小学奥数教程：圆与扇形计算题

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．

圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n

r =?；

圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360

n

r =?．

一、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、1

6

圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n

．

比如：扇形的面积=所在圆的面积360n

?；

扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n

?

扇形的周长=所在圆的周长360

n

?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．

一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)

③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形

④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2?

二、常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

板块、曲线型旋转问题

【例 1】 正三角形ABC 的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A 点再次落在这条直线上，那么A

点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)

B

C

A

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

例题精讲

圆与扇形

【解析】 如图所示，A 点在翻滚过程中经过的路线为两段120?的圆弧，所以路线的总长度为：

120

2π628π360

???=厘米；

三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120?的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：

2120

π621524π15360

???+=+平方厘米．

【答案】24π15+

【巩固】直角三角形ABC 放在一条直线上，斜边AC 长20厘米，直角边BC 长10厘米．如下图所示，三角形

由位置Ⅰ绕A 点转动，到达位置Ⅱ，此时B ，C 点分别到达1B ，1C 点；再绕1B 点转动，到达位置Ⅲ，

此时A ，1C 点分别到达2A ，2C 点．求C 点经1C 到2C 走过的路径的长．

60?30?

B 1

C 1C 2

A 2

C

B A

Ⅲ

ⅡⅠ

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由于BC 为AC 的一半，所以30CAB ∠=?，则弧1CC 为大圆周长的

180305

36012

?-?=?，弧12C C 为小圆

周长的

1

4，而112CC C C +即为C 点经1C 到2C 的路径，所以C 点经1C 到2C 走过的路径的长为515065

2π202π10π5ππ12433

??+??=+=(厘米)．

【答案】65

π3

【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm 和3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm ．让这

个长方形绕顶点B 顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A 到达点E 的位置．求点A 走过的路程的长．

ⅣⅢ

ⅡⅠE

D

C

B

A

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为长方形旋转了三次，所以A 点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．

这三段路程分别是：

第1段是弧1AA ，它的长度是1

2π44???(cm )；

第2段是弧12A A ，它的长度是1

2π54???(cm )；

第3段是弧2A E ，它的长度是1

2π34???(cm )；

所以A 点走过的路程长为：111

2π42π52π36π444

???+???+???=(cm )．

【答案】6π

【例 2】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如

图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如图所示，羊活动的范围可以分为A ，B ，C 三部分，其中A 是半径30米的

3

4

个圆，B ，C 分别是半径为20米和10米的

1

4

个圆． 所以羊活动的范围是222311

π30π20π10444

??+??+??

222311π302010444?

?=??+?+? ??

?

2512=．

【答案】2512

【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m ，求狗所能到的地方

的总面积．(圆周率按3.14计算)

3

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径4m ，圆心角300°的扇形与两个半径1m ，圆心角120°的扇

形之和．所以答案是243.96m ．

【答案】43.96

【例 3】 如图是一个直径为3cm 的半圆，让这个半圆以A 点为轴沿逆时针方向旋转60?，此时B 点移动到'

B 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm ，圆周率按3计算)．

B

A

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 面积=圆心角为60?的扇形面积+半圆-空白部分面积(也是半圆)=圆心角为60?的扇形面积

22603π3π 4.5(cm )3602

=??==． 【答案】4.5

【例 4】 如图所示，直角三角形ABC 的斜边AB 长为10厘米，60ABC ∠=?，此时BC 长5厘米．以点B 为

中心，将ABC ?顺时针旋转120?，点A 、C 分别到达点E 、D 的位置．求AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(π取3)

E

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 注意分割、平移、补齐．

E D

B A

如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 因为60EBD ∠=?，那么120ABE ∠=?，

则阴影部分为一圆环的1

3．

所以阴影部分面积为()221

π753

AB BC ??-=(平方厘米)．

【答案】75

【巩固】如右图，以OA 为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O 点为中心旋

转90?，问：三角形扫过的面积是多少？(π取3)

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之

一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边OA ．

因此可以求得，三角形扫过的面积为：1

24π10102425π994

+???=+=(平方厘米)．

【答案】99

【巩固】(“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形ABC 中，B ∠为直角，且2BC =厘米，4AC = 厘米，

则在将ABC ?绕C 点顺时针旋转120?的过程中，AB 边扫过图形的面积为 ．(π 3.14=)

C B A

B'

A'

C B A

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如右上图所示，假设ABC ?旋转120?到达''A B C ?的位置．阴影部分为AB 边扫过的图形．

从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形'ACA 的面积与ABC ?的面积之和，空白部分面积等于扇形'BCB 的面积与''A B C ?的面积，由于ABC ?的面积与''A B C ?的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形'ACA 与扇形'BCB 的面积之

差，为22120120

π4π24π12.56360360

??-??==(平方厘米)．

【答案】12.56

【例 5】 如下图，△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C 点为圆点，顺时针旋转

90度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是平方米 。（π=3.14）

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。

r r

1

r

因为2221r r +=，所以21

2

r =

。 所求面积为()222211111110.6775424428r ππππ?

?-+--+= ??

