随机过程习题第2章
设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<< 121。试证明：
)/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n
即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。 证明：首先，由条件概率的定义式得
)
,,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++=
根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得
)
()
()/()()/()/()
()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++==
n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n
于是，
)/()
(),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++==
n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n
试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。试证明：
)/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t =
证明：首先，由条件概率的定义式得
)
()
,,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t =
然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得
)
(),()
/()()
()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t ==
)/()/(21/23/2123x x f x x f t t t t = 若)(t ξ是一马尔可夫过程，2121++<<<< )/,(),,,/,(21/,2121,,,/,212121m m m t t t m m m t t t t t x x x f x x x x x f m m m m m m ++++++++= 证明：首先，利用性质：}|{}|{}|{C B P BC A P C AB P =得 ),,,/(),,,,/() ,,,/,(211,,,/1212,,,/2121,,,/,21112122121m m t t t t m m m t t t t t m m m t t t t t x x x x f x x x x x f x x x x x f m m m m m m m m ++++++++++= 于是，由马尔可夫性得 ) /(),/(),,,/,(1/12,/2121,,,/,1122121m m t t m m m t t t m m m t t t t t x x f x x x f x x x x x f m m m m m m m m ++++++++++= 再利用性质}|{}|{}|{C AB P C B P BC A P =得 ),,,/,(2121,,,/,2121m m m t t t t t x x x x x f m m m ++++=)/,(21/,21m m m t t t x x x f m m m ++++ 若有随机变量序列 ,,,,21n ξξξ，且 ,,,,21n ξξξ之间相互统计独立，n ξ的概率密度函数为)()(n n n x f x f n =ξ，),2,1(0][ ==n E n ξ。定义另一随机变量序列}{n η如下： n n ξξξηξξξηξξηξη+++=++=+==213 21321211 试证明：（1）序列 ,,,,21n ηηη具有马尔可夫性； （2）111112211]/[],,,/[-----======n n n n n n n y y E y y y E ηηηηηη (1) 证明：由于 ,,,,21n ξξξ相互统计独立，其n 维联合概率密度函数为 )()()(),,,(21212121n n y f y f y f y y y f n n ξξξξξξ = 由随机变量序列}{n η与}{n ξ的关系可得如下的雅可比行列式 11 11011001== J 所以， ,,,,21n ηηη的n 维联合概率密度函数为 )()()(),,,(1121212121---=n n n x x f x x f x f x x x f n n ξξξηηη 于是， ) () ()()() ()()()(),,/(121121*********,,,/2121121--------=-----= -n n n n n n n n n n x x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x f x x x x f n n n n n n ξξξξξξξξηηηη 由于 2 212112 112 212 11d d d )()()()(d d d ),,,(),(21211---∞ +∞---∞ +∞-----==?? -n n n n n n n n n x x x x x f x x f x f x x f x x x x x x f x x f n n n n n ξξξξηηηηη 且 2 212112 12 211211d d d )()()(d d d ),,,()(211211---∞+∞--∞ +∞-----==? ?