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2014年高考文科数学真题解析分类汇编:B单元 函数与导数(纯word可编辑)

2014年高考文科数学真题解析分类汇编:B单元 函数与导数(纯word可编辑)
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数 学

B 单元 函数与导数

B1 函数及其表示

14.、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=?

????x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1

=516

. 2.、[2014·北京卷] 下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )

A .y =e -x

B .y =x 3

C .y =ln x

D .y =|x |

2.B [解析] 由定义域为R ,排除选项C ,由函数单调递增,排除选项A ,D.

21.、、[2014·江西卷] 将连续正整数1,2,…,n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ,F (n )为这个数的位数(如n =12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F (12)=

15),现从这个数中随机取一个数字,p (n )为恰好取到0的概率.

(1)求p (100);

(2)当n ≤2014时,求F (n )的表达式;

(3)令g (n )为这个数中数字0的个数,f (n )为这个数中数字9的个数,h (n )=f (n )-g (n ),S ={n |h (n )=1,n ≤100,n ∈N *},求当n ∈S 时p (n )的最大值.

21.解:(1)当n =100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以

恰好取到0的概率为p (100)=11192

. (2)F (n )=?????n ,1≤n ≤9,2n -9,10≤n ≤99,3n -108,100≤n ≤999,4n -1107,1000≤n ≤2014.

(3)当n =b (1≤b ≤9,b ∈N *),g (n )=0;

当n =10k +b (1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N )时,g (n )=k ;

当n =100时,g (n )=11,即g (n )=

?????0,1≤n ≤9,k ,n =10k +b ,11,n =100.

1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N ,

同理有f (n )=

?????0,1≤n ≤8,k ,n =10k +b -1,1≤k ≤8,0≤b ≤9,k ∈N *

,b ∈N ,n -80,89≤n ≤98,20,n =99,100. 由h (n )=f (n )-g (n )=1,可知n =9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 所以当n ≤100时,S ={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.

当n =9时,p (9)=0.

当n =90时,p (90)=g (90)F (90)=9171=119

. 当n =10k +9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p (n )=g (n )F (n )=k 2n -9=k 20k +9,由y =k 20k +9

关于k 单调递增,故当n =10k +9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p (n )的最大值为p (89)=8169

. 又8169<119,所以当n ∈S 时,p (n )的最大值为119

. 3.[2014·山东卷] 函数f (x )=1log 2x -1

的定义域为( ) A .(0,2) B .(0,2]

C .(2,+∞)

D .[2,+∞)

3.C [解析] 若函数f (x )有意义,则log 2x -1>0,∴log 2x >1,∴x >2.

B2 反函数

5.[2014·全国卷] 函数y =ln(3x +1)(x >-1)的反函数是( )

A .y =(1-e x )3(x >-1)

B .y =(e x -1)3(x >-1)

C .y =(1-e x )3(x ∈R )

D .y =(e x -1)3(x ∈R )

5.D [解析] 因为y =ln(3x +1),所以x =(e y -1)3.因为x >-1,所以y ∈R ,所以函数

y =ln(3x +1)(x >-1)的反函数是y =(e x -1)3(x ∈R ).

B3 函数的单调性与最值

2.、[2014·北京卷] 下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )

A .y =e -x

B .y =x 3

C .y =ln x

D .y =|x |

2.B [解析] 由定义域为R ,排除选项C ,由函数单调递增,排除选项A ,D.

4.、[2014·湖南卷] 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )

A .f (x )=1x

2 B .f (x )=x 2+1 C .f (x )=x

3 D .f (x )=2-x

4.A [解析] 由偶函数的定义,可以排除C ,D ,又根据单调性,可得B 不对.

19.、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数.

(1)证明:f (x )是R 上的偶函数.

(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e -x +m -1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围.

(3)已知正数a 满足:存在x 0∈[1,+∞),使得f (x 0)

a e -1的大小,并证明你的结论.

19.解: (1)证明:因为对任意 x ∈R ,都有f (-x )=e -x +e -(-x )=e -x +e x =f (x ),

所以f (x )是R 上的偶函数.

(2)由条件知 m (e x +e -x -1)≤e -x -1在(0,+∞)上恒成立.

令 t =e x (x >0),则 t >1,所以 m ≤-t -1t 2-t +1=

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