高考数学经典大题专项训练
经典高考大题专项训练
1．已知函数f (x )＝x ·a x －1(a >0，x ∈R) ．
⑴当a >1时，求f (x )的单调区间和值域，并证明方程f (x )＝0有唯一根；
⑵当0 已 知 等 比 数 列 {} n a 的前n 项之和 {}n n n n n a b b R p p S 2log ),(,2=∈+=满足数列.求：（1）求p 的值； （2）写出通项a n 的表达式； （3）记,2)1(lim 2211n n n n n b a b a b a t ?++++=∞→ 求t 的值； （4）求和.)1(2124232221n n n b b b b b T +-++-+-= 3．已知数列}{n a 满足：n n a n a a 211)1 1(2,2+==+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n C Bn An b 2)(2?++=，试推断是否存在常数A ，B ，C ，使对一切*∈N n 都 有n n n b b a -=+1成立？说明你的理由； （3）求证：62221-≥++++n n a a a 4．设定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，,1)(>x f 且对任意, ,R y x ∈有.2)1(),()()(=?=+f y f x f y x f （1）求)0(f ； （2）求证：对任意;0)(,>∈x f R x 都有 （3）解不等式4)3(2>-x x f ； （4）解方程.1)2()3(2 1 )]([2+=++ f x f x f 5．若F 1、F 2分别为双曲线 y 2a 2－x 2 b 2＝1下、上焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的下支上，点M 在上准线上，且满足：2F O MP =， 11111( )|||| F P FO F M F P FO λ=+(λ>0)。 (1)求此双曲线的离心率； (2)若此双曲线过N(3，2)，求此双曲线的方程 (3)若过N(3，2)的双曲线的虚轴端点分别B 1，B 2(B 2在x 轴正半轴上)，点A 、B 在双曲线上，且22B A B B μ=，求11B A B B ⊥时，直线AB 的方程。 6．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1=kS n +2，又a 1=2，a 2=1。 (1)求k 的值； （2)求S n ； （3)是否存在正整数m ，n ，使 成立?若存在求出这样的正整数；若不存在说明理由． 7．已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},…,其中第n 个集合有n 个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数． (Ⅰ)求数集序列第n 个集合中最大数n a 的表达式； （Ⅱ）设数集序列第n 个集合中各数之和为n T ． （i ）求n T 的表达式； 2 1 m S m S 1n n < --+ （ii ）令()f n =*1()n n ?? ∈ ? N ，求证：2≤()3f n < ． 8．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点),(00y x 为函数的不动点。（1）已知函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值；（2）若对于任意实数b ，函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证： n 必为奇数。 9．）设点集L={(,)|x y y c d =?,其中向量c =(2,1),d =(x,1)},点(,)n n n P a b 在L 中,1P 为L 与y 轴的交点,数列{n b }的前n 项和2n S n =. (1) 求数列{n a }、{n b }的通项公式。 (2) 若12)n n c n = ≥，计算23lim()n n c c c →∞++ +。 （3）设函数()(1),n n n f n a b n N *=+-∈，是否存在k N *∈，使f （k+10）=3f （k ），若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 10．已知两个函数x x x f 287)(2-=，c x x x x g +-+=4042)(23. （Ⅰ）,)()(图像关于原点对称图像与x f x F 解不等式3)()(+-≥x x f x F ； （Ⅱ）若对任意∈x [－3，3]，都有≤)(x f )(x g 成立，求实数c 的取值范围． 11．四边形ABCD 是梯形，\s\up7(→(→)AB → ·\s\up7(→(→)AD → ＝0，\s\up7(→(→)AB → 与\s\up7(→(→)CD → 共线，A ，B 是两个定点，其坐标分别 为（－1，0），（1，0），C 、D 是两个动点，且满足BC CD =。 （Ⅰ）求动点C 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）设直线BC 与动点C 的轨迹E 的另一交点为P ，过点B 且垂直于BC 的直线交动点C 的轨迹E 于M ，N 两点，求四边形CMPN 面积的最小值。 12．已知函数)(x f y =对于任意2 π θk ≠ （Z k ∈），都有式子1cot )tan (-=-θθa f 成立（其中a 为常数）． （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）利用函数)(x f y =构造一个数列，方法如下： 对于给定的定义域中的1x ，令)(12x f x =，)(23x f x =，…， )(1-=n n x f x ，… 在上述构造过程中，如果i x （i =1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果i x 不在定义域中，那么构造数列的过程就停止. （ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a 的取值范围； （ⅱ）是否存在一个实数a ，使得取定义域中的任一值作为1x ， 都可用上述方法构造出一个无穷数列}{n x ？