对坐标的曲线积分教案

高等数学教案

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

练习112(对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系) - 答案

练习册 112 对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系（答案） 1、设L 是xoy 平面内直线a x =上的一段，求()?=L dx y x P I ,。 解：a x = ，0=dx ， ()0,==∴?L dx y x P I 。 2、设L 是xoy 平面内直线a y =上的一段，求()?=L dy y x Q I ,。 解：a y = ，0=dy ， ()0,==∴?L dy y x Q I 。 3、设L 是xoy 平面内x 轴上从点()0,a 到点()0,b 的一直线段，求()?=L dx y x P I ,。 解：因为L ：0=y ，x 从a 变化到b ， 所以()()??==b a L dx x f dx y x P I 0,,。 4、计算?=L xydx I ，其中L 为圆周()()0222 >=+-a a y a x 及x 轴所围成的在第一象限内的区域的按照逆时针方向的整个边界。 解：令从点O 到点A 的有向直线段为1L ，从点A 到点O 的有向半 圆弧（第一象限内）为2L （如右图所示），有21L L L +=， 又因为1L ：0=y ，x 从0变化到a 2， 2L ：θcos a a x =-，θsin a y =，θ从0变化到π， 所以，()()?????-++?=+==π θθθθ020sin sin cos 021d a a a a dx x xydx xydx xydx I a L L L ()πππππθθθθθθθθθθθ 0 32022022022022 sin 31sin 2sin cos sin sin cos 1??????--=--=+-=????d a d a d a d a 222 2212a a ππ-=??-=。

第二十章曲线积分

第二十章曲线积分 教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。 教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。 教学时数：6学时 § 1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2.曲线的质量: 3.第一型曲线积分的定义: 定义及记法.线积分,. 4.第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证 ) P199 若曲线方程为: , 则 .

的方程为时有类似的公式. 例1 设是半圆周, . . P200例1 例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有 . 例3计算积分, 其中是球面被平面 截得的圆周 . P201例3 解由对称性知 , , =. ( 注意是大圆 ) § 2 第二型曲线积分 一.第二型曲线积分的定义: 1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得

, 即. 2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量. , 因此 , . 由, 得 . 于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 . 3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有 力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α)()()) (),((22 对弧长的曲线积分 (,,)((),(),L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式 = ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的： 2 2 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?

():() ()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处 α=t ，终点处β=t 则 原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。 四、对面积的曲面积分 1、 当曲面为 ????++==∑ xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)) ,(,,(),,() ,(μμ 2、 当曲面为 (,) (,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑ ==???? 3、 当曲面为 (,) (,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑ ==????

第一类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算 1、定义 定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n i 1s max T ，在i L 上任取一点(i , ).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n 1 i i 0T 且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地 定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s ),,(f lim i i i n 1 i i 0T ， (此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T , J 为一常数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义 （1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i 由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i ） i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式 i n 1 i i )P (f

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线y=22ax x -到点o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0

数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分 一、第一型曲线积分的定义 引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量. 当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n i i P f ?Ω∑=1)(. 当对Ω有分割越来越细密(即d=i n i ?Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是 该物体的质量. 定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i n i s ?≤≤1max ，在L i 上任取一点 (ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n i i i T s f ?∑=→1 ),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：?L ds y x f ),(. 注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类

似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分?L ds z y x f ),,(. 性质：1、若?L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则 ?∑=L k i i i ds y x f c 1 ),(=∑?=k i L i i ds y x f c 1 ),(. 2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且?i L ds y x f ),((i=1,2,…,k) 都存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(=∑?=k i L i i ds y x f 1 ),(. 3、若?L ds y x f ),(与?L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则 ? L ds y x f ),(≤?L ds y x g ),(. 4、若?L ds y x f ),(存在，则?L ds y x f ),(也存在，且?L ds y x f ),(≤?L ds y x f ),(. 5、若?L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得?L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L ≤c ≤),(sup y x f L . 6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是 ? L ds y x f ),(. 二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:?? ?==) () (t y t x ψ?, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L 上的连续函数，则?L ds y x f ),(=?'+'β αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =?='+'i i t t dt t t 1 )()(22ψ?. 由)()(22t t ψ?'+'的连续性与积分中值定理，有

第一型曲线积分

第一型曲线积分 标准式： dt t r t r f ds f ??'=Γ β α )()( 算法：参数法 1.求出Γ的一个向量参数方程)(t r r = 2.计算弧元dt t r ds )( '= 3.计算定积分dt t r t r f ?'β α )()( 特别地： 显示方程 )(x y ?= xoy 平面的圆的参数方程???==θ θ cos sin a y a x 为参数θ 第二型曲线积分 标准式： dt t r t r F p d p F ?? '?= ?Γ β α )()()(