????=（平方米）

【答案】0.6775

【例 6】 如图30-14，将长方形ABCD 绕顶点C 顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD 边扫

过部分的面积．(π取3.14)

D

C

B A

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下图所示，

D \

A \

B \

D C

B

A

A \

D \

C

A

如下图所示，端点A 扫过的轨迹为AA A '''，端点D 扫过轨迹为DD D '''，而AD 之间的点，扫过的轨迹在以A 、D 轨迹，AD ，A D ''所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD 上某点扫过，所以AD 边扫过的图形为阴影部分．显然,

有阴影部分面积为A D C ACA ACD S S S S ''''??+--直角扇形直角扇形CD D ,而直角三角形A D C ''、ACD 面积相等．

=A D C ACA ACD ACA S S S S S S ''''''??+---直角扇形直角扇形CD D 扇形扇形CD D

222290909

=

(54)7.065()36036044

AC CD ππππ-=-==平方厘米 即AD 边扫过部分的面积为7．065平方厘米．

【答案】7.065

【例 7】 (祖冲之杯竞赛试题)如图，ABCD 是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C 点按顺

时针方向旋转90?，分别求出四边扫过图形的面积．

C

B

D A

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 容易发现，DC 边和BC 边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的

1

4

，如图：

B'

A'

D

C

B

A

因此DC 边扫过图形的面积为4π，BC 边扫过图形的面积为

9π4

． 2、研究AB 边的情况．

在整个AB 边上，距离C 点最近的点是B 点，最远的点是A 点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：

D

B'

A'

A

下面来求这部分的面积．

观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：

扇形'ACA 面积＋三角形''A B C 面积－三角形ABC 面积一扇形'BCB 面积＝扇形'ACA 面积一扇形

'BCB 面积225π3π

44

=-4π= 3、研究AD 边扫过的图形．

由于在整条线段上距离C 点最远的点是A ，最近的点是D ，所以我们可以画出AD 边扫过的图形，如图阴影部分所示：

A

A'

B'

D

用与前面同样的方法可以求出面积为：225π4π9

π444

-=

旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．

可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．

【答案】（1）BC 边扫过图形的面积为9π

4

（2）AB 边扫过图形的面积为4π

（3）AD 边扫过图形的面积为9π

4

（4）DC 边扫过图形的面积为4π

【例 8】 (华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小

铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点A ，观察半径OA ，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到

与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径OA 也运动到了与初始时相对的位置．这时OA 沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到OA 与初始位置重合，这时OA 自身转了1圈，因此小铁环自身也转了1圈．

⑵

⑴

A O A O

【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以

考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长，那么小铁环转动了1圈．

【答案】1圈

【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁

环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图，同样考虑小圆的一条半径OA ，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径

OA 滚动了540?，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈．

⑴

O A

⑵

O

A

也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了3圈．

【答案】3圈

【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n (1n >)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又

回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．

设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“n ”．

⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为2π(1)

n

?-．

所以小圆绕自己的圆心转动了：2π(1)

1

2π

n

n

?-

=-(圈)．

图（1）图（2）

⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．

因为圆心滚动的距离为2π(1)

n

?+．

所以小圆绕自己的圆心转动了：2π(1)

1

2π

n

n

?+

=+(圈)．

【答案】n-1和n+1

【例9】如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180606060

?-?-?=?．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120°．

当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360606090150

?-?-?-?=?．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300o．

长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边．120830042160

??+??=?，所以这枚硬币转动了2160o，即自身转动了6圈．

另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2π即滚动了一周．

【答案】6圈

【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形(圆心的连线)．

用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】 对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边”

上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度2π÷=自身转动圈数．结论：一样多；都是6圈．

【答案】一样多；都是6圈

【例 10】 一枚半径为1cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到

原来的位置，那么与原A 点重合的点是______．硬币自己转动______，硬币圆心的运动轨迹周长为_______．

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆，1

(22π)36π2

???=，

6π2π3÷=，即为3周，所以答案为A 点，3周，6π．

【答案】A 点，3周，6π

【例 11】 先做一个边长为2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm 为半径作弧，形成曲边三角形(如

左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)

C

B

A 2

22

【考点】曲线型旋转问题 【难度】

3星 【题型】解答 【解析】 在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才

能实施具体的计算．

图⑴

图⑵

图⑶

图⑷

在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同．

为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：

第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点A 的上方滚动到顶点A 的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以A 为圆心、2cm 为半径、圆心角为60°的扇形．在顶点A 、B 、C 处各有这样的一个扇形；

第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边AB 上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图⑶中D 点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C 点为圆心的弧AB 上滚动，可知此时圆心D 运动的轨迹是图⑶中的弧'DD ，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C 为圆心、4cm 为半径、圆心角为60°的扇形减去半径为2cm 的60°的扇形；

综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．

滚动时经过的面积是：2222

6060603π23π4π28π25.12(cm )360360360???????+???-??== ? ????