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由； （ⅲ）当1=a 时，若11-=x ，求数列}{n x 的通项公式． 13．在各项均为正数的数列}{n a 中，前n 项和S n 满足 *)12(12N n a a S n n n ∈+=+，。 （I ）证明}{n a 是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n 项和 的公式； （II ）在XOY 平面上，设点列M n （x n ，y n ）满足n n n n y n S nx a 2==，，且点列M n 在直线C 上，M n 中最高点为M k ，若称直线C 与x 轴、直线b x a x ==、所围成的图形的面积为直线C 在区间[a ，b]上的面积， 试求直线C 在区间[x 3，x k ]上的面积； （III ）是否存在圆心在直线C 上的圆，使得点列M n 中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由。 14．已知函数x 1 1)x (f - =,（ x>0）． （I ）当0 （II ）是否存在实数a ，b （a 是[a ，b]，若存在，则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由． （III ）若存在实数a ，b （a 时，值域为 [ma ，mb] (m ≠0),求m 的取值范围． 15．已知定义在R 上的单调函数)(x f ，存在实数0x ，使得对于任意实数21,x x 总有)()()()(2102010x f x f x f x x x x f ++=+恒成立. （1）求x 0的值. （2）若1)(0=x f ，且对任意正整数n ，有1)2 1 (,)(1+==n n n f b n f a ，记 1322113221,+++++=+++=n n n n n n b b b b b b T a a a a a a S ，比较n S 3 4 与T n 的 大小关系，并给出证明； （3）若不等式]1)19(log )1([log 354 22 121221+--+>+++++x x a a a n n n 对任意不小 于2的正整数n 都成立，求x 的取值范围. 16．设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程 )(x f 0=-x 有实数根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<' （I ）判断函数4 sin 2)(x x x f + =是否是集合M 中的元素，并说明理由； （II ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意 [m ，n]?D ，都存在0x ∈[m ，n]，使得等式 )()()()(0x f m n m f n f '-=-成立” ， 试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根； （III ）设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：对于)(x f 定义域中 任意的2|)()(|,1||,1||,,23131232<-<-<-x f x f x x x x x x 时且当. 17设曲线cx bx ax y ++=2 32 13在点x 处的切线斜率为k(x),且k (－1)=0.对一切实数x,不等式x ≤k (x)≤)1(2 12+x 恒成立(a ≠0). (1) 求k (1)的值; (2) 求函数k (x)的表达式; (3) 求证: ) (1)2(1)1(1n k k k +++ ＞22+n n 18．如图所示，曲线段OMB 是函数f (x )=x 2(0 （2）试用t 表示ΔQAP 的面积g (t )在（m,n ）上单调递减，试求出m 的最小值. （3）若横坐标的取值范围，试求出点，P S QAP ?? ? ? ??∈?644121 19．（陕西）已知点A 1，A 2，…，A n ，…依次在x 轴上，A 1（1，0）， A 2（5，0），1n n A A += 1 21n n A A -(n=2,3，…)；点 B 1，B 2，…，B n … 依次在射线y=x （x ≥0）上，且B 1（3，3），|n OB |+2n=2,3，…）. （1）用n 表示A n 与B n 的坐标； （2） 设直线A n B n 的斜率为k n ,求lim ;n x k →∞ 的值 (3)若四边形A n A n+1B n+1B n 的面积为S ，求证：9＜S ≤12. 20．在等差数列{}n a 中，1444-=S a ，1455-=-a S ，其中n S 是数列{}n a 的 前n 项之和，曲线n C 的方程是14 2 2=+y a x n ，直线l 的方程是3+=x y 。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当直线l 与曲线n C 相交于不同的两点n A ，n B 时，令 ()n n n n B A a M ?+=4，求n M 的最小值； （3）对于直线l 和直线外的一点P ，用“l 上的点与点P 距离的最小值”定义点P 到直线l 的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的，若曲线n C 与直线l 不相交，试以类似的方式给出一条曲线n C 与直线l 间“距离”的定义，并依照给出的定义，在n C 中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线l 的“距离”。 21．（石家庄市）设H 是ABC ?的外心，)0,1(),0,1(-B A ，O 为坐标原点，动点G 满足：+=3,且 R ∈=λλ, (1)求顶点C 的轨迹E 的方程； (2)如图，从点)0,2 7 ( D 发射出一个质点m 沿抛物线C 1： h ax y +-=2向上飞行到点P 时，立即得到变轨指令， 即开始沿着曲线E 运动，两曲线C 1和E 在公共点P 处的 切线相同，求抛物线C 1的方程． 