数学奥林匹克题解【A整数-A2求解011-020】

A2－011使n3＋100能被n＋10整除的正整数n的最大值是多少？

【题说】第四届（1986年）美国数学邀请赛题 5．

【解】由n3＋100＝（n＋10）（n2－10n＋100）－900知，若n3＋100被n＋10整除，则900也应被n＋10整除．因此，n最大

值是890．

A2－012 a、b、c、d为两两不同的正整数，并且

a＋b＝cd，ab＝c＋d

求出所有满足上述要求的四元数组a、b、c、d．

【题说】 1987年匈牙利数学奥林匹克题 1．

【解】由于a≠b，所以当且仅当a＝1或b＝1时，才有a＋b≥ab．

如果a、b都不是1，那么

c＋d＝ab＞a＋b＝cd

由此知c＝1或d＝1．

因此a、b、c、d中总有一个（也只有一个）为1．如果a＝1，那么由消去b可以推出

从而得到c＝2，d＝3，或者c＝3，d＝2．

这样，本题的答案可以列成下表

A2－013设[r，s]表示正整数r和s的最小公倍数，求有序

三元正整数组（a，b，c）的个数，其中[a，b]＝1000，[b，c]＝

2000，[c，a]＝2000．

【题说】第五届（1987年）美国数学邀请赛题 7．

【解】显然，a、b、c都是形如2m·5n的数．设a＝2m1·5n1，b ＝2m2·5n2，c＝2m3·5n3．

由[a，b]＝1000＝23·53，知max（m1，m2）＝3，max（n1，n2）＝3．同理，max（m2，m3）＝4，max（n2，n3）＝3；max（m1，m3）＝4，max（n1，n3）＝3．

由此，知m3应是4，m1、m2中必有一是3．另一个可以是0、1、2或3之任一种，因此m1、m2的取法有7种．又，n1、n2、n3中必有两个是3，另一个可以是0、1、2或3．因此n1、n2、n3取法有10种．故m i、n i（i＝1、2、3）不同取法共有7×10＝70种，即三元组共有70个．