?．

【答案】25.12

【例 12】 下图为半径20厘米、圆心角为1440的扇形图.点C 、D 、E 、F 、G 、H 、J 是将扇形的B 、K 弧线

分为8等份的点.求阴影部分面积之和．

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下图,做出辅助线

,

△KMA 与△ANG 形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA ≌△ANG ,KMA

ANG

S S

=,

而△LMA 是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等．

所以,GNMK 与扇形KGA 的面积相等,那么KGEB 的面积为2倍扇形KGA 的面积．

扇形KGA 的圆心角为01448×3=540,所以扇形面积为054

20360

?60ππ?=平方厘米．

那么KGEB 的面积为602π?=120π平方厘米．

如下图,做出另一组辅助线．

B

△JQA 与△ARH 形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),

有△JQA ≌△ARH,JQA ARH S S ==5△A,而△PQA 是两个三角形的公共部分, 所以右图中的阴影部分面积相等.

所以,JHRQ 与扇形JHA 的面积相等,那么JHDC 的面积为2倍扇形JHA 的面积．

扇形JHA 的圆心角为001441808=,所以扇形面积为218

2020360

ππ??=平方厘米． 那么JHDC 的面积为20240ππ?=平方厘米．

所以,原题图中阴影部分面积为KGEB JHDC S S -=1204080πππ-=≈80×3.14=251.2平方厘米．

【答案】251.2

【例 13】 10个一样大的圆摆成如图所示的形状．过图中所示两个圆心A ，B 作直线，那么直线右上方圆内

图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 直线AB 的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好

组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆，那么直线AB 的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．

【答案】2:3

【例 14】 在图中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(π

取3.14)

【考点】 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】奥林匹克，初赛，11题

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 有AO=OB ，所以△AOB 为等腰三角形，AO=OC ，所以△AOC 为等腰三角形.

∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°，

所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC 的面积为

260

942.39360

π??≈(平方厘米)．

【答案】42.39

【例 15】 图是由正方形和半圆形组成的图形．其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知

正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(π取 3.14)

10

D

B

【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】奥林匹克，初赛，11题 【解析】 过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以0为AB 中点．

O D

P

B

有2ABCD DPC 101

S 1010100S 12.522

ππ=?==??=半圆，（

）. AOP OPQB 101101

S 510+

37.5S 105550.2222?????=??==++??= ????

???梯形（）， 阴影部分面积为ABCD AOP DPC OPQB S S S S 10012.537.55012.512.551.75.ππ?+-=+--=+≈半圆梯形-

【答案】51.75

五年级下册数学试题 - 奥数专题- 圆与扇形综合 人教版

专项一圆与扇形综合 课前预习 圆与球：跨时代、跨文化的数学故事 这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆 伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！ 圆和球还是最实用的图形。宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。 简单中寓深奥。在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。 圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。

古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式：(R是球半径)。阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。 至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作《无穷算术》中，用插值法计算1/4圆的面积，并进而导出了无穷乘积表达式 牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理，二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。在解析几何的发明人笛卡儿手中，圆是他作图求解方程的基本工具。笛卡儿在《几何学》一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称，而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率，他给出了π的无穷级数表达式 饶有意味的是，与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和，开创了独具一格的“圆理”。他所谓的“圆理”，即指与圆有关的研究，以无穷级数为基础，计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积，说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。 古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果，曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿战争期间被罗马士兵杀害，据传当罗马军士冲到阿基米德身边时，这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是：“别动我的圆！” 阿基米德死后，罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遗愿，在他墓前竖了一块石碑，墓碑上刻着的正是那不朽的图形—球及其外切圆柱。记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿，历经千年尘封后终于重见天日，被誉为20世纪最重大的考古发现而轰动一时。

六年级奥数圆与扇形完整版

圆与扇形 考点、热点回顾 五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。 圆的周长、面积计算公式： c d π=或2c r π= 2s r π= 半圆的周长、面积计算公式： c r d π=+ 212 s r π= 扇形的周长、面积： 2360a c d r π= + 2360 a s r π= 如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。 典型例题： 例1、如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知 每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米） 分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。

设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为 πR-πr＝π（R-r）＝3.14×1.22≈3.83（米）。 即外道的起点在内道起点前面3.83米。 例2、有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？ 分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。 例3 、左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。 分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。 例4 、草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？ 分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，

小学四年级数学上册经典计算题大全

小学四年级数学上册计算题练习汇总 一、竖式：三位数乘两位数 135×45 108×25 54×312 47×210 138×54 126×89 203×32 312×25 437×28 82×403 208×24 36×137 406×23 460×23 305×56 624×78 46×589 353×56 45×240 479×85

336÷21 858÷39 918÷27 888÷37 645÷32 432÷46 966÷23 731÷79 980÷28 828÷36 689÷34 618÷88 372÷45 294÷29 328÷42 395÷56 765÷74 840÷35 630÷31 961÷19

三、简便计算 1.加法交换结合律： 48＋25＋175 578＋143＋22＋57 128＋89＋72 357＋288＋143 129＋235＋171＋165 378＋527＋73 167＋289＋33 58＋39＋42＋61 75＋34＋125＋366 125＋75＋320 153＋38＋162 163＋32＋137＋268 158＋395＋105 822＋197＋78