22．（保定市）已知函数 f(x)=?,其中向量 ),)1ln(,1 1 (),11, (ln 1+++=+-=x x x x b x x a 设g(x)=)('x f )21 (++x x ,(其中)('x f 是f(x)的导数) ⑴试比较 )2()10(2 10 g g 与的大小 ⑵设数列{}n a 满足)(n g a n =；是否存在最大的实数t ，使函数)(34)(2n g x x x f --=，当x ≤t 时，对于一切正整数n ，都有)(x f ≥0．(其中e=2.71828……) 23．（江苏南京）过曲线3:x y C =上的点),(111y x P 作曲线C 的切线l 1与曲线C 交于),(222y x P ，过点P 2作曲线C 的切线l 2与曲线C 交于点),(333y x P ，依此类推，可得到点列：) ,(111y x P ，2223331(,),(,), ,(,), ,1n n n P x y P x y P x y x =已知 （1）求点P 2、P 3的坐标. （2）求数列}{n x 的通项公式. （3）记点n P 到直线)(211+++n n n P P l 即直线的距离为n d ， 求证： 9 411121>+++n d d d . 24．（宜昌市）已知抛物线x y 42=内一点P 的坐标为)1,2 5(P （1）过点P 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若点P 刚好为弦AB 的中点，求直线l 的方程； （2）若过线段AB 上任一点1P （不含端点B A ,）作倾斜角为2arctan -π的直线1l 与抛物线交于11B A 两点，求证：||||||||111111B P A P B P A P ?=?. （3）过P 作斜率分别为21,k k （21k k ≠）的直线32,l l ，2l 交抛物线于 2A ，2B ，3l 交抛物线于3A ，3B ，若||||||||3322PB PA PB PA ?=?，求21k k +的 值. 参考答案 1．解：(理)⑴f ′(x )＝a x ＋x ·a x ln a ＝(1＋x ln a )a x (a >1)…………① 由f ′(x )>0得1＋x ln a >0，解得x >－1 ln a ；由f ′(x )<0得1＋ x ln a <0，解得x <－1 ln a ∴f (x )的单调增区间为(－1 ln a ，＋∞)，单调减区间为(－∞，－ 1 ln a )…………………2分 当x ＝－1ln a 时，f (x )min ＝f (－1ln a )＝－1ln a ·a － 1 ln a －1＝－1ln a ·1e － 1＝－1 e ln a －1， 又lim x →-∞f (x )＝－1，lim x →+∞f (x )＝＋∞，∴f (x )的值域为[－1 e ln a －1，＋∞)……………4分 又∵f (0)＝－1<0，lim x →+∞f (x )＝＋∞，又f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴方程 f (x )＝0在[0，＋∞)上有唯一实 根………………………………………………6分 而lim x →-∞f (x )＝－1<0，∴方程f(x )＝0在(－∞，0)上无实根 ∴方程f (x )＝0有唯一实根，y ＝f (x )在(－∞，0)上函数值y 均小于0………………7分 ⑵∵函数f (|x |)为偶函数，故只需讨论x ≥0时，方程f (|x |)＝0亦可求f (x )＝0的实根的个数。 Ⅰ.当a ＝1时，方程f (x )＝0有唯一实根x ＝1；………………………………………8分 Ⅱ.当0 为(0，－ 1ln a )，单调减区间为(－1ln a ，＋∞)。当x ＝－1ln a 时，f (x )max ＝－1 e ln a －1，……………………………9分 又∵f (0)＝－1<0，lim x →+∞ f (x )＝－1，故有 当－1e ln a －1<0即0 当－1e ln a －1＝0即a ＝1e e - 时，方程f (x )＝0有唯一实根； 当－1e ln a －1>0即1 e e - 根；…………………………12分 综上可知： 当0 e -时，方程 f (|x |)＝0无实根； 当a ＝1e e -或1时，方程 f (|x |)＝0有两个实根； 当1e e - 根。…………………………………………14分 2． （1）n ≥2时a n =S n －S n －1=2n －1, ∵|a n | 成G 、P ，且公比q= n n a a 1 +=2，a 1=2+p 也应满足a n =2n －1, ∴p=－1（2分）（文科4分） （2）通项a n =2n －1, (n ∈N*). （4分）（文科8分） （3）∵b n =n －1, 且Q n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n , 则Q n =0·1+1·2+2·22+3·23+…+(n －1)·2n －1 2Q n =1·22+2·23+…+(n －2)·2n －1+(n －1)·2n ， 相减可得Q n =(n －2)·2n +2. 于是12 )1(2 2 )2(lim =?++?-=∞ →n n n n n t （9分） （4）n=2k 时(k ∈N*)，)()()(2221224232221k k n b b b b b b T -++-+-=- =－(b 1+b 2+…+b 2k )=－[1+2+…+(2k －1)] =－2k 2+k n=2k －1时(k ∈N*), T n =21222222322221)()(---+-++-k k k b b b b b =－[1+2+…+(2k －3)] =－2k 2－3k+1, *)(), 12(,132),2(222 N k k n k k k n k k T n ∈?????-=+-=+-=∴（14 分）（文科14分） 3．（1）由已知2 212 12)1(,)1(2n a n a a n n a n n n n ?=++?=++即…………………………（2分） }{2 n a n 数列∴是公比为2的等比数列，又21 21 =a 222.2n a n a n n n n ?=∴=∴ …………………………………………… ………（4分） （2）n n n C B A n B A An b b 2]22)4([21?