期权定价理论

期权定价理论

期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世（有关期权定价的发展历史大家可以参考书上第358页，有兴趣的同学也可以自己查找一下书上所列出的经典文章，不过这要求你有非常深厚的数学功底才能够看懂）。B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。为此，对期权定价理论的完善和推广作出了巨大贡献的默顿和Scholes在1997年一起荣获了诺贝尔经济学奖（Black在1995年去世，否则他也会一起获得这份殊荣）。

原始的B—S模型仅限于这类期权：资产可用于卖出期权；能够评估价值，资产价格行为随时间连续运动。随后建立在原始的B—S模型上的研究以及许多其他期权定价模型的变体相继出现，用于处理其他类型的标的资产以及其他类型的价格行为。在大多数情况下，期权定价模型的推倒基于随机微积分（Stochastic Calculus）的数学知识。没有严密的数学推演，演示这种模型只是摸棱两可的。可是，这并非要紧的问题，因为确定期权公平价格的必要计算已自动化，且达到上述目的的软件在大型计算机及微机中均可获得。因此，在这里，我只简单介绍一下B—S模型的关键几个要素，至于具体的数学推导（非常复杂），感兴趣的同学可以在课后阅读一下相关资料（一般都是在期权定价理论章节的附录中）。

首先，我们来回顾一下套利的含义

套利

套利（arbitrage）通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时间和空间上所存在的定价差异、或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异，同时进行一系列组合交易，获取无风险利润的行为。注意，这种利润是无风险的。

现代金融交易的目的主要可以分为套利、投机和保值，这也是我们在以前的课程中接触过的。那么，我们怎样来理解套利理论的含义呢？

我们说，市场一般是均衡的，商品的价格与它的价值是相一致的。如果有时候因为某种原因使得价格与价值不相符，出现了无风险套利的机会，我们说这种套利的机会就会马上被聪明的人所发现和利用，低买高卖，赚取利润，那么通过投机者不断的买卖交易，原来价值被低估的商品，它的价格会上涨（投机者低价买入）；原来价值被高估的商品，它的价格会下跌（投机者高价卖出），交易的结果最终会使得市场价格重新回到均衡状态。（就像书中列举的两家书店卖书的例子一样…）

同样的道理我们不难理解，现代期权定价技术就是以无风险套利原理为基础而建立起来的。我们可以设计一个证券资产组合，使得它的价值（收益）与另外一个证券资产组合的价值相等。那么，根据无风险套利理论，这两种证券资产组合应该以同样的价格出售。从而，可以帮助我们确定，在价格均衡状态下，期权的公平定价方式。

具体来说，对期权跌——涨平价原理的推导就采用了无风险套利的原理。

跌——涨平价原理（put——call parity）

看涨期权的价格与看跌期权的价格（也就是期权费）之间存在着非常密切的联系，因此，只要知道看涨期权的价格，我们就可以推出看跌期权的价格（通过平价原理）。这样，就省去我们再费心研究看跌期权的定价公式了。只要我们通过B——S模型计算出看涨欧式期权的定价之后，我们就可以相应地推出欧式看跌期权的定价（注意，B——S模型只适用于欧式看涨期权）。

第一节证券价格变化过程

为了很好地理解B—S模型，我们首先来学习一下金融价格行为

1.金融价格行为

B—S模型的一个重要的假设是资产价格遵循对数正态分布。这是什么意思？

相信大家都已经学习过统计学，你们对于正态分布应该很熟悉了。什么是正态分布？我们可以看下面的正态分布图：

正态分布在我们现实生活中经常发生，比如说，从我们学校的男生中随即抽取1000人，然后用图画出他们身高的分布就是正态分布。在小组平均身高分布达到顶值，但是围绕平均值有一定偏差。衡量偏差程度的统计方法叫标准差，正态分布的一个特点是68.3%的分布在平均值的正负一个标准差之间，95.4%分布在平均值的正负两个标准差之间。假如在东北大学男生身高的统计调查中，我们发现平均身高为1.72米，标准差为0.09米。这表示抽样模型中有95.4%的男生身高在1.54米和1.90米之间，并可以推断被抽样的群体身高也符合这个分布。

既然现实生活中正态分布如此普遍，因此我们很容易假定金融价格也服从正态分布。但是这种假定会产生几个问题，其中一个是服从正态分布的变量可能为负值，而大多数金融价格却不会这样（现实生活中，价格不可能为负值）。

事实上，价格本身不服从正态分布，大多数收益率却服从正态分布。一个投资者以100元的价格买入股票，他可能有正的10%的收益或者是负的10%的损失。

如果简单看来，投资者首先获得10%的收益率然后再损失10%没有什么变化，他不赔不赚。但，真实这样吗？10%的增长使投资者的股票从100上升到110，而再次10%的下降使他的股票价值从110下跌到99（110*90%）。

投资者没有回到原来的价格起点（100元）的原因在于收益率的计算方法上。从100到110是在100的基础上增长10%，从110到99是在110的基础上下降10%，虽然变化的百分比一样（都是10%），但是变化的基数却不同（100和110），因此最后的结果就不能够回到原起点价格100元。

这种简单用百分比相加来衡量最后结果的方法所确定的结论是错误的，例如上面的那个例子，上升10%和下降10%相抵消，股票的价格好象不应该有变化（还是100元），但事实却是99元，我们估计的结果（100）比实际（99）少1元，也就是说，实际的结果是损失1%。

正确的计算方法不是通过百分比相加，而是把价格比相乘。价格比就是连续价格的比值。在上例中，两个价格比是110/100 = 1.1 和 99/110 =0.9。价格比相乘为1.1*0.9=0.99。这才是正确答案，即最后的价格是最初价格的0.99倍。

我们可以采用一种数学方法使我们只用加法而不用乘法，那就是，利用对数的性质，对两个数值取对数（在金融中最有用的是自然对数，以e为底），然后相加得到两数乘积的对数。把这种方法应用于上例：

ln（110/100）= 0.0953

ln（99/110）= -0.1054

ln（110/100）*（99/100） = -0.0101

我们发现，从110下降到99比初始的100上升到110的对数大，这就是为什么最后的结果为负数的原因，它表示整体价格下降。为了找出最后价格下降1.01%后是多少数值，我们需要使用对数的相反概念：指数。因为我们用的是以e为底的对数，我们就用得到0.99或99%。这种计算表明最后的价格是99，也就是正确答案。

从上面的推导过程我们可以总结出，用价格比的对数计算收益率比单用价格比更准确。

所以，我们定义收益率为：

收益率 = ln（St+1 / St）

比传统的定义方式

传统定义收益 = （St+1 / St — 1）

更准确。这里，St代表t时间的市场价格，St+1代表一段时间后的价格。

考虑收益率在七年中每年增长10%对价格的影响。从100开始，价格逐步增长：

100，110.52，122.14，134.99，149.18，164。87，182.21，201.38

从绝对值看，价格在七年中翻了一倍，每次增长都比前一次增长幅度大。现在考虑七年中收益率每年下降10%对价格的影响，同样从100开始：

100，90.48，81.87，74.08，67.03，60.65，54.88，49.66

价格经过七年减了一半，每一次价格下降都比前一次价格下降幅度小。如果我们把这两个系列数据按水平线描绘，表示价格随时间的变化，就可得到如图所表示的图形。它很清楚地表明在图1的右方价格上升加速，图1的左方价格下降减速。

让我们回到金融收益服从正态分布这个概念上。如果收益率服从系统的正态分布，那么价格服从扭曲的正态分布，如图1所展示的，左边逐渐压缩，右边逐渐扩展。和图2比较后更清楚，图2显示的是收益率的正态分布，平均值为10%，标准差的绝对值为20%，图3显示的是价格的分布。

图3所显示的就是价格分布，我们把它叫做对数正态分布，因为变量即价格的对数呈正态分布。好，了解了这一点，我们就可以进一步学习B—S模型了。

第二节Black—Scholes模型

2.1 B------S定价公式

我们知道，任何金融资产的适当价格都是它的预期价值，也就是说，我们现在对它的定价是建立在对它未来价格预期的基础上的。例如，如果一只股票有30%的机会达到49的价位，同时有70%的机会达到50的价位，那么它的适当价格应该为：

