概率论与数理统计期末复习公式总结

概率论与数理统计期末复习重要知识点

第二章知识点：

1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：

（1）两点分布（0-1分布）：

若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为

12{},{}1(01)

P X x p P X x p

p ====-<<，

则称X 服从

12

,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)

P X x p P X x p

p ====-<<

两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-

（2）二项分布：

若一个随机变量X 的概率分布由式

{}(1),0,1,...,.

k k

n k n P x k C p p k n -==-=

给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.

k k

n k n P x k C p p k n -==-=

二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-

（3）泊松分布：

若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...

!

k

P X k e

k k λ

λλ-==>=，则称X 服从参

数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)

泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...

!

k

P X k e

k k λ

λλ-==>=

泊松分布的期望：

()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=

4.连续型随机变量：

如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数

()f x ，使得对于任意实数x ，有

(){}()x

F x P X x f t dt

-∞

=≤=?

，则称X 为连续型随机变量，称

()f x 为X 的概率密度函数，

简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布：

（1）均匀分布：

若连续型随机变量X 的概率密度为?????<<-=其它,

0,1)(b

x a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服

从均匀分布，记为X~U(a,b)

均匀分布的概率密度：?????<<-=其它,

0,1

)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a b

E X +=

；均匀分布的方差：

2()()12b a D X -= （2）指数分布：

若连续型随机变量X 的概率密度为

00

()0x

e x

f x λλλ-?>>=?

?，则称X 服从参数为

λ的指数分布，记为X~e (λ)

指数分布的概率密度：

00

()0x

e x

f x λλλ-?>>=?

?

指数分布的期望：1

()E X λ=

；指数分布的方差：

21

()D X λ=

（3）正态分布：

若连续型随机变量X

的概率密度为

22

()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞

则称X 服从参数为μ和2

σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)

正态分布的概率密度：

22

()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞

正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：

2

()D X σ=

（4）标准正态分布：

2

0,1μσ==

，2

22

2

()()x t x

x x e dt

?φ--

-∞

=?

标准正态分布表的使用： （1）

()1()x x x φφ<=--

（2）

~(0,1)

{}{}{}

{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-

（3）

2~(,),~(0,1),

X X N Y N μ

μσσ

-=

故

(){}{

}()X x x F x P X x P μμμ

φσσσ---=≤=≤=

{}{

}(

)(

)

a b b a P a X b P Y μ

μμ

μ

φφσ

σσσ

----<≤=≤≤

=-

定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μ

σ-=

6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

分布函数的重要性质：

12212112120()1

{}{}{}()()()()()1,()0

F x P x X x P X x P X x F x F x x x F x F x F F ≤≤<≤=≤-≤=-

7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布

（1）由X 的概率分布导出Y 的概率分布步骤： ①根据X 写出Y 的所有可能取值； ②对Y 的每一个可能取值

i

y 确定相应的概率取值；

③常用表格的形式把Y 的概率分布写出

（2）由X 的概率密度函数（分布函数）求Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤： ①由X 的概率密度函数()

X f x 随机变量函数Y=g(X)的分布函数

()

Y F y

②由

()

Y F y 求导可得Y 的概率密度函数

（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法： 定理1 设随机变量X 具有概率密度

()

(,)

X f x x ∈-∞+∞，又设y=g(x)处处可导且恒

有'()0g x >（或恒有'()0g x <），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为

'[()]|()|,()0

Y f h y h y y f y αβ

?<<=?

?；其中

()x h y =是y=g(x)的反函数，且

min((),()),max((),())g g g g αβ=-∞+∞=-∞+∞

练习题：

2.4 第7、13、14

总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19

第三章重要知识点：

1.离散型二维随机变量X 与Y 的联合概率分布表：

（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似P63 例2 （2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；

类似P71 例3

（3）要会根据联合概率分布表求形如

{,}

P a X b c Y d

<<<<

的概率；

（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

2. 二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:

设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对

任意实数（x,y），有

(,)(,)

y

x

F x y f s t dsdt

-∞-∞

=??

，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。

(1)要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；

(2)要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如

{}

P X Y

<

等联合概

率值;P64 例3

(3)要会根据联合概率密度求出,x y

的边缘密度;类似P64 例4

(4)要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：

（1）

1

ij

i j

p=

∑∑

；（2）

(,)1

f x y dxdy

+∞+∞

-∞-∞

=

??

要会根据这些性质解类似P68 第5，6题。

4.常用的连续型二维随机变量分布

二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有概率

密度函数

1(,)

(,)

A x y G

f x y

∈

?

=?

?，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。

5.独立性的判断：

定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为

()

X

F x

，

()

Y

F y

，若对任

意实数x,y，有

{,}{}{} P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤

（1）离散型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；

②所有可能取值(,)

i j

x y

，有

(,)()()

i j i j

P X x Y y P X x P Y y

=====

，..

ij i j

p p p

=

则

X与Y相互独立。

（2）连续型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；

②联合概率密度

(,)

f x y

，边缘密度

()

X

f x

，

()

Y

f y

,x y ?

