2019年湘教版数学八年级下册全册教案(含教学反思)
第1章直角三角形
1．1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1课时直角三角形的性质和判定
1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)
2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)
一、情境导入
在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．
二、合作探究
探究点一：直角三角形两锐角互余
如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF
等于( )
A．110° B．100° C．80° D．70°
解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF
＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.
方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．
探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形
如图所示，已知AB ∥CD ，∠BAF ＝∠F ，∠EDC ＝∠E ，求证：△EOF 是
直角三角形．
解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF 是直角三角形，只需证∠E ＋∠F ＝90°即可，而∠E ＝12(180°－∠BCD )，∠F ＝12
(180°－∠ABC )，由AB ∥CD 可知∠ABC ＋∠BCD ＝180°，即问题得证．
证明：∵∠BAF ＝∠F ，∠BAF ＋∠F ＋∠ABF ＝180°，∴∠F ＝12
(180°－∠ABF )．同理，∠E ＝12(180°－∠ECD )．∴∠E ＋∠F ＝180°－12
(∠ABF ＋∠ECD )．∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠ECD ＝180°.∴∠E ＋∠F ＝180°－12
×180°＝90°，∴△EOF 是直角三角形．
方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．
探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．
(1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长；
(2)求证：EF 垂直平分AD .
解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE ＝AE ＝12
AB ，DF ＝AF ＝12
AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．
(1)解：∵AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝AE ＝12AB ＝12
×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝12
×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 是AD 的垂直平分线上的点，F 是AD 的垂直平分线上的点，∴EF 垂直平分AD .
方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．
探究点四：直角三角形性质的综合运用
【类型一】 利用直角三角形的性质证明线段关系
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，
交BC 于F ，交AB 于点E .求证：FC ＝2BF .
解析：根据EF 是AB 的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF ，得到△AFB 为等腰三角形．又可求得∠B ＝∠C ＝∠BAF ＝30°，进而求得∠FAC ＝90°.取CF 的中点M ，连接AM ，就可以利用直角三角形的性质进行证明．
证明：如图，取CF 的中点M ，连接AF 、AM .∵EF 是AB 的垂直平分线，∴AF
＝BF .∴∠BAF ＝∠B .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠BAF ＝∠C ＝12
(180°－120°)＝30°.∴∠FAC ＝∠BAC －∠BAF ＝90°.在Rt △AFC 中，∠C ＝30°，M
为CF 的中点，∴∠AFM ＝60°，AM ＝12
FC ＝FM .∴△AFM 为等边三角形．∴AF ＝AM ＝12FC .又∵BF ＝AF ，∴BF ＝12
FC ，即FC ＝2BF . 方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．
【类型二】 利用直角三角形的性质解决实际问题
如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角
三角形的直角顶点A 、B 、C 、D 处，球放在EF 的中点O 处，则游戏________(填“公平”或“不公平”)．
解析：游戏是否公平就是判断点A 、B 、C 、D 到点O 的距离是否相等．四个直角三角形有公共的斜边EF ，且O 为斜边EF 的中点．连接OA 、OB 、OC 、OD .根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝12
EF ，即点A 、B 、C 、D 到O 的距离相等．由此可得出结论：游戏公平． 方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题．
【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题
如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点．
(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的数量关系；
(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM .请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．
解析：(1)由于△ABC是直角三角形，O是BC的中点，得OA＝OB＝OC＝1
2 BC；
(2)由于OA是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO＝∠B＝∠45°，OA＝OB，又AN＝MB，所以△AON≌△BOM，所以ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，于是有∠NOM＝∠AOB＝90°，所以△OMN是等腰直角三角形．
解：(1)连接AO.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为BC的中点，∴OA＝1 2 BC
＝OB＝OC，即OA＝OB＝OC；
(2)△OMN是等腰直角三角形．理由如下：∵AC＝BA，OC＝OB，∠BAC＝90°，
∴OA＝OB，∠NAO＝1
2
∠CAB＝∠B＝45°，AO⊥BC，又AN＝BM，∴△AON≌△BOM，
∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，∴∠NOA＋∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，∴∠NOM＝∠AOB ＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．
方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余．
三、板书设计
1．直角三角形的性质
性质一：直角三角形的两锐角互余；
性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2．直角三角形的判定
方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；
方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形．
通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的
中点利用中线这一性质解决问题．在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点.
第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用
1．理解并掌握含30°锐角的直角三角形的性质；(重点)
2．能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．
二、合作探究
探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm ，那么腰上的高是________cm ，
这个三角形的面积是________cm 2.