A2－014设m的立方根是一个形如n＋r的数，这里n 为正整数，r为小于1/1000的正实数．当m是满足上述条件的最小正整数时，求n的值．

【题说】第五届（1987年）美国数学邀请赛题12．

m＝n3＋1＜（n＋10－3）3

＝n3＋3n2·10－3＋3n·10－6＋10－9

于是

从而n＝19（此时m＝193＋1为最小）．

【题说】第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克九年级题 1．

【解】 144＝122，1444＝382

设n＞3，则

则k必是一个偶数．所以

也是一个自然数的完全平方，但这是不可能的．因为平方数除以4，

因此，本题答案为n＝2，3．

A2－016当n是怎样的最小自然数时，方程[10n/x]＝1989有整数解？

【题说】第二十三届（1989年）全苏数学奥林匹克十年级题 1．

【解】 1989≤10n/x＜1990

所以

10n/1990＜x≤10n/1989

即

10n·0.000502512…＜x≤10n·0.000502765…

所以n＝7，这时x＝5026与5027是解．

A2－017设a n＝50＋n2，n＝1，2，…．对每个n，a n与a n＋1的最大公约数记为d n．求d n的最大值．

【题说】 1990年日本第1轮选拔赛题 9．

【解】

d n＝（a n，a n＋1）

＝（50＋n2，50＋（n＋1）2－（50＋n2））

＝（50＋n2，2n＋1）

＝（2（n2＋50），2n＋1）（因 2n＋1是奇数）

＝（2（n2＋50）－n（2n＋1），2n＋1）

＝（100－n，2n＋1）

＝（100－ n，2n＋1＋2（100－ n））

＝（100－n，201）≤201

在n＝100≠201k（k∈N）时，d n＝201．

故所求值为201．

A2－018 n是满足下列条件的最小正整数：

（1）n是75的倍数；

（2）n恰为 75个正整数因子（包括1及本身）．试求n/75．

【题说】第八届（1990年）美国数学邀请赛题5．

【解】为保证 n是75的倍数而又尽可能地小，可设n＝2α·3β·5γ，其中α≥0，β≥1，γ≥2，并且

（α＋1）（β＋1）（γ＋1）＝75

由75＝52·3，易知当α＝β＝4，γ＝2时，符合条件（1）、（2）．此时n＝24·34·52，n/75＝432．

A2－019 1．求出两个自然数x、y，使得xy＋x和xy＋y分别是不同的自然数的平方．

2．能否在988至1991范围内求到这样的x和y？

【题说】第二十五届（1991年）全苏数学奥林匹克九年级题5．

【解】 1．例如x＝1，y＝8即满足要求．

2．假设

988≤x＜y≤1991

x、y∈N，使得xy＋x与xy＋y是不同的自然数的平方，则

x2＜xy＋x＜xy＋y

这时

y－x＝（xy＋y）－（xy＋x）

＞（x＋1）2－x2＝2x＋1

即

y＞3x＋1

由此得

1991≥y＞3x＋1≥3×998＋1

矛盾！故在988与1991之间不存在这样的自然数x、y．

A2－020求所有自然数n，使得

这里[n/k2]表示不超过n/k2的最大整数，N是自然数集．

【题说】 1991年中国数学奥林匹克题 5．

【解】题给条件等价于，对一切k∈N，

k2＋n/k2≥1991 （1）

且存在k∈N，使得k2＋n/k2＜

1992．（2）（1）等价于对一切k∈N，

k4－1991k2＋n≥0

即（k2－1991/2）2＋n－19912/4≥

0 （3）

故（3）式左边在k取32时最小，因此（1）等价于

n≥1991×322－324＝1024×967

又，（2）等价于存在k∈N，使

（k2－996）2＋n－9962＜0

上式左边也在k＝32时最小，故（2）等价于

n＜1992×322－324＝1024×968

故n为满足

1024×967≤n≤1024×967＋1023

的一切整数．

五年级最大与最小学生版

最大与最小 知识要点 在日常生活和工作中，经常会遇到这样一类问题：怎样安排时间最省、怎样行走路线最短、怎样管理费用最低、怎样设计面积最大、怎样合作效率最高、怎样加工利用率最大等等，它们都可以归结为在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。 最大和最小都是在某一固定范围內比较的结果。固定的范围就是一个定值，抓住这个“定值”就抓住了解题的关键。 解决极值问题的策略，常常因题而异，归纳起来主要有以下四个“突破口”： ①从极端情况入手；②用枚举比较入手；③由分析推理入手；④凭构造方程入手。 最小 1.（2008年4月13日第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试第4题）有一排椅子有27个 座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐_______人。

2.圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐。当再有一人入座时，就必须和已就坐的 某人相邻。问：已就坐的最少有多少人？ 3.阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座时，某些排坐着的人数就一样多。我们希 望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？ 4.（2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛个人赛第6题）商店里销售的铅笔有两种包装，五支包装 的每包售价6元，七支包装的每包售价7元。某校至少要购买铅笔111支，请问至少要花费_______元。 5.若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和 老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？ 6.（2007年“我爱数学夏令营”综合测试题第7题）一个小公司有5个职工，月平均工资为2700元。 已知最高工资是最低工资的2倍，那么最高月工资最少为_______元。 7.（1999年第八届日本小学数学奥林匹克大赛决赛第7题）有一批货物，它们的总重量是19500千克， 不知道每一件货物的重量，但没有一件货物的重量超过350千克。现在有若干辆大卡车，每辆最多可运1500千克货物，想一次把这批货物全部运走。不管每一件货物的重量是多少，为了必须一次运完所有的货物，至少需要多少辆大卡车？（不考虑货物的体积）

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？ ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在 ⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证： 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8：00－12：00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？ 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

2020最新小学数学奥林匹克竞赛试题及答案(五年级)

2020最新第二届华博士小学数学奥林匹克网上竞赛试题及答案 （五年级） (红色为正确答案) 选择正确的答案： (1)在下列算式中加一对括号后，算式的最大值是（）。 7 ×9 + 12 ÷ 3 - 2 A 75 B 147 C 89 D 90 (2)已知三角形的内角和是180度.一个五边形的内角和应是( )度. A 500 B 540 C 360 D 480 (3)甲乙两个数的和是15.95,甲数的小数点向右移动一位就等于乙数,那么 甲数是( ). A 1.75 B 1.47 C 1.45 D 1.95 (4)一个顾客买了6瓶酒,每瓶付1.3元,退空瓶时,售货员说,每只空瓶钱比酒钱 少1.1元,顾客应退回的瓶钱是( )元. A 0.8 B 0.4 C 0.6 D 1.2 (5)两数相除得3余10,被除数,除数,商与余数之和是143,这两个数分别是( ) 和( ). A 30和100 B 110和30 C 100和34 D 95和40 (6) 今年爸爸和女儿的年龄和是44岁,10年后,爸爸的年龄是女儿的3倍,今年女儿是多少岁? A16 B11 C9 D10 (7)一个两位数除250,余数是37,这样的两位数是( ). A 17 B38 C 71 D 91 (8)把一条细绳先对折,再把它所折成相等的三折,接着再对折,然后用剪刀在折过三次的绳中间剪一刀,那么这条绳被剪成( )段. A 13 B 12 C 14 D 15 (9) 把两个表面积都是6平方厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积( ). A 12 B 18 C10D11

(10)一昼夜钟面上的时针和分针重叠( )次. A 23 B 12 C 20 D13 (11)某车间四月份实际生产机器76台,其中原计划生产的台数比超产台数多60台, 求四月份比原计划超产多少台机器? A 16 B 8 C 10 D 12 (12)一块红砖长25厘米,宽15厘米,用这样的红砖拼成一个正方形最少需要多少块? A 15 B 12 C 75 D 8 (13)图中ABCD 是长方形,已知AB=4厘米,BC=6厘米,三角形EFD 的面积 比三角形ABF 的面积大6平方厘米,求ED=? A 9 B 7 C 8 D 6 (14)一天,甲乙丙三人去郊外钓鱼已知甲比乙多钓6条,丙钓的是甲的2 倍,比乙多钓22条,问他们三人一共钓了多少条? A 48 B 50 C 52 D 58 (15)张师傅以1元钱4个苹果的价格买进苹果若干个,又以2元钱5个苹果有价格把这些苹果卖出,如果他要赚得15元钱的利润,那么他必须卖出苹果多少个? A 10 B 100 C 20 D 160 E D C B