+++++=-+ ……………………（6分） 若C B A n B A An n b b a n n n +++++=-=+22)4(,221则恒成立恒成立. ?? ???=-==??????=++=+=∴641022041C B A C B A B A A ，故存在常数A 、B 、C 满足条件…………（9分） （3）111231221)()()(b b b b b b b b a a a n n n n -=-++-+-=+++++ …（11 分） 62)32(62]6)1(4)1[(1212-?+-=-?++-+=++n n n n n n 6262]2)1[(112-≥-?+-=++n n n 4．（1）1)0(,1)(,0),0()()0()(=∴>>∴?=+=f x f x f x f x f x f 时 （2）0)]2 ([)22()(2≥=+=x f x x f x f . 假设存在某个0)(,00=∈x f R x 使， 则对任何0)()(])[()(,00000=?-=+-=>x f x x f x x x f x f x 有与已知矛盾， R x ∈∴均为满足0)(>x f （3）任取1)(,0,,12122121>->-<∈x x f x x x x R x x 则且 )()()()(])[()()(1112111212x f x f x x f x f x x x f x f x f -?-=-+-=-∴ 0]1)()[(121>--=x x f x f R x ∈∴时，)(x f 为单调递增函数 4)1()1()2(,2)1(=?==f f f f 则 2123),2(4)3(22<<>-∴=>-∴x x x f x x f ∴不等式的解集为}21|{< 1 )]([1)2()3(21)]([22=??++=++ x f f x f f x f x f 可化为 即5)(1)(,05)(4)]([2-===-+x f x f x f x f 或解得（舍），由（1）得x =0. 故原方程的解为x =0. 5．： (1) 2F O MP =1OF MP ?=，∴PF 1OM 为平行四边形， 又11111( )|||| F P FO F M F P FO λ=+知M 在∠PF 1O 的角平分线上， ∴四边形PF 1OM 为菱形，且边长为11 ||PF FO =＝c …………………………………2分 ∴2||PF ＝2a +1||PF ＝2a +c ，由第二定义|PF 2||PM |＝e 即2a +c c ＝e ，∴2 e +1 ＝e 且e >1 ∴ e =2………………………………………………………………………… ………4分 (2)由e =2，∴c =2a 即b 2=3a 2，双曲线方程为 y 2a 2－x 2 3a 2＝1 又N(3，2)在双曲线上，∴4 a 2－3 3a 2＝1，∴a 2＝3∴双曲线的方程 为y 23－x 2 9 ＝1…7分 (3)由22B A B B μ=知AB 过点B 2，若AB ⊥x 轴，即AB 的方程为x =3， 此时AB 1与BB 1不垂直；设AB 的方程为y =k (x －3)代入y 23－x 2 9＝1 得 (3k 2－1)x 2－18k 2x +27k 2－ 9=0………………………………………………9分 由题知3k 2 －1≠0且△>0即k 2 > 16且k 2 ≠13 ， 设交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，1B A ＝(x 1+3，y 1)，1B B ＝(x 2+3， y 2)， ∵11B A B B ⊥，∴11B A B B ＝0即x 1x 2+3(x 1+x 2)+9+y 1y 2＝ 0………………11分 此时x 1+x 2＝18k 2 3k 2－1 ，x 1·x 2=9， y 1y 2＝k 2(x 1－3) (x 2－3)＝k 2[x 1x 2－3(x 1+x 2)+9]= k 2[18－54k 2 3k 2－1 ] ＝－18k 2 3k 2－1 ∴9＋318k 23k 2－1＋9－18k 23k 2－1＝0，∴5 k 2 ＝1，∴k ＝±55 ∴ AB 的 方 程 为 y =± 5 5 (x － 3) .………………………………………………14分 6．(I)∵S 2=kS 1+2 ∴a 1+a 2=ka 1+2 又a 1=2，a 2=1,2+1=2k+2 ∴ …………………………………………………………………………2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ① 当n ≥2时， ② 2 1 k = 2S 2 1 S n 1n +=+2S 2 1 S 1-n n += ①-②，得 (n ≥ 2)．．……………………………………………………………………4分 于是{a n }是等比数列，公比为 ，所以 …………………………………… ……………………6分 (Ⅲ) n 1 n a 2 1a =+N*)(n 2 1 a a N*)0(n a ，a 2 1又a n 1n n 12∈=∴ ∈=/=+易见) 21-4(12 11])21(2S n n n =--?=即 不等式 2 1 m S m S 1n n <--+2 1m -)2 1 -4(1m -)21 - 4(11n n <+2 1 整理得2＜2n (4-m)＜ 6………………………………………………………………………8分 假设存在正整数m ，n 使得上面的不等式成立，由于2n 为偶数，4-m 为整数，则只能是 2n (4-m)=4 ………………………………………… ………10分 因此，存在正整数m=2，n=1；或 7．(Ⅰ)∵第n 个集合有n 个奇数，∴在前n 个集合中共有奇数的个数为 1 123(1)(1)2 n n n n +++ +-+= +．…………………………………… 2分 则 第 n 个集合中最大的奇数 n a =21 2(1)112 n n n n ?+-=+-．………………4分 （Ⅱ）（i ）由(Ⅰ)得21n a n n =+- ， 从 而得 23(1) (1)22 n n n T n n n n -=+-- ?=．……………………………………6分 （ii ）由（i ）得3 n T n = ， ∴1()11n n f n n ????