解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A ＝30°，BD ⊥AC ，AB ＝4cm ，
所以BD ＝2cm ，S △ABC ＝12AC ·BD ＝12
×4×2＝4(cm 2)．故答案为2，4. 方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．
探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
如图所示，在四边形ACBD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1
2
BC ，求∠DAC 的度数．
解析：根据题意得∠CBA ＝30°，由平行得∠BAD ＝30°，进而可得出结论．
解：∵AB ⊥AC ，∴∠CAB ＝90°.∵AC ＝12
BC ，∴∠CBA ＝30°.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝30°，∴∠CAD ＝∠CAB ＋∠BAD ＝120°.
方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解．
探究点三：含30°锐角的直角三角形性质的应用
如图，某船于上午11时30分在A 处观测到海岛B 在北偏东60°方向；
该船以每小时10海里的速度向东航行到C 处，观测到海岛B 在北偏东30°方向；航行到D 处，观测到海岛B 在北偏西30°方向；当船到达C 处时恰与海岛B 相距20海里．请你确定轮船到达C 处和D 处的时间．
解析：根据题意得出∠BAC ，∠BCD ，∠BDA 的度数，根据直角三角形的性质求出BC 、AC 、CD 的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．
解：由题意得∠BCD ＝90°－30°＝60°，∠BDC ＝90°－30°＝60°.∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴△BCD 为等边三角形．在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°－60°＝30°，∠BDC ＝60°，∴∠ABD ＝90°，即△ABD 为直角三角形，∴∠ABC ＝30°.
∵BC ＝20海里，∴CD ＝BD ＝20海里．又∵BD ＝12
AD ，∴AD ＝40海里．∴AC ＝AD －CD ＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A 处到C 处的时间为2010＝2(h)，从A 处到D 处的时间为4010
＝4(h)．∴轮船到达C 处的时间为13时30分，到达D 处的时间为15时30分．
方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．
三、板书设计
1．含30°锐角的直角三角形的性质
(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；
(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
2．含30°锐角的直角三角形的性质的应用．
在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.
1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1课时勾股定理
1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)
2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点)
3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理
【类型一】直接运用勾股定理
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB
于D，求：
(1)AC的长；
(2)S△ABC；
(3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12(cm)；
(2)∵S△ABC＝1
2
CB·AC＝
1
2
×5×12＝30(cm2)；
(3)∵S△ABC＝1
2
AC·BC＝
1
2
CD·AB，∴CD＝
AC·BC
AB
＝
60
13
(cm)．
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用
在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．
解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．
解：此题应分两种情况：
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9，在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周长为32或42.
方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．
【类型三】 勾股定理与等腰三角形的综合
如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线分别交BC 、
AB 于D 、F 点，BD ＝62，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．
解析：欲求AE ，需与BD 联系，连接AD ，由线段垂直平分线的性质可知AD ＝BD .可证△ADE 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE 的长．
解：如图所示，连接AD .∵DF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ＝62，∴∠BAD ＝∠B ＝22.5°.∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝45°，AE ⊥BC ，∴∠DAE ＝45°，
∴AE ＝DE .由勾股定理得AE 2＋DE 2＝AD 2，∴2AE 2＝(62)2
，∴AE ＝622＝6. 方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．
探究点二：勾股定理与图形的面积
探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图：
任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示
再写一种证明勾股定理的方法吗？
解析：方法1：根据四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．
解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12
(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；
方法2：S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD
＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12
a (
b －a )，整理得b 2＋ab ＝
c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2
＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.
方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．
三、板书设计
1．勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.
2．勾股定理的应用
3．勾股定理与图形的面积
课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.
第2课时 勾股定理的实际应用
1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)
2．勾股定理的正确使用．(难点)
一、情境导入
如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
二、合作探究
探究点一：勾股定理在实际生活中的应用
【类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用
如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳
子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)?
解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC、AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．
解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米，6秒后，BC＝13－0.5×6＝10米，则AB＝BC2－AC2＝53米，则船向岸边移动距离为(12－53)米．
方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．
【类型二】含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，
今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以107km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区
域，问：A 市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A 市受沙尘暴影响的时间．
解析：过点A 作AC ⊥BF 于C ，然后求出∠ABC ＝30°，再根据直角三角形
30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC ＝12
AB ，从而判断出A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，此时AD ＝200km ，利用勾股定理列式求出CD 的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．
解：如图，过点A 作AC ⊥BF 于C ，由题意得，∠ABC ＝90°－60°＝30°，∴AC ＝12AB ＝12
×300＝150(km)，∵150＜200，∴A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，则AD ＝200km.由勾股定理得，CD ＝AD 2－AC 2＝2002－1502＝507(km)，∴受影响的距离为2CD ＝1007km ，受影响的时间位1007÷107＝10(h)．
方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．
探究点二：勾股定理在几何图形中的应用
【类型一】 利用勾股定理解决最短距离问题
如图，长方体的长BE ＝15cm ，宽AB ＝10cm ，高AD ＝20cm ，点M 在CH
上，且CM ＝5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M ，需要爬行的最短距离是多少？
解：分三种情况比较最短距离：
如图①(将正面与上面展开)所示，AM ＝102＋（20＋5）2
＝529，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM ＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm ；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM ＝（20＋10）2＋52＝537(cm).537＞25，∴最短距离为25cm.
