数学分布泊松分布二项分布正态分布均匀分布指数分布生存分析贝叶斯概率公式全概率公式

数学分布泊松分布二项分布正态分布均匀分布指数分布生存分析贝叶斯概率公式全概率公式

文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：

1、一个完全符合分布的样本

2、这个样本的方差

概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。

下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：

离散型分布：二项分布、泊松分布

连续型分布：指数分布、正态分布、X2分布、t分布、F分布

二项分布（binomial distribution）：例子抛硬币

1、重复试验（n个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利

试验）

2、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同组成了一个分布，即二项

分布

泊松分布（possion distribution）：

1、一个单位内（时间、面积、空间）某稀有事件

2、此事件发生K次的概率

3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同组成了一个分布，即泊松分布二项分布与泊松分布的关系：

二项分布在事件发生概率很小，重复次数n很大的情况下，其分布近似泊松分布

均匀分布(uniform distribution)：

分为连续型均匀分布和离散型均匀分布

离散型均匀分布：

1、n种可能的结果

2、每个可能的概率相等(1/n)

连续型均匀分布：

1、可能的结果是连续的

2、每个可能的概率相等()

连续型均匀分布概率密度函数如下图：

指数分布（exponential distribution）：

用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

指数分布常用于各种“寿命”分布的近似。

1、连续型分布，每个点的概率：

2、无记忆性。已经使用了s小时的元件，它能再使用t小时的概率，与一个从未使用过的元件使用t小时的概率相同。即它对已经使用过的s小时没有记忆。

指数分布的概率密度函数如下图：

正态分布（normal distribution）：

又称高斯分布。

1、描述一个群体的某个指标。

2、这个指标是连续的。

3、每个特定指标在整个群体中都有一个概率（）。

4、所有指标概率共同组成了一个分布，这个分布就是正态分布。

正态分布的概率密度函数如下图：

中心极限定理：

不论总体的分布形式如何（正态或非正态），只要样本（抽样样本）含量n足够大时，样本均数的分布就近似正态分布，且均数与总体均数相等，标准差为（总体标准差）/（n 的开方）。

中心极限定理使得t分布、F分布和X2分布在抽样样本含量很大时不需要对总体样本是否正态有要求。

t分布（student t distribution）:

1、t分布是以0为中心的一簇曲线，每个自由度决定一个曲线

2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数（抽样样本含量）-1

3、总体样本呈正态分布（抽样样本含量较小时，要求总体样本呈正态分布，如果抽样样

本含量很大（eg. n >= 100），由中心极限定理可知抽样样本均数也近似正态分布，

因而“差值”的概率也呈正态分布，而t分布的每一条曲线实际上都是正态分布曲线）

4、从一个总体样本中抽取很多个小样本———抽样

5、每个小样本都有一个均值

6、每个小样本的均值与总体样本均值有一个差值，这个差值用t估计

7、可能有多个小样本的差值估计都是t，t出现的次数占所有小样本的比例可以用一个概率衡量

8、所有t值的概率组成一个分布，就是t分布的一个曲线

9、另外做一个抽样，每个小样本包含的观测值不同，则形成t分布的另外一个曲线

10、自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布

11、t分布只与自由度相关

t分布的概率密度函数如下图（v为自由度）：

X2分布（chi square distribution）：

1、X2分布也是一簇曲线，每个自由度决定一个曲线

2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数（抽样样本含量）-1

2、总体样本呈正态分布（抽样样本含量（n）较小时，要求总体样本呈正态分布）

3、从总体样本中抽取n个观测值：z

1，z

2

，z

3

……———抽样

4、将它们平方后求和，这个和用一个新变量表示，即X2

5、重复抽样并获得多个X2：X

12，X

2

2，X

3

2，X

4

2………

6、可能有多次抽样的X2值相同，同一个X2值的抽样次数占总次数的比例可以用一个概率表示

7、所有的概率值共同组成一个分布，就是X2分布的一条曲线

8、另外做一次，只要从总体中选取观测值数目n不同，得到的就是另外一条曲线

10、自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布

11、X2分布只与自由度相关

X2分布的概率密度函数如下图（n在这里为自由度）：

F分布（F-distribution）：

1、F分布也是一簇曲线，每对自由度决定一个曲线

2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数（抽样样本含量）-1

2、两总体样本方差比的分布

3、总体样本呈正态分布（抽样样本含量（n）较小时，要求总体样本呈正态分布）

4、从总体样本中抽取两个样本，两个样中的观测值数目可相同也可不同，分别记为n

1

和

n

2

5、分别计算出X2：X

1，X

2

6、构建一个新变量F：

7、重复抽取样本，计算多个F值：F

1，F

2

，F

3

……..

8、可能有多次抽样的F值相同，同一个F值的抽样次数占总次数的比例可以用一个概率表示

9、所有的概率值共同组成一个分布，就是F分布的一条曲线

10、另外做一次，只要从总体中选取观测值数目n不同，得到的就是另外一条曲线

10、两个自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布

11、F分布只与自由度相关

F分布的概率密度函数如下图（m，n在这里为自由度）：

【在推估总体平均值时，基于样本平均数的抽样分布】—— t分布

【在用样本方差来推估总体方差时，必须知道样本方差的抽样分布】— X2分布

【比较两个总体的方差是否相等时，必须知道样本方差的联合抽样分布】— F分布

生存分析（survival analysis）：

1、多种影响慢性疾病的因素（不同手术方法、不同药物………）

2、随访一群患者

3、一段时间后统计生存和死亡

3、最终给出的结果是一个评价各种因素对生存时间的影响（生存时间、生存率有无差异）

贝叶斯公式（bayes formula）：

1、描述两个条件概率之间的关系———P(Bi|A)与P(A|Bi)，A为事件，Bi 为一个划分

2、P(Bi|A)=P(A|Bi)*P(Bi)/P(A) 或者

3、看图理解

全概率公式（full probability formula）：

1、描述一个特定事件的概率与条件概率间的关系

2、P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn)

3、看图理解

全概率公式和贝叶斯公式

单位代码：005 分类号：o1 西安创新学院本科毕业论文设计 题目：全概率公式和贝叶斯公式 专业名称：数学与应用数学 学生姓名：行一舟 学生学号：0703044138 指导教师：程值军 毕业时间：二0一一年六月

全概率公式和贝叶斯公式 摘要:对全概率公式和贝叶斯公式,探讨了寻找完备事件组的两个常用方法,和一些实际的应用.全概率公式是概率论中的一个重要的公式,它提供了计算复杂事件概率的一条有效的途径,使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简.而贝叶斯公式则是在乘法公式和全概率公式的基础上得到的一个著名的公式. 关键词:全概率公式;贝叶斯公式;完备事件组

The Full Probability Formula and Bayes Formula Abstract：To the full probability formula and bayes formula for complete,discusses the two commonly used methods of events,and some practical applications.Full probability formula is one of the important full probability formula of calculation,it provides an effective complex events of the way the full probability of a complex events,full probability calculation problem change numerous will Jane.And the bayes formula is in full probability formula multiplication formula and the basis of a famous formula obtained. Key words：Full probability formula;Bayes formula;Complete event group;

全概率公式、贝叶斯公式推导过程

全概率公式、贝叶斯公式推导过程 （1）条件概率公式 设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B) （2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程 （1）条件概率公式 设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B) （2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有： P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1) （3）全概率公式 1. 如果事件组B1，B2，.... 满足 1.B1，B 2....两两互斥，即B i ∩ B j = ?，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....; 2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分 设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则： 上式即为全概率公式（formula of total probability) 2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事