国外的奥数教育

国外的奥数教育 “奥数”是“奥林匹克数学竞赛”的简称。作为一项国际性赛事，国际数学奥林匹克竞赛由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育范围，难度大大超过各国大学入学考试。我国是奥数大国，近年来赢得了诸多奖项，但是，国人过度追捧奥数给基础教育带来了许多负面影响。那么，如何正确看待奥数？让我们参考一下国外的做法。 ——编者 韩国：奥数不是大众化教育 2012年的国际数学奥林匹克竞赛，韩国首次获得团体冠军。韩国国内数学界认为，这表明韩国数学已达到发达国家的水平。 早在1988年，韩国就开始组队参加这项赛事，但成绩并不理想。此后，随着国内奥数教育不断发展，成绩也稳步提高，从2006年起，韩国从未跌出过团体赛世界前五。 据首尔中学教师卢泳和介绍，奥数教育在韩国不是大众化教育，只有英才高中和科学高中的学生才专门学习奥数。小学生和初中生学奥数完全凭兴趣，可以到培训班报名学习奥数，不过奥数成绩和学生升学没有关系。英才高中和科学高中在招生时会考虑奥数成绩，其他高中则不会将奥数成绩作为升学标准。他表示，小学生和初中生过早

学习奥数可能会给他们造成负担，可能产生对数学的反感。学习奥数更多应凭个人兴趣，并非每个人都适合。 截至2012年，韩国共有24所科学高中。其中，首尔科学高中、京畿科学高中等4所科学高中因为教学条件和教学质量好，在2009年后改名为科学英才高中。韩国科学高中偏重教授数学、物理、化学、生物等，绝大多数毕业生最后会选择韩国科学技术院、浦项工业大学等理工科大学，或者选择首尔大学等综合大学的理工科专业。2012年参加阿根廷国际奥数竞赛的6名韩国学生，全部来自科学高中。（李越） 保加利亚：奥数强，数学弱 近20年来的国际奥数竞赛中，保加利亚是除俄罗斯以外唯一夺冠的欧洲队伍。保加利亚中学生学习奥数、参加奥数竞赛有很长的历史。首届保加利亚全国数学奥林匹克竞赛可以追溯到1949年。目前，在保加利亚国内，该竞赛每年举办一次，共分为三轮，分别是校级比赛、市级比赛和全国性决赛。在进入全国决赛的70名中学生（9～12年级，14～19岁）中，只有6人能进入数学奥林匹克国家队。 在国内和国际奥数比赛中获奖的中学生，可以免去大学入学考试，进入相应专业学习。也就是说，要学与数学相关的专业，如果该学生想申请诸如文学之类的其他专业，仍需参加统一的入学考试。 虽然在国际奥数竞赛中的成绩一直不错，但是保加利亚中学生总体的数学成绩并不突出。根据欧盟委员会2011年发布的关于欧洲国家数学教育的报告，保加利亚和罗马尼亚中学生的平均数学成绩要比