2.乘法交换结合律（一）： 25 ×125×32= （15×25）×4= 38×25×4= 35×2×5= （60×25）×4= （125×5）×8= 25×17×4= （25×125）×（8×4）= 38×125×8×3= 5×289×2= 125×5×8×2= 9×8×125= 43×25×4= 125×50×2= 42×125×8= 60×25×4= 125×5×8= 25×17×4= 37×8×125=

六年级数学讲义圆和扇形(供参考)

4cm 4cm 13、六年级数学复习：阴影部分面积 姓名 例题选讲： 例1、求下列阴影部分的周长和面积：（结果保留2位小数） （1） （2）、求出下列图形中阴影部分的面积和周长 （3）、如图：正方形的边长为4厘米，求图中阴影部分的周长和面积。 D B 例2、已知正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为2cm 和3cm,求阴影部分的面积。

例3、如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为10厘米和12厘米。B、C、E在一直线上，GE 是以C为圆心，CE为半径的一条弧，联结AE、AG,求图中阴影部分的面积。 例4、如图，一个半圆与一个圆心角为45度的扇形重叠在一起，扇形的一条半径与半圆O的直径AB重合，另一条半径BC与半圆弧相交于点D。已知AB=4cm,OD和AB垂直，求阴影部分的面积。 例5、如如图，正方形的边长是12厘米，分别以四条边为直径画半圆，构成一个四叶图， 求这个四叶图的周长和面积。 例6、已知正方形ABCD的边长为4cm求出这个花瓣形状的阴影部分的面积。

cm BC AC AB CAB 2,,90===∠ 4cm 【即时检测】 1、求出下列图形中空白部分的面积。 2、 求出下列图形中阴影部分的面积 （1） （2） (3) (4)

3、求阴影部分的周长和面积（精确到0.1cm ） 4、求下图阴影部分周长与面积（单位：厘米） 【拓展题】 1、现在有四根半径为5厘米的圆柱形物件，为了方便运输，准备用绳子捆绑在一起，横截面如图所示， 如果要求物品的两端各用一根绳子绕三圈，并留出20厘米长打结，那么需要准备多长的绳子。 6cm 10cm 6

小学四年级数学上册计算题练习分类汇总

小学四年级数学上册计算题练习汇总一、竖式：三位数乘两位数 135×45 108×25 54×312 47×210 138×54 126×89 203×32 312×25 437×28 82×403 208×24 36×137 406×23 460×23 305×56 624×78 46×589 353×56 45×240 479×85 二、竖式：三位数除以两位数、验算 336÷21 858÷39 918÷27 888÷37 645÷32 432÷46 966÷23 731÷79 980÷28 828÷36 689÷34 618÷88 372÷45 294÷29 328÷42 395÷56 765÷74 840÷35 630÷31 961÷19 三、简便计算 1.加法交换结合律： 48＋25＋175 578＋143＋22＋57 128＋89＋72 357＋288＋143 129＋235＋171＋165 378＋527＋73 167＋289＋33 58＋39＋42＋61

75＋34＋125＋366 125＋75＋320 153＋38＋162 163＋32＋137＋268 158＋395＋105 822＋197＋78 2.乘法交换结合律（一）： 25 ×125×32= （15×25）×4= 38×25×4= 35×2×5= （60×25）×4= （125×5）×8= 25×17×4= （25×125）×（8×4）= 38×125×8×3= 5×289×2= 125×5×8×2= 9×8×125= 43×25×4= 125×50×2= 42×125×8= 60×25×4= 125×5×8= 25×17×4= 37×8×125= 3.乘法交换结合律（二）： 125×32 24×125 125×56 125×72 125×16 48×125 125 ×6425×36 25×32 25×16 4.乘法分配律（一）： 34×72＋34×28 7×48＋7×52 35×37＋65×37 85×82+82×15 25×97+25×3 76×25＋25×24 16×17＋16×23 27×36＋27×64 73×36＋36×27

小升初数学-圆与扇形

与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题，将所求的对象进行适当的移动、分割或拼补以简化计算是常用的方法． 1．如图17-1，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率π取3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】如下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面 积加上4个的面积减去4个的面积，即加上 31 441 42 ?-?=个半径为1的圆的面积． 所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2+1×1×1 7π≈16+3.1416=19.1416平方厘米． 2．如图17-2，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘A直径为10厘米，盘B直径为40厘米，盘C直径为20厘米．问：A顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米?( π取3.14．)

【分析与解】 A 顺时针转一周时，C 顺时针转12周，同轴的B 也顺时针转1 2 周，从而绳索被拉动的距离等于B 的半个圆周长即π×20≈62.8，这时重物应该上升去1 2 ×62.8=31.4． 所以重物上升31.4厘米． 3．图17-3为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长? 【分析与解】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积． 因此 纸的长度 ()22 3.1410093.1410 3.1437143.50.040.04 ?-?-?≈ ≈==纸卷侧面积纸的厚度(厘米) 所以，这卷纸展开后大约71.4米． 4. 如图 17-4，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 4 15 ，是小圆面积的3 5 ．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米? 【分析与解】 小圆的面积为2525ππ?=，则大小圆相交部分面积为325155 ππ?=,那么 大圆的面积为422515154ππ÷=，而2251515422 =?，所以大圆半径为7.5厘米． 5．如图17-5，在18×8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整 个方格纸面积的几分之几?

