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2021考研数学概率典型例题

2021考研数学概率典型例题，都给你总结好啦！

数学有两大重点，基础和计算能力。但是不少同学出错率还是很高，所以大家也要重视，典型题目及考点一定要掌握，以下是帮帮整理的关于“2021考研数学概率典型例题总结”相关资讯文章，一起关注一下吧~

?随机事件和概率重点及典型题型

一、本章的重点内容：

四个关系：包含，相等，互斥，对立

五个运算：并，交，差

四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)

概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式

五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式

条件概率

利用独立性进行概率计算

n重伯努利概型的计算。

近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。

二、常见典型题型：

1.随机事件的关系运算

2.求随机事件的概率

3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。

?随机变量及其分布重点及典型题型

一、本章的重点内容：

随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)

分布律和概率密度的性质(充要条件)

八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用

会计算与随机变量相联系的任一事件的概率

随机变量简单函数的概率分布。

近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。

二、常见典型题型：

1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数

2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定

3.反求或判定分布中的参数

4.求一维随机变量在某一区间的概率

5.求一维随机变量函的分布。

?二维随机变量及分布重点及典型题型

一、本章的重点内容：

二维随机变量及其分布的概念和性质，

边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，

随机变量的独立性及不相关性，

一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，

几个随机变量的简单函数的分布。

本章是概率论重点部分之一!应着重对待。

二、常见典型题型：

1.求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度

2.已知部分边缘分布，求联合分布律

3.求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度

4.两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明

5.与二维随机变量独立性相关的命题

6.求两个随机变量的相关系数

7.求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率。

?随机变量数字特征重点及典型题型

一、本章的重点内容：

随机变量的数字特征定义(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)

常见分布的数字特征

利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征

根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。

二、常见典型题型：

1.求一维随机变量函数的数字特征

2.求二维随机变量或函数的数字特征

3.求两个随机变量的协方差或相关系数

4.数字特征在经济中的应用题。

?大数定律和中心极限定理重点及典型题型

一、本章的重点内容：

三个大数定律：切比雪夫定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律

两个中心极限定理：棣莫弗––拉普拉斯定理、列维––林德伯格定理。

本章的内容不是重点，也不经常考，只要把这些定律、定理的条件与结论记住就可以了。

二、常见典型题型：

1.估计概率的值

2.与中心极限定理相关的命题。

?数理统计基本概念重点及典型题型

一、本章的重点内容：

数理统计的基本概念主要是总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩，常见统计量：包括标准正态分布、卡方分布、t分布和F分布，要掌握这些分布对应随机变量的典型模式及它们参数的确定，这些分布的分位数和相应的数值表，

正态总体的抽样分布，包括样本均值、样本方差、样本矩、两个样本的均值差、两个样本方差比的抽样分布。

本章是数理统计的基础，也是重点之一。

二、常见典型题型：

1.样本容量的计算

2.分位数的求解或判定

4.总体或统计量的分布函数的求解或判定或证明

5.求总体或统计量的数字特征。

?参数估计与假设检验重点及典型题型

一、本章的重点内容：

参数的点估计、估计量与估计值的概念

一阶或二阶矩估计和最大似然估计法

未知参数的置信区间

单个正态总体均值和方差的置信区间

两个总体的均值差和方差比的置信区间.

本章重点是矩估计法和最大似然估计法，是常考题型，有时题目会要求验证所得估计量的无偏性。

二、常见典型题型：

1.统计量的无偏性、一致性或有效性

2.参数的矩估计量或矩估计值或估计量的数字特征

3.参数的最大似然估量或估计量或估计量的数字特征

4.求单个正态总体均值的置信区间。

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合第八章多元函数及其微分法最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿的定义域是从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护与z? = / 1 定义域的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂，T() 丿解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂〉?T O 〉?T O兀十〉于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

(完整版)高二数学归纳法经典例题

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ．请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ．那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

考研数学二真题答案解析

1..【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导 . 【详解】方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x x x x e y x x +? ++?='+，从而 π =x dy = .)(dx dx y ππ-=' 方法二：两边取对数， )sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得 x x x x y y sin 1cos )sin 1ln(1++ +='，于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x x x x x y x +? ++?+='，故 π =x dy = .)(dx dx y ππ-=' 【评注】幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式. 2..【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】因为a= ,1) 1(lim )(lim 2 3=+=+∞→+∞ →x x x x x f x x []23)1(lim )(lim 2 32 3 = -+=-=+∞ →+∞ →x x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为 . 23 +=x y 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x ) (lim ∞ →=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】作三角代换求积分即可. 【详解】令t x sin =，则

高中数学必修二-知识点、考点及典型例题解析

高中数学必修二各章知识点总结完整版第一章空间几何体知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222 c b a l ++=；正方体的对角线长 a l 3= 3、球的体积公式：3 3 4 　R V π=，球的表面积公式： 24　R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=31，锥体截面积比：2 2 2 1 21h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面典型例题：

★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形Ｂ.棱锥的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（） A 21 倍 B 4 2倍 C 2倍 D 2倍 ★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（）Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱 ★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数例求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数．解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='．指出函数的复合关系例指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程．解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．求函数的导数例求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

考研数学练习题推荐

考研数学练习题推荐 WD《考前冲刺最后3套题》★★★ 比较简单，练练手不错。恩波《最后冲刺成功8套卷》★★★ 网上都喊不难，但是我做的不是很理想。怎么说呢，总觉得题目怪怪的。和真题完全不是一个类型。考试虫《8套模拟试卷》★★★ 面市时间过早。没有一定的能力就去做模拟题的话，效果不是很大。虽然卖点是众多前命题组成员的集体智慧结晶，但也意味着出题风格与极力创新的现命题组的思路格格不入。陈文灯《复习指南之100问专题串讲》★★★两位考研前辈编写的一本书，具有一定的示范效应。形式有点类似大帝的《超越135》，不过内容没那么全。有些很巧很赞的方法，也有些方法复杂到不实用。知识部分的讲解常有神来之笔。李永乐《最后冲刺超越135分》★★★☆ 以专题的形式呈现考研数学的重点内容。并附有典型例题，有些难度很大，有些极其复杂。但大部分还是令人舒坦的。因为是例题，有人可能会倾向于只看不做。我觉得还是笔耕不辍为妙。不能说冲刺必备，但用来配合全书或指南做最后一轮复习还是可行的。李永乐《基础过关660题》★★★☆

一本客观题练习集。真的如传闻所言只是第一轮复习书吗?我看未必。书中的相当部分题目还是很有难度的。我是这样理解的，如果660道题全会做，你的基础才算过关。李永乐《线性代数辅导讲义》★★★★ 大帝无愧于“线代之王”的称号。薄薄的一本书把考研数学线性代数部分研究的非常透彻。第二三轮复习必备。得力于该书所讲的求行列式的递进法，我幸运地做对了08年考试中线代的一道难题。黄先开曹显兵《经典冲刺5套卷》★★★☆ 难度一般，可以拿来建立信心。一些题目体现出了新鲜的元素，不妨做做让脑筋转转弯。陈文灯《单选题解题方法与技巧》★★★★ Excellent，难以用语言形容。如果用心做完这本书选择题还拿不了满分，真可以称得上是奇迹了。《考研数学考试分析》★★★★ 在复习末期，精心准备的考生一定会有这样一个问题。那就是解题的规范性。计算题和证明题，究竟怎么答才算标准，才不用担心因解题不规范而丢掉分数?答案就在这本书中。近四年数一到数四的真题及标准解题过程应有尽有，好好研究模仿吧。对于经济类考生的又一大福音就是可以接触到数学一的真题。做做数一还是有助于拓宽思路提升水平的。 \