有

(,)()()

X Y

f x y f x f y

=

几乎处处成立, 则X 与Y相互独立。

(3)注意与第四章知识的结合

X与Y相互独立?

()()()

()()()

(,)0

XY

E XY E X E Y

D X Y D X D Y

Cov X Y

ρ

=

±=+

=

=

因此

()()()

()()()

(,)0

XY

E XY E X E Y

D X Y D X D Y

Cov X Y

ρ

≠

±≠+

≠

≠?X与Y不独立。

6．相互独立的两个重要定理

定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独

立，即，对任意实数集A，B，有

{,}{}{} P X A Y B P X A P X B ∈∈=∈∈

定理2 如果随机变量X与Y独立，则对任意函数1()

g x

，2()

g y

相互独立。（1）要求会使用这两个定理解决计算问题

练习题：

习题2-3 第3、4题

习题2-4 第2题

习题3.2 第5，7，8题

总习题三 第4，9（1）-（4）， 12,13

第四、五章知识点

设总体密度函数如下，12,,...n x x x 是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。

1

(;,),,0x p x e

x μ

θ

θμμθθ

--

=

>>

（1）

02

2

2

2

2

22

1

1

1

()1

1

1

1

1

()()

222x t

t

x t

t

t

t

E X x e

dx t

e dt e dt E X x

e

dx t e dt t

e dt t e dt e dt μ

θ

θ

θμ

μ

θ

θ

θ

θ

θ

μ

μθμ

θ

θ

θ

μμμ

θμθμθ

θ

θ

θ

θ

--

-

-

+∞

+∞

+∞

--

-

-

-

-

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

==+=+==+=++=++?

??

?

????

222()()[()]D X E X E X θ=-=

，由此可推出()E X θμ==，

从而参数θ，μ的矩估计值为,s x s θμ∧

==- （2）似然函数为：(1)

1

1

1

()()exp{()},n

n

i

i L x x

θμμθθ

==-

->∑

其对数似然函数为：1

()

ln (,)ln n

i

i x L n μθμθθ

=-=--

∑

由上式可以看出，ln (,)L θμ是μ的单调增函数，要使其最大，μ的取值应该尽可能的大，由于限制(1)x μ>，这给出的最大似然估计值为(1)x μ∧

= 将ln (,)L θμ关于θ求导并令其为0得到关于θ的似然方程

1

2

()ln (,)0n

i i x d L n d μθμθθθ=-=-+=∑，解得1

(1)()

n

i

i x x x n

μθ∧

∧=-=

=-∑

第四章重要知识点：

1.随机变量X 数学期望的求法：

（1）离散型 1

()i i i E X x p ∞

==∑ ；（2）连续型 ()()E X xf x dx +∞

-∞

=?

2.随机变量函数g(X) 数学期望的求法：

（1）离散型 1

()()i i i E X g x p ∞

==

∑；

（2）连续型 ()()()E X g x f x dx +∞

-∞

=?

3.二维随机向量期望的求法： （1）离散型 11

[(,)](,)i

j

ij

j i E g X Y g x y p

∞∞

===

∑∑；

（2）连续型 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=??

4.随机变量X 方差的求法：

（1）简明公式 222

()[()]()()D X E X E X E X E X =-=- （2）离散型 2

1

()[()]

i

i i D X x E X p ∞

==

-∑

（3）连续型 2()[()]()D X x E X f x dx +∞

-∞

=

-?

5. 随机变量X 协方差与相关系数的求法：

（1）简明公式 (,){[()]}{[()]}()()()Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=- （2）离散型 ,(,)[()][()]i

j

ij i j

Cov X Y x E X y

E Y p =--∑

（3）连续型 (,)[()][()](,)Cov X Y x E X y E Y f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=--??

（4）

XY ρ=

6.数学期望、方差、协方差重要的性质： (1) 1212()()()E X X E X E X +=+

(2) 设X 与Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =

(3) ()()()2{[()][()]}()()2(,)

D X Y D X D Y

E X E X Y E Y D X D Y Cov X Y ±=+±--=+±

若X 与Y 相互独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+ (4) 2

()()D CX C D X =

(5) 1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ （6）(,)(,)Cov aX bY abCov X Y = 若X 与Y 相互独立，则(,)0Cov X Y =

(7) 若（X,Y ）服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立，当且仅当0XY ρ= 7.

n 维正态分布的几个重要性质：

（1）n 维正态变量（12,,...,n X X X ）的每个分量

i

X （

1,2,...i n =）都是正态变量，反之，

若12,,...,n X X X 都是正态变量，且相互独立，则（12,,...,n X X X ）是n 维正态变量。 （2）n 维随机向量（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布的充分必要条件是12,,...,n X X X 的任意线性组合均服从一维正态分布1122...n n l X l X l X +++均服从一维正态分布（其中

12,,...n

l l l 不全为零）。

（3）若（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布，设12,,...,k Y Y Y 是(1,2,...)j X j n =的线性函数，则（12,,...,k Y Y Y ）服从k 维正态分布。

（4）设（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布，则“12,,...,n X X X 相互独立”等价于“12,,...,n X X X 两两不相关” 练习题：

1. 设（X,Y ）的联合密度函数为24(1),01,0(,)0

x y x y x

f x y -<<<

解：1

1

30003()(,)24(1)12(1)5

x

E X xf x y dxdy x xydydx x x dx +∞

+∞

-∞-∞=

=-=-=

???

