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新湘教版八年级下册第一章数学教案

第1章直角三角形

§1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

(第1课时)

教学目标:

1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。

2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。

3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

教学重点:直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

难点:直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

教学方法:观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程:

一、复习提问:(1)什么叫直角三角形?

(2)直角三角形是一类特殊的三角形,除了具备三角形的性质外,

还具备哪些性质?

二、新授

(一)直角三角形性质定理1

请学生看图形:

1、提问:∠A与∠B有何关系?为什么?

2、归纳小结:定理1:直角三角形的两个锐角互余。

3、巩固练习:

练习1

(1)在直角三角形中,有一个锐角为520,那么另一个锐角度数

(2)在Rt△ABC中,∠C=900,∠A -∠B =300,那么∠A= ,∠B= 。

练习2 在△ABC中,∠ACB=900,CD是斜边AB上的高,那么,(1)与∠B互余的角有(2)与∠A相等的角有。(3)与∠B相等的角有。

(二)直角三角形的判定定理1

1、提问:“在△ABC中,∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗?”

2、利用三角形内角和定理进行推理

3、归纳:有两个锐角互余的三角形是直角三角形

练习3:若∠A= 600,∠B =300,那么△ABC是三角形。

(三)直角三角形性质定理2

1、实验操作:要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片

(l)量一量斜边AB的长度

(2)找到斜边的中点,用字母D表示

(3)画出斜边上的中线

(4)量一量斜边上的中线的长度

让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系?

归纳:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、巩固训练:

练习4:在△ABC中,∠ACB=90 °,CE是AB边上的中线,那么与CE相等的线段有_________,与∠A相等的角有_________,若∠A=35°,那么∠ECB= _________。

练习5:已知:∠ABC=∠ADC=90O,E是AC中点。

求证:(1)ED=EB

(2)∠EBD=∠EDB

(3)图中有哪些等腰三角形?

练习6 已知:在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高, M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?

四、小结:

这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理?

1、

2、

3、

五、课后反思:

§1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

(第2课时)

一、教学目标:

1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

3、通过图形的变换,引导学生发现并提出新问题,进行类比联想,促进学生的

思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。

4、从生活的实际问题出发,引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题

和解决问题能力。

二、教学重点与难点:

直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

三、教学方法:观察、比较、合作、交流、探索.

四、教学过程:

(一)引入:如果你是设计师:(提出问题)

2008年将建造一个地铁站,设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里?

(通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系,引发学生的学习兴趣。)

动一动想一想猜一猜(实验操作)

请同学们分小组在模型上找出那个点,并说出它的位置。

请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。

通过以上实验请猜想一下,直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系?

(通过动手操作找到那个点,通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。)

(二)新授:

提出命题:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

证明命题:(教师引导,学生讨论,共同完成证明过程)

推理证明思路:①作点D1②证明所作点D1具有的性质③证明点D1 与点D

E

D

C

B

A

重合

应用定理:

例1、已知:如图,在△ABC 中,∠B=∠C ,AD 是∠BAC 的平

分线,

E 、

F 分别AB 、AC 的中点。

求证:DE=DF

分析:可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线,再证两斜边相等即可证得。

(上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合,现在我们将图形变化使斜边重合,我们可以得到哪些结论?) 练习变式:

1、 已知:在△ABC 中,BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高,F 是BC 的中点。

求证:FD=FE 练习引申:

(1)若连接DE ,能得出什么结论?

(2)若O 是DE 的中点,则MO 与DE 存在什么结论吗?

上题两个直角三角形共用一条斜边,两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边,两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论? 2、已知:∠ABC=∠ADC=90o,E 是AC 中点。你能得到什么结论?

例2、求证:一个三角形一边上的中线等于这一边的一半,那么这个三角形是直角三角形。P4 练习P4 2 (三)、小结:

通过今天的学习有哪些收获? (四)、作业:P7 习题A 组 1、2 (五)、课后反思:

F

E

D

C

B

A

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F

C

B

1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

第三课时

教学目标

1、掌握直角三角形的性质“直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对

的直角边等于斜边的一半”;

2、掌握直角三角形的性质“直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么

这条直角边所对的角等于30度”;

3、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题。

重点、难点

重点:直角三角形的性质,难点:直角三角形性质的应用

教学过程

一、创设情境,导入新课

1 直角三角形有哪些性质?

(1)两锐角互余;(2)斜边上的中线等于斜边的一半

2 按要求画图:

(1)画∠MON,使∠MON=30°,

(2)在OM上任意取点P,过P作ON的垂线PK,垂足为K,量一量PO,PK的长度,PO,PK 有什么关系?

(3) 在OM上再取点Q,R,分别过Q,R作ON的垂线QD,RE,

垂足分别为D,E,量一量QD,OQ,它们有什么关系?量

一量RE,OR,它们有什么关系?

由此你发现了什么规律?

直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么

它所对的直角边等于斜边的一半。

为什么会有这个规律呢?这节课我们来研究这个问题.

二、合作交流,探究新知

1 探究直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么

它所对的直角边为什么等于斜边的一半。

如图,Rr△ABC中,∠A=30°,BC为什么会等于1

2

AB

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C

B

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A

K

O

M

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B

分析:要判断BC=1

2

AB,可以考虑取AB的中点,如果如果BD=BC,那么BC=

1

2

AB,由

于∠A=30°,所以∠B=60°,

如果BD=BC,则△BDC一定是等边三角形,所以考虑判断△BDC是等边三角形,你会判断吗?

由学生完成

归纳:直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

这个定理的得出除了上面的方法外,你还有没有别的方法呢?

