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2019年天津高考数学(文)试卷及答案

2019年天津高考数学(文)试卷及答案
2019年天津高考数学(文)试卷及答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数 学(文史类)

第Ⅰ卷

本卷共8小题,每小题5分共40分。 参考公式:

·如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A

B P A P B =+.

·圆柱的体积公式V Sh =,其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式1

3

V Sh =

,其中S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高. 一、单项选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)设集合{1,1,2,3,5},

{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈

A C

B =

(A ){2}

(B ){2,3}

(C ){-1,2,3}

(D ){1,2,3,4}

(2)设变量x ,y 满足约束条件20,20,1,1,

x y x y x y +-≤??-+≥?

?-??-?则目标函数4z x y =-+的最大值为

(A )2

(B )3

(C )5

(D )6

(3)设x ∈R ,则“05x <<”是“|1|1x -<”的

(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件

(D )既不充分也不必要条件

(4)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为

(A )5 (B )8 (C )24 (D )29

(5)已知0.2

23log 7,log 8,0.3a b c ===,则a ,b ,c 的大小关系为

(A )c b a <<

(B )a b c <<

(c )b c a <<

(D )c a b <<

(6)已知抛物线2

4y x =的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线

分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为 (A

(B

(C )2

(D

(7)已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ω?ω?=+>><是奇函数,且()f x 的最小正周期为π,将

()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为()g x .

若π4g ??= ???3π8f ??

= ???

(A )-2

(B

(C

(D )2

(8

)已知函数01

()1,

1x f x x x

?≤≤?

=?>??若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实

数解,则a 的取值范围为 (A )59,44

??????

(B )59,44??

???

(C ) 59,{1}44??

?

???

(D )59,{1}44

???????

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2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数 学(文史类)

第Ⅱ卷

注意事项:

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2.本卷共12小题,共110分。

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)i 是虚数单位,则

5i

1i

-+的值为__________. (10)设x ∈R ,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. (11)曲线cos 2

x

y x =-

在点(0,1)处的切线方程为__________.

(12若圆柱的一个底面的圆周经过四棱

锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________. (13)设0,

0,24x y x y >>+=,则

(1)(21)

x y xy ++的最小值为__________.

(14)在四边形ABCD 中,,

5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥,点E 在线段CB 的延长

线上,且AE BE =,则BD AE ?=__________.

三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分13分)

2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?

(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为, , , , , A B C D E F .享受情况如下表,其中“

○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

赡养老人

○ ○

× × ×

(i )试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

(ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M 发生的概率. (16)(本小题满分13分)

在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =. (Ⅰ)求cos B 的值;

(Ⅱ)求sin 26πB ?

?+ ??

?的值.

(17)(本小题满分13分)

如图,在四棱锥-P ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,PCD △为等边三角形,平面PAC ⊥平面PCD ,,2,3PA CD CD AD ⊥==.

(Ⅰ)设G ,H 分别为PB ,AC 的中点,求证:GH ∥平面PAD ; (Ⅱ)求证:PA ⊥平面PCD ;

(Ⅲ)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. (18)(本小题满分13分)

设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0,已知1123323,,43a b b a b a ====+. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;

(Ⅱ)设数列{}n c 满足2

1n n n c b n ??

=???,为奇数

,为偶数,求*112222()n n a c a c a c n ++

+∈N .

(19)(本小题满分14分)

设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ,左顶点为A ,顶点为B .3|2||OA OB =(O

为原点).

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设经过点F 且斜率为

3

4

的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线x =4上,且OC AP ∥,求椭圆的方程. (20)(本小题满分14分

设函数()ln (1)e x

f x x a x =--,其中a ∈R . (Ⅰ)若a ≤0,讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)若10e

a <<

, (i )证明()f x 恰有两个零点

(ii )设0x 为()f x 的极值点,1x 为()f x 的零点,且10x x >,证明0132x x ->.

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数 学(文史类)参考解答

一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分 (1)D (2)C (3)B (4)B (5)A

(6)D

(7)C

(8)D

二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分

(9

(10)21,3??- ???

(11)+2 2=0x y - (12)

(13)

9

2

(14)1-

三.解答题

(15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算

公式等基本知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,满分13分.

解:(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人. (Ⅱ)(i )从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{},{, },{, ,}

},A B A C A D A E A F B C B D B E B F C C F D F D E C E F ,共15种.

(ii )由表格知,符合题意的所有可能结果为

{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B C E B F E C F D F E F ,共11种.

所以,事件M 发生的概率11

()15

P M =

. (16)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以

及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力,满分13分.

(Ⅰ)解:在ABC △中,由正弦定理

sin sin b c

B C

=

,得sin sin b C c B =,又由3sin 4sin c B a C =,得3sin 4sin b C a C =,即34b a =.又因为2b c a +=,得到43b a =,2

3

c a =.由余弦定理可得

222222

416199cos 22423

a a a a c

b B a a +-+-===-??.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得sin B ==

,从而sin 22sin cos B B B ==,227

cos 2cos sin 8

B B B =-=-,故

71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ?