0.3*40 + 0.7*50 = 47 （它未来的价格乘以它达到这个价格的概率系数）

同样，这个原理也适用于期权。期权到期日的适当价值等于它可能取得的任何价值乘以该价值产生的概率的加总。从上述简单的举例中，只有间断的两个结果。但是期权可以以任何价值出现，因此有必要使用连续分布而不是间断分布。在间断分布中，某个结果的概率可以直接阴影的高度求出，而在连续分布中，某一范围结果的概率由曲线下的阴影部分求得。从看涨期权的定义, 期权到期日的预期价值是:

E(C T) = E[ max (ST – X, 0)] 等式1

这里: E(C T)代表看涨期权到期日的预期价值

ST代表对应资产到期日的价格

X代表期权的执行价格

在到期日有两种可能情况发生. 如果ST > X, 看涨期权到期时为价内,则max (ST – X, 0) = ST – X. 如果ST< X,看涨期权到期时为价外, 则max (ST – X, 0) = 0. 如果P定义为ST > X的概率, 等式1可以改写成:

E(CT) = 等式2

这里:

P代表ST < X的概率

E [ ST ST > X ]代表在ST > X下ST的预期价值.

等式2给出了看涨期权到期日的预期价值. 为了获得合同的适当价格(因为期权费是预先支

付的), 该等式应该加以折现得到其现值如下:

等式3

这里; C代表期权开始时的适当价格

r代表连续的复合零风险利率; t代表直到到期日的时间长度.

那么, 为期权定价的问题现在缩小为两个简单的问题:

(1)决定p---即期权到期日时为价内期权的概率, 使得 ST > X,

(2)决定E [ ST ST > X ], 即当期权到期日为价内时对应资产的预期价值.

这两个问题的答案可以从金融价格的对数分布中找到. 下图显示的是金融价格的对数

正态分布, 它强调了价格超过120的分布(横轴是价格, 纵轴表示概率密度). 如果我们想

要为交割价格为120的期权定价,这个阴影部分将很有用. 我们只要找出市场价格超过执行

价格120的概率(阴影部分产生的概率),以及发生这种情况时的资产的预期价值就可以了.

通过计算, 我们得出, 阴影部分占整个分布的34%, 因此最后价格超过120的概率为034. 阴影部分的预期价值(如果在阴影部分中间设一个小木板让它平稳, 这个支点刚好在137.894处)为137.894. 如果连续复利是12%, 交割价格为120的期权的适当价格是:

这就是B---S模型给出的期权的价格.

那么,0.34和137.894是怎么算出来的? 这里就要求我们来推倒概率P和期望值E [ ST ST > X ]了. 无论是推导概率P, 还是推导期望值E的过程都非常复杂, 在这里我就不做更

多的叙述了. 因为如果真的进行一步步的推导的话, 恐怕一节课也不会推导完善,而且其中

牵扯到了许多复杂的计算过程,所以在这里我就把它省略了. 大家只要知道B-S公式的推导

原理, 并且能够应用它就可以了. 就像你只要知道如何操作WORD软件, 而不用了解它是如

何被编制出来的一样.如果你确实对B-S模型感兴趣, 课后你可以找相关的书籍看一下.

通过复杂的推导, 我们得出:P = N (d2),

E [ ST ST > X ] =

其中, N表示累积正态分布, d1 =

d2 =

把它们带入等式3, 得到看涨期权完整的定价公式:

所以 C =

这里; S0为现行股价; X为期权的协定价格; t期权至到期日的时间; r为无风险利率; σ为股票收益的标准偏差, 波动率; N累积正态分布; ln为自然对数.

这就是著名的B—S期权定价模型. B---S模型的产生, 为金融界计算期权的价格提供

了可靠而简明的计算方法. 在实践中, 大多数期权分析师都采用某种B—S模型的基本形式

或变异形式来进行期权的定价. 而且,也有许多软件提供相应的期权价格分析. 对于你们来讲,不要求你们将B—S模型记住, 你只要会使用就可以了. 考试的时候, 公式会列给你们的。

以上部分我们讨论的都是对于看涨期权的定价, 而没有说看跌期权. 那么, 如何对欧

式看跌期权来定价呢? 我们说,由于有了看涨----看跌平价原理, 我们就没有必要再去建立

单独的模型去计算看跌期权的价格了. 只有通过平价公式, 已知看涨期权的价格之后, 我

们就可以推导出看跌期权的价格了。

例题: 假定某股票现值为$30, 该股票3月期的期权的协定价格为$25, 无风险利率为5%, 该股票价格的波动率为45%. 试计算该股票欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格.

2.2 有关B----S的假设条件

目前, B---S模型已经成为期权交易专业人士为期权定价的重要工具之一. 但是我们在应用这个模型的时候必须十分注意该模型的几个前提条件. 对这些条件理解得越深刻, 你在期权定价中就越会得心应手.

(1) 不支付股息和红利. B---S模型假设作为基础资产的股票在期权定价期间不支付红利和股息. 而实际上, 由于大多数股票都要支付股息或红利, 因此, 在实际操作中, 如果在期权的有效期内遇到股票支付红利的情况时, 我们应当对B---S模型做出适当的调整, 以反应股票支付红利的事实. 因为股息率或红利率越高, 看涨期权费越低, 所以股票价格应当减去未来支付股息或红利的贴现值, 也就是: .

例题. 假如按照上面的例子, 该股票的现金红利为0.50元, 82天后支付, 那么, 该股票的期权费将如何计算?

(2)期权为欧式期权. B---S模型之对于欧式看涨期权进行定价, 美式看涨期权因为具有更大的灵活性(提前执行的可能性较大), 所以不能使用B----S模型. 对于美式看涨期权, 我们会采用其他方法来定价。

（3）市场是有效率的, 不存在无风险套利的机会. (366)

（4）无交易成本,如不支付佣金,税收等. 事实上, 这个假设也不太符合实际,因为在现实生活中,即使是交易商也要支付费用, 对于散户投资者来讲, 交易成本会更大. 如果考虑到交易成本的话, 期权的真正成本可能会发生很大的变化, 这也是不同期权市场实际期权费差异的主要因素。

（5）利率为常数或已知. 无风险利率, 30天的美国短期国库券利率。

（6）收益呈对数正态分布. 这一假设适用于绝大多数金融资产的价格分布特征.

2.3 易变性或变动率的计算

如果观察期权定价需要的五个变量,我们发现有四个很容易获得.对应资产的价格和利率可以很容易地从路透和电子屏幕上读到,交割价格和到期日在签定期权时已经确定.只有一个变量却不是那么清楚,它就是对应资产价格的变动率,或简称变动率(Volatility).

金融资产的变动率越大,说明基础资产偏离协定价格的可能性也越大,那么,该种期权的价格就越高.这是期权定价模型中我们为什么如此关注变动率的原因. 变动率在期权定价被定义为收益率的年标准差. 注意此定义没有把变动率直接与价格变动联系,而是与产生价格的收益率变动联系.

变动率的计算方法有两种:

(1)正向法(forwards)

这是指应用历史数据来计算变动率, 也叫做历史变动率. 具体的计算方法如下:

a金融资产的相对价格(价格比:两个连续收盘价之比)

b相对价格的自然对数

c对数相对价格的标准偏差(离差)

d标准偏差(离差)的平方,经开方后得到σ。

具体的计算公式如下:

计算这些数据时要考虑应该选择多少个观察值才能得到相对准确的数值. 观察值越多, 可靠性越大. 但是太久远的数字用来计算今天的波动率可能不相关,一般来讲,20到50个观察值可以得到合理的结果.

在这里我们计算出来的变动率是历史变动率, 但我们要求未来的变动率. 因为给未来到期的期权定价时需要未来的收益变动率而不是过去的变动率. 如果从过去可以合理地推出未来,那么历史变动率可以作为未来变动率的合理参考值.例如, 1987年股灾之后, 标准普尔500股票指数的20天变动率从通常的12%狂升到150%. 如果造市商完全依赖历史变动率,在股灾后的一个月,他们是在另外一个股灾将发生的基础上来给期权定价的. 其结果肯

定是不合理的.