全国小学数学奥林匹克竞赛简介

全国小学数学奥林匹克竞赛简介 奥数就是奥林匹克数学的简称，即国际数学竞赛，取名仿自于奥林匹克运动会。 1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加在布加勒斯特举办的第一届国际数学奥林匹克竞赛。从此每年一次，至今已举办了50届。 奥数的出题范围超出了所有国家的义务教育水平，有些题目的难度大大超过了大学入学考试，有些题目甚至数学家也感到棘手。通过这样高水平的比赛，可以及早发现数学人才，然后进行培养，使其脱颖而出。 近年，国内外很多名牌大学和重点中学比较注重奥数人才，通常通过奥数选拔优秀生源。北京大学、清华大学、复旦大学等高校对奥数优秀的学生偏爱有佳，每年有很多全国高中数学竞赛成绩优异的学生直接免试进入北大数学系。 由于，高校和重点中学对奥数人才的重视，近年来，又出现了小学奥数一词。小学奥数全称叫"小学奥林匹克数学"，或叫"小学数学奥林匹克"，称呼起源于"数学是思维的体操"它体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。其实它更准确应称为"小学竞赛数学"。 从1986年起，中国中学生在国际数学奥林匹克连续几年取得优异成绩；1990年7月，在我国北京成功地举办了第31届国际数学奥林匹克，我国代表队再次取得总分第一。中国学生在学习数学上的潜力被发现了，大大激发了全国中、小学生学习数学的兴趣，数学课外活动蓬勃地开展，中、小学数学竞赛活动受到广大师生和家长的欢迎，也得到了社会各界人士的更多关心和支持。1990年11月，在湖南宁乡召开的中国数学会普及工作委员会第六次全国工作会议上，与会同仁一致认识到，为了顺应群众积极高涨的形势，更要坚持"在普及的基础上不断提高"的方针，要引导数学竞赛这一群众性的课外活动健康地发展，为了统筹安排高中、初中、小学的数学课外活动，处理好相互的衔接关系。会议决定，从1991年起，每年春季举行一次"小学数学奥林匹克"，会议还特别强调，中国数学会举办的高中联赛、初中联赛、小学数学奥林匹克都是普及型、大众化的数学竞赛。为了使"小学数学奥林匹克"的试题能适合多数学生的实际水平，在举办1991年"小学数学奥林匹克"时，主试委员会向全国发出一份试题样卷，广泛征求意见，另外，把初赛试卷，分成A，B，C三种不同水平的试卷，供合地选择采用，同时还宣布了两条命题原则："一、试题涉及的知识范围不超出现行的小学数学教学大纲；二、每一道题一定有一种简单的算术解法。"并且声明，抽屉原则、容斥原理、运筹学等离课堂教学内容较远的内容，一定不在试题中出现。我们就是希望，不要过多的课外辅导，尽可能减轻学生的学习负担。经过若干年的实践，全国反映较好，普遍认为试题有利于启迪思维和智力开发，也有利于课堂教学水平的提高。参加者十分踊跃，人数逐年增加。事实上，试题难度逐年在降低，一年比一年容易些，获得高分的人数大幅度增加。以1993年来说，参加决赛的16万学生中，全国有500多人获满分(十二道试题都做对)，有10%的人做对九道题以上，有40%以上学生能做对六道以上，可以说试题的难易程度是比较适当的。这项赛事分为初赛和决赛，分别在每年的三月份和四份，从1993年开始我们又举办了这项赛事的后继活动---"小学数学奥林匹克总决赛"，后来称为"我爱数学少年夏令营"。 "全国小学数学奥林匹克"(创办于1991年)每年3、4月中国数学会普及工作委员会为有关省份提供了一份"小学数学奥林匹克"初赛和决赛试卷，目的在于引导学有余力的小学生的数学课外活动的方向。目前包括"三段式"--小学数学奥林匹克初赛、决赛、我爱数学夏令营。初赛(每年3月份)、决赛(每年4月份)和夏令营(每年暑期)。组织这项活动的原则：一是要把它办成一个"大众化、普及型"的活动；二是要使所出的题目"不超前、不超纲"；三是要尽可能给每个题目一个小学生看得懂的算术解法；四是要充分认识到地区发展不平衡的特点。 “我爱数学少年夏令营”简介 权威性：★★★★★ 举办方：中国数学会普及工作委员会

小学数学奥林匹克竞赛三年级“奥林匹克”数学指导(含答案)

三年级“奥林匹克”数学指导 时刻、时间与钟表 同学们，你一定知道钟表是用来记时的，爸爸妈妈当你很小时就会教你如何看钟表、报时间，可钟表里有许多有趣的数学问题。 什么叫“时间”它有两层意思： 1. 表示某一种特定时候。 如：北京时间八点整。每天早上六点起床等等，为了区别别一种含义，我们把表示某一种特定的时候，叫时刻。（也叫点） 2. 表示两个不同时刻的间隔。 如：从早上8时到10时，花了2个小时的时间写作业，从杭州到上海火车运行的时间是2小时30分。这叫做时间。 我们可以从单位名称上来区分时刻与时间的差异。 时刻，一般用“时”如：飞机上午8时起航，指飞机离开机场时刻。时间一般用“小时”共飞行了8小时，指飞机从上午8时起飞到下午4时降落，在空中飞行了8个小时。 同学们不仅要会读钟面上显示的时刻，还要学会观察钟面所表示的不同的时刻之间的时间关系。找出规律。 如：长短针位置的判断时刻，确定长，短针互换位置后的时刻，反射到镜面上的钟面的时刻等等。有利于培养自己观察能力。 例1 根据前3个钟面的规律，画出第4个钟面的长、短针。

3 分析：前面三个钟表所表示的时刻分别是1时，3时30分，6时，相邻两个钟的时间差都是2小时30分。因此第4个钟也应是在第3个钟6点的基础上增加2小时30分，应显示出的时刻是8点30分 例2 按次序观察图中各钟面所表示的时刻，找出各种钟面所表示的时间规律，请在第5只钟面上标出符合规律的时刻

分析：把各钟面表示的时刻依次排列起来 11点30分→12点5分→12点40分→1点15分→（）→2点25分 发现它们相邻两钟的间隔时间都是35分钟，因此第5个钟面的时刻应是1点50分。 例3 见图：是反射在镜面上的两只钟面的长针和短针的位置，请说出各钟面的时刻？ 分析：同学们我们只要用镜子实践一下，就会发现任何物体经过镜面反射，它的位置发生了变化。左边的在镜子反射后成为右边，右边的在镜子反射后变为左边了，因此，要从镜面上反射出来的钟面时刻推出原钟面的时刻，只要将镜面上的钟面左右翻转半圈，这两只钟面表示的时刻分别为6点40分和8点15分

四年级奥数智巧趣题学生版

智巧趣题 知识要点 数学问题中有许多趣题，它们充分地体现了数学思维和方法的神奇魅力，学习这些趣题，并掌握其中的数学原理，有利于我们思维的拓展，同时激发对数学的兴趣。 本讲主要考察学生对于所学知识的活学活用能力，注意观察生活中的各类事实，学会用数学方法巧解各类问题。旨在锻炼学生的灵活思考、创新思考的能力，鼓励学生多多动手、动脑，从解决问题的过程中感受学习的乐趣。 翻硬币 【例 1】（2003年4月20日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级2试第6题）桌面上4枚硬币向上的一面都是“数字”，另一面都是“国徽”，如果每次翻转3枚硬币，至少_______次可使向上的一面都是“国徽”。 【例 2】桌上放有345枚正面朝下的硬币，第1次翻动其中1枚，第2次翻动其中2枚，第3次翻动其中3枚，……，第345次翻动其中345枚。经过345次翻动后，能否使这345枚硬币都正面朝上？