小学六年级奥数教案—11圆与扇形

小学六年级奥数教案—11圆与扇形 本教程共30讲 圆与扇形 五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。 圆的面积=πr2， 圆的周长=2πr， 本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。 例1如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米） 分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。 设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为

πR-πr＝π（R-r） ＝3.14×1.22≈3.83（米）。 即外道的起点在内道起点前面3.83米。 例2有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？ 分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。 例3左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。 分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。 例4 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？

小学四年级口算题大全

640÷80= 15×5= 23×3= 12×2×5= 480÷80= 16×5= 27×3= 90÷15= 48÷4= 640÷16= 39÷3= 24×20= 32×3= 48÷16= 12×8= 27×3= 56÷14= 24÷8= 14×2= 83－45= 560÷80= 96÷24= 40÷20= 40×30= 37＋26= 76－39= 605＋59= 30×23= 12×8= 27＋32= 48＋27= 4500×20= 73＋15 = 120×600 = 200×360= 6800×400= 280＋270= 4×2500= 6000÷40= 5×1280= 310－70= 400×14= 470＋180= 1000÷25= 160×600= 20×420= 290×300= 8100÷300= 7600÷200= 7600÷400= 680＋270= 980÷14=

4200÷30= 6×1300= 1300×50= 200×48= 930－660= 530＋280= 9200÷400= 840÷21= 180×500= 8000÷500 = 1900÷20= 200×160= 8700÷300= 300×330= 3×1400= 7000÷14= 600÷12= 9600÷80= 140×300= 8800÷40= 9600÷800= 750－290= 5×490= 760×20= 7500÷500= 370×200= 650÷13= 8600－4200= 240×4= 640÷80= 15×10= 12×11= 160×30= 220×40= 104×5= 4500÷50= 120×2= 90÷30= 270÷30= 270×30= 84÷21= 76÷9= 66÷7= 100－54= 123＋15= 360÷4= 55÷5= 32×6= 7000÷70＝ 200÷40＝ 180÷30= 240÷40= 35×2=

五年级奥数春季班第7讲-圆与扇形进阶

第七讲圆与扇形进阶 模块一、基本图形面积求法： 方中圆：正方形面积:圆面积=4:π；圆中方：圆面积:正方形面积=π:2. 例1．（1）下图中正方形的边长为2，则①所在是弯角与②所在的弓形的面积分别是、。(π取3.14) ① ② 解：正方形的边长为2，所以正方形的面积是4，圆的半径是2，所以四分之一的圆的面积π. 所以圆角①的面积是4?π=0.86； 直角三角形的面积是2，所以弓形②的面积是π?2=1.14. （2）下图中正方形的面积为2，则①所在是弯角与②所在的弓形的面积分别是、。(π取3.14) ① ② 解：正方形的面积是2，所以扇形面积是=1.57，所以圆角①的面积是2?1.57=0.43； 2 直角三角形的面积是1，所以弓形②的面积是1.57?1=0.57. 例2．如图，已知正方形的面积是100，则阴影部分的面积和为。（结果保留π） 解：正方形的面积是100，正方形内有一个四分之一的圆，圆的半径是10，四分之一圆的面积是25π，所以阴影中的圆角的面积是100?25π， 有外面的大圆的面积是50π，阴影中小弓形的面积是大圆面积减去正方形面积的四分之一， 所以两个弓形的面积是2× 1 4×(50π?100)=25π?50， 于是阴影部分的面积=100?25π+25π?50=50. 例3．（1）如图，阴影部分的面积是多少？

三角形 ABC 的面积=30，AB 为直径的半圆的面积= 1 解：（1）阴影部分面积=长方形面积?扇形?圆角， 大长方形面积=4×6=24， 扇形是四分之一个圆，扇形面积= 1 4 ×π×16=4π， 圆角面积=正方形面积?四分之一圆=16?4π， 所以阴影部分的面积=24?4π?16+4π=8. （2）在一个边长为 6 的正方形内，分别以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积 为多少平方厘米？（π= 3.14） 解：（2）下面的阴影是半圆，上面的阴影是两个圆角，它的面积等于半个正方形的面积?半个圆的面积， 所以阴影部分的面积半个正方形的面积= 1 2 ×62=18. 例 4．如图所示，分别以直角三角形的三条边为直径做半圆，这三个半圆交出两个月牙形区域（阴影部分）， 则这两个阴影面积之和为 。 B 5 12 A 13 C 解：两个阴影部分的面积之和等于三角形 ABC 面积+AB 为直径的半圆的面积+ BC 为直径的半圆的面积?AC 为直径的半圆面积。 5 25 ? π ? ( )2 = π ， 2 2 8 1 1 1 3 169 BC 为直径的半圆的面积= ? π ? 62 = 18π ，AC 为直径的半圆的面积= ? π ? ( )2 = 2 2 2 8 π ， 所以阴影部分面积=30+ 25 169 π + 18π - π =30. 8 8 例 5．已知三角形 ABC 是直角三角形，AC =4cm ，BC =2cm ，则阴影部分的面积为 cm 2。 （π 取 3.14） B D B A C A C

小学奥数教程之圆与扇形计算题.