答：需要爬行的最短距离是25cm.
方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
【类型二】 运用勾股定理与方程解决有关计算问题
如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B
落在CD 边上的B ′处，点A 的对应点为A ′，且B ′C ＝3，则AM 的长是( )
A ．1.5
B ．2
C ．2.25
D ．2.5
解析：设AM ＝x ，连接BM ，MB ′，在Rt △ABM 中，AB 2＋AM 2＝BM 2，在Rt △MDB ′中，B ′M 2＝MD 2＋DB ′2，∵MB ＝MB ′，∴AB 2＋AM 2＝BM 2＝B ′M 2＝MD 2＋DB ′2，即92＋x 2＝(9－x )2＋(9－3)2，解得x ＝2，即AM ＝2.故选B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型三】勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A.5＋1 B．－5＋1
C.5－1
D. 5
解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
三、板书设计
1．勾股定理在实际生活中的应用
2．勾股定理在几何图形中的应用
就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高.
第3课时勾股定理的逆定理
1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点) 2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．(难点)
一、情境导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．
你知道这是什么道理吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的逆定理
【类型一】 勾股数
判断下列几组数中，一定是勾股数的是( )
A ．1，2， 3
B ．8，15，17
C ．7，14，15 D.35，45
，1 解析：选项A 不是，因为2和3不是正整数；选项B 是，因为82＋152＝172，
且8、15、17是正整数；选项C 不是，因为72＋142≠152
；选项D 不是，因为35与45
不是正整数．故选B. 方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2＋b 2＝c 2，但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
【类型二】 判断三角形的形状
已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足(a －7)2＋(b －24)2＋(c －25)2
＝0.试判断△ABC 的形状．
解析：可先确定a ，b ，c 的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断． 解：由平方数的非负性，得a －7＝0，b －24＝0，c －25＝0.∴a ＝7，b ＝24，c ＝25.又∵a 2＝72＝49，b 2＝242＝576，c 2＝252＝625，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是直角三角形．
方法总结：此题主要依据“若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”这一性质来确定a ，b ，c 的值．该知识点在解题时会经常用到，应注意掌握．
【类型三】 利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题
在如图的方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 都是方格线的交点，则三角形
ABC 的外角∠ACD 的度数等于( )
A ．130°
B ．135°
C ．140°
D ．145°
解析：∵AB 2＝12＋22＝5，BC 2＝12＋22＝5，AC 2＝12＋32＝10，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠ACD ＝∠A ＋∠B ＝45°＋90°＝135°.故选B.
方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形中两直角边相等．
【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题
如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，CD ＝24，AD ＝
26，求四边形ABCD 的面积．
解析：连接AC ，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ABC 和△ACD 为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD 的面积．
解：连接AC ，∵∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形，∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝82＋62＝102，∴AC ＝10，在△ACD 中，∵AC 2＋CD 2＝100＋576＝676，AD 2＝262＝676，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S
△ACD ＝12×6×8＋12
×10×24＝144. 方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．
探究点二：勾股定理逆定理的实际应用
如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，
上午9时50分，我国反走私A 艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意．反走私艇A 和走私艇C 的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 距离C 艇12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海．
解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE 即为走私艇所走的路程，可知，△ABE 和△EBC 均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．
解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC ＝90°，∵AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°，由于MN ⊥CE ，所以走私艇C 进入我国
领海的最短距离是CE ，由S △ABC ＝12AB ·BC ＝12AC ·BE ，得BE ＝6013
(海里)，由CE 2
＋BE 2＝BC 2，即CE 2＋(6013)2＝122，得CE ＝14413(海里)，∴14413÷13＝144169
≈0.85(h)＝51(min)，9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇C 最早在10时41分进入我国领海．
方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形．
三、板书设计
1．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
2．利用勾股定理逆定理求角和线段的长
3．利用勾股定理逆定理解决实际问题
学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高.