全概率公式与贝叶斯公式解题归纳

全概率公式与贝叶斯公式解题归纳 来源：文都教育 在数学一、数学三的概率论与数理统计部分，需要用到全概率公式及其贝叶斯公式来解题. 这类题目首先要区分清楚是“由因导果”，还是“由果索因”，因为全概率公式是计算由若干“原因”引起的复杂事件概率的公式，而贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一“原因”发生的条件概率. 它们的定义如下： 全概率公式：设n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个划分，如果()0,i P B > 1,2,,i n =L ，则对任一事件A 有 )|()()(1 i n i i B A P B P A P ∑==. 贝叶斯公式 ：设n ,B ,,B B 21 是样本空间Ω的一个划分，则 .,,2,1,)|()() |()()|(1n i B A P B P B A P B P A B P n j j j i i i ==∑= 例1 从数字1, 2, 3, 4中任取一个数，记为X ，再从1，…，X 中任取一个数，记为Y ，则(2)P Y == . 解 由离散型随机变量的概率分布有： (1)(2)(3)(4)14P X P X P X P X ========. 由题意，得 (21)0,(22)12,P Y X P Y X ====== (23)13,(24)14P Y X P Y X ======,则根据全概率公式得到

(2)(1)(21)(2)(22)P Y P X P Y X P X P Y X =====+=== (3)(23)(4)(24)P X P Y X P X P Y X +===+=== 111113(0).423448 =?+++= 例2 12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取1件为次品的概率. 解 令A={先取的1件为次品}，则,A A 为完备事件组，12(),(),33 P A P A = =令B={后取的2件皆为正品}，则2821128(),55C P B A C ==2721121(),55C P B A C == 由贝叶斯公式得 128()()()2355().128221()()()()()5 355355 P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ?====+?+? 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.

二项分布

二项分布 科技名词定义 中文名称：二项分布 英文名称：binomial distribution 定义：描述随机现象的一种常用概率分布形式，因与二项式展开式相同而得名。 所属学科：大气科学（一级学科）；气候学（二级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 百科名片 二项分布 二项分布即重复n次的伯努里试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的，是独立的,与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。 目录 概念 医学定义 二项分布的应用条件 二项分布的性质 与两点分布区别 编辑本段概念 二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努力试验（Bernoulli Experiment）, 用ξ表示随机试验的结果. 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重

复试验中发生K次的概率是 P(ξ=K)=Cn(k)P(k)q(n-k) 注意!:第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布.. 其中P称为成功概率。 记作ξ~B(n,p) 期望:Eξ=np 方差:Dξ=npq 如果 1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的; 2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关; 3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验. 在这试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二次分布.二项分布可 二项分布 以用于可靠性试验.可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率. 若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率 为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数. 编辑本段医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（π）是恒定的

最新全概率公式和贝叶斯公式练习题

1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。 解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品} A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2 则有分解B=A 1B ∪A 2B 由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88 由全概率公式P(B)= P(A 1) P(B|A 1)+ P(A 2) P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868. 2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。 解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++ 所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b +=+=+++++++ 3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。 解：设B={中途停车修理}，A1={经过的是货车}，A2={经过的是客车}，则B=A 1B ∪A 2B ，由贝叶斯公式有 111112220.02()()3()0.80.21()()()()0.020.0133P A P B A P A B P A P B A P A P B A ?===+?+? 4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。 解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以

二项分布中方差的计算

二项分布中方差的计算 假设ξ~B (n ,p ), 即k n k k n q p C k P -==}{ξ 考虑E [ξ(ξ-1)]=Eξ2-Eξ 而 ∑∑ ∑∑=----=-=-=--=-----?-?=--=-=-n k k n k k n n k k n k n k k n k n k k n k k n q p C p n n q p k n k n n n q p k n k n k k q p C k k E 2 222222 )1()]!2(2[)!2()!2()1()! (!! ) 1()1()]1([ξξ 令2-=k i 上式=222220 22 2 )1()1(np p n p n n q p C p n n n i i n i i n -=-=-∑-=--- 即2222np p n E E -=-ξξ, 再将E ξ=np 代入上式,得)1(222222p np p n np np p n E -+=+-=ξ 最后得npq np p np p n E E D =--+=-=22222)()1()(ξξξ 例1的分布图 例2的分布图 4.2 超几何分布 例1的图形：