--n n n n n n x x x x x f x x f x f x x x x x x f x f n n n ξξξηηηη 所以， ) ()/(11/1---=-n n n n x x f x x f n n n ξηη 因此 )/(),/(1/121,,,/1121----=n n n n x x f x x x x f n n n n ηηηηηη 所以，序列 ,,,,21n ηηη具有马尔可夫性。 (2) 证明：根据条件均值的定义得 ] /[)/(),/(],,,/[111/121,,/1122111121---∞+∞--∞ +∞---=======--? ?n n n n n n n n n n n n n n y E dy y y f y dy y y y y f y y y y E n n n n ηηηηηηηηηηηη 于是，由给定的关系 n n ξξξη+++= 21 和0][=n E ξ 11112211][],,,/[----=+====n n n n n n y y E y y y E ξηηηη 设有随机过程ξ(n ) (n =1，2，3，…)，它的状态空间I ：{x ：0 ?????<<==) (0) 10(1)()(11)1(11其它值x x f x f ξ ξ (1), ξ (2),…, ξ (m )的联合概率密度为 ???? ? ??? ?=<<<<<==--值其它i m m m m m m m m m x x x x f x x x x x x x x x f x x x f ,0),,,()10(1 ) ,,,(),,,(21,,2,11112121)(,),2(),1(21,,2,1 ξξξ (1) 求ξ (2)的边际概率密度f 2(x 2)； (2) 试问该过程是否为马尔可夫过程； (3) 求转移概率密度f 2|1(x 2| x 1)，……，f m |m -1(x m | x m -1)。 (4) 求}3 1 )3(,43)1({<<ξξP 。 (1) 解：由给出的ξ (1), ξ (2),…, ξ (m )的联合概率密度函数可知 )10(1),(121 212,1<<<= x x x x x f 其分布区域如右图加黑部分所示。因此，)2(ξ的边际概率密度函数为 ??? ??? ?<<-==?值 其它i x x x x dx x x f , 01) (0 ln 1 )(12211 222 (2) 证明：因为 1 1211,,2,121,,2,11211,,2,1|1) ,,,(),,,(),,|(-----= = m m m m m m m m m x x x x f x x x f x x x x f (0< x m 显然,1,2,1|-m m f 只与x m -1有关，所以该过程是马尔可夫过程。 (3) 解：由(2)得 1 1211,2,1|11|1),|()|(-----= =m m m m m m m m m x x x x x f x x f 其中，0< x m (4) 解：由给出的ξ (1)，ξ (2)，…，ξ (m )的联合概率密度函数可知 ???????<<<<=其它值 ,0 ) 10(,1 ),,(1232 13213,2,1x x x x x x x x f 于是， []13 1 3 1 3 21 22 12 321313,1ln 1d 1 d ),,(),(x x x x x x x x x x x x x x x f x x f = ==?? ?? ? ??<<<=其它值 ,0)10(,ln 1133 11x x x x x 1 x 2 1x x = 所以， 3 1)23ln(32)23ln(32d ln 21d d ln 1 }31)3(,43)1({2 3/10 34 3313/10 4/3313 113 3 ++??????=?????? ==< ? ?x x x x x x x x P x x ξξ 设有一参数离散、状态连续的随机过程 ,2,1),(=n n ξ，它的状态空间为 {}0;:≥x x I ，又)1(ξ的概率密度函数为 () () ??? ? ?≥==-值其它10 0)()(11111 1x x e x f x f x ξ )(,),2(),1(m ξξξ 的m 维联合概率密度为 ()?? ? ? ?? ?=≥≥≥++++-=----值其它i x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x f m m m m m m m m m m 0),,,()0,,0,0()] (exp[),,,(21,,2,12111221112121,,2,1 （1） 求边际概率密度),,,(1211,,2,1--m m x x x f （2） 求)2(ξ的概率密度； （3） 说明该过程是马尔可夫过程，并求其转移概率密度)/(1/1--m m t t x x f m m (1) 解：由m 维联合概率密度可得m -1维联合概率密度 )] (exp[)exp()](exp[)](exp[),,,(112212210 1112211210 1122111211211,,2,1x x x x x x x x dx x x x x x x x x x x dx x x x x x x x x x x x x x f m m m m m m m m m m m m m m m m m +++-=-+++-=++++-=---∞+----∞+------?? (2) 解：同(1)理可求得： )](ex p[),,,(112323212212,,2,1x x x x x x x x x x x f m m m m m +++-=----- )](ex p[),(1121212,1x x x x x x f +-= 所以， ? ? ??? ≥+=+-=?∞ +值其它22220 1112122,00,)1(1)](exp[)(x x x dx x x x x x f (3) 解：由条件概率的定义可得 )exp() ,,,(),,,(),,,/(111211,,2,121,,2,11211,,2,1/-------== m m m m m m m m m m m x x x x x x f x x x f x x x x f 由此可见，当m -1时刻的状态确定时，m 时刻的状态与以前时刻的状态无关。