倒墨水 【例 3】（2005年第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级培训题）甲杯中有200毫升红墨水，乙杯中有100毫升蓝墨水，从甲杯倒出50毫升到乙杯里，搅匀后，又从乙杯倒出50毫升到甲杯里。 这时，甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水的多少关系是_______（填“前者少”、“前者多”、“相同”或“不确定的”）。 【例 4】（2005年3月13日第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第18题）小华和爸爸分享“红、黑甜品”（红豆沙加芝麻糊）。方法是：小华先将两勺红豆沙倒进盛载芝麻糊的碗中，搅匀后再取回两勺放入原先盛载红豆沙的碗中，混成后，爸爸问小华：“如果混合前红豆沙与芝麻糊的体积一样，那么混合后红豆沙含芝麻糊的分量与芝麻糊含红豆沙的分量比较，哪一个多？”。 小华的正确答案是_______。 【例 5】欣欣喝一杯牛奶，第一次喝了这杯牛奶的1 3 ，用水加满；第二次又喝了杯里的 1 3 ，又用水加满； 第三次又喝了杯里的1 3 ，又用水加满；之后她把这一杯全部喝完。想想欣欣喝的牛奶多还是水多？ 【例 6】有一个注入了1999升的容器A和一个与A大小相同的空着的容器B。第一回把A的1 2 移入B； 第二回把B的1 3 移入A；第三回把A的 1 4 移入B；然后把B的 1 5 移入A……就这样不断地移下 去。请问：当第1999回把A中的水移入B中时，B容器中有多少升水？

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明：2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. （1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2 2 1p k +，则221p n ≤+. 于是，2p n ≤ <. （2）若对任意的()1k k n ≤≤，( ) 2 2 1p k +?，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是，|()()p k j k j -+. 当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <. 2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12 12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得 1n i i x n =≥∑，所以：1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立，则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立

学奥数,这里总有一本适合你

学 奥 数 这里总有一本适合你

奥数图书出版大事记 2000年 《奥数教程》（10种）第一版问世 2001年 《奥数教程》获优秀畅销书奖 2002年 《奥数教程》在香港出版繁体字版和网络版 2002年 《奥数测试》（第一版）出版 2003年 《奥数教程》（第二版）出版，并开展“有奖订正”、“巧解共享”活动 2003年 《奥数教程》（3~6年级）VCD出版 2003年~ 陆续出版由IMO中国国家集训队教练组编写的《走向IMO：数学奥林匹克试题集锦》 2005年 “奥数”图书累计销量近1000万册 2005年 出版《数学奥林匹克小丛书》（30种） 2006年 《奥数教程》（第三版）、《奥数测试》（第二版）出版 2006年 《数学奥林匹克小丛书》（12种）繁体字版在台湾出版 2007~2008年 《多功能题典》丛书中的小学、初中和高中数学竞赛相继出版 2008年 《日本小学数学奥林匹克（六年级）》出版 2009年~ 《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》陆续出版 2009年 《Mathematical Olympiad in China》、《Problems of Number Theory in Mathematical Competitions》和《Graph Theory》相继与新加坡世界科技出版公司联合出版 2010年 《全俄中学生数学奥林匹克（1993~2006）》出版 2010~2011年 《高思学校竞赛数学课本》和《高思学校竞赛数学导引》（3~6年级）相继出版 2011年 《从课本到奥数》（1~9年级A、B版）出版 2011年 《初中数学联赛考前辅导》和《高中数学联赛考前辅导》出版

2013小学数学奥林匹克竞赛试题及答案

小学数学奥林匹克竞赛试题及答案 （三年级） (红色为正确答案) 1、根据下列数中的规律在括号里填入合适的数： 17、2、14、2、11、2、（ ）、（ ）。 A 2、8 B 8、2 C 5、4 D 2、2 2、甲乙丙三个数平均数是150，甲数48，乙数与丙数相同，那么乙数是（ ）。 A 201 B 402 C 51 D 102 3、同学们做操,排成一个正方形的队伍,从前,后,左右数,小红都是第5 个,问一共有( )人. A 81 B25 C 32 D120 4、在“A ÷9=B …..C ”算式里,其中B 、C 都是一位数，那么A 最大是多少？ A 90 B 91 C 89 D 87 5、妈妈从蛋糕店买来一块方形蛋糕，（如图），让小红动手分成8块，最小要切（ ）刀。 A 2 B 4 C 3 D 5 6、在所有四位数中，各位数字之和等于35的数共有（ ）个。 A 4 B 5 C 3 D 6 7、如图，在小方格里最多放入一个?,要想使得同一行、同一列或对角连线上的三个小方格最多不出现三个?，那么在这九个小方格里最多能放入（ ）个?。（） A 4 B7 C 6 D 5 8、甲乙二人买同一种杂志，甲买一本差2角8分，乙买一本差2角6分，而他俩的钱合起来买一本还剩2角6分，那么这种杂志每本价钱是（ ）。 A 1元 B 7角 C 8角 D 9角 9、从1—9中选出6个数填在算式： ÷??（ + ）?（ - ），使结果最大。那么这个结果是（ ）。 A 190 B 702 C 630 D 890 10、夏令营基地小买部规定：每三个空汽水瓶可一瓶汽水。李明如果买6瓶汽水，那么他最多可以让（ ）位小伙伴喝到汽水。 A 11 B 8 C 10 D 9个 11、图中阴影部分是一个正方形，那么最大长方形的周长是（ A 26 B 28 C 24 D 25

六年级下册数学专题练习48和差积商的变化规律 全国通用

1 / 5 48、和差积商的变化规律 【和的变化规律】 （1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是 如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d； （a-d）+b=c-d。 （2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是 如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。 【差的变化规律】 （1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d， （a-d）-b=c-d。 （a＞d+b） （2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是 如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d）， a-（b-d）=c+d。 （3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是

如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c， （a-d）-（b-d）=c。 2 / 5 【积的变化规律】 （1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n， （a÷n）×b=c÷n。 （2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是 如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c， 或（a÷n）×（b×n）=c。 【商或余数的变化规律】 （1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n， （a÷n）÷b=q÷n。 （2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是 如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n， a÷（b÷n）=q×n。

2001年小学数学奥林匹克竞赛试卷汇总

太原康大培训学校教材·六年级·总结册 2001年小学数学奥林匹克竞赛试卷 考生注意：本试卷共12道题，每题10分，满分120分，前10道题为填空题，只写答案；最后两道题为解答题，必须写出解题过程，只写答案不得分。 1．计算： 1?3?5+2?6?10+3?9?15+4?12?20+5?15?251?2?3+2?4?6+3?6?9+4?8?12 +5?10?15＝ 2．有一个分数约成最简分数是5，约分前分子分母的11 和等于48，约分前的分数是（） 200120013．76＋25的末两位数字是（） 4．甲、乙、丙、丁四人去买电视，甲带的钱是另外三人所带钱总数的一半，乙带的钱是另外三人所带钱总数的11，丙带的钱是另外三人所带钱总数的，丁带了910元，34 四人所带的总钱数是（）元。 5．若2836，4582，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，那么除数与余数的和为（） 6．两人从甲地到乙地，同时出发，一人用匀速3小时走完全程，另一个用匀速4小时走完全程，经过（）小时，其中一人所剩路程的长是另一人所剩路程的长的2倍。 康大教材第１页 太原康大培训学校教材·六年级·总结册 7．设A＝29293031，B＝，比较大小：A（＜）B。 62626160 8．今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有23是坏的，其它是好的；乙班分到的桃有是坏的，916 其它是好的，甲、乙两班分到的好桃共有（）个。 9．如下图示：ABCD是平行四边形，AD＝8cm，AB＝10cm， 0∠DAB＝30，高CH＝4cm1，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN 分别以AD、CB为半径，那么阴影部分的面积为（）平方厘米（取π＝3）。10．假设某星球的一天只有6小时，每小时36分钟，那么3点18分时，时针和分针所形成的锐角是（）度。

小学数学奥林匹克试题.pdf

2000小学数学奥林匹克试题 预赛(A)卷 1.计算: 12-22+32-42+52-62+…-1002+1012=________。 2.一个两位数等于其个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是________。 3.五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是________。 4.有红、白球若干个。若每次拿出一个红球和一个白球，拿到没有红球时，还剩下50个白球；若每次拿走一个红球和 3个白球，则拿到没有白球时，红球还剩下50个。那么这堆红球、白球共有________个。 5.一个年轻人今年（2000年）的岁数正好等于出生年份数字之和，那么这位年轻人今年的岁数是 ________。 6.如右图, ABCD是平行四边形，面积为 72平方厘米，E，F分别为AB，BC的中 点，则图中阴影部分的面积为_____平 方厘米。 7.a是由2000个9组成的2000位整数，b是由2000个8组成的2000位整数，则a×b的各位数字之和为________。 8.四个连续自然数，它们从小到大顺次是3的倍数、5的倍数、7的倍数、9的倍数，这四个连续自然数的和最小是____。 9.某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分，按每度1.50元收费。某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费________元（用电都按整度数收费）。 10.一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行。已知小汽车的速度是大卡车的速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的；小汽车需倒车的路程是大卡车需 倒车的路程的4倍。如果小汽车的速度是50千米/时，那么要通过这段狭路最少用________小时。 11.某学校五年级共有110人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组。已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人。那么三组都参加的有________人。 12.有8级台阶，小明从下向上走，若每次只能跨过一级或两级，他走上去可能有________种不同方法。 预赛(B)卷 1.计算：=________。 2.1到2000之间被3，4，5除余1的数共有________个。 3.已知从1开始连续n个自然数相乘，1×2×3×…×n，乘积的尾部恰有25 个连续的0，那么n的最大值是____ 。 4.若今天是星期六，从今日起102000天后的那一天是星期________。