?? 11222

40002()(,)24(1)12(1)5

x E X x f x y dxdy x x ydydx x x dx +∞+∞-∞-∞==-=-=?????

222231

()()()()5525

D X

E X E X =-=-=

同理

12002

()(,)24(1)5x

E Y xf x y dxdy x y dydx +∞

+∞

-∞-∞==-=

?

??

?

12

3001()(,)24(1)5

x E Y xf x y dxdy x y dydx +∞+∞-∞-∞==-=????

又因1004

()[24(1)]15

x E XY xy x y dydx =-=??

从而462(,)()()()152575Cov X Y E XY E X E Y =-=-= 2752

1253XY ρ=

== 2. 习题4.3第10题

8.中心极限定理

（1）定理4（棣莫佛—拉普拉斯定理） 设随机变量

12,,...,...n X X X 相互独立，并且都服从参数为p 的两点分布，则对任意实数x ，

有22

lim }()n

t i

x

n X

np

P x dt x -

→∞

-≤==Φ∑?

（2）定理3（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量

12,,...,...

n X X X 相互独立，服从同一分布，且

2

(),()(1,2,...),

i i E X D X i μσ

===

则22

lim }n

t i

x

n X

n P x dt μ

-

→∞

-≤=∑?

练习题：习题4-4 11题 12题 总习题四 24，25，26题

第五章重要知识点

确定或求证统计量所服从的分布 1.三大分布

（1）2

χ分布：：设12,,...n X X X 是取自总体N(0,1)的样本，称统计量222212...n

X X X χ=+++服从自由度为n 的2

χ分布。

（2）t 分布：设X~N(0,1), 2

~()Y n χ，且X 与Y

相互独立，则称t =n 的t 分布。

（3）F 分布：设22

~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 相互独立，则称//X m

F Y n

=服从自由度为（m,n ）的F 分布。 2.三大抽样分布

（1）设总体2

12~(,),,,...,n X N X X X μσ是取自X 的一个样本，X 为该样本的样本均值，

则有2

~(,/)X N n μσ

，~(0,1)X U N =

（2）定理2设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ，是取自X 的一个样本，X 与2

S 为该样

本的样本均值与样本方差，则有2

2

22

2

2

1

1

1

()~(1)n

i i n S X X n χχσσ=-=

=

--∑， X 与2S 相互独立

（3）定理3 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ，是取自X 的一个样本，X 与2

S 为该样

本的样本均值与样本方差，则有2

222

1

1

()~()n

i i X n χμχσ==-∑

，~(1)X T t n =

-

练习题：

1.设122,...n X X X 是来自正态总体~(0,1)X N 的样本，求统计量

Y =

解：因为2

1321...~(0,)n X X X N n σ-+++

~(0,1)N

~(0,1),1,2, (2i)

X N i n σ

=

由样本的独立性及2

χ分布的定义，有222222

4

(

)(

)...(

)~()n

X X X n χσ

σ

σ

+++

再由样本的独立性以及t 分布的定义，有

~()Y t n =

=

2． 总习题五 14题

3.求样本函数相关的概率问题

练习题：习题5-3 2 总习题五 16、17

第六章重要知识点：

1.矩估计的求法： 设总体X 的分布函数

1(;,...,)

k F x θθ中含有k 个未知参数的函数1

,...,k θθ，则

（1）求总体X 的k 阶矩

1,...k

μμ它们一般都是

是这k 个未知参数的函数，记为1(,...),1,2,...i i k g i k μθθ==

（2）从（1）中解得1,...(),1,2,...j j k h j k

θμμ==

（3）再用

(1,2,...)i i k μ=的估计量i A 分别代替上式中的i μ，

即可得(1,2,...)j

j k θ=的估计量：

^

1,...(),1,2,...j j k h A A j k

θ==

注：求1,...,k

v v ，类似于上述步骤，最后用

1,...,k

B B ，代替1,...,k

v v ，求出矩估计

^

(1,2,...)