研究考研数学典型例题

研究考研数学典型例题数学科目重视做题和理论应用，尤其是典型的题型，大家要研究好，且要灵活的运用，下面查字典数学网小编分享关于研究和用好典型例题的事儿，请小伙伴们注意啦。一、面对一道典型例题，在做这道题以前你必须考虑，它该从哪个角度切入，为什么要从这个角度切入。做题的过程中，必须考虑为什么要用这几个原理，而不用那几个原理，为什么要这样对这个式子进行化简，而不那样化简。做完之后，必须要回过头看一下，这个解题方法适合这个题的关键是什么，为什么偏偏这个方法在这道题上出现了最好的效果，有没有更好的解法……就这样从开始到最后，每一步都进行全方位的思考，那么这道题的价值就会得到充分的发掘。二、学习数学，重在做题，熟能生巧。对于数学的基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解与巩固。数学试题虽然千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在一定的解题套路，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。此外，还要初步进行解答综合题的训练。数学考研题的重要特征之一就是综合性强、知识覆盖面广，近几年来较为新颖的综合题愈来愈多。这类试题一般比较灵活，难度也要大一些，应逐步进行训练，积累解题经验。这也有利于进一步理解并彻底

弄清楚知识点的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握了的东西，能够在理解的基础上灵活运用、触类旁通。三、同时要善于思考，归纳解题思路与方法。一个题目有条件，有结论，当你看见条件和结论想起了什么?这就是思路。思路有些许偏差，解题过程便千差万别。考研数学复习光靠做题也是不够的，更重要的是应该通过做题，归纳总结出一些解题的方法和技巧。考生要在做题时巩固基础，在更高层次上把握和运用知识点。对数学习题最好能形成自己熟悉的解题体系，也就是对各种题型都能找到相应的解题思路，从而在最后的实考中面对陌生的试题时能把握主动。基础的重要性已不言而喻，但是只注重基础，也是不行的。太注重基础，就会拘泥于书本，难以适应考研试题。打好基础的目的就是为了提高。但太重提高就会基础不牢，导致头重脚轻，力不从心。考生要明白基础与提高的辩证关系，根据自身情况合理安排复习进度，处理好打基础和提高能力两者的关系。一般来说，基础与提高是交插和分段进行的，在一个时期的某一个阶段以基础为主，基础扎实了，再行提高。然后又进入了另一个阶段，同样还要先扎实基础再提高水平，如此反复循环。考生在这个过程中容易遇到这样的问题，就是感觉自已经过基础复习或一段时间的提高后几乎不再有所进步，甚至感到越学越退步，碰到这种情况，考生千万

高数下典型习题及参考答案

第八章典型习题一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知　，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。第九章、第十章典型习题一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式中正确的是（）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（）

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

2003年考研数学三真题及全面解析

2003年全国硕士入学统考数学(三)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0, 0, 0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】当1>λ时，有 ,0, 0,0,1sin 1cos )(21 =≠?? ???+='--x x x x x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0 f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续. （2）已知曲线b x a x y +-=2 3 3与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 6 4a . 【分析】曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2 b 与a 的关系. 【详解】由题设，在切点处有 0332 2=-='a x y ，有 .220a x = 又在此点y 坐标为0，于是有 030023 0=+-=b x a x , 故 .44)3(6 422202202a a a x a x b =?=-= （3）设a>0，， x a x g x f 其他若, 10,0,)()(≤≤?? ?==而D 表示全平面，则 ??-=D dxdy x y g x f I )()(= 2a . 【分析】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】 ?? -=D dxdy x y g x f I )()(= dxdy a x y x ??≤-≤≤≤1 0,102 =.])1[(21 021 1 2 a dx x x a dy dx a x x =-+=?? ? + （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵

高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ．（1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（3）证明： 3()2 f x ≥．例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值（2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围题型三：利用导数研究方程的根例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.