=+=+ ? ??? *()n ∈N ．…7分 （１）当 1 n =时， (1 )f =，显然2≤ ?? ?=-=???=-=∴1 m 442或2;m 42,2n n 2 1 m S m S 1n n < --+ (1)3f <．……………………………………8分 （ ２ ） 当 n ≥ 2 时 ， 00 1 1 2 2 11 1111C ()C ()C ( ) n n n n n n n n n n n n ??+=+ + +???+ ??? ………9分 >0011 1 1C ()C ()2n n n n += ，……………………………… ……………10分 1(1)(2)(1)11C ()!! k k n k n n n n k n n k k --???-+=?< ≤ 111(1)1k k k k =---．………………………………………………12分 ∴001122111111C ()C ()C ()C ()n n n n n n n n n n n n ??+=+++???+ ? ?? <11111 11(1)()( )2231n n ++-+-+???+-- …………………………………13分 1 33n =- < ．……………………………………………………………………14分 即 ()3f n <．…………………………………………………………………… 15分 综 上 所 述 ， 2 ≤ ()3f n < ． ……………………………………………………16分 8。（1）由不动点的定义：0)(=-x x f ， ∴0)1(2=--+b x b ax ，代入1=x 知1=a ，又由3-=x 及1=a 知 3=b 。 ∴1=a ，3=b 。 （2）对任意实数b ，)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b ，方程0)(=-x x f 总有两个相异的实数根。 ∴0)1(2=--+b x b ax 中04)1(2>+-=?ab b ， 即01)24(2>+-+b a b 恒成立。故04)24(21<--=?a ，∴10< （3）)(x g 是R 上的奇函数，则0)0(=g ，∴（0，0）是函数)(x g 的不动点。若)(x g 有异于（0，0）的不动点),(00x x ，则00)(x x g =。 又000)()(x x g x g -=-=-，∴),(00x x --是函数)(x g 的不动点。 ∴)(x g 有限个不动点除原点外，都是成对出现的，有k 2个（Z k ∈），加上原点，共有12+=k n 个。 9．（1）L 中y c d =?=2x+1，点(,)n n n P a b 在L 中, ∴12+=n n a b ， 1,011==b a ……3’ 又{n b }的前n 项和2n S n =，利用12),2(1-=≥-=-n b n s s b n n n n 得 ∴12 1 -=-=n b a n n ……5’ （2） ) 2)(1(5|1|5)22()1()()(||2221211≥-=-=-+-=-+-=n n n n n b b a a P P n n n ∴111 2()(2)|| (1)1n n c n n PP n n n n = ==-≥--……8’ ∴231111 111 2[()()( )]2(1)1223 1n c c c n n n ++ +=-+-+ -=--……文科10’ ∴23lim( )n n c c c →∞ +++=2……理科10’ （3）设存在k N *∈，使f （k+10）=3f （k ）， 当k 为奇数时，(),(10)10k k f k a b k f k k =-=-+=-- 由-k-10=-3k 得k=5 当k 为偶数时，()32,(10)3(10)2328k k f k a b k f k k k =+=-+=+-=+ 由3k+28=3（3k-2）得k= *?N 3 17 故存在k=5，使f （k+10）=3f （k ）……14’ 10．（Ⅰ）设函数()y f x =的图象上任一点00(,)Q x y 关于原点的对称点为 (,)P x y , 则 00, . x x y y =-?? =-? ∵点00(,)Q x y 在函数()y f x =的图象上. ∴x x y 2872+=-， 即x x y 2872--=， 故x x x F 287)(2--=． （３分） 由3)()(+-≥x x f x F ，可得 3142+≤x x ． 当3-≤x 时，03142≤++x x ，此时不等式无解． 当x ≥3-时，03142≤--x x ，∴2173≤≤-x ． 因此，原不等式的解集为{}2 1 73≤≤-x x . （７分） （Ⅱ）依题意[]恒成立在330123223，c x x x -≥+--． 322()2312,()6612h x x x x c h x x x '=--+=--令则， ()021,(921()0;12()0, ()(,1)(1,2)(2,)h x x x x h x x h x h x '==-'><->'-<<<∴-∞--+∞令得或分) 当或时,当时,在是增函数,在是减函数,在是增函数. ()()1,7;220(3)9,(3)45,45.(1245045. (14x h x c x h x c h c h c c c c ∴=-=+==-+=-+-=-+∴-+-+≥∴≥极大值极小值当时当时,又函数最小值为分)依题意分) 11．四边形ABCD 是直角梯形，且CD ⊥DA ，又BC CD =， 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 高考数学解答题常考公式及答题模板 题型一：解三角形 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === （R 是AB C ?外接圆的半径） 变式①：?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：?? ?? ? ???? == = R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin 变式③： C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理：???????