那么, 我们如何来得到一个较为合理的变动率呢? 这就要使用方法二:

(2)逆向法 (backwards)

如果期权价格可以由变动率决定, 那么变动率也可以由期权价格决定. 这种方法是运用期权价格往回推导. 也就是说, 我们已知期权价格(该期权的报价)和其他四个变量, 可以反向推导出期权价格中所隐含的变动率. 通过这种方法计算出来的变动率叫做隐含变动率 (Implied Volatility)

因为期权价格都可以获得,大多数市场参与者使用相似或一样的定价模型,所以计算隐含变动率就很直接,而且一般比运用历史变动率要适当.

为了解释这一方法的基本思路, 我们假设S=21, X=20, R=0.1, T – t =0.25时一种不付红利股票的看涨期权的价值为1.875. 隐含变动率是把以上数据代入B-S方程, 求使得C=1.875的σ的取值. 但是,我们不能直接解出方程, 使得σ表示为其他四个变量的函数形式. 这时候, 我们可以用插值法得到隐含波动率. 也就是我们不断假定σ的数值, 带入B-S公式, 从得到的C值进行不断调整, 最后得到变动率的准确值. 例如, 我们假定σ=0.2, 这个值使得C的值等于1.76, 比1.875小. 由于期权的价格与变动率的大小成正比,因此, 如果计算出的C比实际小的话, 说明我们的σ值估计小了, 我们就要选大一些的σ值. 这样不断实验, 最后找到准确的变动率. (这种方法比较麻烦).

在考试中我们有可能给出一个变动率, 利用其他变量去估计欧式看涨或看跌期权的价格, 然后与已知的看涨期权价格进行比较, 来判断我们对于变动率的估计是否正确.(你的前提假设是:变动率的估计是正确的; 然后在此变动率的基础上去计算期权价格,与实际的期权报价相比较, 最后得出结论)..

例: DJB公司的一股股票现价为$2.5, 它的变动率被估计为0.6. 一个欧式看涨期权的协定价格是$2.00, 期限为3个月, 看涨期权费为$0.45. 无风险利率为5%. 问:我们对于变动率的估计是否合理?

第三节期权定价的二叉树模型（二项式）

Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点, 但是它的推导过程难以为人们所接受. 在1979年, 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型, 称为二项式模型(Binomialｍodel)或二叉树法(Binomial tree).

我们首先来看:

3.1一期间二项式模型

二项式模型的特点是将看涨期权合约的到期期限分成若干个时间段(每一个时间段称为一个期间), 并假定期权的基础资产的价格在每经过一个期间的时间后以事先规定的比例上升或下降. 为直观简便起见, 我们首先考虑一期间的情形:

假设: 在任何一个给定的时间, 金融资产的价格以事先规定的比例上升或下降. 如果资产价格在时间t的价格为S, 它可能在时间段t + 内上升到Su或下降到Sd. 假定对应的期权价格也上升到Cu, 或下降到Cd. 下图表示了这些平行移动. 当金融资产只可能达到两种价格时, 这一顺序被称为二项程序.

为了解释方便, 我们假定S = 100, u =1.2, d=0.9, 看涨期权的协定价格为100, 只有一期. 在这些条件下, 我们知道如果对应资产价格上升到120, 期权在到期时值20; 如果对应资产价格下降至90, 期权到期时没有价值. 下图显示了这个特殊的例子.

在图中我们可以看出, 唯一不知道的是C, 也就是看涨期权在到期日前的一段时期的价值. 我们将证明C的适当价值可以通过建立期权和对应资产的无风险套利组合来决定.

考虑这样一个资产组合:

a以价格C卖出三份看涨期权

b以价格100买入两份对应资产

c在这短时间以10%的利率借入163.64

那么, 开始时的净现金流为 3C – 200 + 163.64 = 3C – 36.36.在到期日时, 有两种可能结果(价格上升或下降), 每种结果的现金流如下表所示:

期权和对应资产组合的结果

上升下降

卖出资产过程 2 × 120 = 240 2 × 90 = 180

支付空头看涨期权 3 × (-20) = -60 3× 0 =0

归还借款 -180 -180

净现金流 0 0

从上面这个表我们看出, 这个由对应资产, 借款和期权组成的特殊组合不管对应资产上升还是下降结果都一样. 这就是无风险套利交易. 如果这个特殊组合的最后结果总是零, 那么开始获得此组合的适当价格也为零. 这表示 3C – 36.36 =0, 即 C = 12.12.

上面举的无风险套利交易的方法比较独特, 我们可以把它引申到一般的情况当中.

考虑以下资产组合:

a卖出一份看涨期权

b买入h份对应资产

c借入款项B.

在到期日时, 我们希望选择价值h和B使不管对应资产价格上升还是下降, 组合的最后结果为零. 我们可以设定:

S u h– Cu – BR = 0

S d h – Cd – BR = 0

在这里R为 , i是按连续复利计算的无风险利率. 这是一个包含两个未知变量的方程式, 经过简单的计算可以得出h和B:

h = (Cu – Cd) / S(u – d)

B = (d Cu – u Cd) / R(u – d)

因为初始的现金流为0, 所以:

C – hS + B = 0

把h和B的值带入上面的等式, 得到:

C = [( R – d )Cu + ( u – R )Cd] / R(u – d)

最后得到价格上涨的概率为:

p = ( R – d ) / ( u – d )

把一期期权价值的表达式写得规矩一点:

C = [ p Cu + ( 1 – p ) Cd ] / R

从一期期权的定价公式我们得出: 每一步期权的价值只是预期结果的现值, 没一种结果按其发生的概率进行加权.

例题. 股票价格的现值为$20, 而且已知在3个月末股票的价格会达到$22或$18. 投资者买

入3月期的该股票的欧式看涨期权, 协定价格为$21. 无风险利率为12%每年, 用二项式法计算该股票欧式看涨期权的价格.

3.2两期间二项式模型

这种为一期期权定价的方法可以开展为更长到期日的期权定价. 我们来观察两期期权, 把上面的例题展开为两期. 初始价格为$20, 在每个时间间隔价格都会上升10%, 或下降10%. 我们假设每个时间间隔是3个月, 无风险利率为12%每年, 看涨期权的协定价格是$21.

我们分析的目的就是计算出初始结点的期权价格. 要想达到这个目的, 我们可以重复地应用前面一期间二项式模型的计算原则. 我们可以画出两个期间的二叉树模型, 如下图所示:

如果价格在这两个时期内呈直线上升, 最后价格为20 * 1.1 * 1.1 = 24.2. 如果价格在两个时期下降, 最后为16.2. 最后, 如果资产价格先升后降, 或先降后生, 价格将为19.8. 与此想对应地, 我们可以求出期权的内在价值. 分别用下面的图来表示(每个结点用字母来标明):

在结点D, 股票价格是24.2, 看涨期权价值为24.2 – 21 = 3.2; 在结点E和F, 看涨期权为价外, 期权价值为0. 在结点C的看涨期权价格为0, 因为结点E和F的价值都是0.

我们主要关注结点B的看涨期权价格. 用我们前面的二项式计算方法, u = 1.1, d = 0.9, r = 0.12, T = 0.25, 那么 p = 0.6523. 因此, 结点B的期权价格为:

最后, 我们还要求期权的最初价格, 也就是结点A的期权价格(利用结点B的期权价格和结点C的期权价格). 最后, 结点A的看涨期权价格为:

从上面的数字例子我们可以总结出两期间二项式模型的定价方法.

股票价格的现值是S0. 在每个时间段内, 股票价格会上升u倍, 或下降d倍. 股票价格的变化可以从图中看出来(例如, 在两个期间段后, 价格上升到 , 期权价格为fuu). 我们假设无风险利率为r, 每个期间段的长度为 .

重复一期间二项式模型的定价方法, 我们可以得到:

把等式1, 等式2带入等式3, 可以得到:

这样, 我们就可以把大问题化解为几个小问题, 即”分割法”. 从后往前推, 从最后的两个结点(价格上升或下降后的数值)来推出前面结点的期权价值, 直到推出最后的期权价值为止.