其中),,(R Q P F = 符号按参数增加的方向积分为正 算法： 一．参数法 dt t z t y t x t r R t r Q t r P dz R Qdy Pdx p d p F ))(),(),(())(),(),(()('''?= ++= ???? Γ Γ β α 二．Green 公式（二维） （封闭曲线的积分 转化到 所围成曲面的积分即二重积分） dxdy y P x Q Qdy Pdx ???Ω ?Ω ??- ??= +)( （定向：一个人沿着Ω?走的正方向行进时，区域Ω总在这个人的左边） 三．Stokes 公式（三维） （封闭曲线的积分 转化到 封闭的曲面的积分 封闭的曲面即有所围区域体即二重积分之和） ?? ?∑ ∑ ??????= ++R Q P z y x dxdy dzdx dydz dz R Qdy Pdx 应用：求曲面面积 ??????= - =-= D D D xdy dx y ydx xdy D 2 1)(σ 第一型曲面积分 标准式：（1）dudv r r r f fd v u ? ?? ∑ ? ?= σ

21.1第一类曲线积分的计算

§21.1 第一类曲线积分的计算 1.定义 定积分研究的是定义在直线段上函数的积分．本节将研究定义在平面曲线或空间曲线段上函数的积分． 定义 1 设L 为平面上可求长度的曲线段，),(y x f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段),,2,1(n i L i =，i L 的弧长记为i s ?，分割T 的细度为i n i s T ?=≤≤1max ，在i L 上任取一点(i ξ,).,,2,1)(n i i =η若存在极限 J s f i i n i i T =?∑=→),(lim 1 ηξ 且J 的值与分割T 及点),(i i ηξ的取法无关，则称此极限为),(y x f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .),(ds y x f L ? （1） 定义 2 若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似地定义 ),,(z y x f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s f i i i n i i T =?∑=→),,(lim 1 ζηξ，(此处i s ?为 i L 的弧长,i n i s T ?=≤≤1max , J 为一常数),并且记作 ? L ds z y x f .),,( （2） 2.物理意义 1) 设某物体的密度函数f （P ）是定义在Ω上的连续函数．当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量， 现在研究当Ω是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对Ω作分割,把Ω分成n 个可求长度的小曲线段i Ω（i=1，2，…，n)，并在每一个i Ω上任取一点P i 由于f （P ）为Ω上的连续函数,故当i Ω的弧长都很小时，每一小段i Ω的质量可近似地等于f （P i ）?i Ω,其中?i Ω为小曲线段i Ω的长度.于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式 i n i i P f ?Ω∑=)(1 当对Ω的分割越来越细密(即0max 1→?Ω=≤≤i n i d )时,上述和式的极限就应是该物体的 质量．

习题十八 第一型曲线积分

习题十八 第一型曲线积分 一、填空题 1、 设曲线L 是由) 10(1:),10(0:),10(0:321≤≤=+≤≤=≤≤=x y x L x y L y x L 所围成的平面图形的边界，函数),(y x f 在上连续，则将ds y x f L ),(? 化为定积分 计算时， = ? 1 ),(L ds y x f ? 1 ),0(dy y f ， = ? 2 ),(L ds y x f ? 1 )0,(dx x f ， =? 3 ),(L ds y x f ? -1 2)1,(dx x x f ， =? L ds y x f ),( ??? -++1 1 1 2)1,()0,(),0(dx x x f dx x f dy y f 。 2、 设曲线L 的方程为21x y -=，函数),(y x f 在L 上连续，现将曲线积分 ? L ds y x f ),(化为定积分进行计算，则当取x 为参数时， ? = L ds y x f ),(? ---1 1 2 21) 1,(x dx x x f ，而当取y 为参数时， ? =L ds y x f ),( ?--+--1 2 2 21)],1(),1([y dy y y f y y f 3、设曲线L 的方程为24x y -= （)20≤≤x ，则曲线L 以极角为参数的参数方程 ? ? ?≤≤==20,sin 2,cos 2π t t y t x ，用极坐标计算弧长的曲线积分时，? = L ds y x f ),(? 2 )s i n 2,c o s 2(2π dt t t f 。 （其中),(y x f 在L 上连续）。 4、设曲线Γ的直角坐标方程是???==++13 222z z y x ，则Γ用柱面坐标中的θ为参数的参 数方程为π20,1,sin 2, cos 2≤≤?? ? ??===t z t y t x ，并利用它计算曲线积分 ? Γ =ds z y x f ),,( ? ?π 20 2)1,sin 2,cos 2(dt t t f ，（其中f 在Γ上连续）。 二、计算曲线积分? L xds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2 x y =所围成的区域的边界。

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W .