例2的图形： 定义4.2 设N 个元素分为两类, 有N 1个属于第一类, N 2个属于第二类(N 1+N 2=N ). 从中不重复抽样取n 个, 令ξ表示这n 个中第一类元素的个数, 则ξ的分布称为超几何分布, ),....,1,0()(2 1n m C C C m P n N m n N m N == =-ξ 规定: 如n

二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导 高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给出一推导过程仅供参考。 预备公式一 11--=k n k n nC kC （1≥n ） ，利用组合数计算公式即可证明。 预备公式二 []2 2)()()(ξξξE E D -=，证明过程可见教材。 预备公式三 2 2)1()1(---=-k n k n C n n C k k （2,2≥≥k n ） ，利用组合数计算公式即可证明。 预备公式四 ),,,,(022110n k m k N k n m C C C C C C C C C k n m m k n k m n k m n k m n ≤≤∈=++++++--Λ，利用恒等 式m n n m x x x )1()1() 1(++=++的二项展开式中k x 的系数相等可证。 一、二项分布 在n 次独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为p （10<

全概率公式和贝叶斯公式练习题

例题讲解: 例题 1.市场上某产品由三家厂家提供，根据以往的记录，这三个厂家的次品率分别为，0.020.,0.01,0.03，三个厂家生产的产品所占的市场份额分别0.15,0.8,0.05.产品出厂后运到仓库，见面后再进入市场，设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合 （1）在仓库中随机的取一个产品，求它的次品的概率。 （2）在仓库中随机的取一个产品，发现为次品，如果你是管理者，该如何追究三个厂家的责任？ 例题2 保险公司把被保险人分成三类”谨慎的”,”一般的”和”冒险的”，统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为，0. 5. 0.15. 和0.30. 如果”谨慎的”被保险人占20%”一般的”，被保险人占50%，”冒失的”被保险人占30%，确认一个被保险人在一年内出事故的概率。

练习: 1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。 解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品} A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2 则有分解B=A 1B ∪A 2B 由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88 由全概率公式P(B)= P(A 1) P(B|A 1)+ P(A 2) P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868. 2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。 解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++ 所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b +=+=+++++++ 3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。 解：设B={中途停车修理}，A1={经过的是货车}，A2={经过的是客车}，则B=A 1B ∪A 2B ，由贝叶斯公式有 111112220.02()()3()0.80.21()()()()0.020.0133 P A P B A P A B P A P B A P A P B A ?===+?+? 4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。 解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以 70411482110621)|()()|()()(2211=?+?= +=A B P A P A B P A P B P (2) 12 72414)(== B P

二项分布方差公式推导

二项分布方差公式推导 若ξ～B(n,p)，q=1-p ，求证D ξ=npq ∵E ξ=np ， kC n k p k q n-k =n p 11 k n C --p k-1q n-k , kk C n k p k q n-k =np[(k-1)11 k n C --p k-1q n-k ＋11k n C --p k-1q n-k ] =np[(n －1)p 22k n C --p k-2q n-k ＋11k n C --p k-1q n-k ] 而D ξ=22()E E ξξ-， ∴D ξ=(1×1×C n 1p 1q n-1＋2×2 C n 2p 2q n-2＋…＋k ×k C n k p k q n-k ＋…＋n ×n C n n p n q 0)2() np - =np(1×C n-10p 0q n-1＋2C n-11p 1q n-2＋3C n-12p 2q n-2＋…＋ k C n-1k-1p k-1q n-k ＋…＋n C n-1n-1p n-1q 0)－2np E ξ＋n 2p 2(p ＋q)n =np{[0×C n-10p 0q n-1＋1C n-11p 1q n-2＋2C n-12p 2q n-2＋…＋ (k-1) C n-1k-1p k-1q n-k ＋…＋(n-1)C n-1n-1p n-1q 0]＋(C n-10p 0q n-1＋ C n-11p 1q n-2＋C n-12p 2q n-2＋…＋C n-1k-1p k-1q n-k ＋…＋ C n-1n-1p n-1q 0)}2()np - =np[E η＋(p ＋q)n-1] 2() np - =np[(n －1)p ＋1] 2() np - =np(1－p) =npq .