如果一期模型可以扩展为二期模型, 那么它也可以扩展为多期模型, 得到一个完整的阶梯结构. 解体上每一个结点代表某一时间对应资产的价格. 在每一步中, 价格可能上升或下降. 从左边的市场价格, 阶梯逐渐扩展, 包含了随时间变化对应资产所有可能达到的价格. 到期日时间越长, 对应资产价格变化越剧烈, 阶梯范围越大.

作为二差数方法的解释, 我给大家准备了一个运用十步二项式模型为我们例题中的期权定价, 表中列出了所有资产价格和期权价值.

在此例中, 运用十步二项式方法求出期权的适当价格为5.40, 和B-S模型求出的一样. 看起来二项模型和B-S模型是一致的. 实际上, 我们通常要使用十步以上, 否则二项式方法得出的结果就不可信了.

当二项模型步数越来越大, 最后为无尽, 此时的二项模型和B-S模型完全一致. 这就提出了一个问题: 为什么要使用二项模型? 它计算起来十分费时间. 答案是二项模型的限制更少, 当B-S模型不好用时可以用来进行期权的定价. 例如, 美式期权或者有不规则股息支付的股票的期权, 用B-S模型定价有较大的扭曲. 在这些情况下, 使用二项模型相对要简单, 准确一些. (你只要掌握一点: 对于欧式期权, 我们应用B-S模型来定价; 对于美式期权, 我们要用二项式方法来定价. 具体的事例我们在后面会给出).

下面给大家介绍一下与二项式方法和B-S模型都相关的期权定价的重要思想:

3.3风险中性假设 ( Risk Neutrality)

如果一个问题的分析过程与投资者的收益/风险偏好无关, 那么可以把这个问题放在一个假想的风险中性的世界里进行分析, 而所得结果在真实世界里也应当成立, 即风险中性假设.

我们用二项式方法对期权进行定价时, 把P和1 – P定义为风险中性概率, 而且期权的价值也相当于其末期权的预期值用无风险利率折现后的现值. 由于期权是有风险的金融工具, 要计算现值的话, 折现率也不应该是无风险利率. 这些都涉及到风险中性假设.

现代金融学认为理性的投资者都是厌恶风险的, 他们承担风险的同时要得到相应的回报. 如果一个投资者对风险采取无所谓的态度, 那么他就被认为是风险中性的. 在一个风险中性的世界里, 所有市场参与者都是风险中性的. 他们对于资产的风险性大小或是否有风险都不要求相应的补偿, 所有资产的预期收益率都是一样的. 因此, 风险中性的投资者对于任何资产所要求的收益率就是无风险利率. 而且, 所有资产现在的市场均衡价格都应当等于其未来收益的预期值, 加上考虑到货币的时间价值, 资产的现行价格就都是未来预期值用无风险利率折现后的现值. 这就是我们为什么把P和1 – P叫做风险中性概率, 而采用无风险利率作为折现率的原因.

利用风险中性假设可以大大简化问题的分析. 因为在风险中性的世界里, 对所有的资产(不管风险如何)都要求相同的收益率(无风险利率), 而且, 所有资产的价格都可以按照风险中性概率算出未来收益的预期值, 再以无风险利率折现得到. 最后, 将得到的结果放回到真实世界中, 就取得了有实际意义的结果.

风险中性假设也同样适用于B-S定价模型. 如果B-S微分方程中包含股票的预期收益μ, 那么它将受投资者风险偏好的影响. 因为μ值的大小确实依赖于风险偏好. 对于任何给定的股票, 投资者厌恶风险程度越高, μ的值就应该越大. 而幸运的是, 在方程的推导过程中, μ恰巧被消掉了. B-S方程不受投资者风险偏好影响的事实使得我们对期权进行定价时可以提出一个非常简单的假设: 所有的投资者都是风险中性的. 因此, 所有证券的预期收益率都是无风险利率 r. 同理. 我们也可以用无风险利率作为贴现率, 将期权到期时的价值贴现到现值.

风险中性假设是对于B-S微分方程的人为假设, 求得的方程解对于所有世界都有效, 而不仅仅是风险中性世界. 当我们从风险中性世界进入到风险厌恶世界时会发生两件事情:股票价格的期望增长率改变了; 在衍生证券任何损益中所用的贴现率改变了. 然而这两件事的效果总是正好相互抵消.

好, 下面我们应用二差树方法来计算期权的价格

3.4 二差树方法的应用

由于二差树方法的限制条件比较少, 因此二项式方法的应用范围要超过B-S模型, 尤其是对于美式看涨和美式看跌期权的定价, 我们主要使用二项式方法.

例1 我们考虑一个两年期的欧式看跌期权, 协定价格为$52, 股票的现价为$50. 我们假设以一年为一个时间段, 每个时间段股票价格或者上升20%, 或者下降20%. 无风险利率为5%每年. 求该欧式看跌期权的价格.

例2 假设上面的看跌期权为美式看跌期权, 求该期权的价格.

(讲解: 到目前为止, 我们都假设期权是看跌期权. 现在我们考虑如何用二项式模型来求美式期权的价格. 计算过程是从后往前推出期权的价格, 然后在每个结点去检验是否可以提前执行期权. 也就是比较:

a按照二项式模型计算的期权价格.

b提前执行期权的收益 (期权的内在价值).

下图显示了如果在美式期权的条件下, 期权价格是如何被改变的. 股票价格和风险中性概率都没有改变, 在最后结点上的期权价值也没有改变.

在结点B, 二项式模型得出的期权价格为1.4147, 而提前执行美式看跌期权的收益是负值( =-8). 由此可见, 在结点B提前执行看跌期权是不明智的, 那么在结点B的看跌期权价值是1.4147.

在结点C, 二项式模型得出的期权价格是9.4636, 而提前执行看跌期权的收益是12. 在这个情况下, 提前执行是最优的选择, 因此结点C的期权价格是12.

在最初的结点A的价值为:

提前执行的收益是 2.0. 在这里, 提前执行看跌期权是不明智的. 因此, 看跌期权的价值是$5.0894.

第11章 期权定价模型

第11章 布莱克-舒尔茨-默顿期权定价模型 一、基本思路 1. 基本思路 我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。 用几何布朗运动表示股票价格的变化过程，具体形式如下： dS dt dz S μσ=+ 或者表示为dS Sdt Sdz μσ=+ 伊藤引理表明，当股票价格服从上述随机过程时，作为衍生品的期权价格f 将服从 22221()2f f f f df S S dt Sdz S t S S μσσ????=+++???? 两式表明：股票价格及其衍生品——期权价格都只受到同一种不确定性的影响，只是两者对随机因素变化的反应程度不同而已。 从数学上看，将两式联立，解方程组可消掉随机项。其金融含义可看作：买入股票、卖空期权构造一个短期内没有不确定性的投资组合。在一个无套利市场中，该投资组合必然只能获得无风险利率收益。由此可得到一个期权价格满足的微分方程，此即为BSM 期权定价模型的微分形式，具体为 2222 12f f f rS S rf t S S σ???++=??? 由于该公式中不包含反映投资者风险偏好的参数——预期收益，因此可以在风险中性世界里求解该微分方程。求解该方程可得到期权定价公式。无股利欧式看涨期权的价格为 ()12()()r T t c SN d Xe N d --=- 其中， 21221d d d = ==- 根据无股利欧式看涨期权和看跌期权平价公式 ()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 可求出无股利欧式看跌期权定价公式 ()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 无收益美式看涨期权是不会提前执行的，因此无收益美式看涨期权定价公式和欧式看涨期权定价公式相同， ()12()()r T t C SN d Xe N d --=- 对于有收益欧式期权，需要在股票价格中抛去收益的现值，对有收益的美式看涨期权，需要考虑其提前执行的情况，由于不存在美式期权之间的平价公式，因此无法给出美式看跌期权