j j k θ=

2.最大似然估计的求法：

求最大似然估计的一般方法： （1） 写出似然函数

12()(,,...;)

n L L x x x θθ=

（2） 令()0

dL d θθ=或ln ()0d L d θθ=，求出驻点

（3）判断并求出最大值点，在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的最大似然估

计值。比如P154 例4—6。 3. 估计量的优良性准则 （1）无偏性

定义1 设

^1(,...)n X X θ是未知参数θ的估计量，若^

()E θθ=,则称^

θ为的无偏估计量。

（2）有效性

定义 2 设

^

^

111(,...)n X X θθ=和^

^

221(,...)n X X θθ=都是参数θ的无偏估计量，若

^

^

12()()D D θθ<,则称^

1θ较^

2θ有效。

4 置信区间

（1）双侧置信区间:

设θ为总体分布的未知参数，

12,,...n

X X X 是取自总体X 的一个样本，对给定的数1α-，

01α<<，若存在统计量12(,,...)

n X X X θθ--=，

12(,,...)n X X X θθ-

-

=，使得_

{}1P θθθα-

<<=-，则称随机区间_(,)θθ-

为θ

的

1α-双侧置信区间，称1α-为置信度，又分别称_θ

与θ-

为θ的双侧置信下限与双侧置

信上限。

（2）单侧置信区间：

设θ为总体分布的未知参数，

12,,...n

X X X 是取自总体X 的一个样本，对给定的数

1α-，01α<<，若存在统计量12(,,...)

n X X X θθ-

-

=，

满足

{}1P θθα

-

<=-，则称

(,)

θ-+∞为θ的置信度为1α-的单侧置信区间，称θ

-为

θ

的单侧置信下限；若存在统计量

12(,,...)n X X X θθ-

-

=，满足{}1P θθα-

<=-

则称

(,)θ-

-∞为θ的置信度为1α-的单侧置信区间，称θ-

为θ的单侧置信上限。

5.寻求置信区间的方法： 一般步骤：

（1） 选取未知参数θ的某个较优估计量θ∧

（2）围绕θ∧

构造一个依赖于样本与参数θ的函数12(,,...,)

n U U X X X θ=

（3）对给定的置信水平1α-，确定

1

λ与

2λ，使12{}1P U λλα≤≤=-

通常可选取满足1{}2P U α

λ≤=

与

2{}2P U α

λ≥=

的1λ与2λ，在常用分布情况下，这可由分位

数表查得。

（4）对不等式

12U λλ≤≤作恒等变形后化为{}1P θθθα-

-<<=-

则

(,)

θθ-

-

就是θ的置信度1α-为的双侧置信区间。

6.置信区间的公式：

(1)0-1分布参数的置信区间：

222

11

(

((22(),2(),()b b a a

a n u

b nX u

c n X αα--+=+=--=

(2)设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，

μ而为未知参数，12,,...n X X X 是取自总体X 的一个样本。

均值

μ的1α-置信区间为：

（

2

X n ασ

μ-，

X n ασ

μ+）

(3)设总体2~(,)X N μσ，其中μ，2σ未知， 12,,...n X X X 是取自总体X 的一个样本。

均值

μ的1α-置信区间为：

（

(1)

S X t n n α--，2(1)S

X t n n

α+-）

(4)设总体2~(,)X N μσ，其中μ，2σ未知， 12,,...n X X X 是取自总体X 的一

个样本。

方差

2

σ

的

1α

-置信区间为：

22

22

212

(1)(1)

(,)

(1)(1)

n S n S

n n

αα

χχ

-

--

--

σ

的1α

-

置信区间为：

练习题：

习题6-2 第1，2，5，6题

习题6-3 第3，4，5，6题

习题6-4 第4题

总习题六第7，8，9，10，16，17，18，20，21题

第1章随机事件及其概率

第二章随机变量及其分布

概率论与数理统计总结

第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事 件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算 （1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。 （3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 （4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。 对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。

初中物理公式大全

想要学好初中物理，熟记物理公式是前提。下面是初中物理公式大全，包括初中物理力学公式、热学公式、电学公式以及一些常用的物理量： 力学部分 一、速度公式 火车过桥（洞）时通过的路程s＝L桥＋L车 声音在空气中的传播速度为340m/s 光在空气中的传播速度为3×108m/s 二、密度公式 (ρ水＝1.0×103 kg/ m3) 冰与水之间状态发生变化时m水＝m冰ρ水＞ρ冰v水＜v冰 同一个容器装满不同的液体时，不同液体的体积相等，密度大的质量大 空心球空心部分体积V空＝V总－V实 三、重力公式 G＝mg (通常g取10N/kg，题目未交待时g取9.8N/kg) 同一物体G月＝1/6G地m月＝m地 四、杠杆平衡条件公式 F1l1＝F2l2 F1 /F2＝l2/l1

五、动滑轮公式 不计绳重和摩擦时F＝1/2(G动＋G物)s＝2h 六、滑轮组公式 不计绳重和摩擦时F＝1/n(G动＋G物)s＝nh 七、压强公式（普适） P＝F/S固体平放时F＝G＝mg S的国际主单位是m2 1m2 ＝102dm2 ＝106mm2 八、液体压强公式P＝ρgh 液体压力公式F＝PS＝ρghS 规则物体（正方体、长方体、圆柱体）公式通用 九、浮力公式 （1）F浮＝F’－F (压力差法) （2）F浮＝G－F (视重法) （3）F浮＝G (漂浮、悬浮法) （4）阿基米德原理：F浮=G排＝ρ液gV排（排水法）十、功的公式