1．3 直角三角形全等的判定
1．熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；(重点)
2．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．(难点)
一、情境导入
前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS.当然这些方法也适用于判定两个直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判定还有其他的方法吗？
二、合作探究
探究点一：运用“HL”判定直角三角形全等
湘教版八年级上册数学教案(全套)
湘教版八年级上册数学教案（全套） 八年级（上）数学科计划 一、指导思想 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；
应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。 现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。 二、学生情况分析。 本期任教八年级数学，共有学生67人。2010年上期学生总体来看，成绩较差。学生到八年级对学习数学的兴趣表现为：基础好的同学学习兴趣大，进取心强，学习自觉主动；而基础较差的同学学习兴趣不浓，上课爱走神，参与意识弱，不愿动脑筋，对自己缺乏信心；处于中等成绩的学生学习缺乏主动，需要不时鞭策、激励。八年级的学生处于一个认为自己已经长大了，有叛逆心理，自尊心强，初步展露自己个性的时期。 学生学习基础分析 七年级上学期学习了有理数，这学期将学习无理数，有理数和无理数通称实数；在七年级上学期学习了用字母表示数，这学期将学习用字母表示变量，学习用来描述现实世界中一些量之间确定性依赖关系的数学模型――函数，着重学习描述均匀变化现象的数学模型――一次函数；在七年级下学期学习了平移和轴反射，这学期将学习旋转，并且运用平移、轴
湘教版初中数学八年级上册全册教案
湘教新版八年级上学期数学教学计划 三、教材分析： 本学期的教学内容共计五章： 第1 章：分式：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除的运算；能够依据具体问题的数量关系，列出简单的分式方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）； 第2章：三角形：本章主要内容包括三角形相关概念和性质，命题与证明；利用平移、旋转和轴反射得出三角形全等的判定方法；直角三角形的性质和判定直角三角形全等的判定方法及勾股定理；三角形的作法。 第3章：实数：本章的主要内容包括平方根与立方根、算术平方根，在学习了平方根、立方根概念后，引进了无理数，从而对数的认识从有理数扩大到实数，学习平面直角坐标系，使得平面上的点与有序实数对一一对应，为学习函数及通过直角坐标系研究几何问题提供了研究工具。本章包含了数形结合和分类讨论的思想方法。 第4章：一元一次不等式（组）: 本章主要内容是不等式的基本性质、一元一次不等式的解法和应用。一元一次不等式组的概念和解法。 第5章：二次根式：理解二次根式的概念，能够应用定义判断一个式子是否为二次根式；理解二次根式的性质；熟练掌握二次根式的运算； 六、课时安排 章节时间 第1章分式约22课时 1.1分式 1.2分式的乘法和除法 1.3整数指数幂 1.4分式的加法和减法 1.5可化为一元一次方程的分式方程 小结与复习 第2章三角形约27课时 2.1三角形 2.2命题与证明 2.3等腰三角形 2.4线段的垂直平分线 2.5全等三角形 2.6用尺规作三角形
小结与复习 第3章实数约9课时 3.1平方根 3.2立方根 3.3实数 小结与复习 第4章一元一次不等式（组）约13课时 4.1不等式 4.2不等式的基本性质 4.3一元一次不等式的解法 4.4一元一次不等式的应用 4.5一元一次不等式组 小结与复习 第5章二次根式约14课时 5.1二次根式 5.2二次根式的乘法和除法 5.3二次根式的加法和减法 小结与复习 2013-9-1
(完整版)湘教版八年级数学上册复习提纲
八年级数学上册复习提纲 第一章实数 1。 平方根和算术平方根的概念及其性质： (1) 概念：如果x 2 a ,那么x 是a 的平方根，记作： Ji ；其中 而叫做a 的算术平方根。 (2) 性质：①当a >0时，Ji > 0 ；当a v o 时，ja 无意义； ② 4a = a ;③ Va2 a 。 2。 立方根的概念及其性质： (1) 概念：若x 3 a ,那么x 是a 的立方根，记作：3a ； 一 .3 _ _ (2) 性质：①§a a ；②湿 a ；③^~a ^a 3。 实数的概念及其分类： (1) 概念：实数是有理数和无理数的统称； (2) 分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限 不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环 小数称为分数。(书上有图) 4。 无理数：无限不循环小数 算术平方根定义如果一个非负数 x 的平方等于a,即x 2 a 那么这个非负数x 就叫做a 的算术平方根，记为 石, 算术平方根为非负数 a 0 正数的平方根有 ￡个，它们互为相反数 平方根 0的平方根是 0 负数没有平方根 2. 无理数的表示 定义：如果一个数的平方等于 a,即x 2 a,那么这个数就 叫做a 的平方根，记为 焰 正数的立方根是正数 立方根 负数的立方根是负数 0的立方根是0 定义：如果一个数x 的立方等于a,即x 3 a,那么这个数x 就叫做 a 的立方根，记为 3 a. 5。与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内， 有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数 轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是 -------------------------------------- 对应的。因此，数轴正好可以被实 数填满。 概念有理数和无理数统称实数 …有理数, 分类十 苗皿或 无理数 绝对值、相反数、 倒数的意义同有理数 实数与数轴上的点是—对应 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 运算规律相同。 正数 0 负数 3.实数及其相关概念
湘教版八年级上册数学教案
湘教新版八年级上学期数学教学计划 一、指导思想： 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 二、学生的基本情况： 上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方法上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的方法检验答案，需要加强训练与培养。 三、教材分析： 本学期的教学内容共计五章：
湘教版数学八年级上册教案全套
湘教版数学 八年级上册教案全册 湖南省安化县羊角塘镇中学瞿忠仪编写制作 邮编：413501 邮箱：quzhongyi1958@https://www.docsj.com/doc/da5651501.html,