期权的定价方法概述及利用matlab计算期权价格

期权的定价方法概述及利用matlab计算期权价格 摘要期权是功能最多、最激动人心的融衍生工具之一。期权定价问题一直是金融数学当中最复杂的问题之一,简要介绍几种基本的期权定价理论,并利用matlab金融工具箱计算出香港恒生指数期权的价格并与实际价格进行比较,指出可能导致偏差的一些原因。 关键词期权定价;MATLAB;B-S模型 1 期权概述 期权是一种独特的衍生金融产品,实质上是将权利和义务分开进行定价,使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易,行使其权利具有选择权,而义务方必须履行其义务。它使买方能够避免坏的结果,同时,又能从好的结果中获益。 2 期权的定价模型 2.1 二项式期权定价模型 设:S0=股票现行价格,u=股价上行乘数,d=股价下行乘数,r=无风险利率,C0=期权现行价格,Cu=股价上行时期权的到期日价值,Cd=股价下行时期权的到期日价值,X=期权的执行价格,H=套期保值比率,则二项式定价模型为: u=1+上升百分比= d=1+下降百分比= 其中:e是自然对数;σ为标的资产连续复利收益率的标准差;t为以年表示的时段长度。 2.2 Black—Scholes期权定价模型 1)假设条件 B-S微分方程的推导是建立在以下假设的基础上的:①股价遵循预期收益率μ和标准差σ为常数的马尔科夫随机过程;②允许使用全部所得卖空衍生证券;③没有交易费用或税金,且所有证券高度可分;④在衍生证券的有效期内没有支付红利;⑤不存在无风险的套利机会;⑥证券交易是连续的,股票价格连续平滑变动;⑦无风险利率r为常数,能够用同一利率借入或贷出资金;⑧只能在交割日执行期权。 2)Black—Scholes期权定价公式

第十章 期权-期权价格的取值范围

2015年期货从业资格考试内部资料 期货市场教程 第十章 期权 知识点：期权价格的取值范围 ● 定义： 期权价格即权利金，是期权买方为取得期权合约所赋予的权利而支付给卖方的费用。 ● 详细描述： 期权的权利金不可能为负。 看涨期权的权利金不应该高于标的物的市场价格。如果权利金高于标的物的市场价格，投资者的损失将超过直接购买标的物的损失，这便失去了期权投资的意义，投资者不如直接从市场上购买标的物，损失更小且成本更低。 例题： 1.对期权权利金的表述正确的有（）。 A.期权的权利金是期权买方为取得期权合约所赋予的权利而支付给卖方的费 用 B.期权的权利金也称为期权费、期权价格 C.看涨期权的权利金不应该高于标的物的市场价格 D.期权的权利金可以为0、为正、为负 正确答案：A,B,C 解析：期权的权利金不可能为负。由于买方付出权利金后便取得了未来买入或卖出标的物的权利，除权利金外不会有任何损失或潜在风险，所以期权的价值不会小于0. 2.以下关于期货权利金的说法,正确的是（）。 A.权利金可能小于0 B.看涨期权的权利金应该高于标的物的市场价格 C.权利金即期权价格 D.看跌期权权利金不应高于标的物的市场价格

正确答案：C 解析：本题考查期货权利金的取值范围。期权的权利金不可能为负值；看涨期权的权利金不应该高于标的物的市场价格 3.以下关于期权权利金的说法，正确的是（）。 A.权利金，也称为期权费、期权价格，是期权买方为取得期权合约所赋予的权利而支付给卖方的费用 B.期权的权利金可能小于0 C.看涨期权的权利金不应该高于标的物的市场价格 D.期权的权利金由内涵价值和时间价值组成 正确答案：A,C,D 解析：期权的权利金不可能为负。 4.关于期权价格的说法,正确的是() A.看涨期权的价格不应该高于标的资产的市场价格 B.看涨期权的价格不应该低于标的资产的市场价格 C.看跌期权的价格不应该高于期权的执行价格 D.看跌期权的价格不应该低于期权的执行价格 正确答案：A,C 解析： 期权价格即权利金。 期权的权利金不能为负；看涨期权的权利金不应高于标的物的市场价格；看跌期权的权利金不应高于执行价格。

BS期权定价模型

Black-Scholes期权定价模型 (重定向自Black—Scholes公式) Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型 Black-Scholes 期权定价模型概述 1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。 斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。 [编辑] B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 [编辑] (一)B-S模型有7个重要的假设 1、股票价格行为服从对数正态分布模式； 2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会；

布莱克舒尔斯期权定价模型

第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型 一、 影响期权价值的主要因素 由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。 1)标的股票价格与股票执行价格的影响。标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。 2）标的股票价格变化范围的影响。在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。如下图： )(s f )(1s f )(2s f x s 股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。 3）到期时间距离的影响。距离愈长，股价变动的可能性愈大。由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期

权到期的时间越长，期权的价值就越高。 4）利率的影响。利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。 5）现金股利的影响。股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。 二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件 B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有： 1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。 2． T 时期内各时段的预期收益率 r i 和收益方差σi 保持 不变。 3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即 在t 1-t 2时段内有： ()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ?? -- ? ?? 因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收 益率（年收益率）为R t ：3651)1() (t R t S t S +=- 股票的年收益率（单利）R 应该是：

第十章 期权价格概述

第十章 期权价格概述 【学习目标】 本章是期权部分的重点内容之一。本章首先从内在价值和时间价值两个方面对期权价格进行了深入解析，分析了影响期权价值的主要因素，确定期权价格的基本边界，探讨了美式期权是否需要提前执行的问题，从而画出了期权价格曲线的基本形状，最后，我们运用无套利分析的基本方法，推出了看涨期权和看跌期权之间的平价关系。学习完本章，读者应能够运用期权价格曲线，深入掌握期权价格中的内在价值和时间价值的有关内容，掌握期权价值的主要影响因素和期权价格的基本边界，掌握看涨期权和看跌期权之间的平价关系，同时理解美式期权的提前执行问题。 如第八章所述，期权交易实质上就是一种权利的交易。在这种交易中，期权购买者为了获得期权合约所赋予的权利，就必须向期权出售者支付一定的费用。这一费用就是期权费（期权价格），即期权合约本身的价格。在期权交易中，期权价格（价值1）的决定是一个重要而复杂的核心问题。自1973年以来，许多专家和学者纷纷提出各自的期权定价模型，以说明期权价格的决定和变动。在这些模型中，最著名的模型主要有如下两个：一个是布莱克－舒尔斯模型（The Black-Scholes Model ），另一个则是二项式模型（The Binominal Model ）。在第十一章，我们将对这两个模型作一简要的介绍和评价。在此之前，为了更好地说明这两个模型的内涵，我们有必要先对各种期权定价模型的理论基础——期权价格的构成、影响期权价格的主要因素以及期权价格的边界等问题进行深入的分析。 第一节 期权价格解析 尽管在现实的期权交易中，期权价格会受到多种因素的复杂影响，但从理论上说，期权价格都是由两个部分组成的：一是内在价值，二是时间价值。即 期权价格＝期权内在价值＋期权时间价值。 一、期权的内在价值 期权的内在价值（Intrinsic Value ）是指期权合约本身所具有的价值，也就是期权多方行使期权时可以获得的收益的现值。我们曾经在第八章中谈及这一概念2。例如，如果股票XYZ 的市场价格为每股60美元，而以该股票为标的资产的看涨期权协议价格为每股50美元，那么这一看涨期权的购买方只要执行此期权即可获得 1 000美元()60501001000??-?=??美元（股票期权通常为美式期权且一张期权合约的交易单位为100股股票）。这1 000美元的收益就是看涨期权的内在价值。 1 价格和价值本来是两个不同的概念，它们之间是市场价格和理论价值的区别。但是在对期权费的研究中，一般将这两者混用。所谓的期权价格（Options Price ）实际上就是期权价值（Options Value ），即期权的合理公平价值。 2 详见第八章第一节。

第七章_美式期权定价(金融衍生品定价理论讲义)

第七章 美式期权定价 由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。 对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。提前执行可以获得执行价格的利息收入。 许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ）， 假设： 1．市场无摩擦 2．无违约风险 3．竞争的市场 4．无套利机会 1．带息价格和除息价格 每股股票在时间t 支付红利t d 元。当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。 ()()t e c d t S t S += 这里()t S c 表示股票在时间t 的带息价格，()t S e 表示股票在时间t 的除息价格。 这个假设的证明是非常直接的。如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +1，则存在套利机会。 首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为()()()t e c d t S t S +-。因为红利是确定知道的，所以只要()()()t S t S e c -var =0，则利润是没有风险的。 其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。