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． 圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n r =?； 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360 n r =?． 一、跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n ． 比如：扇形的面积=所在圆的面积360n ?； 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ? 扇形的周长=所在圆的周长360 n ?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积． 一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2? 二、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块、曲线型旋转问题 【例 1】 正三角形ABC 的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A 点再次落在这条直线上，那么A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π) A B B C A 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 例题精讲 圆与扇形

小学四年级口算题大全(10000道)

四年级口算练习（一） 1)200×30＝ 2)42×4＝ 3)63×7＝ 4)230×20－46＝5)130×3＝ 6)60×50＝ 7)36×20＝ 8)490÷70＋58＝9)150÷3＝ 10)260×2＝ 11)75×26＝ 12)21×40－49＝13)35×20＝ 14)15×80＝ 15)300×6＝ 16)15×8＋97＝17)23×30＝ 18)51÷3＝ 19)250÷50＝ 20)210÷30－69＝21)60÷60＝ 22)80÷5＝ 23)240÷80＝ 24)100÷50－46＝25)1200÷20＝ 26)270÷90＝ 27)50÷10＝ 28)360÷40×8＝29)500÷50＝ 30)280÷70＝ 31)34×2＝ 32)15×50＋52＝33)21×30＝ 34)15×63＝ 35)120÷60＝ 36)25×4－34＝37)14×50＝ 38)480÷80＝ 39)30×60＝ 40)180÷60×6＝41)25×40＝ 42)1800÷90＝ 43)5×17＝ 44)48÷3＋72＝45)90×6＝ 46)1400×5＝ 47)12×8＝ 48)92÷2－26＝49)150×4＝ 50)560÷80＝ 四年级口算练习（二） 1)72÷24＝ 2)3200×2＝ 3)24×20＝ 4)70÷14×5＝ 5)28×3＝ 6)56×13＝ 7)650÷5＝ 8)900÷6－123＝9)10×47＝ 10)91÷13＝ 11)450÷50＝ 12)12×20÷10＝13)18×2＝ 14)84÷3＝ 15)1900×5＝ 16)720÷4－135＝17)50×70＝ 18)480÷80＝ 19)26×30＝ 20)93÷31×12＝21)18×4＝ 22)74÷37＝ 23)4×250＝ 24)120÷20×34＝25)160×2＝ 26)480÷2＝ 27)50×60＝ 28)48÷4＋32＝29)76÷19＝ 30)18×32＝ 31)6×800＝ 32)110×8÷11＝33)250÷50＝ 34)130×5＝ 35)400÷8＝ 36)420÷3＋12＝37)90－15＝ 38)30×24＝ 39)92÷46＝ 40)48＋16－24＝41)11×40＝ 42)360÷60＝ 43)76÷19＝ 44)18×3＋25＝45)6×800＝ 46)110×8＝ 47)250÷50＝ 48)130×5÷10＝49)400÷8＝ 50)420÷3＝

五年级奥数圆与扇形(二)教师版

五年级奥数圆与扇形（二）教师版 圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n r =? ； 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360 n r =?． 一、跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部 分．我们经常说的12圆、14圆、1 6 圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个 扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360 n ． 比如：扇形的面积=所在圆的面积360n ?； 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ? 扇形的周长=所在圆的周长360 n ?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长,主要求面积． 一般来说,弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2? 二、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”) 板块二 曲线型面积计算 【例 1】 如图,已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的 3 4 倍,则角CAB 的度数是________． 例题精讲 圆与扇形

D C B A 【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设半圆ADB 的半径为1,则半圆面积为21π π122 ?=,扇形BAC 的面积为 π42π233?=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ?,所以,22π π23603n ??= ,得到60n =,即角CAB 的度数是60度． 【答案】60度 【例 2】 如下图,直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7,分别以,B C 为圆心,2为半径 画圆,已知图中阴影部分的面积是17,那么角A 是多少度(π3=) 6 7 C B 【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 1 67212 ABC S =??=△, 三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=, 根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C ∠+∠??=° , 所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°. 【答案】60度 【例 3】 如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 4 15 ,是小圆面积的3 5 ．如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米？ 【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 小圆的面积为2π525π?=,则大小圆相交部分面积为3 25π15π5 ?=,那么大圆的面

六年级上册奥数试题-第8讲 圆与扇形 全国通用(含答案)