W＝FS把物体举高时W＝GhW＝Pt 十一、功率公式 P＝W/tP＝W/t=Fs/t=Fv（v＝P/F） 十二、有用功公式 举高W有＝Gh水平W有＝FsW有＝W总－W额 十三、总功公式 W总＝FS(S＝nh)W总＝W有/ηW总＝W有＋W额W总＝P总t 十四、机械效率公式 η＝W有/W总η＝P有/ P总 （在滑轮组中η＝G/Fn） （1）η＝G/ nF(竖直方向) （2）η＝G/(G＋G动) (竖直方向不计摩擦) （3）η＝f / nF (水平方向) 热学部分 十五、热学公式 C水＝4.2×103J/(Kg·℃) 1.吸热：Q吸＝Cm(t－t0)＝CmΔt

概率论与数理统计公式整理超全免费版

第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

文科高考数学必背公式

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文科高考数学必背公式 高中数学诱导公式全集： 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα

公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα

初中物理所有公式总结

1. 电功(W)：电流所做的功叫电功， 2. 电功的单位：国际单位：焦耳。常用单位有：度(千瓦时)，1度=1千瓦时= 3.6×106焦耳。 3. 测量电功的工具：电能表(电度表) 4. 电功计算公式：W=UIt(式中单位W→焦(J);U→伏(V);I→安 (A);t→秒)。 5. 利用W=UIt计算电功时注意：①式中的W.U.I和t是在同一段电路;②计算时单位要统一;③已知任意的三个量都可以求出第四个量。 6. 计算电功还可用以下公式：W=I2Rt ;W=Pt;W=UQ(Q是电量); 7. 电功率(P)：电流在单位时间内做的功。单位有：瓦特(国际);常用单位有：千瓦 8. 计算电功率公式： (式中单位P→瓦(w);W→焦;t→秒;U→伏(V); I→安(A) 9. 利用计算时单位要统一，①如果W用焦、t用秒，则P的单位是瓦;②如果W用千瓦时、t用小时，则P的单位是千瓦。 10.计算电功率还可用右公式：P=I2R和P=U2/R 11.额定电压(U0)：用电器正常工作的电压。 12.额定功率(P0)：用电器在额定电压下的功率。 13.实际电压(U)：实际加在用电器两端的电压。 14.实际功率(P)：用电器在实际电压下的功率。 当U > U0时，则P > P0 ;灯很亮，易烧坏。当U < U0时，则P < P0 ;灯很暗，当U = U0时，则P = P0 ;正常发光。 (同一个电阻或灯炮，接在不同的电压下使用，则有 ;如：当实际电压是额定电压的一半时，则实际功率就是额定功率的1/4。例220V100W是表示额定电压是220伏，额定功率是100瓦的灯泡如果接在110伏的电路中，则实际功率是25瓦。) 15.焦耳定律：电流通过导体产生的热量跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通电时间成正比。 16.焦耳定律公式：Q=I2Rt ，(式中单位Q→焦; I→安(A);R→欧

概率论与数理统计(经管类)公式

概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-

高考数学必背公式大全

高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多，同学们复习的时候不方便查阅，下面是我给大家带来的高考必背数学公式，希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积

1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

概率论与数理统计小结

概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .

高中数学必背公式

高中数学必背公式、常用结论 一．二次函数和一元二次方程、一元二次不等式 1． 二次函数 y ax 2 bx c 的图象的对称轴方程是 x b b 4a c b 2 ，顶点坐标是 2a ， 。 2a 4a 2. 实系数一元二次方程 ax 2 bx c 0的解： ①若 b 2 4ac 0, 则 x 1,2 b b 2 4a c ; 2a ②若 b 2 4ac 0, 则 x 1 x 2 b ; 2a ③ 若 b 2 4a c 0，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根 x b(b 2 4ac)i (b 2 4ac 0) . 2a 3. 一元二次不等式 ax 2 bx c 0(a 0) 解的讨论 : 二次函数 y ax 2 bx c （ a 0 ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax 2 bx c 0 x 1, x 2 ( x 1 x 2 ) x 1 x 2 b 无实根 a 0 的根 2a ax 2 bx c 0 x x 1 x 2 x x b (a 的解集 x 或x 2a R 0) ax 2 bx c 0 x x 1 x x 2 (a 0)的解集 二、指数、对数函数 1．运算公式 m n m m 1 ⑴分数指数幂： a n ； a n （以上 a 0, m,n N ，且 n 1 ） . a m a n ⑵ . 指数计算公式： a m a n a m n ； (a m )n a mn ；（ a b)m a m b m ⑶对数公式：① a b N log a N b ； ② log a MN log a M log a N ； ③ log a M log a M log a N ； ④ log a m b n n log a b . N m