推荐-期权定价理论 精品

期权定价理论 期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世（有关期权定价的发展历史大家可以参考书上第358页，有兴趣的同学也可以自己查找一下书上所列出的经典文章，不过这要求你有非常深厚的数学功底才能够看懂）。B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。为此，对期权定价理论的完善和推广作出了巨大贡献的默顿和Scholes在1997年一起荣获了诺贝尔经济学奖（Black在1995年去世，否则他也会一起获得这份殊荣）。 原始的B—S模型仅限于这类期权：资产可用于卖出期权；能够评估价值，资产价格行为随时间连续运动。随后建立在原始的B—S模型上的研究以及许多其他期权定价模型的变体相继出现，用于处理其他类型的标的资产以及其他类型的价格行为。在大多数情况下，期权定价模型的推倒基于随机微积分（Stochastic Calculus）的数学知识。没有严密的数学推演，演示这种模型只是摸棱两可的。可是，这并非要紧的问题，因为确定期权公平价格的必要计算已自动化，且达到上述目的的软件在大型计算机及微机中均可获得。因此，在这里，我只简单介绍一下B—S模型的关键几个要素，至于具体的数学推导（非常复杂），感兴趣的同学可以在课后阅读一下相关资料（一般都是在期权定价理论章节的附录中）。 首先，我们来回顾一下套利的含义 套利 套利（arbitrage）通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时间和空间上所存在的定价差异、或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异，同时进行一系列组合交易，获取无风险利润的行为。注意，这种利润是无风险的。 现代金融交易的目的主要可以分为套利、投机和保值，这也是我们在以前的课程中接触过的。那么，我们怎样来理解套利理论的含义呢？ 我们说，市场一般是均衡的，商品的价格与它的价值是相一致的。如果有时候因为某种原因使得价格与价值不相符，出现了无风险套利的机会，我们说这种套利的机会就会马上被聪明的人所发现和利用，低买高卖，赚取利润，那么通过投机者不断的买卖交易，原来价值被低估的商品，它的价格会上涨（投机者低价买入）；原来价值被高估的商品，它的价格会下跌（投机者高价卖出），交易的结果最终会使得市场价格重新回到均衡状态。（就像书中列举的两家书店卖书的例子一样…） 同样的道理我们不难理解，现代期权定价技术就是以无风险套利原理为基础而建立起来的。我们可以设计一个证券资产组合，使得它的价值（收益）与另外一个证券资产组合的价值相等。那么，根据无风险套利理论，这两种证券资产组合应该以同样的价格出售。从而，可以帮助我们确定，在价格均衡状态下，期权的公平定价方式。 具体来说，对期权跌——涨平价原理的推导就采用了无风险套利的原理。 跌——涨平价原理（put——call parity） 看涨期权的价格与看跌期权的价格（也就是期权费）之间存在着非常密切的联系，因此，只要知道看涨期权的价格，我们就可以推出看跌期权的价格（通过平价原理）。这样，就省去我们再费心研究看跌期权的定价公式了。只要我们通过B——S模型计算出看涨欧式期权的定价之后，我们就可以相应地推出欧式看跌期权的定价（注意，B——S模型只适用于欧式看涨期权）。

第10章二叉树法期权定价及其Python应用

第10章二叉树法期权定价 及其Python应用 本章精粹 蒙特卡罗模拟法便于处理报酬函数复杂、标的变量多等问题，但是在处理提前行权问题时却表现出明显的不足。本章将要介绍的二叉树法可以弥补蒙特卡罗模拟法的这种不足。 二叉树的基本原理是：假设变量运动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，标的变量每次向上或向下的概率和幅度不变。将考察期分为若干阶段，根据标的变量的历史波动率模拟标的变量在整个考察期内所有可能的发展路径，并由后向前以倒推的形式走过所有结点，同时用贴现法得到在0时刻的价格。如果存在提前行权的问题，必须在二叉树的每个结点处检查在这一点行权是否比下一个结点上更有利，然后重复上述过程。

10.1 二叉树法的单期欧式看涨期权定价 假设： (1) 市场为无摩擦的完美市场，即市场投资没有交易成本。这意味着不支付税负，没有买卖价差(Bid-Ask Spread)、没有经纪商佣金(Brokerage Commission)、信息对称等。 (2) 投资者是价格的接受者，投资者的交易行为不能显著地影响价格。 (3) 允许以无风险利率借入和贷出资金。 (4) 允许完全使用卖空所得款项。 (5) 未来股票的价格将是两种可能值中的一种。 为了建立好二叉树期权定价模型，我们先假定存在一个时期，在此期间股票价格能够从现行价格上升或下降。 下面用实例来说明二叉树期权定价模型的定价方法。 1. 单一时期内的买权定价 假设股票今天(t =0)的价格是100美元，一年后(t =1)将分别以120美元或90美元出售，就是1年后股价上升20%或下降10%。期权的执行价格为110美元。年无风险利率为8%，投资者可以这个利率放款(购买这些利率8%的债券)或借款(卖空这些债券)。如图10-1所示。 今天 1年后 t =0 t =1 u S 0=120 上升20% 1000=S d S 0=90 下降10% u 0max(u ,0)max(120110,0)10C S X =-=-= ?0=C d 0max(d ,0)max(90110,0)0C S X =-=-= 图10-1 买权价格 图10-1表示股票买权的二叉树期权定价模型。现在股价为100美元，1年后股价有两种状态：上升20%后，股价记作u S ，为120美元，下降10%后，股价记作d S ，为90美元，执行价格为110美元，根据前面的介绍，股票买权的到期价格分别为10美元和0，那么在t =0时买权的真实值(内在价值)0?C = 为了给这个买权定价，我们可以用这个股票和无风险债券的投资组合来模拟买权的价值。这个投资组合在没有套利机会时等于这个买权的价格；相反，如果存在套利机会，投资者可以购买两种资产中较便宜的一种，出售较贵的另一种，而得到获利的机会。然而，这只能在很短的时间出现。这个投资组合不仅给出了买权的定价方法，而且还提供了一种对冲(套期保值)的方法。 假设投资者购买N 股股票且投资0B 在无风险债券上，那么投资组合今天的值为

股票的期权定价理论介绍和相关的数值分析

股票的期权定价理论介绍和相关的数值分析 康书隆2002级数量经济硕士研究生 内容摘要：期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具.期权之所以能够规避市场风险是因为金融证券的收益同相应的金融衍生物的收益总是负相关的。理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险利率，从而获得无风险收益。这种组合的确定有赖于对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期，Black 和Scholes 通过研究股票价格的变化规律，运用套期保值的思想，成功的推倒出了无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳定，完善与繁荣。本文首先将尝试着阐述期权定价理论产生的背景，过程及其带来的重大意义；在其后部分，我们将分析这一理论的数学基础以及Black---Scholes 随机微分方程的推导过程；最后我们将运用有限插分的方法来求解Black---Scholes 随机微分方程。之所以这样做，是为了弥补Black---Scholes 随机微分方程解析解只能够对欧式期权进行定价的不足。最后，我们将定量分析执行价格的变化和股票平均波动率变化对期权价格的影响。并且绘制出一系列的图形帮助人们理解这种影响。从而对于人们理解一些参数的变化对于期权价格的影响有一定的帮助。 关键词：维纳过程，伊藤过程，Black_Scholes 方程, 期权。 一、期权定价理论产生的背景，思想和重大意义 １.1: 期权定价理论产生的背景 Black-Scholes期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为四个:预期股票价格、交割成本、股票价格波动幅度和时间。其成功之处在于:第一,提出了风险中性(即无风险偏好)概念,且在该模型中剔除了风险偏好的相关参数,大大简化了对金融衍生工具价格的分析;第二,该型创新地提出了可以在限定风险情况下追求更高收益的可能,创立了新的金融衍生工具——标准期权。布莱克和斯科尔斯1971年提出这一期权定价模型, 1973年在《政治经济学报》上得以发表他们的研究成果。一个月后,在美国芝加哥出现第一个期权交易市场。期权交易诞生后,许多大证券机构和投资银行都运用Black-Scholes期权定价模型进行交易操作,该模型在相当大的程度上影响了期权市场的发展。控制风险是Black-Scholes期权定价模型的重要意义之一。70年代以后,随着世界经济的不断发展和一体化进程的加快,汇率和利率的波动更加频繁,变动幅度也不断加大,风险增加。控制和减小风险成为所有投资者孜孜以求的目标。Black-Scholes定价模型提出了能够控制风险的期权,同时,也为将数学应用于经济领域,创立更多的控制风险和减小风险的工具开辟了道路。Black-Scholes定价模型指出,在一定条件下,人的集合行为满足一定数学规律。这一论断打破了传统的“人的行为无法定量描述”的旧观念。通过数学的定量分析,不仅投资者可更好地控制自身交易的风险,更为管理层进行风险管理、减小整个市场的风险提供了可能。由于布莱克的专业是应用数学和物理,最早从事火箭方面的研究,因此布莱克也被称为是“火箭科学向金融转移的先锋”。斯科尔斯和默顿把经济学原理应用于直接经营操作,堪为“理论联系实际”的典范。他们设计的定价公式为衍生金融商品交易市场的迅猛发展铺平了道路,也在一定程度上使衍生金融工具成为投资者良好的融资和风险防范手段。这对整个经济发展显然