1．1平方根（第1课时） 【教学目标】 1、了解平方根的概念，会用根号表示平方根。 2、 了解开方与乘方互逆运算，会用求某些非负数的平方根。 3、 发展学生的符号语言。 【教学重点难点】了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根 【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索. 【设计思路】本节课通过问题情景使学生在计算、探索、交流的过程中能感悟到平方根的意义，并且能够知道正负数以及0的平方根的规律。 【教学过程】 （一）创设情景，感悟新知 情景一：在等式a x =2中 ， （1） 已知3-=x ，你能求a 吗？ （2） 已知5=a ，你能x 求吗？ （二）探索规律，揭示新知 问题一：认真观察下面的式子，积极思考，互相讨论： .25.0)5.0(,25.05.0,9 1)31(,91)31(, 4)2(,42222222=-==-==-= 请你举例与上面的式子类同的式子；
你得到什么结论？ （分小组讨论，老师适当参与给予帮助。） 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根(square root),也称为二次方根。 如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。 【设计说明：所选的题目都具有代表性，学生通过做题后思考讨论交流，能够较好接受平方根的概念】 问题二：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能够，请填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流。 )(()()()()()()().4,0,10,5;2 1,41,25,922222222-======== 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数。 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。 这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”. 【设计说明：通过对具体的数的平方根的讨论交流，使学生自己总结出正数、0、负数的平方根的情况，让学生经历探索规律的过程，加深对规律的理解】 问题三：从问题二中，你得到了什么结论？ 【设计说明：在讨论的过程中，不同层次的学生可能会遇到不同的
新湘教版八年级数学上册分式教案
新湘教版八年级数学上册分式教案教学目标 1 了解分式的概念。 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？ 每位小朋友分 分法： ① 每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的44 ② 为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这6六块占一个苹果的。 3633?26=）由此表明了什想想这两种分法分得的是否一样多？33，3?n相等吗？这里的nnnn 教案 八
年 级 上 册 数 学 相思乡中心学校 八年级上学期数学教学计划 相思中心学校——侯淦 一、指导思想： 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与
记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 二、学生的基本情况： 上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的 习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，
湘教版初中数学八年级上册全册教案
第一章 实 数 本章重点： 体会到无理数是显示世界的客观存在，理解平方根、算术平方根的概念，能利用科学计算器求平方根和立方根，会用有理数估计无理数的范围，知道实数和数轴上的点一一对应、有序实数对与平面上的点一一对应的结论。 理念： 力 数学不能丢掉数学的实际应用，应教给学生充满联系的数学，应当在数学与现实的接触点之间找联系。应鼓励与提倡学生思维的多样性，尊重学生在解决问题过程中所表现出来的不同水平，注意因材施教。 平方根（一） 目的要求： 初步了解学习数的开方的意义，了解一个数的平方根的意义，会用根号表示一个数的平方根。 教学重点：平方根与算术平方根的概念。 教学难点：弄清平方根与算术平方根的意义。 教学方法：启发式 教学过程： 情境引入： 我们已经学过那些数的运算？ 加法与减法这两种运算之间有什么关系? 乘法与除法之间呢? 那么乘方是不是有逆运算呢? 我们来看下面的问题。 如：一个面积为 10.8 平方米的正方形展厅，用去正方形的地砖120块，它的边长应是多少? 一个数的平方等于1000，这个数是多少? 这些问题的共同特点是：已知乘方的结果的值, 求底数的值。 为了解决这些问题，就要进行乘方运算的逆运算，也就是要进行开方运算。 在这一章里, 我们来学习数的开方和实数的初步知识。 新课讲解： 一个数的平方是9，那么这个数是什么数? 因为3 2= 9， ( －3 ) 2= 9 ，所以这个数是 3 或－3。 又如 ，一个数的平方是254，因为254522=?? ? ??、254522=??? ??-，所以这个数是52或 －5 2。 一般的，如果一个数r 的平方等于 a ，这个数r 就叫做 a 一个的平方根 。就是说，如果a x =2，x 就叫做 a 的平方根。 上面，3与－3 都是 9 的平方根，52与－52都是25 4的平方根。
最新湘教版八年级数学上册单元测试题及答案
最新湘教版八年级数学上册单元测试题及答案 第1章检测卷 时间：120分钟 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．要使分式3 x －2 有意义，则x 的取值应满足( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠2 2．生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米，数据0.00000432用科学记数法表示为( ) A ．0.432×10－5 B ．4.32×10－ 6 C ．4.32×10－7 D ．43.2×10－ 7 3．根据分式的基本性质，分式－a a － b 可变形为( ) A.a －a －b B.a a ＋b C ．－a a －b D ．－a a ＋b 4．如果分式xy x ＋y 中的x 、y 都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值( ) A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的1 2 C ．不变 D ．不确定 5．化简a ＋1a 2－a ÷a 2－1 a 2－2a ＋1的结果是( ) A.1 a B ．a C.a ＋1a －1 D.a －1a ＋1 6．若分式||x －4 x 2－2x －8 的值为0，则x 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．4或－4 D ．－2 7．速录员小明打2500个字和小刚打3000个字所用的时间相同，已知小刚每分钟比小明多打50个字，求两人的打字速度．设小刚每分钟打x 个字，根据题意列方程，正确的是( ) A.2500x ＝3000x －50 B.2500x ＝3000x ＋50