所以，该过程为马尔可夫过程。其转移概率密度为 ()?? ? ??≥≥-=-----值其它i m m m m m m m m m x x x x x x x x f ,00 ,0,)exp(/11111/ 有三个黑球和三个白球。把六个球任意等分给甲乙两个袋中，并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后互相交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过n 次交换，过程的状态为)(n ξ(n =1，2，3，4，…)。 (1) 试问此过程是否为马尔可夫链； (2) 计算它的一步转移概率矩阵。 (1) 证明：显然，该过程由当前状态转移到另一个状态的转移概率只与当前状态和转移到的状态有关，与其它时刻的状态无关。因此，该过程是为马尔可夫链。 (2) 解：以甲袋中的白球数i 作为该过程的状态。当0≠i 和3时，过程状态由i 转移到j 概率为 ??????? ? ?????? ?-=??? ??=-??+=?? ? ??-===+值 其它，j i j i i j i i i j i i n j n P 0 ) 1(, 3)(,3332) 1(,33})(|)1({2 2 ξξ 当i =0时，101=P ，)1(00≠=j P j ；当i =3时，132=P ，)2(03≠=j P j 。于是，一步转移概率矩阵为： ???? ?? ? ?? ???????????=0100000010919494949491P 设)}({n ξ是一马尔可夫链，它的状态转移空间为I ：{0，1，2}，它的初始状态的概率分布为41}0)0({==ξP ，21}1)0({==ξP ，4 1 }2)0({==ξP ；它的一步转移概率矩阵 为 ???????? ? ? ?=434 1031313104341P (1) 计算概率}1)2(,1)1(,0)0({===ξξξP ； (2) 计算) 2(01p 。 (1) 解：由马尔可夫性可得 }0)0({}0)0(|1)1({}1)1(|1)2({}1)2(,1)1(,0)0({=========ξξξξξξξξP P P P 其中， 31}1)1(|1)2({) 1(11====p P ξξ 4 3}0)0(|1)1({)1(01 ====p P ξξ 于是 16 1 414331}1)2(,1)1(,0)0({=??====ξξξP (2) 解：二步转移概率矩阵为 ????? ??? ? ??=????????? ? ?????????? ? ?=483148 1312 13613361636741167165434 1031313104341434 1031313104341(2)P 所以， 16 7 )2(01= p 另一种解法是根据切普曼-柯尔莫哥洛夫方程得 16 7 410314343412 0) 1(1)1(0)2(01 =?+?+?==∑=i i i p p p 设有马尔可夫链，它的状态转移空间为I ：{0，1，2}，它的一步转移概率矩阵为 ?????? ? ? ?-=01001010p p P (1) 试求(2)P ，并证明(4)(2)P P =； (2) 求1,≥n )(n P 。 (1) 证明：(2)P 和(4)P 分别为 ?????? ? ??--=??????? ??-??????? ? ?-=p p p p p p p p 010100 10100101 00100 1010 (2) P ?????? ? ??--=??????? ??--??????? ??--==p p p p p p p p p p p p 010100 101010010101 001(2) (2)(4)P P P 所以， (4)(2)P P = (2) 解：实际上，一步转移概率矩阵P 可以经过行列变换为 ?????? ? ? ?-01100100 p p 由此可见，这是一个周期为2的马尔可夫链。所以，当n 为奇数时 ?????? ? ? ?-=0100 1010p p )(n P n 为偶数时 ?????? ? ? ?--=p p p p 0101 00 1) (n P 设有马尔可夫链，它的状态转移空间为I ：{0，1}，它的一步转移概率矩阵为 )10(11P < ? ??--=p p p p p 试用数学归纳法证明 ????? ? ??-+-----+=n n n n n p p p p )12(2121)12(2 121)12(2121)12(2121P ) ( 证明：当n =1时，显然是成立的。假设1-=k n 成立，即 ????? ? ??-+-----+=-----1111) 1()12(2121)12(2 121)12(2121)12(2121P k k k k k p p p p 则当k n =时 ???? ? ??--?????? ??-+-----+==-----p p p p p p p p k k k k k k) 11)12(2121)12(2 121)12(2121) 12(2 121P P P 1111 )1(( ????? ? ??-+-----+=k k k k p p p p )12(2121)12(2 121)12(2121)12(2121 所以结论成立。 设有马尔可夫链，它的状态空间为}1,0{:I ，它的一步转移概率矩阵为 )10,10(11<<< ? ??--=b a b b a a P 试求)(n P （利用矩阵的特征值、特征矢量方法计算） 解：解算此题有以下三种方法： [方法一]：利用矩阵的相似变换：首先，容易解得矩阵P 的两个特征值λ和对应的特征向量分别为 ? ?? ?? ??=11,11λ ? ?? ? ? ??