基于期权理论的股票定价模型

基于期权理论的股票定价模型 摘要：传统的股利回现模型对股票定价不能精确确定投资者的收益率和未来支付的现金股利。股票具有期权的特性，公司的股票实质上是基于公司价值的看涨期权，该期权的执行价格就是公司债券到期时的还本付息的金额，于是可以用期权定价模型来进行股票定价。该法不需要估计未来现金股利和投资者的语气收益率，在一定程度上客服了传统股票定价方法的缺陷。 关键字：股票定价期权二叉树模型 B-S模型 第1章绪论 自股票产生400多年以来，股票价值就一直是困惑投资者的最大难题。股票价值之谜就如同哥德巴赫猜想一样，历经数百年，吸引了无数的人类精英去探索，但至今仍是不得其解。许多的经济学家和管理学家试图寻找到一个数学模型来确定股票价值，从而为股票市场的正常运行提供依据，但至今为止，这样的模型仍是一个不解之谜。无数的股票投资者苦恼于股票的神秘，他们往往不得不凭猜测压赌注，到头来也往往是血本无归。更有一些别有用心的人，利用股票价值的神秘感，在股市上兴风作浪，趁火打劫。 股票的价值体现在他的未来回报，其评估过程也是一个“从过去预测未来，从未来计算现在”的过程。由于时空的限制，我们无法穿越时间的隧道，准确预知未来。所以我们只能在黑暗中摸索股票价值。我们只能利用科学知识和技术手段，从历史的蛛丝马迹中去分析推测并演算出股票现在的价值。 第2章基于期权理论的股票定价模型

2.1期权的定义及期权定价模型 期权（option）是又称为选择权，是指买方向卖方支付期权费（指权利金）后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权）以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务（即期权买方拥有选择是否行使买入或卖出的权利，而期权卖方都必须无条件服从买方的选择并履行成交时的允诺）。 由此可见，期权是一种交易双方签订的、按约定价格、约定时间、买卖特定数量的商品或有价证券合约。与其他一般合约不同的是，期权购买人在合约规定的交割时间有权选择是否执行这一合约，而期权出售人则必须服从购买人的选择。即：期权交易是一种权利买卖。 期权分为看涨期权（call option）和看跌期权（put option）。看涨期权是持有者有权在约定时间按约定价格向期权出售人购买特定数量的商品或有价证券，而不管这种商品或有价证券到时价格发生如何的变动，而出售者必须履行合约，按照约定的价格出售资产。与此相反，卖进看跌期权，购买人就有权利在期权的有效期内，按约定价格向出售人出售约定数量的商品或者有价证券，而不论此期间他们的价格如何变动。 期权定价模型（OPM）由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。模型表明，期权价格的决定非常2复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。 2.2传统股票定价的缺陷 传统股票定价思路是将与其的未来现金流量按预期报酬率进行折现、即股票的价值是预期的所有未来股息现金流量折现值之和。公司股票价值的计算可表示为 其中，V e是公司股票的内在价值，D t是在t年末预期收到的股利，K e是股票的期望收益率，包括无风险利率和风险补偿率。若假定预期的股利以固定的增长率g增长，在k>g的条件下，上式可简化为：

期权文献综述

文献综述 金融衍生品定价：EPMS估计量的渐近分布综述

金融衍生品定价：EPMS估计量的渐近分布综述 摘要 金融衍生品的定价是以各种定价模型的为基础的。其中，金融衍生品的定价以期权定价的研究最为广泛，许多优秀的模型都是从期权定价作为出发点考虑的。期权定价是整个金融衍生品定价的核心。 本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black-Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。 关键词：期权定价，Black-Scholes模型，二叉树模型，蒙特卡罗法

目录 摘要 (i) 1.期权的分类及意义 (1) 1.1 期权的定义 (1) 1.2 期权的分类 (1) 1.3 新型模式 (2) 1.4 期权的特点 (3) 2.期权定价理论 (3) 2.1 早期期权定价理论研究 (3) 2.2 Black-Scholes期权定价模型 (4) 2.3 树图方法 (5) 2.4 蒙特卡洛法 (6) 2.5 有限差分方法 (7) 3.期权定价理论的研究展望 (7) 3.1 各种期权定价理论比较分析 (7) 3.2 期权定价理论的研究展望 (8) 4.总结 (9) 5.参考文献 (9)

金融衍生品定价：EPMS估计量的渐近分布综述 1.期权的分类及意义 1.1 期权的定义 期权又称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。指在未来一定时期可以买卖的权利，是买方向卖方支付一定数量的金额（指权利金）后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权）以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权力，但不负有必须买进或卖出的义务。 从其本质上讲，期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价，使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易，行使其权利，而义务方必须履行。在期权的交易时，购买期权的一方称作买方，而出售期权的一方则叫做卖方；买方即是权利的受让人，而卖方则是必须履行买方行使权利的义务人。 1.2 期权的分类 期权交易的类型很多，大致有如下几种： （1）按期权的权利划分，有看涨期权和看跌期权两种类型。 看涨期权（CallOptions）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须买进的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。 看跌期权：按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须卖出的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。 （2）按期权的交割时间划分，有美式期权和欧式期权两种类型。 美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利。 欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利，期权的买方在合约到期日之前不能行使权利，过了期限，合约则自动作废。 （3）按期权合约上的标的划分，有股票期权、股指期权、利率期权、商品

期权定价理论文献综述

期权定价理论文献综述 [摘要]本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black-Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。 [关键字]综述；期权定价；Black-Scholes模型；二叉树模型；蒙特卡罗法 1 期权的分类及意义 1.1 期权的定义 期权（option）是一份合约，持有合约的一方（seller）有权（但没有义务）向另一方在合约中事先指定的时刻（或此时刻前）以合约中指定的价格购买或者出售某种指定数量的特殊物品。为了获得这种权利，期权的购买者（holder or buyer）必须支付一定数量的权利金（也称保证金或保险金），因此权利金就成为期权这个金融衍生品的价格。 1.2 期权的分类 期权交易的类型很多，大致有如下几种： （1）按交易方式可分为看涨期权、看跌期权和双重期权； （2）按期权的执行时间不同可分为美式期权和欧式期权； （3）按期权交割的内容标准可分为股票期权、货币期权、利率期权与指数期权； 此外近年来还发展了许多特殊的期权交易形式，如回溯期权、循环期权、价差期权、最大/最小期权、平均价期权、“权中权”期权等。