?+=+=-?= ??

?, (17)本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等

基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.满分13分.

(Ⅰ)证明:连接BD ,易知AC

BD H =,BH DH =.又由BG=PG ,故GH PD ∥,又因

为GH ?平面P AD ,PD ?平面P AD ,所以GH ∥平面P AD .

(Ⅱ)证明:取棱PC 的中点N ,连接DN .依题意,得DN ⊥PC ,又因为平面PAC ⊥平面PCD ,平面PAC

平面PCD PC =,所以DN ⊥平面P AC ,又PA ?平面P AC ,故DN PA ⊥.又已知

PA CD ⊥,CD DN D =,所以PA ⊥平面PCD .

(Ⅲ)解:连接AN ,由(Ⅱ)中DN ⊥平面P AC ,可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角, 因为PCD △为等边三角形,CD =2且N 为PC 的中点,所以3DN =又DN AN ⊥, 在AND △中,3

sin 3

DN DAN AD ∠=

=

. 所以,直线AD 与平面P AC 3

. (18)本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识,考查数列求和

的基本方法和运算求解能力.满分13分.

(Ⅰ)解:设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .依题意,得2

3323154q d

q d

=+??

=+?,解得33

d q =??

=?,故133(1)3,333n n

n n a n n b -=+-==?=.

所以,{}n a 的通项公式为3n a n =,{}n b 的通项公式为3n

n b =.

(Ⅱ)解:112222n n a c a c a c +++

()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++?+++++

+

123(1)36(6312318363)2n n n n n -?

?=?+?+?+?+?+

+?????

()2123613233n n n =+?+?++?.

记12

13233n n T n =?+?+

+?①,

则231

313233n n T n +=?+?+?+?②,

②-①得,()123

1

1

313(21)33

23333

3

133

2

n n n n n n n T n n +++--+=---?=-

+?=

-

-+-. 所以,12

2

112222(21)33

36332

n n n n n a c a c a c n T n +-+++

+=+=+?

()22(21)369

2

n n n n +*-++=∈N . (19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆

锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力,满分14分. (Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为c ,由已知

2b =,又由222a b c =+,消去b

2

22

a a c ?=+????

,解12c a =.

所以,椭圆的离心率为

1

2

.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,2,a c b ==,故椭圆方程为22

22143x y c c +=.由题意,(, 0)F c -,则

直线l 的方程为3()4y x c =+ 点P 的坐标满足22

22

1433()

4x y c c y x c ?+=????=+??,消去y 并化简,得到

2276130x cx c +-=,解得,1213,7c x c x ==-

.代入到l 的方程,解得1239

,214

y c y c ==-.因为点P 在x 轴上方,所以3,

2P c c ?

?

??

?

.由圆心C 在直线4x =上,可设(4, )C t .因为OC AP ∥,且由(Ⅰ)知( 2 , 0)A c -,故3242c t c c

=+,解得2t =.因为圆C 与x 轴相切,所以圆的半径为2,又

由圆C 与l

2=,可得=2c .

所以,椭圆的方程为

22

11612

x y +=. (20)本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查

函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分. (Ⅰ)解:由已知,()f x 的定义域为(0,)+∞,且

211e ()e (1)e x x x

ax f x

'x a a x x -??=-+-=?? 因此当a ≤0时,21e 0x ax ->,从而()0f'x >,所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.

(Ⅱ)证明:(i )由(Ⅰ)知21e ()x

ax f x

'x -=

.令2()1e x g x ax =-,由10e a <<, 可知()g x 在(0,)+∞内单调递减,又(1)1e 0g a =->,且

22

1111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ??????

=-=-< ? ? ???????

. 故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解,从而()0f'x =在(0,)+∞内有唯一解,不妨设为0x ,则

011ln

x a <<.当()00,x x ∈时,()0()()0g x g x f x x x

'=>=,所以()f x 在()00,x 内单调递增;当

()0,x x ∈+∞时,()0()()0g x g x f'x x x

=

<=,

所以()f x 在()0,x +∞内单调递减,因此0x 是()f x 的唯一极值点.

令()ln 1h x x x =-+,则当1x >时,1

()10h'x x

=

-<,故()h x 在(1,)+∞内单调递减,从而当1x >时, ()(1)0h x h <=,所以ln 1x x <-.从而

ln 1

111111ln ln ln ln 1e ln ln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ??????

=--=-+=< ? ? ???????

又因为()0(1)0f x f >=,所以()f x 在0(,)x +∞内有唯零点.又()f x 在()00,x 内有唯一零点1,

从而,()f x 在(1,)+∞内恰有两个零点.

(ii )由题意,()()0100f x f x '=???=??即()1

2011e 1ln 1e

x x ax x a x ?=??=-??,从而1011201ln e x x x x x --=,即10

2011ln e 1x x x x x -=-.因为当1x >时,ln 1x x <-,又101x x >>,故()10

2

012011e

1

x x x x x x --<=-,两边取对数,得

102

0ln e ln x x x -<,于是

()10002ln 21x x x x -<<-,

整理得013 2x x ->.

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