数学竞赛的背景意义和辅导

数学竞赛的背景、意义和辅导 上海市育才初级中学但水平 1 数学竞赛的历史背景 最先举办数学竞赛的国家是匈牙利。早在1894年（我国清朝光绪年间），匈牙利数学物理学会就已通过了一项决议：每年为中学生举办数学竞赛，从此之后，除了因世界大战和“匈牙利事件”中断了7年之外，这项竞赛每年10月都要举行。 1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并最先冠以“数学奥林匹克”的名称。从此这一名称正式出现了。 1959年，罗马尼亚首都数学物理学会向7个国家发出邀请，在罗马尼亚首都布加勒斯特举办第一届“国际数学奥林匹克，从而产生了每年举办一次的国际数学奥林匹克（简称IMO），至2004年已举办45届。（1980年东道主蒙古因经费困难停办过一届）我国第一次参加了1985年在芬兰举行的第26届国际数学奥林匹克，由于仓促上阵，准备不足和缺乏经验，这次成绩不理想，仅吴思皓同学获得铜牌。1986年，中国数学奥林匹克代表队一行6人参加了在波兰华沙举办的第27届国际数学奥林匹克竞赛，有3人获得金牌，1人获得银牌，1人获得铜牌，团体总分名列第4。我国中学生第二次参加比赛就表现出这样高的水平，取得了这样好的成绩，确实举世瞩目。第一次向世界显示：中国中学生数学奥林匹克队已跌入世界强队之列。此后，我国中学生参加国际数学奥林匹克的成绩不断提高，1992年第33届国际数学奥林匹克获得6枚金牌和团体总分第一，更是来之不易。 1956年，在北京、上海、天津、武汉四大城市举办了我国第一届数学竞赛，并一直延续到现在。 2 数学竞赛的意义 许多国家对中学生数学竞赛如此热衷，花了很大的精力和代价操办这一事情，究竟有没有意义？这里我们引述美国航天之父冯·卡门在《航空航天时代的科学奇才》一书中的一段话：“跟据我所知，目前在国外的匈牙利著名科学家当中，有一半以上都是数学惊赛的优胜者，在美国的匈牙利科学家，如爱德华、泰勒、列夫·西拉得、乔治·波利亚、冯·牛曼等几乎都是数学竞赛的优生者。我衷心希望美国和其他国家都能大力倡导这种数学竞赛。” 数学竞赛确实是一项传统的智力竞赛问题，它对于激发青少年学习数学的兴趣，扩展知识视野，培养数学思维能力，选拔数学人才都有重要的意义。它的积极影响主要表现在以下几个方面。 2.1 早期发现人才，长期培养 在数学竞赛中我们可以发现一批思维敏捷、智力超群的学生，这可引起我们教师的注意并加以重点培养。第31届IMO中黄康中学的黄崧同学获得了金牌，当然是他的智力好，思维敏捷，但老师对他的早期培养是主要的。黄干中学的老师说得好：“要使天才不致荒废，必须早期发现，长期培养。” 2.2 举办数学竞赛符合因材施教的原则 我们应该承认学生智力上的差异。教科书上的数学是“大众数学”，是今后作为社会公民必须要掌握的。义务教育数学课程指出，“不同的人在数学上得到不同的发展”，“学生的数学学习活动应是一个生动活泼的、富有个性的过程”。对一些擅长理性思维、智力较好的学生来说，他们的学习空间还很大，教科书上的内容远远吃不饱。如果他们在知识、能力上得不到应有的拓展，那是对智力极大的浪费甚至会在他们认为简单、平易的数学学习中丧失对数学的兴趣和热情。举办数学竞赛，为他们提供了一个展示数学才能的平台，会更进一步

小学奥数的书大全

小学奥数的书大全 学奥数 这里总有一本适合你 奥数图书出版大事记 2000年《奥数教程》（10种）第一版问世2001年《奥数教程》获优秀畅销书 奖 2002年《奥数教程》在香港出版繁体字版和网络版2002年《奥数测试》（第 一版）出版2019年《奥数教程》（第二版）出版，并开展“有奖订正”、“巧解共享”活动 2019年《奥数教程》（3~6年级）VCD 出版 2019年~ 陆续出版由IMO 中国国家集训队教练组编写的《走向IMO ：数学奥林匹克试题集锦》 2019年“奥数”图书累计销量近1000万册2019年出版《数学奥林匹克小丛书》（30种）2019年《奥数教程》（第三版）、《奥数测试》（第二版）出 版2019年《数学奥林匹克小丛书》（12种）繁体字版在台湾出版 2019~2019年《多功能题典》丛书中的小学、初中和高中数学竞赛相继出版 2019年《日本小学数学奥林匹克（六年级）》出版2019年~ 《高中数学联赛 备考手册（预赛试题集锦）》陆续出版2019 年《Mathematical Olympiad in China 》、 《Problems of Number Theory in Mathematical Competitions 》和《Graph Theory 》相继与新加坡世界科技出版公司联合出版 2019年《全俄中学生数学奥林匹克（1993~2019）》出版 2019~2019年《高思学校竞赛数学课本》和《高思学校竞赛数学导引》（3~6年级）相继出版 2019年《从课本到奥数》（1~9年级A 、B 版）出版 2019年《初中数学联赛考前辅导》和《高中数学联赛考前辅导》出版 学奥数，这里总有一本适合你