1.3 期权的功能 作为套期保值的工具。当投资者持有某种金融资产，为了防范资产价格波动可能带来的风险，可以预先买卖该资产的期权来对冲风险。当投资者预期基础资产的市场价格将下跌时，为防止持有这种资产可能发生的损失，可以买入看跌期权予以对冲，其所付成本仅为购买期权的权利金。通过购买看涨期权和看跌期权，一方面可以达到基础资产保值的目的；另一方面也可以获得基础资产价格升降而带来的盈利机会。 作为投机的工具。在投资者并不需要为持有资产作对冲风险的交易时，也可根据对基础资产价格必定性大小的预期，买卖期权本身来获得盈利，投资者买卖期权的目的已从对冲风险，变成赚取期权的价差利益，即投机，通过购买期权和转卖期权的权利金差价中获利，或通过履约从中获利。 2 期权定价理论的历史发展 2.1 早期期权定价理论研究 期权的思想萌芽可追溯到公元前1800年的《汉漠拉比法典》，而早在公元前1200年的古希腊和古胖尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不过在当时条件下不可能对其有深刻认识。公认的期权定价理论创始人是法国数学家Louis Bachelicr。1900年，他在博士论文“投机理论”中第一次对股票价格的走势给予了严格的数学描述。他假设股票价格变化过程是一个无漂移和每单位时间具有方差2 的纯标准布朗运动，并得出到期日看涨期权的预期价格是：其中 参数π是市场“价格杠杆”调节量，α是股票预期收益率。这一模型同样也没有考虑资金的时间价值。 Boness在1964年也提出了类似的模型，他对股票收益假定了一个固定的对数分布，并且认识到风险保险的重要性。为简明，他假定“投资者不在乎风险”。他利用这一假设证明了用股票的预期收益率α来贴现最终期权的预期值。他的最终模型是：

基于B-S期权定价模型的股权价值评估(DOC)

基于B-S期权定价模型的股权价值评估 摘要：随着我国经济的不断发展，股份制公司在市场经济中的优势越来越明显，吸引了一大批企业进行股份制改革。在企业改制过程中，股权价值的确定是整个股份制改革的重要步骤，本文针对一般性企业的股份改制过程中的股权价值问题进行探讨，并将实物期权中的B-S股权定价模型方法引入估价价值评估中，对企业改制过程中的股权价值评估方法进行新的探讨，为更多企业在改制过程中的股权定价提供参考依据。 关键词：B-S期权定价模型；企业改制；股权价值评估 1.研究背景和研究意义 1.1研究背景 有限责任公司和股份有限公司是我国企业主要的存在形式，随着经济的不断发展，股份有限公司形式成为越来越多企业的选择，股份有限公司在经济发展中的作用也愈加凸显。不少原有形式为有限责任公司的企业也在进行股份制改革，以优化企业的产权结构，丰富产权主体。股份制改革，有利于拓宽企业的筹资渠道，改善筹资难问题，获取稳定的发展资金；有利于分散风险，保障企业的生产运营和战略发展；通过股权激励等方式，有利于吸引和保留更多优秀的技术人才和管理人才，为企业的发展提供源源不断的动力；其资本聚集的效应，也顺应了社会生产的发展趋势，有利于优化资源配置，促进资本流动。随着越来越多的企业进行股份制改制，对企业改制的股权评估需求也越来越多。企业在进行股份制改革时，涉及到股权价值的衡量问题，由此产生了股权价值的评估需求。对股权价值进行评估，往往需要委托专业的评估机构，这不仅符合我国的法律法规，也符合市场运行的要求。 在企业改制过程中，股权价值的确定是整个股份制改革的重要步骤，在股权转让时，股权的价值更是关键因素，合理的股权价格有利于加深交易各方对该企业的价值认识，促成股权转让行为。在进行股权价值评估时，不同的计量方法，也会使最后的评估结果出现差异，因此在评估时，需要针对评估对象的具体情况选择合适的方法。由于我国市场经济条件的特殊性，在评估时需要对评估方法进行灵活应用，许多国外的评估惯例在我国并不适用，我国并不具备国外相对成熟的市场条件，但由于国外资产评估行业发展远远早于我国的资产评估行业的发展，在理论和实践上仍有许多值得借鉴的地方。就股权价值评估而言，我国对股权价值评估的理论研究还相对落后，对实践操作的指导也相对欠缺，虽然可以借鉴国外股权价值评估的已有成果，但是我国还不具备相应的市场经济条件，故我国在股权价值评估的理论和实践研究上还任重道远。 1.2研究意义 在我国企业改制越来越盛行，对股权价值评估的需求越来越大的背景下，我国股权价值

期权定价理论

期权定价理论 期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。当布莱克（Black ）和斯科尔斯（Scholes ）于1971年完成其论文，并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所（CBOE ）才刚刚成立一个月（1973年4月26日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。后来默顿对此进行了改进。布莱克—斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。 期权定价理论并不是起源于布莱克—斯科尔斯定价模型（以下记为B —S 定价模型）。在此之前，许多学者都研究过这一问题。最早的是法国数学家路易·巴舍利耶（Lowis Bachelier ）于1900年提出的模型。随后，卡苏夫(Kassouf ，1969年)、斯普里克尔（Sprekle ，1961年）、博内斯（Boness ，1964年）、萨缪尔森（Samuelson ，1965年）等分别提出了不同的期权定价模型。但他们都没能完全解出具体的方程。本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的B —S 定价理论。 一、预备知识 （一）连续复利 我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。因而，熟悉连续复利的计算是十分必要的。 假设数额为A 的资金，以年利率r 投资了n 年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为 n r A )1(+。如果每年计m 次利息，则终值为：mn m r A )1(+ 。 当m 趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利的情况下，金额A 以利率r 投资n 年后，将达到：rn Ae 。 对一笔以利率r 连续复利n 年的资金，其终值为现值乘以rn e ，而对一笔以利率r 连续复利贴现n 年的资金，其现值为终值是乘上rn e -。 在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。也就是说，现在金额为S 投资股票，期望以复利μ计息，经过T 时期后（T 一般以年为单位），股票的期望价格为：T T Se S μ=，从而可得： S S T T ln 1= μ。也就是说，股票价格的期望收益率为股票价格比的对数。

论文基于期权理论的股票定价模型的研究(定)

论文基于期权理论的股票定价模型的研究（定）

毕业论文(设计) 基于期权理论的股票定价模型的研究

传统的现金流量模型在对股票定价的过程中，存在着不能精确地确定投资者的收益率和未来支付的现金股利的不足。公司的权益资本（股票）具有期权的特性，公司的股票实质上是基于公司价值的看涨期权，该期权的执行价格就是公司债券到期时的还本付息的金额，于是可以用期权定价模型来进行股票定价。该方法不需要估计未来的现金股利和投资者的预期收益率，在一定程度上克服了传统股票定价方法的缺陷。 首先对国内外企业股票定价的方法进行综述;随后阐述了市场上常用的两个经典模型：现金流量贴现模型与股利贴现模型，并分析了每种模型的优缺点及其适用范围。然后重点研究了基于期权理论的股票定价模型：Black-Scholes模型和二叉树模型。对模型分析时，本文采用“理论分析――实证分析――优缺点分析”的思路。在实证分析中，对公司的价值进行评估，并验证了基于期权理论的股票定价模型的准确性。最后，对基于期权理论的股票定价的两个模型进行比较，得出股票如何定价的结论。 关键字：现金流量模型；股票定价；Black-Scholes模型；二叉树模型

The traditional cash flow model of stock pricing in the process of the investment can not precisely determine profitability and future payment of cash dividend. Corporate equity (stock) has the characteristics of the option, and the stock of the company is essentially a call option based on corporate value, the price of which is the amount of debt servicing when the company bond expires, and we can use the option pricing model for stock pricing. This method does not need to estimate the future cash dividend and the expected rate of return of investment, which overcomes the shortcomings of the traditional methods in a certain extent. Firstly, we review the stock pricing methods at domestic and foreign enterprises. Then we introduce two classical models in the stock market: cash flow model and dividend discount model, and analyses the advantages and disadvantages of each model and its scope. At last, we study stock pricing models based on Black –Scholes’ theoretical research and Binomial tree models. We use the methods of the theoretical analysis--empirical analysis--advantages and disadvantages analysis to analyze the model. According to empirical analysis, we make evaluation of enterprise value and verify the accuracy of the evaluation based on the theory of stock option pricing model. Finally, comparing to the two models we draw a conclusion how to make the stock pricing. Key words:Cash flow model; Stock pricing; Black - Scholes model; Binomial tree