---=b a b a ,12λ 由这些特征向量做为列向量构成的矩阵Q 和其逆阵Q -1为 ?? ??? ? ??????+-+++=??? ? ????-=-b a b a b a a b a b Q b a Q 11111 与矩阵P 存在如下关系 ?????? ??--=-b a PQ Q 10011 ??? ?????--=-b a Q Q 1001 1 并且 Q P Q PQ Q PQ PQQ Q PQ Q n n 11111)(-----== 于是得 ?? ?? ? ? ???? ??+--++---+---++--=??? ??? ??--=-b a b a b a b a b a b b b a b a a a b a b b a a Q b a Q P n n n n n n )1()1()1()1(1001 1) ( [方法二]：利用矩阵的特征值、特征矢量：首先，由下面的等价关系 X X P X PX PPX X PX n n λλλλ=?==?=)(2 可知n λ是)(n P 的特征值，P 的特征向量是)(n P 的特征向量。因此，可由P 的所有特征值和特征向量，利用X X P n n λ=)(这个等式解)(n P 。设 ??? ?????=43 21 ) (p p p p P n 对于本题，可得方程组如下 ??? ?????=??? ???????? ?????1111143 21n p p p p ??? ?????---=??? ? ????-??? ?????b a b a b a p p p p n )1(43 21 解得4321,,,p p p p 的值与方法一的结果相同。 [方法三]：利用母函数：首先，转移概率矩阵对应的母函数为 1 1 1 )()1(1)1(1)()(--∞ =? ????? ??------=-==∑s b bs as s a Ps I s P s G n n n ???? ??? ?----+-----=s a bs as s b s b a s b a )1(1)1(11)2()1(1 2 将矩阵)(s G 的第一行第一列元素展开成s 的级数为 ∑∑∞=∞ =++--+=-++---+00 )1(1)1(1n n n n n s b a b s b a b a a s b a b s b a b a a 其中，s n 项的系数就是)(n P 的第一行第一列元素，即 b a b b a b a a p n ++ --+= )1(1 同理可得432,,p p p 。 天气预报问题。其模型是：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨(即一连三天有雨；前面两天有雨，第三天是晴天；…)，问能否把这个问题归结为马尔可夫链。如果可以，问该过程的状态有几个？如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率为；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为；在其它天气情况时，今日的天气与昨日相同的概率为。求这个马尔可夫链的转移矩阵。 解：此问题本来不是马尔可夫链，但是通过将连续三天的天气情况定义为一个状态，则可以认为是一个马尔可夫链。每天的天气状况分为有雨（用“1”表示）和无雨（用“0”表示）两种情况，所以该马尔可夫链有23=8中状态。将连续四天的天气情况用Y 和N 表示。例如，前三天有雨，第四天无雨，则表示为YYYN 。 根据题意可知，如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率为；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为；即 P{1111}=，P{0001}=， 在其它天气情况时，今日的天气与昨日相同的概率为，即 P{0011}= P{0111}=P{1011}= P{1100}=P{0000}= P{0100}=P{1000}= 于是可得其它的概率值为 P{0000}=1-P{0001}=，P{0010}=1-P{0000}=，P{0101}=1-P{0100}= P{0110}=1-P{0111}=，P{1001}=1-P{1000}=，P{1010}=1-P{1011}= 因此，概率转移矩阵为 ????????????????????????????????8.002.000000000000008.02.0001 000000 06.04.006.04.006 .04.0000 00000000 000000 6.04.0000 2.08.0 设有马尔可夫链，它的状态空间为I ：{0，1}，它的一步转移概率矩阵为 ????? ? ??=323 12121 P 试求)1(00f ，)2(00f ，)3(00f ，)1(01f ，)2(01f ，) 3(01f 。 解：21) 1(00)1(00 ==p f ，2 1) 1(01)1(01 ==p f ???? ?? ?=?===?==41 2121613121)1(01)1(00)2(01 ) 1(10)1(01)2(00p p f p p f ???? ?? ?=??===??==91 31322181212121)1(10)1(11)1(01)3(01 ) 1(01)1(00)1(00)3(01p p p f p p p f 另一种方法是利用母函数 ) 6)(1(2116)(,) 6)(1(2)() 6)(1(3)(,) 6)(1(3216)(01000100--? ? ? ? ?-=--= --= --? ? ? ? ?-=s s s s P s s s s P s s s s P s s s s P 由下面的关系 )()(1)(000000s P s F s P += 可得 ∑∑∞=∞ =??? ??+?? ? ??