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计公式定理整理汇编

概率论与数理统计公式集锦 一、随机事件与概率

二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt 2、离散型随机变量及其分布 3、连续型随机变量及其分布

4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2,j i i j g x y P Y y p i L ， 连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y 单调 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j L 分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p 边缘分布律：()i i ij j p P X x p ()j j ij i p P Y y p 条件分布律：(),1,2,ij i j j p P X x Y y i p L ，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p L 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数： x y dudv v u f y x F ),(),( 性质：2(,) (,)1,(,),F x y F f x y x y ((,))(,)G P x y G f x y dxdy ②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数： x X dvdu v u f x F ),()(密度函数： dv v x f x f X ),()( y Y dudv v u f y F ),()( du y u f y f Y ),()( ③条件概率密度 y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(， x y f y x f y x f Y Y X ,) () ,()(

高中数学学业水平必背公式定理知识点默写

高中数学学业水平测试必背公式定理知识点 1、空集定义：_____________________________________； 空集是任何集合的______________。 N ____________ Z __________ Q ___________ R ___________（常用集合字母表示） 2、含n 个元素的集合其子集个数为_____________________。 3、函数定义：对定义域内任意x ，都有___________y 值与之对应，称y 是x 的函数。 4、求函数定义域三种基本形式： ①分式要求：__________________； ②根式，开偶次方根，则_______________________； ③对数式则要求__________________________。 5、①指数函数定义：__________________________________________； 其定义域为_____________；值域为_________________； 当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ②对数函数定义：__________________________________。 其定义域为_____________；值域为_________________； 当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ③幂函数定义：_______________________________________。 当0>α时，图像恒过______________和_______________；在第一象限内单调_________； 当0<α时，图像恒过______________；在第一象限内单调_________； 6、如果函数是奇偶函数，其定义域一定关于_______________对称； 如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为奇函数； 如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为偶函数； 7、函数单调性定义：在区间D 内任取两个值1x 、2x ，设21x x <， 如果______________，则函数在此区间内单调递增； 如果______________，则函数在此区间内单调递减。 8、空间两直线位置关系：_____________、________________、_________________； 空间两平面位置关系：________________、______________； 空间直线与平面位置关系_____________、_____________、___________________； 9、空间两直线所成角的范围：____________________； 直线与平面所成角的范围：____________________； 两异面直线所成角的范围：_____________________； 10、线面平行判定定理：_________________________________________________________； 线面平行性质定理：_________________________________________________________； 线面垂直判定定理：_________________________________________________________； 线面垂直性质定理：_________________________________________________________； 面面平行判定定理：_________________________________________________________； 面面平行性质定理：_________________________________________________________； 面面垂直判定定理：_________________________________________________________；

初中物理公式总结大全(最新归纳)

初中物理公式汇总 速度公式： t s v = 公式变形：求路程——vt s = 求时间——t=s/v 重力与质量的关系： G = mg 密度公式： V m = ρ 浮力公式： F 浮= G 物 – F 示 F 浮= G 排=m 排g F 浮=ρ液gV 排 F 浮= G 物 压强公式：P=F/S （固体） 液体压强公式： p =ρgh 物理量 单位 p ——压强 Pa 或 N/m 2 ρ——液体密度 kg/m 3 h ——深度 m g=9.8N/kg ，粗略计算时取g=10N/kg 面积单位换算： 1 cm 2 =10--4m 2 1 mm 2 =10--6m 2 注意：S 是受力面积，指有受到压力作用的那部分面积 注意：深度是指液体内部某一点到自由液面的竖直距离； 单位换算：1kg=103 g 1g/cm 3=1×103kg/m 3 1m 3=106cm 3 1L=1dm 3=10-3m 3 物理量 单位 p ——压强 Pa 或 N/m 2 F ——压力 N S ——受力面积 m 2 物理量 单位 F 浮——浮力 N G 物——物体的重力 N 提示：[当物体处于漂浮或悬浮时] 物理量 单位 v ——速度 m/s km/h s ——路程 m km t ——时间 s h 单位换算： 1 m=10dm=102cm=103mm 1h=60min=3600 s ； 1min=60s 物理量 单位 G ——重力 N m ——质量 kg g ——重力与质量的比值 g=9.8N/kg ；粗略计算时取 物理量 单位 ρ——密度 kg/m 3 g/cm 3 m ——质量 kg g V ——体积 m 3 cm 3 物理量 单位 F 浮——浮力 N ρ ——密度 kg/m 3 V 排——物体排开的液体的体积 m 3 g=9.8N/kg ，粗略计算时取g=10N/kg G 排——物体排开的液体 受到的重力 N m 排——物体排开的液体 的质量 kg