-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222 22222 变式：???? ? ??????-+= -+=-+= ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2 22222222 3、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、射影定理：?? ? ??+=+=+=A b B a c A c C a b B c C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^） 5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A 6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 利用以上关系和诱导公式可得公式：??? ??=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和 ??? ??-=+-=+-=+A C B B C A C B A cos )cos(cos )cos(cos )cos( 7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θ θ θcos sin tan = 奇： 2 π 的奇数倍 偶： 2 π 的偶数倍 全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析 方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项． 方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的 最大值为( ) A.2 3 B ．1 C.32 D ．3 答案 D 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析 作出可行域如图． 图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11 抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为； （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同）， 求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切 线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 高考数学常用公式及结论200条（一） 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 集合练习题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）（B） （C）（D） 2．设集合，，则（） （A）（B） （C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（） （A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（） （A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么 是（） （A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（） （A）（B） （C）（D） 10．已知集合，，那么（） （A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） （A）（B） （C）（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（） （A）且（B）且 （C）且（D）且 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求， 20．（本小题满分12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合 ， ， ，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ?， 求实数a 的取值范围． 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求 实数a 的值． 1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f . 高考数学公式大全 一、集合 1.集合的运算符号：交集“I ”，并集“Y ”补集“C ”子集“?” 2.非空集合的子集个数：n 2（n 是指该集合元素的个数） 3.空集的符号为? 二、函数 1.定义域（整式型：R x ∈；分式型：分母0≠；零次幂型：底数0≠；对数型：真数0>；根式型：被开方数0≥） 2.偶函数：)()(x f x f -= 奇函数：0)()(=-+x f x f 在计算时：偶函数常用：)1()1(-=f f 奇函数常用：0)0(=f 或0)1()1(=-+f f 3.单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减 单调减函数：与增函数相反 4.指数函数计算：n m n m a a a +=?；n m n m a a a -=÷；n m n m a a ?=)(；m n m n a a =；10=a 指数函数的性质：x a y =；当1>a 时，x a y =为增函数； 当10<a 时， x a y log =为增函数 对数函数必过定点)0,1( 6.幂函数：a x y = 7.函数的零点：①)(x f y =的零点指0)(=x f ②)(x f y =在),(b a 内有零点；则0)()( 全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：众数、中位数 1．