- =-+-=-=002 20000642646 463)(11)(n n n n s s s s s s s s P s F )1(00f 就是s 项的系数，)1(00f 就是2s 项的系数，) 1(00f 就是3s 项的系数。所以， ???? ? ??? ?? ?=??? ???+?-==-?==91 6421646161616421212)3(00) 2(00) 1(00 f f f 同理可得)1(01f ，)2(01f ，) 3(01f 。两种方法的结果是一致的，但是后一种方法不会漏项，尤其在)(n j i f 中n 很大时只能采用这种方法。 设有一个三状态{0，1，2}的马尔可夫链，它的一步转移概率为 ?????? ? ??=33 22110 0p q q p q p ) (n P 试求)1(00f ，)2(00f ，)3(00f ，)1(01f ，)2(01f ，) 3(01f 。 解： ???? ?====1 )1(01)1(01 1 )1(00)1(00 q p f p p f ???? ?=?+=+==?+?=+=1 111)1(21)1(02)1(01)1(00)2(01 31)1(20)1(02)1(10)1(01)2(00 000 00q p q p p p p p f q q p p p p f ?????? ???????=??+??+??+=+++==??+??++?=+++=1 213131111)1(21)1(22)1(02)1(01)1(20)1(02)1(21)1(02)1(00)1(01)1(00)1(00)3(013 213332121) 1(20 )1(22)1(02)1(10)1(21)1(02)1(20)1(12)1(01)1(10)1(11)1(01) 3(000000000000q p p q q p q p p p p p p p p p p p p p p f q q q q p q q q p q p p p p p p p p p p p p f 此题也可以用习题的方法，通过求)(s F ij 获得上述值。 《随机过程》课程教学大纲 课程编号：02200021 课程名称：随机过程 英文名称：Stochastic Processes 课程类别：选修课 总学时：72 讲课学时：68 习题课学时：4 学分: 4 适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学专业 先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计 一、课程简介 随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。本课程介绍随 机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。 二、课程性质、目的和任务 随机过程是概率论的后续课程，具有比概率理论更加实用的应用方面，处理问题也更加贴近实际情况。通过这门课程的学习，使学生了解随机过程的基本概念，掌握最常见而又有重要应用 价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质，能够处理基本的随 机算法。提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。通过本课程的学习，可以让数学 专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程基本要求 通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的一般概念，知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质；掌握泊松过程的定义与基本性质，了解它的实际背景，熟悉它的若干推广；掌握更 新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，了解更新定理及其应用，知道更新过程的若干 推广；掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限 分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程；掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫 哥洛夫方程；掌握布朗运动的定义与基本性质，熟悉随机积分的定义与基本性质，了解扩散过程 与伊藤公式，会求解一些简单的随机微分方程。 四、教学内容及要求 第一章预备知识 §1.概率空间；§2.随机变量和分布函数；§3.数字特征、矩母函数和特征函数；§4. 条件概率、条件期望和独立性；§5.收敛性 教学要求：本章主要是对概率论课程的复习和巩固，为后续学习做准备。 第二章随机过程的基本概念和类型 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时， ＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。 解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀 分布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 1 2 2 121 2 1 11221 11222100 12()exp() exp()(1)! (1)! N N t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞ --<=----?? 