初中物理公式大全

初中物理公式大全速度：V（m/S）v=S：路程/t：时间? 重力G（N）G=m g（m：质量；g：k g或者10N/k g）密度：ρ（k g/m3）ρ=m/v（m：质量；V：体积）合力：F合（N）方向相同：F合=F1+F2；方向相反：F合=F1—F2方向相反时,F1>F2? 浮力：F浮(N)F浮=G物—F拉（G视：物体在液体的重力）浮力：F浮(N)F浮=G物（此公式只适用物体漂浮或悬浮）浮力：F浮(N)F浮=G排=m排g=ρ液gV排（G排：排开液体的重力；m排：排开液体的质量；ρ液：液体的密度；V排：排开液体的体积(即浸入液体中的体积)）杠杆的平衡条件：F1L1=F2L2（F1：动力；L1：动力臂；F2：阻力；L2：阻力臂）定滑轮：F=G物S=h（F：绳子自由端受到的拉力；G物：物体的重力；S：绳子自由端移动的距离；h：物体升高的距离）动滑轮：F=（G物+G轮)/2S=2h（G物：物体的重力；G轮：动滑轮的重力）滑轮组：F=（G物+G轮）S=n h（n：通过动滑轮绳子的段数）机械功：W（J）W=F s（F：力；s：在力的方向上移动的距离）有用功：W有=G物h? 总功：W总W总=F s适用滑轮组竖直放置时?

机械效率:η=W有/W总×100%? 功率:P（w）P=w/t(W：功;t：时间) 压强p（P a）P=F/s(F：压力;S：受力面积）液体压强：p（Pa）P=ρgh（ρ：液体的密度；h：深度【从液面到所求点的竖直距离】）热量：Q（J）Q=c m△t（c：物质的比热容；m：质量；△t：温度的变化值）燃料燃烧放出的热量：Q（J）Q=m q（m：质量；q：热值）? 常用的物理公式与重要知识点? 串联电路电流I（A）I=I1=I2=……电流处处相等? 串联电路电压U（V）U=U1+U2+……串联电路起分压作用? 串联电路电阻R（Ω）R=R1+R2+……? 并联电路电流I（A）I=I1+I2+……干路电流等于各支路电流之和（分流）? 并联电路电压U（V）U=U1=U2=……? 并联电路电阻R（Ω）1/R=1/R1+1/R2+……? 欧姆定律：I=U/I? 电路中的电流与电压成正比,与电阻成反比? 电流定义式I=Q/t（Q：电荷量（库仑）；t：时间（S））

《概率论与数理统计》课程学习心得

《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数

初三物理公式总结

物理公式汇总 一、密度（ρ）： 1、定义：单位体积的某种物质的质量叫做这种物质的密度。 2、公式： 变形 m 为物体质量，主单位kg ，常用单位：t g mg ； v 为物体体积，主单位cm 3 m 3 3、单位：国际单位制单位： kg/m 3 常用单位g/cm 3 单位换算关系：1g/cm 3=103kg/m 3 1kg/m 3=10-3g/cm 3水的密度为1.0×103kg/m 3，读作1.0×103千克每立方米，它表示物理 意义是：1立方米的水的质量为1.0×103千克。 二、速度（v ）： 1、定义：在匀速直线运动中，速度等于运动物体在单位时间内通过的路程。 物理意义：速度是表示物体运动快慢的物理量 2、计算公式： 变形 ， S 为物体所走的路程，常用单位为km m ；t 为物体所用的时间，常用单位为s h 3、单位：国际单位制： m/s 常用单位 km/h 换算：1m/s=3.6km/h 。 三、重力（G ）： 1、定义：地面附近的物体，由于地球的吸引而受的力叫重力 2、计算公式： G=mg m 为物理的质量；g 为重力系数， g=9.8N/kg ，粗略计算的时候g=10N/kg 3、单位：牛顿简称牛，用N 表示 四、杠杆原理 1、定义：杠杆的平衡条件为动力×动力臂＝阻力×阻力臂 2、公式：F 1l 1=F 2l 2 也可写成：F 1 / F 2=l 2 / l 1 其中F 1为使杠杆转动的力，即动力；l 1为从支点到动力作用线的距离，即动力臂； F 2为阻碍杠杆转动的力，即阻力；l 2为从支点到阻力作用线的距离，即阻力臂 五、压强（P ）： 1、定义：物体单位面积上受到的压力叫压强。 物理意义：压强是表示压力作用效果的物理量。 2、计算公式： P=F/S F 为压力，常用单位牛顿（N ）；S 为受力面积，常用单位米2（m 2 ） 3、单位是：帕斯卡（Pa ） 六、液体压强（P ）： 1、计算公式：p =ρgh 其中ρ为液体密度，常用单位kg/m 3 g/cm 3 ；g 为重力系数，g=9.8N/kg ； h 为深度，常用单位m cm 2、单位是：帕斯卡（Pa ） ρ m V = V m ρ = V m ρ = v s t = t s v = v t s =

初中物理公式大全(人教版)