第8讲圆与扇形 知识网络 圆是所有几何图形中最完美的。当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转时一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O点称为这个圆的圆心。连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r表示。连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d表示，显然d=2r。圆的周长（用字母C表示）与直径的比，叫做圆周率。圆周率用字母表示，它是一个无 限不循环的小数，一般取近似值3.14。圆的周长。利用等分圆周拼成近似长方 形的方法可知圆的面积。顶点在圆心的角叫做圆心角。圆周上任意两点间的部分叫 做弧。 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。如果扇形的半径为r，弧所对圆心角的度数为n，那么弧的长度。从而扇形的周长，扇形的面积。 重点·难点 本讲的难点在于求圆或扇形与其他平面图形组成的组合图形的面积。一般这类组合图形是不规则的，很难直接用公式计算它们的面积。这时候，可以利用分、合、移、补等方法将其转化为若干个基本几何图形的组合，然后再分别计算这若干个基本图形的面积，分析整体与各部分的和、差关系，问题就会迎刃而解。 学法指导 在解圆或扇形的周长与面积等有关问题时，一般要先求出半径r，因为半径r是连接周长与面积的纽带。 经典例题 [例1]一只饥饿的猛虎紧紧地追赶着一只小狗。就在猛虎要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形的池塘边。小狗连忙纵身往水里一跳，猛虎抓了个空。猛虎舍不得这顿即将到口的美餐，于是盯住小狗，在池边跟着小狗跑动，打算在小狗爬上岸的时候再抓住它。已知猛虎奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。请问：小狗如何才能逃出虎口？ 思路剖析 如果小狗在圆形池塘中沿着圆周游动，那末无论它游到哪里，都会被猛虎牢牢盯死。而如果小狗跳下池塘后就沿着直径笔直往前游，那么猛虎就要跑半个圆周。由于半圆周长是直

六年级奥数-圆与扇形

六年级奥数圆与扇形 知识要点：五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。 圆的面积=n r2, 圆的周长=2 n r , 扇形的面积=兀芒％為崩形的弧长= 2H r X^o dbu 本书中如无特殊说明，圆周率都取n =3.14。 例1如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米） 例2有七 根直径5厘米的塑 料管，用一根橡皮 筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？45.7 例3左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。257

例4早场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大? 2512吊 例5右图中阴影部分的面积是2.28厘米2,求扇形的半径。4cm 例6右图中的圆是以0为圆心，半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。ioocm 课堂练习： 1. 直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米。如下图所示，三角形由位置I绕A点转动，至U达位置U，此时B，C点分别到达B, C点；再绕B点转动，到达位置川，此时A，C点分别到达A，C2 点。求C点经C到C走过的路径的长。68厘米 2. 下左图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘米? 62.8厘米 3. 一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见右上图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。43.96m2

(完整版)圆和组合图形练习题B(六年级奥数)

六年级奥数：圆和组合图形（2） 一、填空题 1.如图,阴影部分的面积是 . 2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大平方厘米. 3.在一个半径是 4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是平方厘米.(π取1平方厘米) 4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平方厘米). 5.如图所求,圆的周长是1 6.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好 相等.图中阴影部分的周长是厘米.) 14 .3 (= π 6.如图,15 1= ∠的圆的周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是 . 7.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形 (如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率1416 .3 = π,那么花瓣图形 的面积是平方厘米. 8.已知:ABC D是正方形, ED=DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是 . 2 1 2 E D C B A G F

9.图中,扇形BAC 的面积是半圆ADB 的面积的3 11倍,那么, CAB ∠是 度. 10.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是 平方厘米.(π取3.14) 二、解答题 11.如图:阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r . (计算时圆周率取7 22 ) 12.已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米 求阴影部分的面积. 13.有三个面积都是S 的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2S +2, 并且重合的两块是等面积的,直线a 过两个圆心A 、B , 如果直线a . 14.如图所示,一块半径为2厘米的圆板,从平面上1的位置沿线段AB 、BC 、CD 滚到2的位置,如果AB 、BC 、C D 的长都是20厘米,那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米? 2

完整word版,六年级数学上册《圆和扇形》练习

圆和扇形 一、填空。 1．在下图圆中，圆心用字母表示是（）； AC是圆的（），用字母表示是（），AC＝（）； OB是圆的（），用字母表示是（），OB＝（）； 涂色部分的形状是（）。 2.在同一个圆里，有（）条半径，所有半径的长度（） 3.圆有（）条直径，在同一个圆中直径等于半径的（）。 4.圆是（）图形，有（）条对称轴。 5.扇形是由（）围成的，扇形的圆心角的顶点在（） 6.圆有（）条对称轴，圆所有的对称轴都相交于（）。 7.下图中，圆的直径是（）厘米，半径是（）厘米 8. 下图中，大半圆的半径是（）厘米，直径是（）厘米，小半圆的半径是（）厘米，直径是（）厘米， 二、选择符合要求的答案，把序号填在（）里。 1.下面图（）中的AB是圆的直径。

2．下面图形中，第（）个涂色部分是扇形。 3．一个圆有（）条对称轴。 ① 1 ② 2 ③ 4 ④无数条 4．用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是4厘米，这个圆的直径是（） ① 4厘米② 2厘米③ 8厘米④ 12厘米 5．将一个圆形纸片对折3次打开，这个圆被折痕分割成（）个大小相等的扇形。 ① 16 ② 8 ③ 6 ④ 4 三、判断，你认为正确的在括号里打“√”，错误的打“×”。 1．一个圆的直径是这个圆的一条对称轴。（） 2．在同一个圆中，圆心到圆上任意一点的线段都是这个圆的半径。（） 3．两端都在圆上的所有线段，直径最长。（） 4．一个圆中两条不同对称轴的交点就是这个圆的圆心。（） 5．所有圆的直径都是相等的。（） 6．如果几个圆的半径相等，那么这几个圆的大小也都相等。（） 7．两条半径就是一条直径.（） 8．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。（） 9.半圆有无数对称轴。（） 10.画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径。（） 四.按要求画图。 1．在下面的圆上画出1条半径，1条直径，并用字母表示。测量这个圆的直径是（）毫米。 2．用圆规画圆。 （1）半径2厘米的圆。（2）直径3厘米的圆。 3．先画一个圆，再在圆中画出扇形并涂上色。 4.画出下面每个图形的两条对称轴。