C.2500x －50＝3000x D.2500x ＋50 ＝3000x 8．下面是一位同学所做的6道题：①(－3)0＝1；②a 2＋a 3＝a 6；③(－a 5)÷(－a )3＝a 2；④4a －2 ＝14a 2；⑤(xy －2)3＝x 3y －6；⑥????a b 2÷????b a －2＝1.他做对的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 9．对于非零的两个数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1 a .若1⊕(x ＋1)＝1，则x 的值为( ) A.32 B ．1 C ．－12 D.12 10．若解分式方程k x －2＝k －x 2－x －3产生增根，则k 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．任何数 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．已知分式2x ＋1 x ＋2，当x ＝________时，分式没有意义；当x ＝________时，分式的值 为0；当x ＝2时，分式的值为________． 12．化简1x ＋3＋6 x 2－9 的结果是________． 13．若||p ＋3＝(－2017)0，则p ＝________． 14．已知方程4mx ＋3 3＋2x ＝3的解为x ＝1，那么m ＝________． 15．若 31－x 与4 x 互为相反数，则x 的值是________． 16．已知x ＋y ＝6，xy ＝－2，则1x 2＋1 y 2＝________． 17．某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m ，结果提前16天完成任务．设原计划每天铺设管道x m ，则可得方程________________． 18．若x m ＝6，x n ＝9，则2x 3m x 2n ÷(x m ·x n )2·x n ＝108. 三、解答题(共66分) 19．(8分)计算下列各题： (1)3a －3b 15ab ·10ab 2a 2－b 2 ； (2)(2a －1b 2)2·(－a 2b 3)·(3ab － 2)3.
湘教版数学八年级上册竞赛试题
初中数学试卷 八年级数学竞赛试题 一、耐心填一填（每小题5分，共60分） 1、等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为___________． 2、已知点A （a ，2）、B （－3，b ），关于X 轴对称，求a ＋b=___________． 3、如图，D 为等边三角形ABC 内一点，AD=BD ， BP=AB ，∠DBP=∠DBC ，则∠BPD=___________． 4、等腰三角形一腰上的高等于该三角形腰的长度的一半， 则其顶角的度数为 . 5、已知一次函数y=kx+2过点(-2,-1)，则k 为___________ 6．合泰童装厂在其生产的一批产品中抽取300件进行质量检测，发现有6件 产品质量不合格，则这批产品的合格率是 ． 7、规定：=?=?+= ⊕3212154则且b a kab b a ___________ 8. 在列频率分布表时,得到一组数据中某一个数据的频数是12,频率是0.2,那么这个数据组中共有________个数据. 9. 若(x+2)2=64 则x ＝＿＿＿． 10、若△ABC ≌△A ’B ’C ’,且∠A=35o25ˊ,∠B ’=49o45ˊ,则∠C=___________ 11．已知｜x-13｜+｜y-12｜+（z-5）2=0，则由此为三边的三角形是 第3题
三角形． 12、观察下列规律：3=3，932=，2733=，8134=，24335=，72936=…… 用你发现的规律写出20103个位数字为__________ 二、精心选一选（每小题5分，共40分） 13、81的算术平方根是（ ） A 、-3 B 、3 C 、± 3 D 、81 14、如图，直线321l l l 、、表示三条相互交叉的公路，现要 建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等， 则可供选择的地址有（ ） A 、1处； B 、2处； C 、3处； D 、4处 15、如果点A(-3,a)是点B(3,-4)关于Y 轴的对称点，那么 点 A 关于X 轴的对称点的坐标是 ( ) A 、（3，-4） B 、（－3，4） C 、（3，4） D 、(-3，4) 16．一次考试后对60名学生的成绩进行频率分布统计，以10分为一分数段， 共分10组，若学生得 分均为整数，且在69.5～79.5之间这组的频率是0.3，那么得分在这个分数段的学生有（ ） A ．30人 B ．18人 C ．20人 D ．15人 17.已知一组数据含有三个不同的数12 , 17 , 25 ,它们的频率分别是111,,244 ,则 这组数据的平均数是( ) A.19 B.16. 5 C.18.4 D.22 18、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA ，PD ⊥OA ， 若PC=4，则PD 等于（ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 第18题 2 l 3 l 1 l
湘教版数学八年级上册教案(全册)
湘教版数学八年级上册教案 1．1 分式 第1课时分式的概念 1．理解分式的概念，并能用分式表示现实生活中的量； 2．掌握分式有、无意义的条件及分式的值为0的条件； (重点，难点) 3．会求分式的值． 一、情境导入 埃及金字塔相传是古埃及法老的陵墓，是世界公认的“古代世界七大奇迹”之一．其中最大、最有名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔．胡夫金字塔底部边长230公尺，高146公尺，重大约650万吨，共用了x万块石头，那么平均每块石头重多少吨？ 二、合作探究 探究点一：分式的概念 代数式－ 1 3 x2， a＋2 a－1 ， 3 5 ， x－2 π ， 3x 2y ， x 2x 中的分式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析： a＋2 a－1 ， 3x 2y ， x 2x 中的分母含有字母，是分式．其他的代数式分母不含字母，不是分式．故选C. 方法总结：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．特别注意π是常数，不是字母，因此 x－2 π 不是分式．另外对于分式的判断是针对式子的形式，而不是化简之后的结果，如 x 2x 不能约分后再判断，其分母中含有字母即为分式．
探究点二：分式有、无意义的条件 【类型一】 分式有意义的条件 若分式2x |x |－1 有意义，则( ) A ．x ≠－1 B ．x ≠1 C ．x ≠1且x ≠－1 D ．x 可为任何数 解析：当分母不等于0时，分式有意义，即|x |－1≠0，∴x ≠1且x ≠－1.故选C. 方法总结：分式有意义的条件是分母不等于0. 【类型二】 分式无意义的条件 当a 为何值时，分式a －1 2a ＋1 无意义？ 解：分式无意义，则2a ＋1＝0，∴a ＝－1 2. 方法总结：分式无意义的条件是分母等于0. 探究点三：分式的值 【类型一】 分式值为0的条件 若分式x 2－1 x －1 的值为0，则( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝±1 D ．x ≠1 解析：由x 2 －1＝0解得：x ＝±1，又∵x －1≠0即x ≠1，∴x ＝－1，故选B. 方法总结：分式的值为0应同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.应特别注意后一个条件． 【类型二】 求分式的值 当a ＝3时，求分式a 2－3 a ＋3的值． 解：当a ＝3时，a 2－3a ＋3＝32－3 3＋3 ＝1. 方法总结：求分式的值与求代数式的值的方法一样，用数值代替分式中的字母，再化简计算即可． 三、板书设计 分式??? ??分式的概念 分式有无意义的条件? ??? ?分式有意义：分母≠0 分式无意义：分母＝0分式的值? ??? ?分式的值为0：分子＝0且分母≠0 求分式的值