数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布)生存分析贝叶斯概率公式全概率公式(新)

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。 也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：

离散型分布：二项分布、泊松分布 连续型分布：指数分布、正态分布、X2分布、t分布、F分布 抽样分布 抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关 二项分布（binomial distribution）：例子抛硬币 1、重复试验（n个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定———— 伯努利试验） 2、

常用分布概率计算的Excel应用

上机实习常用分布概率计算的Excel应用利用Excel中的统计函数工具，可以计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用概率分布的概率值、累积（分布）概率等。这里我们主要介绍如何用Excel来计算二项分布的概率值与累积概率，其他常用分布的概率计算等处理与此类似。 §3.1 二项分布的概率计算 一、二项分布的（累积）概率值计算 用Excel来计算二项分布的概率值P n(k)、累积概率F n(k)，需要用BINOMDIST函数，其格式为： BINOMDIST (number_s，trials, probability_s, cumulative) 其中 number_s：试验成功的次数k； trials：独立试验的总次数n； probability_s：一次试验中成功的概率p； cumulative：为一逻辑值，若取0或FALSE时，计算概率值P n(k)；若取1 或TRUE时，则计算累积概率F n(k)，。 即对二项分布B(n,p)的概率值P n(k)和累积概率F n(k)，有 P n(k)=BINOMDIST(k,n,p,0)；F n(k)= BINOMDIST(k,n,p,1) 现结合下列机床维修问题的概率计算来稀疏现象（小概率事件）发生次数说明计算二项分布概率的具体步骤。 例3.1某车间有各自独立运行的机床若干台，设每台机床发生故障的概率为0.01，每台机床的故障需要一名维修工来排除，试求在下列两种情形下机床发生故障而得不到及时维修的概率： （1）一人负责15台机床的维修； （2）3人共同负责80台机床的维修。 原解：（1）依题意，维修人员是否能及时维修机床，取决于同一时刻发生故障的机床数。 设X表示15台机床中同一时刻发生故障的台数，则X服从n=15,p=0.01的二项分布： X～B(15,0.01)， 而 P(X= k)= C15k(0.01)k(0.99)15-k，k = 0, 1, …, 15 故所求概率为 P(X≥2)=1-P(X≤1)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-(0.99)15-15×0.01×(0.99)14 =1-0.8600-0.1303=0.0097 （2）当3人共同负责80台机床的维修时，设Y表示80台机床中同一时刻发生故障的台数，则Y服从n=80、p=0.01的二项分布，即 Y～B(80,0.01) 此时因为 n=80≥30, p=0.01≤0.2 所以可以利用泊松近似公式：当n很大，p较小时（一般只要n≥30,p≤0.2时），对任一确定的k,有（其中 =np）