马尔可夫过程 ?1马尔可夫过程概论 6 1.1马尔可夫过程处于某个状态的概率 6 1.2马尔可夫过程的状态转移概率 6 1.3参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 齐次切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 转移概率分布函数、转移概率密度函数 6 1.4马尔可夫过程状态瞬时转移的跳跃率函数和跳跃条件分布函数 瞬时转移概率分布函数 6 1.5确定马尔可夫过程Q矩阵 跳跃强度、转移概率Q矩阵 ?2参数连续状态离散马尔可夫过程的前进方程和后退方程 柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）福克-普朗克方程（状态概率的微分方程） 柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）?3典型例题 排队问题、机器维修问题、随机游动问题的分析方法 ?4马尔可夫过程的渐进特性 稳态分布存在的条件和性质 稳态分布求解 ?5马尔可夫过程的研究 1概论 1.1 定义及性质 1.2 状态转移概率 1.3 齐次马尔可夫过程的状态转移概率 1.5跳跃强度、转移概率Q矩阵 2 前进方程和后退方程 2.1 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 2.2柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程 2.2福克-普朗克方程 2.3柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程 3典型的马尔可夫过程举例 例1 例2 例3 例4，随机游动 4马尔可夫过程的渐进特性 4.1 引理1 4.2 定理2 4.3 定理 5马尔可夫过程的研究 6关于负指数分布的补充说明： 1概论 1.1定义：马尔可夫过程 ()t ξ： 参数域为T ，连续参数域。以下分析中假定[0,)T =∞； 状态空间为I ，离散状态。以下分析中取{0,1,2,}I ="； 对于T t t t t m m ∈<<<<+121"，若在12m t t t T <<<∈"这些时刻观察到随机过程的值是12,,m i i i "，则 1m m t t T +>∈时刻的条件概率满足: {}{}1111()/(),,()()/(), m m m m m m P t j t i t i P t j t i j I ξξξξξ++======∈" 则称这类随机过程为具有马尔可夫性质的随机过程或马尔可夫过程。 1.2 定义：齐次马尔可夫过程 对于马尔可夫过程()t ξ，如果转移概率{}21()/()P t j t i ξξ==只是时间差12t t ?=τ的函数,这类马尔可夫过程称为齐次马尔可夫过程。 1.３ 性质 马尔可夫过程具有过程的无后效性； 参数连续状态离散的马尔可夫过程的条件转移概率为： {}{}212112()/()0()/(),,P t j t t t P t j t i t t i j I ξξξξ′′=≤≤===≤∈ 马尔可夫过程的有限维联合分布律可以用转移概率来表示 {} {}{}{}32132211123(),(),()()/()()/()(),,,P t k t j t i P t k t j P t j t i P t i t t t i j k I ξξξξξξξξ=========≤≤∈ 马尔可夫过程的有限维条件分布律可以用转移概率来表示 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数 离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数 连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量 其联合分布函数 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 ４．特征函数离散连续 重要性质：，，， ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 ６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度 ，，正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。 分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （３）协方差函数且有 （４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 随机变量巩固练习―――重点：“函数的函数”相关运算 定理 1 设X 为连续型一维随机变量，其概率密度函数为()X f x ,则对于Y ＝g(X)的概率密度函数，有下列结果： （1）若g(x)是严格单调可微函数，则Y=g(X)的概率密度函数为 (())'(),()0, X Y f h y h y y I f y y I ?∈?=???? 其中h(y)是y=g(x)的反函数. (2)若g(x)不是严格单调可微函数，则将g(x)在其定义与上分成若干个单调分支，在每个单调分支上应用(1)的结果得Y=g(X)的概率密度函数为 1122(())'()(())'(),()0, X X Y f h y h y f h y h y y I f y y I ?++∈?=???? 其中I 是在每个单调分支上按照（1）确定的y 的取值公共部分。 练习1 设~[,],tan 22X U Y X ππ-=，试求Y 的概率密度函数()Y f y . 练习2 设 随机变量X 在(0,1)区间内服从均匀分布，试求 （1）X Y e =的概率密度函数 （2）2ln Y X =-的概率密度函数 随机过程巩固练习 1 设随机过程(),(0,),X t Vt b t b =+∈∞为常数，V 为服从正态分布N(0,1)的随机变量。