大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所 走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P ),(),(+=由于 ),,(), ,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴 方向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ??从而 力()y x F , 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F , 沿L 所作的功可近 似等于 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),(),(ηη当0→T 时,右端积分 和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 第二型曲线积分的定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为

计算第一型曲线积分

1. 计算第一型曲线积分: (1)?+L ds y x )(,其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 分析：先将L 分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。 L=OA+AB+BO ，又 OA ：010 x x x y =?≤≤?=? AB ：011x x x y x =?≤≤?=-? BO ：001x y y y =?≤≤? =? 解：?+L ds y x )(=?+OA ds y x )(+?+AB ds y x )(+?+BO ds y x )( = .212101010+=++???dy y dx dx x (2)?+L ds y x 2 122)(,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; 分析：是以原点为中心,R 为半径的右半圆周的参数方程为： )22.(sin ,cos πθπθθ≤≤- ==R y R x 解：?+L ds y x 2122)(=.2222R d R πθπ π=?- .(3)?L xyds , 其中L 为椭圆122 22=+b y a x 在第一象限中的部分; 分析：先将椭圆122 22=+b y a x 在第一象限中的部分表示为: 0y x a =≤≤ 解：因为,,2222x a bx y x a a b y --='-= 从而 ?L xyds =dx y x a x a b a 2220)(1'+-? =dx x a a x b x a x a b a ) (122222220-+-? =?+-a dx x a b x a a b 02222 222

=?--a dx x b a a a b 0222242)(2 =) (3)(22b a b ab a ab +++. 此题也可将椭圆122 22=+b y a x 在第一象限中的部分表示为参数方程：cos 0sin 2x a y b θπθθ =?≤≤?=? (4) ?L ds y ,其中L 为单位圆周122=+y x ; 解：由于单位圆的参数方程为:cos ,sin (02)x y θθθπ==≤≤,从而 ? L ds y =4sin sin 20=-??πππθθθθd d . (5) ?++L ds z y x )(222,其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段; 解： ?++L ds z y x )(222=222222222202)43(3 2)(b a b a dt b a t b a ++=++?πππ. (6) ?L xyzds ,其中L 是曲线)10(2 1,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段; 解：?L xyzds =dt t t t t t 223102121232++??? = .143216)1(32102/9=+??dt t t (7)ds z y L ?+222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆. 分析：2222a z y x =++与y x =相交的圆? ??=+=2222a z y y x 的 其参数方程为)20(,cos ,sin 2 π≤≤===t t a z t a y x 解：ds z y L ?+222=.2cos sin 2202222ππ a dt t a t a a =+? 注意：计算第一型曲线积分的关键是将L 的表达式正确的给出来。 2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量,设其线密度为a z 2=ρ. 分析：根据第一型曲线积分的物理意义L M ds ρ=?

第一型曲线积分

第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分 教学目的： 掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式 教学重点： 第一型曲线积分的计算. 教学难点： 第一型曲线积分的计算公式. 教学过程 一、引言 金属曲线的质量问题 设有一根有限的金属曲线C ,其线密度是不均匀的,在C 上的点(x,y)处的密度为(,)p x y ,试问该曲线的质量是多少? 用微分分析来处理之,若p 均匀,则好处理: m=p(C). a) 分割:设曲线C 端点为A,B,从A 到B 依次插入121,, ,n A A A -,这样曲线C 就分成了一些小弧段.把1i i A A -（0,n A A A B ==）的弧长记为 ,1,2, ,i S i n ?=,在每一小弧段数1i i A A -上都任取一点(,)i i p ξη.显然, 当i S ?很小时, 1i i A A -的质量mi 近似等于(,)i i i p S ξη?.从而整个金属曲线C 的质量m: b) 作和: m=∑=m i m 1 i ∑=≈m i i i p 1 ),(ηξSi ? c) 取极限:令s=max Si ?,则 m=lim ∑=n i i i p 1),(ηξSi ? 上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分,这种积分就是第一类曲线积分. 抽去上述问题的实际背景,并把它推广到[]中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质 （一）、第一类曲线积分的定义 定义 设L 为平面上可求长度的曲线段，()y x f ,为定义在L 上的函数．对曲

线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L （n i ,,2,1 =），i L 的弧 长记为i s ?，分割T 的细度为i n i s T ?=≤≤1m a x ，在i L 上任取一点()i i ηξ,（n i ,,2,1 =）．若有极限 ()∑=→?n i i i i T s f 1 ,lim ηξ=J ， 且J 的值与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关，则称此极限为()y x f ,在L 上的第一型曲线积分，记作 ()ds y x f L ?,． （二）、第一型曲线积分的性质 （1）若()ds y x f L i ?,（n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数，则 ()ds y x f c L n i i i ?∑=1 ,= ()ds y x f c n i L i i ∑?=1 ,. （2）若曲线段L 由曲线21,L L …n L ，首尾相接而成，()ds y x f i L ?,都存在，则 ()ds y x f L ?,也存在，且()ds y x f L ?,= ()ds y x f n i L i ∑?=1,. （3）若()ds y x f L ?,，()ds y x g L ?,都存在，且在L 上()()y x g y x f ,,≤，则 ()ds y x f L ?,≤()ds y x g L ?,. （4）若()ds y x f L ?,存在，则()ds y x f L ?,也存在，且()ds y x f L ?,≤()ds y x f L ?,. （5）若()ds y x f L ?,存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得 ()ds y x f L ?,=c s ， 这里 ()() y x f c y x f L L ,max ,inf ≤≤. 三、第一类曲线积分的计算