对全概率公式和贝叶斯公式的理解

对全概率公式和贝叶斯公式的理解 我该怎么来理解这2个公式呢？打个比方，假设学校的奖学金都采取申请制度，只有满足一定的条件你才能拿到这比奖学金。那么有哪些原因能够使你有可能拿到奖学金呢？1、三好学生，拿到奖学金的概率是p(A1)=0.3。 2、四好学生，拿到奖学金的概率是p(A2)=0.4。3、五好学生，拿到奖学金的概率是p(A3)=0.5。4、六好学生，拿到奖学金的概率是p(A4)=0.6。这些学生只能是三好四好五好六好学生种的一种，不能跨种类。这个学校学生是三好学生的概率是p(B1)=0.4，四好学生的概率是p(B2)=0.3，五好学生的概率是p(B3)=0.2，六好学生的概率是p(B4)=0.1。现在问题出来了，一个学生能够拿到奖学金的概率是多少？ 慢慢来分析，导致一个学生拿到奖学金的方式有哪些？这个学生是三好学生，刚好他又凭借三好学生的身份申请到了奖学金 p1=p(A1)*p(B1|A1)=0.4*0.3=0.12；这个学生是四好学生，刚好凭借他四好学生的身份拿到了奖学金，p2=p(A2)*p(B2|A2)=0.3*0.4=0.12；这个学生是五好学生，刚好凭借他五好学生的身份拿到奖学金，p3=p(A3)*p(B3|A3)=0.2*0.5=0.10；这个学生是六好学生，刚好凭借他六好学生的身份拿到了奖学金， p4=p(A4)*p(B4|A4)=0.1*0.6=0.06。四种方式都能导致一个学生拿到奖学金，那么拿到奖学金的概率为p=p1+p2+p3+p4=0.4.所以这么理解全概率公式：导致一个事件发生的原因有很多种（各种原因互斥），那么这个事件发生的概率就是每种原因引起该事件发生的概率的总和。 一个学生已经拿到了奖学金，这个学生是三好学生的概率是多少？ p=p1/(p1+p2+p3+p4)=0.3。怎么理解呢？一个事件已经发生了，有很多原因都能导致这个事件发生。那么其中的一种原因导致该事件发生的概率是多少？这就是贝叶斯概率公式解决的问题。就正如一本书现在已经被别人借走了（事件已经发生），已知只有可能是张三，李四，王五这3个人借走（事件发生的所有原因）。那么这本书被张三借走的概率会是多大呢？ 现在是不是已经理解了这2个公式呢。

用Excel计算二项分布概率值的操作步骤

用Excel计算二项分布概率值的操作步骤 1、进入Excel界面，单击某一单元格。 2、选择【插入】——【函数】选项 从【选择类别】窗口中选择“统计” 从【选择函数】窗口中选择“BINOMDIST”，单击【确定】 3、当【BINOMDIST】对话框出现时： 在【Number-s】中输入2（成功的次数X） 在【trials】中输入3（实验的总次数n） 在【Probability-s】中输入0.05（每次实验成功的概率p） 在【Cumulative】中输入0（或False），表示计算成功次数恰好等于制定数值的概率（输入1或True表示计算成功次数小于或等于制定数值的累计概率值）。 选择【完成】即可得到结果。 计算超几何分布概率的步骤与上述过程类似，只不过在第2步【选择函数】窗口中选择“HYPGEOMDIST”函数，在第3步中输入相应的值即可。如下 在【sample-s】中输入成功的次数 在【Number-sample】输入样本量 在【population-s】中输入总体中成功的次数 在【Number-pop】中输入总体中的个体总数 单击【确定】即可。 用Excel计算泊松分布概率值的操作步骤 1、进入Excel界面，单击某一单元格 2、选择【插入】——【函数】选项 从【选择类别】窗口中选择“统计” 从【选择函数】窗口中选择“POISSON”，单击【确定】 3、当【POISSON】对话框出现时 在【x】中输入事件出现的次数 在【Mean】中输入泊松分布的均值 在【Cumulative】中输入0或（False），表示计算事件出现次数恰好等于指定数值的概率（输入1或True表示计算成功次数小于或等于制定数值的累计概率值）。 只需在【X】选项中，分别填入1，2，3即可计算出相应概率。

全概率公式和贝叶斯公式

单位代码： 005 分类号： o1 西安创新学院本科毕业论文设计 题目：全概率公式和贝叶斯公式 专业名称：数学与应用数学 学生姓名：行一舟 学生学号： 0703044138 指导教师：程值军 毕业时间：二0一一年六月