求：X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。 2 设随机变量Y 具有概率密度函数f(y),令 (),0,0Yt X t e t Y -=>> 求随机过程X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。 3 设有随机过程()cos()sin()X t A wt B Wt = +，其中w 为常数，A ，B 是相互独立的且服从正态分布2(0,)N σ的随机变量。求随机过程的均值和相关函数。 4 已知随机过程X(t)的均值函数()X m t 和协方差函数12(,),()X B t t t ?为普通函数，令()()()Y t X t t ?=+，求随机过程Y(t)的均值和协方差函数。 5 设随机过程()cos()X t A wt =+Θ，其中,A w 为常数，随机变量Θ服从(,)ππ-上 的均匀分布。令2()()Y t X t = ，求(,)Y R t t s + 6 设X(t)为实随机变量，x 为任意实数，令 1,()()0,()X t x Y t X t x ≤?=?>? 证明随机过程 Y(t)的均值函数和相关函数分别是X(t)的一维和二维分布函数。 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<<ΛΛ121。试证明： )/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n ΛΛ 即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。 证明：首先，由条件概率的定义式得 ) ,,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++= ΛΛΛΛΛΛ 根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得 ) () ()/()()/()/() ()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++== n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n ΛΛΛΛ 于是， )/() (),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++== n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n ΛΛ 2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。试证明： )/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t = 证明：首先，由条件概率的定义式得 ) () ,,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t = 然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得 ) (),() /()() ()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t == 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1 ）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 第 2 章 随机过程 2.1 引言 ?确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。 ?通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。 ?描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到 时间函数。 2.2 随机过程的统计特性 一.随机过程的数学定义： ?设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t) 是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作)(t g 。 随机过程举例： 二.随机过程基本特征 其一，它是一个时间函数； 其二，在固定的某一观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。 随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 ● 随机过程)(t g 在任一时刻都是随机变量； ● 随机过程)(t g 是大量样本函数的集合。 三.随机过程的统计描述 设)(t g 表示随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是一个一维随机变量。 1.一维分布函数：随机变量)(t g 小于或等于某一数值x 的概率，即 })({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.1 2.一维概率密度函数:一维概率分布函数对x 的导数. x t x P t x p ??= ) ;(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的二维分布 })(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.3 4.二维分布密度定义为 2 12121221212) ,;,(),;,(x x t t x x P t t x x p ???= 2.2.4 四.