(全国名校·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 则这20A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 答案 A 解析 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的2 5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A ．28 B ．40 C ．56 D ．60 答案 B 解析 设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝2 7. 所以中间一组的频数为140×2 7 ＝40.故选B. 3．(全国名校·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( ) A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 答案 A 解析 根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋78 5 ，解得x ＝3.故选A. 4．(全国名校·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分 组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B 解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 5.(全国名校·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( ) A ．2，4 B ．4，4 C ．5，6 D ．6，4 答案 D 解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋93 6＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D. 6．(全国名校·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A. 10 5 B.305 C. 2 D ．2 答案 D 解析 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1 5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即 所求的样本方差为2. 7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集： 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 高考必考数学重点公式 高中数学基本公式大全 有了此书，高分无忧！！！ 一、基本公式（必考公式） 1、抛物线：y = ax *+ bx + c （1）就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c （2）a > 0时开口向上，a < 0时开口向下，c = 0时抛物线经过原点，b = 0时抛物线对称轴为y轴。 (3)还有顶点式y = a（x+h）* + k (4)就是y等于a乘以（x+h）的平方+k (5)-h是顶点坐标的x ，k是顶点坐标的y (6)一般用于求最大值与最小值 (7)抛物线标准方程:y^2=2px ，它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 (9)由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 2、圆：体积=4/3(pi）(r^3) （1）面积=(pi)(r^2) (2)周长=2(pi)r (3)圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 (4)圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 3、椭圆周长计算公式 （1）椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) （2）椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （3）椭圆面积计算公式： 椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 4、三角函数： （1）两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) （2）倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π* (n-1)/n]=0 一、函数 1、求定义域（使函数有意义） 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1 题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五 222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减） 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称 高中数学新课标典型例题：子集、全集、补集·典型例题 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈＝ 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空． 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个． 解含有个元素的子集有：； 0? 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}； 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个． 说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ? 