全概率公式和贝叶斯公式 摘要:对全概率公式和贝叶斯公式,探讨了寻找完备事件组的两个常用方法,和一些实际的应用.全概率公式是概率论中的一个重要的公式,它提供了计算复杂事件概率的一条有效的途径,使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简.而贝叶斯公式则是在乘法公式和全概率公式的基础上得到的一个著名的公式. 关键词:全概率公式;贝叶斯公式;完备事件组

The Full Probability Formula and Bayes Formula Abstract：To the full probability formula and bayes formula for complete, discusses the two commonly used methods of events, and some practical applications. Full probability formula is one of the important full probability formula of calculation, it provides an effective complex events of the way the full probability of a complex events, full probability calculation problem change numerous will Jane. And the bayes formula is in full probability formula multiplication formula and the basis of a famous formula obtained. Key words：Full probability formula; Bayes formula; Complete event group;

全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式与贝叶斯公式 1. 完备事件组(或样本空间Ω的划分)n 个事件满足： 12B ,B ,,B n B B ,,1,2,,i j i j n =Φ= (1) 两两互不相容. (2) 和事件为必然事件. 1 B n k k ==Ω ∑ΩB 2 B 1B n …

2. 全概率公式 则对任一事件A ，有1 ()P(B )(/B ) n k k k P A P A ==∑设为完备事件组，且12B ,B ,,B n P(B )0,1,2,,k k n >= ①取合适的完备事件组，从导致该事件 发生的各种条件、原因着手;②各B k 的概率及有关条件概率易于计算. 类比集合分类计数思想，可得到一种计算复杂事件概率的方法.运用公式的关键 全概率公式与贝叶斯公式

证明： 由完备事件组的性质可知 1 B B ,,1,2,,B i j n k k i j n ==Φ==Ω ∑ 1 1B B ,(B )(B )n n k k i j k k A A A A A A ===Ω===Φ∑∑1 1 ()(B )(B ) n n k k k k P A P A P A ====∑∑1 (B )(/B )n k k k P P A ==∑（由乘法公式）

()i P B A = 1 ()()()(),1,2,,i i n k k k P B P A B P B P A i n B ==∑ 3. 贝叶斯公式 设为完备事件组，则 12B ,B ,,B n 利用条件概率公式与全概率公式可得到贝叶斯公式.P(A)>0,P(B )0,1,2,,k k n >= 其中：全概率公式与贝叶斯公式 ()()i P AB P A 已知结果A ，分析导致出现此结果的第i 个原因B i 发生的概率.

正态分布概率公式(部分)

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。

2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900

贝叶斯公式与全概率公式的运用

1-3 全概率公式与贝叶斯公式的运用举例一、全概率公式 A1,A2…A i是一个完备事件组并且P A i>0i=1,2,3…n,则对任意事件B有 P(B)=P A i P(B|A i) n i=1 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： ①找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为A i ②命名目标的概率事件为事件B ③带入全概率公式求解 下面是具体实例对全概率公式的运用 1、甲盒子里面有4个红球3个白球，乙口袋有2个红球，5个白球，从甲口袋随机拿出一个球放到乙口袋，然后从一口袋中随机拿一个球，求这个球是红球的概率。 解：①完备事件组命名A1=“甲口袋里拿出的是红球” A2="甲口袋里拿出的是白球” ②目标事件B=“从乙里面取出红球” ③全概率公式求解 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=4 7×3 8 +3 7 ×2 8 =9 28 2、甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解：①完备事件组命名A1=“取到的袋子是甲袋” A2="取到的袋子是乙袋” ②目标事件B=“从袋子里面取出白球” ③全概率公式求解 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=1 2×5 12 +1 2 ×4 6 =13 24 3、某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、 三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. 解：①完备事件组命名A i=“选到的射手是i级射手” ②目标事件B=“射手通过选拔赛” ③全概率公式求解 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4) =1 4×9 10 +1 4 ×7 10 +1 4 ×1 2 +1 4 ×1 5 =23 40