小学数学奥林匹克竞赛试题 及答案(四年级)

1 小学数学奥林匹克竞赛试题及答案 （四年级） (红色为正确答案) 1、下面的△,○,□各代表一个数,在括号里填出得数: △+△+△=36 □×△=240 ○÷□=6 ○=( ) A 120 B 100 C 130 D 124 2、如果一个整数,与1,2,3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,结果等于24,那么这个整数就称为可用的,那么,在4,5,6,7,8,9,10这七个数中,可用的数有（）个. A 5 B 6 C 7 D 4 3、有100个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛（）场. A 97 B98 C 99 D 50 4、七个小队共种树100棵,各小队种的棵数都不同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队至少种了（）棵. A 10 B 8 C 9 D 7 5、将一盒饼干平均分给三个小朋友,每人吃了八块后,这时三个小朋友共剩的饼干数正好和开始1个人分到的同样多,问每个小朋友分到（）块。 A 24 B 20 C 12 D 16 6、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使用权平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考( )次. A 5 B 6 C 3 D 4 7、甲乙丙丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲乙丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是（）场。 A 0 B 1 C 2 D 3 8、有一位探险家，用6天时间徒步横穿沙漠。如果一个搬运工人只能运一个人四天的食物和水，那么这个探险家至少要雇用（）名工人。 A 2 B 3 C 4 D 5 9、在右图的中间圆圈内填一个数,计算每一线段两 数之差(大减小),然后算出这三个数之和,那么这个 差数之和的最小值是( ). 13 32 41 13

小学数学奥林匹克竞赛试题及答案(四年级)(奥数试题精选)

小学数学奥林匹克网上竞赛试题及答案 （四年级） 1、下面的△,○,□各代表一个数,在括号里填出得数: △+△+△=36 □×△=240 ○÷□=6 ○=( ) A 120 B 100 C 130 D 124 2、如果一个整数,与1,2,3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,结果等于24,那么这个整数就称为可用的,那么,在4,5,6,7,8,9,10这七个数中,可用的数有（）个. A 5 B 6 C 7 D 4 3、有100个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛（）场. A 97 B98 C 99 D 50 4、七个小队共种树100棵,各小队种的棵数都不同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队至少种了（）棵. A 10 B 8 C 9 D 7 5、将一盒饼干平均分给三个小朋友,每人吃了八块后,这时三个小朋友共剩的饼干数正好和开始1个人分到的同样多,问每个小朋友分到（）块。 A 24 B 20 C 12 D 16 6、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使用权平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考( )次. A 5 B 6 C 3 D 4 7、甲乙丙丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲乙丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是（）场。 A 0 B 1 C 2 D 3 8、有一位探险家，用6天时间徒步横穿沙漠。如果一个搬运工人只能运一个人四天的食物和水，那么这个探险家至少要雇用（）名工人。 A 2 B 3 C 4 D 5 9、在右图的中间圆圈内填一个数,计算每一线段两 数之差(大减小),然后算出这三个数之和,那么这个 13 差数之和的最小值是( ). A 28 B 30 C 31 D 29 32 41 13

2018年日本初中数学奥林匹克决赛试题

2018年日本初中数学奥林匹克 决赛 1.k 是大于等于3的整数，使用一个正k 边形，A 和B 两个人玩如下的游戏，重复k 回：A 说一个大于等于1且小于等于100的整数，B 把该整数写在正k 边形的某个尚未写上数字的顶点上如果正k 边形上有写着相同数字的三个顶点，且这三个顶点构成等腰三角形，那么B 获胜，否则A 获胜。此时，试求出所有的k ，使得不管A 怎么做B 都有办法获胜。 2.有5个人，计算出每两个人的年龄差，发现是两两互异的正整数，试求岁数最大的和岁数最小的人的年龄差可能取到的最小值。 3.设△ABC 的外接圆为ω,AB =AC ,过B,C 两点的圆分别交边AB,AC 于D,E 两点,直线DE 和直线BC 交于点F .直线AF 交ω于A,G 两点.H 为DE 上一点,射线AH 交ω于点I .试证：F,G,H,I 四点共圆. A B C D E F G H I 4.k 是大于或等于2的整数，A =2k ?1。L 是小于或等于A 2的正奇数，首先将其写在黑板上，如下操作重复k ?1次：记前面刚写在黑板上的整数为n ，在黑板上写上能整除A ?n 的最大正奇数。此时，试证：包括最初写在黑板上的L ，黑板上的L 出现了至少两次。 5.三角形ABC 的内切圆为ω,边BC ?CA ?AB 的中点分别记作A ′,B ′,C ′。存在六个点B a ,C a ,C b ,A b ,A c ,B c ，线段B a C a ,C b A b ,A c B c 均是圆ω的直径，且分别平行于BC,CA,AB ，

直线B ′C a 与直线C ′B a 交于点X,直线C ′A b 与直线A ′C b 交于点Y ，直线A ′B c 与直线B ′A c 交于点Z ，试证：直线AX,BY,CZ 三线交于一点。 A B C A ′ B ′ C ′A b A c C b B c B a C a X Y Z （中山大学:詹秋明汉化）