四年级口算题大全(每页100道,共1000道)

四年级口算题大全（1000道） 1)200×30＝ 2)42×4＝ 3)63×7＝ 4)230×20－46＝5)130×3＝ 6)60×50＝ 7)36×20＝ 8)490÷70＋58＝9)150÷3＝ 10)260×2＝ 11)75×26＝ 12)21×40－49＝13)35×20＝ 14)15×80＝ 15)300×6＝ 16)15×8＋97＝17)23×30＝ 18)51÷3＝ 19)250÷50＝ 20)210÷30－69＝21)60÷60＝ 22)80÷5＝ 23)240÷80＝ 24)100÷50－46＝25)1200÷20＝ 26)270÷90＝ 27)50÷10＝ 28)360÷40×8＝29)500÷50＝ 30)280÷70＝ 31)34×2＝ 32)15×50＋52＝33)21×30＝ 34)15×63＝ 35)120÷60＝ 36)25×4－34＝37)14×50＝ 38)480÷80＝ 39)30×60＝ 40)180÷60×6＝41)25×40＝ 42)1800÷90＝ 43)5×17＝ 44)48÷3＋72＝45)90×6＝ 46)1400×5＝ 47)12×8＝ 48)92÷2－26＝49)150×4＝ 50)560÷80＝ 51)72÷24＝ 52)3200×2＝ 53)24×20＝ 54)70÷14×5＝55)28×3＝ 56)56×13＝ 57)650÷5＝ 58)900÷6－123＝59)10×47＝ 60)91÷13＝ 61)450÷50＝ 62)12×20÷10＝63)18×2＝ 64)84÷3＝ 65)1900×5＝ 66)720÷4－135＝67)50×70＝ 68)480÷80＝ 69)26×30＝ 70)93÷31×12＝71)18×4＝ 72)74÷37＝ 73)4×250＝ 74)120÷20×34＝75)160×2＝ 76)480÷2＝ 77)50×60＝ 78)48÷4＋32＝79)76÷19＝ 80)18×32＝ 81)6×800＝ 82)110×8÷11＝83)250÷50＝ 84)130×5＝ 85)400÷8＝ 86)420÷3＋12＝87)90－15＝ 88)30×24＝ 89)92÷46＝ 90)48＋16－24＝91)11×40＝ 92)360÷60＝ 93)76÷19＝ 94)18×3＋25＝95)6×800＝ 96)110×8＝ 97)250÷50＝ 98)130×5÷10＝99)400÷8＝ 100)420÷3＝

五年级奥数.几 何.圆与扇形综合(C级).学生版

圆与球：跨时代、跨文化的数学故事 这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆 伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！ 圆和球还是最实用的图形。宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。 简单中寓深奥。在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。 圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。 古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式： (R 是球半径) 。阿基米德的方法可以看成是积 课前预习 圆与扇形综合

分学的先声。无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。 至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作《无穷算术》中，用插值法计算1/4圆的面积，并进而导出了无穷乘积表达式 牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理，二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。在解析几何的发明人笛卡儿手中，圆是他作图求解方程的基本工具。笛卡儿在《几何学》一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称，而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率，他给出了π的无穷级数表达式 饶有意味的是，与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和，开创了独具一格的“圆理”。他所谓的“圆理”，即指与圆有关的研究，以无穷级数为基础，计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积，说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。 古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果，曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿战争期间被罗马士兵杀害，据传当罗马军士冲到阿基米德身边时，这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是：“别动我的圆！” 阿基米德死后，罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遗愿，在他墓前竖了一块石碑，墓碑上刻着的正是那不朽的图形—球及其外切圆柱。记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿，历经千年尘封后终于重见天日，被誉为20世纪最重大的考古发现而轰动一时。 至于圆周率π的计算，这方面的成就往往被用作衡量某一时代、某一地区文化水平的标征。前面已提到的祖冲之，亦以圆周率的计算而彪炳史册。据《隋书》记载，祖冲之算出圆周率的精确值在 3.1415926与3.1415927之间，这在公元5世纪时创造了世界之最。为了纪念这位文化名人，人们把月球上的一座环形山命名为“祖冲之山”。1955年，中国还发行了祖冲之纪念邮票。祖冲之并不是仅有的出现在邮票上并与圆周率有关的数学家。伊朗曾发行过纪念阿拉伯数学家阿尔·卡西的邮票，阿尔·卡西恰恰是祖冲之之后刷新圆周率计算记录的第一人，他在公元14世纪，给出了准确到13位小数的圆周率近似值。今天，电子计算机已经将数值计算到小数点后数万亿位。然而，电子计算机的发明、使用本身离不开圆的数学。