概率公式大全

概率公式整理 1．随机事件及其概率 吸收律：A AB A A A A =?=??Ω =Ω?)(A B A A A A A =??? =??=Ω?)( 反演律：B A B A =?B A AB ?= 2．概率的定义及其计算 若B A ?)()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A ,B ,有)()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A ,B ,有 )()1()() ()()(2 1 1 111 1 n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++ - =∑∑∑3．条件概率()= A B P ) () (A P AB P 乘法公式 ()() )0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 Bayes 公式 4．随机变量及其分布 分布函数计算 5．离散型随机变量 (1)0–1分布 (2)二项分布),(p n B 若P (A )=p *Possion 定理 有 ,2,1,0!)1(lim ==---∞ →k k e p p C k k n n k n k n n λ λ (3)Poisson 分布)(λP 6．连续型随机变量 (1)均匀分布),(b a U (2)指数分布)(λE (3)正态分布N (?,?2) *N (0,1)—标准正态分布 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量(X,Y )的分布函数 边缘分布函数与边缘密度函数 8.连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U (G ) (2)二维正态分布 +∞<<-∞+∞<<∞-?-= ?????? ? ???????-+------y x e y x f y y x x ,121),(2 222212121212) ())((2)()1(212 21σμσσμμρσμρρ σπσ9.二维随机变量的条件分布 10.随机变量的数字特征 数学期望 随机变量函数的数学期望 X 的k 阶原点矩)(k X E X 的k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的方差)()))(((2X D X E X E =- X,Y 的k+l 阶混合原点矩)(l k Y X E X,Y 的k+l 阶混合中心矩 X,Y 的二阶混合原点矩)(XY E

全概率公式和贝叶斯公式

3.全概率公式和贝叶斯公式 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第一章第§5的条件概率中的全概率公式和贝叶斯公式 【教材分析】：前面讲到的条件概率是概率论的基本概念，下一节的独立性和条件概率关系紧密，而乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是与条件概率有密切关系的公式，因此掌握此概念及计算公式为后续学习打下基础。 【学情分析】： 1、知识经验分析 前一节已经学习了条件概率和乘法公式，学生已经掌握了事件的概率的基本计算方法。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能 掌握全概率公式和贝叶斯公式以及计算。 2、过程与方法 由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，应用实际问题逐步推导出全概率公式和贝叶斯公式。 3、情感态度与价值观 通过学习，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，树立学生善于创新的思维品质和严谨的科学态度。 【教学重点、难点】： 重点：掌握全概率公式和贝叶斯公式并会适当的应用。 难点：全概率公式和贝叶斯公式各自的适用条件及不同的情形。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入 引例：三个罐子分别编号为 1， 2，3，1号装有 2 红 1 黑球， 2号装有 3 红 1 黑球，

3号装有 2 红 2 黑球。 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。 解：记 i B ={ 球取自i 号罐 } i =1， 2， 3； A ={ 取得红球 }，显然 A 的发生总是伴随着 123B B B ，，之一同时发生，即123+A AB AB AB =+，且123,,AB AB AB 两两互斥。 123()()+()()P A P AB P AB P AB =+3 1 ()(|)i i i P B P A B ==∑P (A |B 1)=2/3， ()23 4 P A B = ()312 P A B = 代入数据计算得：()0.639P A = 【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。 二、全概率公式 1、全概率公式： 定义 3 若 n 个事件 12......n B B B ， 满足 1 n i i B S ==U ， i j B B =Φ(),,1,2,i j i j n ≠=L ，则称 12......n B B B ， 为 S 的一个划分， 或称其是一 个完备事件组。 定理 设 12......n B B B ，是 S 的一个划分，且 ()0,1,2,....i P B i n >= 则对任一事件 A S ?，有1 ()()(|)n i i i P A P B P A B ==∑ 例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解： 设事件A 为“任取一件为次品”， 摂,1,2, 3.i B i i =事件为任取一件为厂的产品123, B B B S =U U ,,1,2,3.i j B B i j =?=由全概率公式得