(超级总结吐血推荐)考研数学二经典知识点题型技巧总结(高数线代)综合网上及个人线代心得

高等数学(数二> 一.重点知识标记高等数学科目大纲章节知识点题型重要度等级高等数学第一章函数、极限、连续 1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2 .函数连续的概念、函数间断点的类型 3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1 .导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★ 2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1. 二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程， 2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分：

极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。二、微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。三、积分学部分：一元函数积分学一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用(数二有要求>，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。四、微分方程：这里有两个重点：一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。线性第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1. 矩阵的运算 2. 求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量 1. 向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法 2. 向量组的线性相关性★★★★★ 3. 线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示★★★★

2002年考研数学三真题及全面解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设常数1 2a ≠，则21lim ln .(12)n n n na n a →∞??-+=??-?? (2) 交换积分次序： 111 42210 4 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx += ? ??. (3) 设三阶矩阵12 22 12304A -?? ? = ? ??? ，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则 a = . (4) 则2X 和2 Y 的协方差2 2 cov(,)X Y = . (5) 设总体X 的概率密度为 (),, (;)0,x e x f x x θθθθ--?≥=?

(2) 设幂级数1n n n a x ∞ =∑与1n n n b x ∞ =∑ 13，则幂级数221n n i n a x b ∞ =∑的收敛半径为 ( ) (A) 5 (B) (C) 13 (D)1 5 (3) 设A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则线性方程组()0AB x = ( ) (A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解 (C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解 (4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵( ) 1 T P AP -属于特征值λ的特征向量是 ( ) (A) 1 P α- (B) T P α (C)P α (D)() 1T P α- (5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( ) (A)X Y +服从正态分布 (B)22 X Y +服从2 χ分布 (C)2X 和2 Y 都服从2 χ分布 (D)2 2 /X Y 服从F 分布三、(本题满分5分) 求极限 2 00 arctan(1)lim (1cos ) x u x t dt du x x →??+????-? ? 四、(本题满分7分) 设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，求du . 五、(本题满分6分) 设2 (sin ),sin x f x x = 求()x dx . 六、(本题满分7分) 设1D 是由抛物线2 2y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线2 2y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<. (1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.

(完整版)高中数学必修一必修二经典测试题100题

A C P B 高中数学必修一必修二经典测试题100题（二）一、填空题：本题共25题 1、设集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =I ，则：a= b= 2、对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的倍 3. 已知函数2log (0)()3 (0)x x x f x x >?=?≤?，则1 [()]4f f 的值是 4. 设1,01,x y a >><<则下列关系正确的是 ○ 1a a y x -->○2 ay ax <○3y x a a <○4 y x a a log log > 5. 函数()23x f x =-的零点所在区间为： 6. 函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则 ()f x 在(,)a b 上是函数（增或减） 7. 在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为 8. 设点M 是Z 轴上一点，且点M 到A （1，0，2）与点B （1，－3，1）的距离相等，则点M 的坐标是 9、如图所示，阴影部分的面积S 是h (0)h H ≤≤的函数，则该函数的图象是 . 10. 将直线:210l x y +-=向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线l '，则直线l l '与之间的距离为 11. 函数2 ()lg(21)5 x f x x -= +++的定义域为 12. 已知0>>b a ，则3,3,4a b a 的大小关系是 13.函数3 ()3f x x x =+-的实数解落在的区间是 14.已知(1,2),(3,1),A B 则线段AB 的垂直平分线的方程是 15. 下列条件中,能判断两个平面平行的是 a 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; b 一个平面内的两条直线平行于另一个平面； c 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； d 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=900 ，P 为△ABC 所在平面外一点 PA ⊥平面ABC ，则四面体P-ABC 中共有个直角三角形。 17.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 18 .在圆2 2 4x y +=上，与直线43120x y +-=的距离最小的点的坐标为 19．用符号“∈”或“?”填空

高二数学典型例题一

典型例题一例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（）． A ．异面直线 B ．相交直线 C ．平行直线 D ．相交直线或异面直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //．若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面．故选D ．说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置关系是相交、平行或异面．类似地；a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．典型例题二例2 已知直线a 和点A ，α?A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行．分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．因此，这是否定性．．．命题，常用反证法．证明：（1）存在性． ∵ a A ?，∴ a 和A 可确定一个平面α，由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线．（2）惟一性假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与A c b = 矛盾， ∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行．说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．典型例题三

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