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________． 分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}． 答 共3个． 说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形． 答 选C ． 说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便． 点击思维 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1， y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ． 说明：要注意集合中谁是元素． M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠?? 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除 )的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法． 高考数学大题题型解答技巧 六月，有一份期待，年轻绘就畅想的星海，思想的热血随考卷涌动，灵魂的脉搏应分 数澎湃，扶犁黑土地上耕耘，总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧，希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握 近年高考数学选择题经典试题集锦 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则A O B ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 32 C 、3 D 、 5 3 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43 B 、8 3 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040 250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则24z x y =+-的最大值为 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 高考数学大题公式(必记版) 17题(1)数列: 1.数列的同项公式与前n 项的和的关系 11,1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?(数列{}n a 的前n 项的和为12=+++L n n s a a a ).2.等差数列的通项公式 1(1)()=+-=+-n m a a n d a n m d ； 3.等差数列的前n 项和公式为 1()2n n n a a s +=1(1)2 n n na d -=+.4.等比数列的通项公式 11--==n n m n m a a q a q ； 5.等比数列的前n 项的和公式为 11(1)11--==--n n n a a q a q s q q 17题(2)解三角形:6.正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===.7.余弦定理 2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.8.三角形面积公式 C ab B ac A bc S ABC sin 2 1sin 21sin 21====?18题概率统计: 9.期望定义式：n n X p x p x p x E ...2211++=19题立体几何: 10.求二面角、线面角、异面直线所成的角：→→ → →??=m n m n θcos 20题圆锥曲线11.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>> 离心率)01c e e a ==<<222,,c b a c b a +=的关系：（椭圆中a 最大）12.双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b 离心率)1==>c e e a 222,,b a c c b a +=的关系：（双曲线中c 最大） 13.抛物线() 022>=p px y 焦点 ,02p F ?? ???准线方程2 p x =- 高考数学选择经典试题集锦（二） 1、已知()1()()f x x a x b =---，并且,m n 是方程()0f x =的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是 A. m a b n <<< B. a m n b <<< C. a m b n <<< D. m a n b <<< 2、已知{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n S 、n T ，若223n n S n T n +=+，则109a b 的值为 A. 116 B. 2 C. 22 13 D. 无法确定 3、已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足2PA PB -=，25PA PB -=PA PC PB PC PA PB ??=,I 为PC 上一点，且()(0) AC AP BI BA AC AP λλ=++>，则 BI BA BA ?的值为 A. 1 B. 2 C. 1 D. 4、 已知()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数， ()0,()()()(),()()x g x f x g x f x g x f x a g x ''≠? B. W N < C. W N = D.无法确定高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
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