新湘教版八年级上册数学竞赛题
八年级上册数学竞赛题 （总分100分 时量 80分钟） 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．若0 湘教版八年级上册数学 全册教案 第1章分式约22课时 1. 1分式 1. 2分式的乘法和除法 1. 3整数指数幂 1. 4分式的加法和减法 1. 5可化为一元一次方程的分式方 程小结与复习 第2章三角形约27课时 2. 1三角形 2. 2命题与证明 2. 3等腰三角形 2. 4线段的垂直平分线 2. 5全等三角形 2. 6用尺规作三角形小 结与复习 第3章实数约9课时 3. 1平方根 3. 2立方根 3. 3实数小结与 复习 第4章一元一次不等式（组）约13课时4. 1不等式 4. 2不等式的基本性质 4. 3一元一次不等式的解法 4. 4一元一次不等式的应用 4. 5一元一次不等式 组小结与复习 第5章二次根式约14课时 5. 1二次根式 5. 2二次根式的乘法和除法 5. 3二次根式的加法和减 法小结与复习 八年级上学期数学教学计划 一、指导思想： 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动 和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型 可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是 一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等 方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代 文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的， 这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习 活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要 方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活 动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。二、学生的基本情况：上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻 辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到 了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学 期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方 法上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的 方法检验答案，需要加强训练与培养。 三、教材分析： 20 200 002233..无理数的表示算术平方根定义如果一个非负数的平方等于，即那么这个非负数就叫做的算术平方根，记为， 算术平方根为非负数平方根正数的平方根有个，它们互为相反数的平方根是负数没有平方根定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，记为立方根正数的立方根是正数负数的立方根是负数的立方根是定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，记为x a x a x a a a a x a a a x a x a x a a =≥???????=±???????=??? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???八年级数学上册复习提纲 第一章 实数 1。平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： a 的算术平方根。 （2）性质：①当a ≥0 0；当a ② 2 ＝a a =。 2。立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 a ，那么x 是a （2 a = ；②3 a = 3。实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数可分为整数和分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。（书上有图） 4、无理数：无限不循环小数 5。与实数有关的概念： 30.实数及其相关概念概念有理数和无理数统称实数 分类有理数无理数或正数负数绝对值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。 ?????????????? ? ???????????? 八年级上册数学教学计划 一、指导思想 坚持党的教育方针，以《初中数学新课程标准》为指导，贯彻党的教育方针，开展新课程教学改革，对学生实施素质教育，切实激发学生学习数学的兴趣，掌握学习数学的方法和技巧，建立数学思维模式，培养学生探究思维的能力，提高学习数学、应用数学的能力。同时通过本期教学，逐步提高学生的数学成绩，完成八年级上册数学教学任务。 二、学情分析 本人担任八年级的数学教学，共63人。从上学期期末统考的成绩来看，学生两级分化比较严重，存在的现象是一部分学生什么都不知道，较差学生占的比例比较重，中等生和优生人数相对较少。总之，八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。在这种优生不多，但后进生却较多，还有少数学生不上进，基础较差，问题较严重，不爱学习，学习态度不好，很是担心。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，培优辅潜，充分调动学生的积极性，发挥学生主体地位，教师辅导的作用，注重方法，培养能力，取得好的成绩。 三、教学目标 1）掌握分式和它的基本性质、分式运算、整数指数幂、分式的方程和它的应用。 2）掌握三角形的三边关系，三角形内角和定理，三角形外角的性质，命题与证 明，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定以及用尺规作三角形等。 3）理解平方根.立方根.无理数.算数平方根.实数的概念.运算. 4）掌握不等式和它的基本性质.一元一次不等式及其解法.一元一次不等式组及其解法，用一元一次不等式及其解法，用一元一次不等式（组）解决简单的实际问题。 5）掌握二次根式的性质与运算。 