初中物理公式 物理量符号国际单位符号单位换算 质量m千克kg1t=103kg1kg=103g=106mg 体积v立方米m31m3=103dm3=106cm3=109mm31L=1dm31ml=1cm3温度t摄氏度°C 速度v米／秒m/s1m/s＝3.6km/h 路程s米m1km=103m1m=10dm=100cm=1000mm=106μm=109nm 密度ρ千克／米3kg/m31g/cm3＝103kg/m3 力F牛顿（牛）N 重力G牛顿（牛）N 压强P帕斯卡（帕）Pa1Mpa=106pa1kpa=103pa 面积s平方米m21m2=100dm2=104cm2=106mm2 功W焦耳（焦）J1kw?h=3.6×106J 功率P瓦特（瓦）w1Mw=106w1kw=103w 电流I安培（安）A1A=103mA=106μA 电压U伏特（伏）V1Mv=106v1kv=103v 电阻R欧姆（欧）Ω1MΩ=106Ω1kΩ=103Ω 电功W焦耳（焦）J 电功率P瓦特（瓦）w1Mw=106w1kw=103w 热量Q焦耳（焦）J 比热容c焦/（千克?摄氏度）J/(kg?℃) 时间t秒s1h=60min=3600s 初中物理公式汇编 【力学部分】 1、速度：V=S/t S----路程-----m km t----时间-----s h v---速度-----m/s km/h 2、重力：G=mg m----质量----kg- g----重力与质量的比值-----9、8N/kg G-----重力-----N 3、密度：ρ=m/V m----质量----kg g v-----体积m3cm3 ρ---密度----kg/m3g/cm3 4、压强：p=F/S F----压力----N s----受力面积-----m2 p----压强----pa或N/m2 5、液体压强：p=ρgh ρ-----液体密度-----kg/m3g------9.8N/kg或10N/kg h-----深度-----m P----液体压强------pa

概率论与数理统计 重要公式

一、随机事件与概率 公式名称 公式表达式 德摩根公式 B A B A =，B A B A = 古典概型 ()m A P A n = =包含的基本事件数基本事件总数 几何概型 () ()()A P A μμ= Ω，其中μ为几何度量（长度、面积、体积） 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 P(A ∪B)= P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0（A 、B 互斥）时，P(A ∪B)=P(A)+P(B) 减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，B A ?时P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式 乘法公式 )() ()(A P AB P A B P = ()()()()()P AB P A P B A P B P A B == ()()()()P ABC P A P B A P C AB = 全概率公式 1 ()()()n i i i P A P B P A B ==∑ 从原因计算结果 贝叶斯公式 （逆概率公式） 1 ()() ()()() i i i n i i i P B P A B P B A P B P A B == ∑ 从结果找原因 两个事件 相互独立 ()()()P AB P A P B =；()()P B A P B =；)()(A B P A B P =；

二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率： 2、离散型随机变量及其分布 分布名称 分布律 0-1分布 X ～b(1,p) 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布(贝努利分布) X ～B(n,p) n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 泊松分布 X ～p(λ) (),0,1,2,! k P X k e k k λλ-== = 3、续型型随机变量及其分布 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布 x ～U(a,b) ?? ?? ?<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f 0, (),1, =-0 , 00,)(x x e x f x λλ ???? ?≤>-=-0 , 00 , 1)(x x e x F x λ 正态分布 x ～N(2,σμ) 2 2 ()21()2μσπσ -- = -∞<<+∞ x f x e x 22 ()21 ()d 2μσπσ -- -∞ = ?t x F x e t 标准正态分布 x ～N(0,1) 2 2 1()2?π - = -∞<<+∞ x x e x 212 1 ()2t x x e dt π --∞ Φ= ? 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()(

高考数学必考必背公式全集最新整理

一、对数运算公式。

log log m n a a n b b m =log log log a a a M M N N -=1. log 10a = 2. log 1a a = 3. log log log a a a M N MN += 4. 5.log log n a a M n M = 6. 7. log a M a M = 8. 9. 10. 二、 三角函数运算公式。 1. 同角关系: 2. 3. sin sin βαβ 2α 4. 5. 6.x y =α 三、 四、 sin tan αα =22sin cos 1 αα+=log log log a b a N N b =1 log log b a a b =1log log a a M n =

3. 三角形面积公式 A bc B ac C ab S sin 2 1sin 21sin 21=== 4．.三角形的四个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 2222cos c a b ab C =+-

垂心：三角形三边上的高相交于一点. 六、向量公式。 设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211 则 ()2121,y y x x b a ++=+ ()2121,y y x x b a --=- ()21,y x a λλλ= 2121cos y y x x b a b a +=?=?θ a ·a =2||a 2121y x a += =2a a

16. （1 （2 （3）一般式0 Ax By C ++=(其中A、B不同时为0). 1.两点间距离公式 3.点到直线距离公式 4.平行线间距离公式 圆的四种方程