题

初一几何证明典型例题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

戴氏教育达州西外校区名校冲刺 戴氏教育温馨提醒: 暑假两个月是学习的最好时机,可以在两个月里,复习旧知识,学习新知识,承上,还能启下。在这个炎热的假期,祝你学习轻松愉快。 初一典型几何证明题 1、已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4 即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=2 2、已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 3、 4、证明:连接BF 和EF A B C D E F 2 1 A D B C

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF≌△

∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 已知:∠1=∠2,CD=DE , EF P 是∠BAC 平 分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB

二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型,实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.在实际应用中,理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析. 例 袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解:(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均 为,3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ?? ???,. 3 03 1464(0)55125P X C ???? ==?= ? ????? ∴; 12 13 1448(1)55125 P X C ???? ==?= ? ?????; 21 231412(2)55125P X C ???? ==?= ? ?????; 3 33 141(3)55125 P X C ???? ==?= ? ?????. 因此,X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有: 03283107(0)15C C P Y C ===;12283107(1)15C C P Y C ===;21283101 (2)15 C C P Y C ===. 因此,Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 715 715 115 辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何分布模型.因此,二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的. 超几何分布和二项分布都是离散型分布

(完整版)初一上册几何练习题50道

.选择题 1. 如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和,那么这个三角形一定是( ) (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形 2. 下列给出的各组线段中,能构成三角形的是( ) (A)5 , 12 , 13 (B)5 , 12 , 7 (C)8 , 18 , 7 (D)3 , 4, 8 3 .一个三角形的三边长分别是15 , 20和25 ,则它的最大边上的高为( ) (A) 12 (B) 10 (C) 8 (D) 5 4. 两条边长分别为2和8 ,第三边长是整数的三角形一共有( ) (A)3个(B)4个(C)5个(D)无数个 5. 下列图形中,不是轴对称图形的是( ) (A)线段MN (B)等边三角形(C)直角三角形(D) 钝角ZAOB 6. 直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为( ) (A)125 0(B)135 0(C)145 °(D)150 0 7. 已知Z a , Z 3是某两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角,若Za= 50°,则Z。葡) A . 40 ° B. 50 ° C. 130 ° D . 140 ° 8. 如图,下列推理中正确的是(

A. 若Z 1 = Z2,贝U AD //BC B. 若Z 1 = Z2 ,贝U AB //DC C. 若Z A = Z3,贝U AD //BC D. 若Z3 = Z4,贝U AB // DC 9. 下列图形中,可以折成长方体的是( D. 10. 一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是( ) A. B. C_ D 11. 如图1,在AABC中,AB = AC,点D在AC边上,且BD = BC = AD,则Z A的度数为( ) A . 30 ° B . 36 ° C . 45 ° D . 70 ° 12. 、如图2 , AB II CD , AC ± BC于C,贝U图中与/ CAB互余的角有()

二项分布和超几何分布的区别(含答案)复习过程

二项分布和超几何分布的区别(含答案)

超几何分布和二项分布 一、两者的定义是不同的 1超几何分布的定义 2独立重复试验与二项分布的定义 (1)独立重复试验. (2)二项分布. 本质区别 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是放回抽样问题. (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题. 二、两者之间是有联系的 人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题:

例1某批n件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验,问: (1)当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件产品的概率各是多少?(2)根据(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?

【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外,本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系: 第一,n次试验中,某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时,X服从二项分布;当这n次试验是不放回摸球问题,事件A为摸到某种特性(如某种颜色)的球时,X服从超几何分布 第二,在不放回n次摸球试验中,摸到某种颜色的次数X服从超几何分布,但是当袋子中的球的数目N 很大时,X的分布列近似于二项分布,并且随着N的增加,这种近似的精度也增加. 从以上分析可以看出两者之间的联系: 当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布. 例2袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取一个球,求(1)又放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2)无放回地抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.

超几何分布与二项分布

超几何分布 一.超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题. (2)随机变量为抽到的某类个体的个数. 二.超几何分布的应用条件 (1)考察对象分两类. (2)已知各类对象的个数. (3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数ξ的概率分布. 1.已知10件产品中有3件次品,从中任取2件,取到次品的件数为随机变量ξ,那么ξ服从_______分布.ξ的可能取值为________.次品数少于2件的概率是________. 2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数的人数X服从_______分布.X的可能取值为________ .不超过1人的概率是________.

3.10个排球中有6个正品。从10个排球中抽取4个,求正品数比次品数少的概率. 4.从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球,假设每个球被摸到的可能性相同,记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为ξ,求ξ的分布列.

二项分布 判断某概率模型是否服从二项分布P n(X=k)=C k n p k(1-p)n-k的三个条件 (1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p. (2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且每次试验的结果是相互独立的. (3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 1.小王通过英语听力测试的概率是1 3 ,他连续测试3次,那么其中恰有1次 获得通过的概率是________. 2.若同时抛掷两枚骰子,当至少有5点或6点出现时,就说这次试验成功,则在3次试验中至少有1次成功的概率是()

3.抛掷一枚质地均匀的硬币3次. (1)写出正面向上次数X的分布列; (2)求至少出现两次正面向上的概率.解(1)X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=C03 23 =1 8 ;P(X=1)=C13 23 =3 8 ;P(X=2)=C23 23 =3 8 ;P(X=3)=C33 23 =1 8. 所以X的分布列如下. (2)至少出现两次正面向上的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=3 8 +1 8 =1 2. 阅读理解 为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1 -分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1 -分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.求X的分布列;

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