四、教学重点难点解应用题 2）第二章：重点是三角形的三边关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质 与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线性质与判定的应用。难点是等腰三角形的性质与判定的应用以及全等三角形判定与性质的应用。 3）第三章：重点是平方根.立方根.算术平方根.实数的概念。难点是理解平方根.立方根.算术平方根.实数及其相关概念。能运用实数的运算解决简单的实际问题。 4）第四章：重点是一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，并利用所学知 识解决简单的实际问题。难点是不等式的解集.不等式的性质及应用.确定不等式组的公共 部分。 5）第五章：重点是二次根式的化简与运算。难点是正确理解与运用公式 五、教学措施 1、作好课前准备。认真钻研教材教法，仔细揣摩教学内容与新课程教学目标， 充分考虑教材内容与学生的实际情况，精心设计探究示例，为不同层次的学生设计练习和作业，作好教具准备工作，认真备课.抓住关键、分散难点、突出重点，在培养学生能力上下功夫，写好教案。 目录 第一章实数......................................................... - 2 - 1．1平方根（第1课时）.................................................................................................. - 2 - 1．1平方根（第2课时）.................................................................................................. - 4 - 1． 2 立方根..................................................................................................................... - 6 - 1．3实数（第一课时）...................................................................................................... - 8 - 1．3实数（第二课时）.................................................................................................... - 10 - 1．4平面直角坐标系（一）............................................................................................ - 12 - 1．4 平面直角坐标系(二)........................................................................................... - 14 - 1．4 平面直角坐标系（三）........................................................................................... - 16 - 实数复习课（1）............................................................................................................... - 18 - 实数复习课（2）............................................................................................................... - 20 - 八年级实数单元复习检测题（3课时）.......................................................................... - 22 - 第二章一次函数.....................................................- 27 - 2．1 函数和它的表示法（第一课时）......................................................................... - 27 - 2．1 函数和它的表示法(第二课时) ............................................................................ - 29 - 2．1函数及它的表示法（第三课时）............................................................................ - 31 - 2.2 一次函数和它的图象(1) ........................................................................................ - 33 - 2．2 一次函数和它的图象(第2课时) ........................................................................ - 35 - 2．2 一次函数和它的图象(第3课时) ........................................................................ - 37 - 2．3 建立一次函数模型(第1课时) .............................................................................. - 39 - 2.3 建立一次函数模型(第2课时) .............................................................................. - 41 - 2.3建立一次函数模型（第3课时）.............................................................................. - 43 - 一次函数复习课（2课时）.............................................................................................. - 45 - 一次函数单元 八年级上学期数学教学计划 九嶷山中心校田自新 一、指导思想： 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 二、学生的基本情况： 上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方法上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的方法检验答案，需要加强训练与培养。新版湘教版八年级上册数学全册教案
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