随机过程的一维数字特征 设随机过程)(t g 的一维概率密度函数为),(1t x p . 1.数学期望(Expectation) dx t x xp t g E t g );()]([)(1?∞ ∞ -==μ 2.2.5 2.方差(Variance) 随机过程复习 一、回答： 1 、 什么是宽平稳随机过程？ 2 、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？ 3 、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？ 4 、 什么是白噪声？性质？ 二、计算： 1 、随机过程 X (t) Acos t + Bsin t ，其中 是常数， A 、B 是相互独 立统计的高斯变量， 并且 E[A]=E[B]=0 ， A 2 ]=E[ B 2 ]= 2 。求： X (t) E[ 的数学期望和自相关函数？ 2 、判断随机过程 X (t ) A cos( t ) 是否平稳？其中 是常数，A 、 分 别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。 a f ( ) 1 2 ； f A ( a) a 2 e 2 2 a 0 2 3 、求随机相位正弦函数 X (t) A cos( 0 t ) 的功率谱密度， 其中 A 、 0 是常数， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量。 4 、求用 X (t ) 自相关函数及功率谱表示的 Y (t ) X (t) cos( 0 t) 的自相关 函数及谱密度。 其中， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量， X (t ) 是与 相互独立的随机过程。 5 、设随机过程 { X (t ) Acos( 0t Y),t} ，其中 0 是常数， A 与 Y 是相互独立的随机变量， Y 服从区间 (0,2 ) 上的均匀分布， A 服从瑞利 分布，其概率密度为 x 2 x 2 e 2 2 x 0 f A (x) 0 x 0 试证明 X (t ) 为宽平稳过程。 解：（ 1） m X (t) E{ Acos( 0 t Y)} E( A)E{cos( 0t Y )} x 2 x 2 2 e 2 2 dx y)dy 0 与 t 无关 2 cos( 0t 0 （ 2） X 2 (t) E{ X 2 (t )} E{ A cos( 0t Y)}2 E( A 2 ) E{cos 2 ( 0t Y )} E( A 2 ) 3 x 2 t E( A 2 ) x 1 2 t 2 e 2 2 dt ， 2 e 2 2 dx 2 t t t te 2 2 |0 e 2 2 dt 2 2e 2 2 |0 22 所以 X 2 (t ) E{ X 2 (t )} （3） R X (t 1,t 2 ) E{[ A cos( 0t 1 Y)][ A cos( 0t 2 Y )]} E[ A 2 ] E{cos( 0t 1 Y ) cos( 0t 2 Y)} 2 2 2 1 0t 1 0t 2 y) cos 0 (t 2 t 1)] 1 dy [cos( 2 2 2 cos 0 (t 2 t 1 ) 只与时间间隔有关，所以 X (t ) 为宽平稳过程。 6 、 设随机过程 X (t ) R t C ， t (0, ) ， C 为常数， R 服从 [0,1] 区间 上的均匀分布。 （ 1 ）求 （ 2 ）求 X (t ) X (t ) 的一维概率密度和一维分布函数； 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 随机过程课后习题答案 第一章 第二题：已知一列一维分布{();1}n F x n ≥，试构造一个概率空间及其上的一个相互独立的随机变量序列{(,);1}n n ξ?≥使得(,)n ξ?的分布函数为()n F x 。 解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某一随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。 所以可以假设有相互独立的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ， 如果令1(,)()n n n F ξθ-?=，则有(,)n ξ?为服从分布()n F x 的随机变量。又由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ?≥之间相互独立，则其中任意有限个随机变量12(,),(,),...,(,)n i i i ξξξ???的联合分布为： 11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ?≤?≤?≤=???? 再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯一的概率测度P 使得： 11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ?≤?≤?≤=???? 则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。 第八题：令{};1n X n ≥是一列相互独立且服从(0,1)N （正态分布）的随机变量。又令 1n n S X X =++ 22(1) n S n n ξ+= 1(,,)n n F X X σ= 试证明：,;1n n F n ξ≥（） 是下鞅（参见23题）。 证明：欲证明n ξ为一个下鞅，只需证明其具有适应性，可积性和下鞅性。 适应性显然，下证其具有可积性和下鞅性。随机过程
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