先让学生交流,得出把△ABC沿着AC翻折,利用等边三角形的性质证明。

2 上面定理的逆定理

上面问题中,把条件“∠A=30°”与结论“BC=1

2

AB”交换,结论还成立吗?

学生交流

方法(1)取AB的中点,连接CD,判断△BCD是等边三角形,得出∠B=60°,从而∠A=30°

(2)沿着AC翻折,利用等边三角形性质得出。

(3)你能把上面问题用文字语言表达吗?

归纳:直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度。

三、应用迁移,巩固提高

1、定理应用

例1、在△ABC中,△C=90°,∠B=15°,DE垂直平

分AB,垂足为点E,交BC边于点D,BD=16cm,则AC

的长为______

例2、如图在△ABC中,若∠BAC=120°,AB=AC,AD ⊥AC于点A,BD=3,则BC=______.

E

D C

A B

A

2 实际应用

例3、(P5) 在A 岛周围20海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行到O 处时,发现A 岛在北偏东60°的方向,且与轮船相距

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有触礁的危险吗?

四、 课堂练习 ,巩固提高 P 6练习 1、2

五、 反思小结,拓展提高

直角三角形有哪些性质?怎样判断一个三角形是直角三角形? 六、作业布置: P7习题A 组 3、4

1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)

勾股定理

教学目标:

(1)掌握勾股定理;

(2)学会利用勾股定理进行计算、证明与作图

(3)了解有关勾股定理的历史.

(4)在定理的证明中培养学生的拼图能力;

(5)通过问题的解决,提高学生的运算能力

(6)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;

(7)通过有关勾股定理的历史讲解,对学生进行德育教育.

教学重点:勾股定理及其应用

教学难点:通过有关勾股定理的历史讲解,对学生进行德育教育

教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程:

1、新课背景知识复习

(1)三角形的三边关系

(2)问题:直角三角形的三边关系,除了满足一般关系外,还有另外的特殊关系吗?

2、定理的获得让学生用文字语言将上述问题表述出来.

勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方强调说明:(1)勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边

(2)学生根据上述学习,提出自己的问题(待定)

3、定理的证明方法

方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.

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方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,

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方法三:“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形

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以上证明方法都由学生先分组讨论获得,教师只做指导.最后总结说明

4、定理的应用

练习P11

例题1、已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB 于D,求CD的长.

解:∵△ABC是直角三角形,AB=5,BC=3,由勾股定理有

又∠2=∠C

∴CD的长是2.4cm

例题2、如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=900,D是BC上任一点,求证:BD2+CD2=2AD2

证法一:过点A作AE⊥BC于E

则在Rt△ADE中,DE2+AE2=AD2

又∵AB=AC,∠BAC=900

∵BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2

=BE2+CE2+2DE2

=2AE2+2DE2

=2AD2

∴即BD2+CD2=2AD2

证法二:过点D作DE⊥AB于E, DF⊥AC于F

则DE∥AC,DF∥AB

又∵AB=AC,∠BAC=900

∴EB=ED,FD=FC=AE

在Rt△EBD和Rt△FDC中 BD2=BE2+DE2,CD2=FD2+FC2

在Rt△AED中,DE2+AE2=AD2

∴BD2+CD2=2AD2

5、课堂小结:

(1)勾股定理的内容

(2)勾股定理的作用

已知直角三角形的两边求第三边

已知直角三角形的一边,求另两边的关系6、作业布置

P16 习题A组 1、2、3

课后反思:

1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)

勾股定理的逆定理

教学目标:

(1)理解并会证明勾股定理的逆定理;

(2)会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形;

(3)知道什么叫勾股数,记住一些觉见的勾股数

(4)通过勾股定理与其逆定理的比较,提高学生的辨析能力;

(5)通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用,提高综合运用知识能力. (6)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;

(7)通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.

教学重点:勾股定理的逆定理及其应用

教学难点:勾股定理的逆定理及其应用

教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程:

1、新课背景知识复习:

勾股定理的内容、文字叙述、符号表述、图形

2、逆定理的获得

(1)让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来

(2)学生自己证明

逆定理:如果三角形的三边长a、b、c 有下面关系:a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形

强调说明:

(1)勾股定理及其逆定理的区别

勾股定理是直角三角形的性质定理,逆定理是直角三角形的判定定理.

(2)判定直角三角形的方法:①角为900②垂直③勾股定理的逆定理

2、定理的应用

P15 例题3 判定由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。

(1) a=6, b=8, c=10;

(2) a=12, b=15, c=20.

P15例题4 如图1-21,在△ABC中,已知AB=10,BD=6,AD=8,AC=17. 求DC的长。

练习:

P16 练习 1、2

补充:

1、如果一个三角形的三边长分别为a2 =m2-n2 ,b=2mn, c=m2+n2(m>n)

则这三角形是直角三角形

证明:∵ a2+b2=( m2-n2)2 +(2mn)2

=m4+2m2n2+n4

= (m2+n2)2

∴a2+b2=c2,∠C=900

2、已知:如图,四边形ABCD中,∠B=,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13求四边形ABCD的面积

解:连结AC

∵∠B=,AB=3,BC=4

∴∴AC=5

∴∠ACD=900

以上习题,分别由学生先思考,然后回答.师生共同补充完善.(教师做总结)

4、课堂小结:

(1)逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边(最大边)

(2)判定是否为直角三角形的一种方法:结合勾股定理和代数式、方程综合运用.

5、布置作业:

P16 习题 A组 1、2、3、4

补充: