文档视界 最新最全的文档下载
当前位置:文档视界 › 第2章-随机过程习题及答案

第2章-随机过程习题及答案

第2章-随机过程习题及答案
第2章-随机过程习题及答案

第二章 随机过程分析

1.1 学习指导 1.1.1 要点

随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程,它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解:对应不同随机试验结果的时间过程的集合,随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数

如果ξ(t )是一个随机过程,则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ],随机过程ξ(t )的一维分布函数为

F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1)

如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在,则ξ(t )的一维概率密度函数为

1111111

(,)

(, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x

对于任意时刻t 1和t 2,把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率

{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤

称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果

2212122121212

(,;,)

(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=???

存在,则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。

对于任意时刻t 1,t 2,…,t n ,把

{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)

=≤≤≤L L L F x x x t t t P t x t x t x ξξξ,,,;,,,称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果

n n 12n 12n n 12n 12n 12n

(x )() (2 - 6)?=???L L L L L F x x t t t f x x x t t t x x x ,,,;,,,,,,;,,,

存在,则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。

随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量,其均值为

[]1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞

-∞

=?

其中,f 1(x , t )为ξ (t )的概率密度函数。随机过程ξ (t )的均值是时间的确定函数,记作a (t ),它表示随机过程ξ (t )的n 个样本函数曲线的摆动中心。

随机过程ξ (t )的方差的定义如下:

{}2[()][()()] (2 - 8)D t E t a t ξξ=-

随机过程ξ (t )的方差常记作σ2(t )。随机过程ξ (t )的方差的另一个常用的公式为

()()()()()()()2222

2

22212[()]2()

[()]()=(,)d () (2 - 9)

D ξt

E ξt a t ξt a t E ξt a t E ξt a t E ξt a t f x t x a t x

-∞

??=-+??????

=-+????=--?

也就是说,方差等于均方值与均值平方之差,它表示随机过程在时刻t ,对于均值a (t )的偏

离程度。

随机过程ξ (t )的相关函数的定义如下:

1212122

121212(,)[()()]

(,;,)d d (2 - 10)

R t t E t t x x f x x t t x x ξξ∞

-∞-∞==?

?

式中, ξ (t 1)和ξ (t 2)分别是在t 1和t 2时刻观测得到的随机变量。R (t 1, t 2)是两个变量t 1和t 2的确定函数。随机过程ξ (t )的相关函数表示在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

随机过程ξ (t )的协方差函数的定义如下:

{}12112211222121212(,)[()()][()()] [()][()](,;,)d d (2 - 11)

B t t E t a t t a t x a t x a t f x x t t x x ξξ∞∞

-∞-∞

=--=--?

?

式中,a (t 1)、a (t 2)分别是在t 1和t 2时刻得到的ξ (t )的均值;f 2 (x 1, x 2; t 1, t 2)是ξ (t )的二维概率密度函数。

B (t 1, t 2) 与R (t 1, t 2)之间有如下关系式:

121212(,)(,)()() (2 - 12)B t t R t t a t a t =-

若a (t 1) = a (t 2)=0,则B(t 1, t 2) = R(t 1, t 2)。

随机过程ξ (t )和η(t )的互相关函数的定义如下:

ξη1212(,)[()()] (2 - 13)R t t E t t ξη=

4. 平稳过程及其性质 平稳过程包括严平稳过程(强平稳过程或狭义平稳过程)和广义平稳过程。如果随机过程ξ(t )的任意有限维分布函数与时间起点无关,也就是说,对于任意的正整数n 和所有实数?,有

n 12n 12n n 12n 12n (,,,,,,)

(,,,,,,) (2 - 14)

f x x x t t t f x x x t t t ???=+++L L L L ;;

则称该随机过程是严格意义下的平稳随机过程,简称严平稳随机过程。 严平稳随机过程的一维分布函数和均值都与时间无关,二维分布函数和自相关函数都只与时间间隔有关。

把对严平稳随机过程的要求降低到仅仅均值与时间无关和自相关函数只与时间间隔有

关的随机过程定义为广义平稳随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳的,反之不一定成立。 平稳随机过程具有各态历经性(遍历性)。因此,在求解各种统计平均时,无需无限多次的样本,只要获得一次考察,用一次实现的“时间平均”值代替平稳随机过程的“统计平均”值即可,从而使测量和计算大为简化。 平稳过程ξ(t )的功率谱密度与其自相关函数是一付立叶变换对。据此,可以得到两条结论:平稳过程ξ(t )的功率等于其自相关函数在零点的取值R (0);各态历经过程任一样本函数的功率谱密度等于平稳过程的功率谱密度。 5. 高斯过程

高斯过程又被称为正态随机过程。如果随机过程ξ(t )的任意n 维(n =1, 2, ...)分布均服从正态分布,则称它为正态过程或高斯过程,其n 维正态概率密度函数表示式为

(

)

n 12n 12n /2

j j k k

jk 11j k i

1

(,,...,; ,,...,)

2π1 exp || (2 - 15)2||n n n n j k i f x x x t t t x a x a B B σσσ-===??

??-??--=?? ? ? ?????????

∑∑ 其中,数学期望a k = E [ξ(t k )];方差σ2k = E [ξ(t k ) - a k ]2;归一化协方差矩阵行列式

[]

{}

121n

j j k k 21

2n

jk j k

n1n21

()()1||,

1

b b E t a t a b b B b b b ξξσσ??--??=

=

K K M M M M

K

如果高斯过程在不同时刻不相关,则它们也是统计独立的。高斯过程经过线性系统后,其系统输出也是高斯过程。

6. 窄带随机过程

如果随机过程ξ(t )的谱密度集中在中心频率f c 附近相对窄的频带范围?f 内,即满足?f << f c 的条件,且 f c 远离零频率,则称其为窄带随机过程。

随机过程ξ(t )可以表示为

ξc ξξ()()cos[()],()0 (2 - 16)t a t t t a t ξω?=+≥

其中,a ξ(t )为随机包络;?ξ(t )为随机相位;ωc 为中心角频率。显然,a ξ(t )和?ξ(t )的变化相对于载波产生的相移(ωc t )的变化要缓慢得多。

将窄带随机过程表示式展开为

c c s c ()()cos()()sin() (2 - 17)t t t t t ξξωξω=-

其中,ξc (t ) = a ξ(t )cos[φξ(t )];ξs (t ) = a ξ(t )sin[φξ(t )]。ξc (t )和ξs (t )分别被称为同相分量和正交分量。

窄带随机过程ξ(t )的统计特性可以由a ξ(t )和?ξ(t )或ξc (t )和ξs (t )的统计特性确定。若ξ(t )的统计特性已知,则a ξ (t )和?ξ (t )或ξc (t )和ξs (t )的统计特性也随之确定。

由于ξ(t )平稳且均值为零,故对于任意的时间t ,都有E [ξ(t )] = 0 ,所以

c s [()]0[()]0 (2 - 18)E t E t ξξ==,

若窄带过程ξ(t )是平稳的,则ξc (t )和ξs (t )也是平稳的。 平稳窄带随机过程ξ(t )的自相关函数可以表示为

ξc c cs c c c sc c ()()cos()()sin()()cos()()sin() (2-19)

R R R R R ττωττωττωττωτ=-=+

一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t ),它的同相分量ξc (t )和正交分量ξs (t )同样是平稳高斯过程,而且均值为零,方差也相同。此外,在同一时刻上得到的ξc (t )与ξs (t )是统计独立的。

a ξ服从瑞利(Rayleigh)分布,?ξ服从均匀分布。 7. 高斯白噪声和带限白噪声

电子系统中常见的热噪声近似为白噪声,白噪声的幅值服从高斯分布。因此,在通信系统中,常用高斯白噪声作为信道中的噪声模型。白噪声通过一个有限带宽的信道或滤波器后,输出噪声的带宽就是有限的,如果其频谱在信道或滤波器的通带内仍具有白色特性,则称其为带限白噪声。

白噪声n (t )的功率谱密度在所有频率上均为常数,即

n () (,) (2 - 20)2

n P f f =

∈-∞+∞ 或者

n 0() (0,) (2 - 21)P f n f =∈+∞

其中,n 0为正常数。式(2 – 20)是白噪声n (t )的双边功率谱密度,式(2 – 21)是其单边功率谱密度。

白噪声n (t )的自相关函数为

()() (2 - 22)2

n R τδτ=

上式表明,白噪声仅在τ = 0时才相关,而在任何两个不同时刻的随机变量都是不相关的。

如果白噪声幅值的概率分布服从高斯分布,则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间,不仅是互不相关的,而且还是统计独立的。

带限白噪声一般包括低通白噪声和带通白噪声。如果白噪声通过理想低通滤波器或理想低通信道时,则其输出的噪声被称为低通白噪声;如果白噪声通过理想带通滤波器或理想带通信道时,则其输出的噪声被称为带通白噪声。

1.1.2 难点

随机过程分析的难点主要包括平稳随机过程通过线性系统后的分布函数、概率密度函数和数字特征。

设平稳随机过程ξi (t )的均值、自相关函数和功率谱密度分别为a i 、R i (t )和P i (f ),系统单位冲激响应和传输函数分别为h (t )和H (f )。

输出随机过程ξo (t ) 的均值为

[][]o i i --i i i --()()()d ()()d ()d ()d (0) (2 - 23)

E t E h t h E t a h a h a H ξτξτττξττ

ττττ∞∞

∞∞

∞∞

??=-=-????===????

式中,H (0)是线性系统H(f)在 f = 0处的频率响应。由此可见,输出过程的均值是一个常数。

输出随机过程ξo (t)的自相关函数为

o 11o 1o 1i 1i 1i 1i 1i o (,)[()()]

()()d ()()d ()()[()()]d d ()()()d d (R t t E t t E h t h t h h E t t h h R R τξξταξααβξτββαβξαξτβαβ

αβταβαβ∞∞

-∞-∞∞

-∞-∞

-∞-∞

+=+??

=-+-????

=-+-=+-=???

?

??

) (2 - 24)

τ

上式表明,随机过程ξo (t )的自相关函数仅是时间间隔τ的函数。综合上面两点,若线性系统的输入是平稳的,则输出也是平稳的。

输出随机过程ξo (t )的功率谱密度为

j o o j ωτi 'j j j 'i 2

*i i ()()e d ()()()d d e d

()e d ()e d ()e d '

=()()()()() P f R h h R h h R H f H f P f H f P f ωττταβ

ωαωβωτττ

αβταβαβτ

ααββττ∞

--∞∞

∞∞--∞-∞-∞=+-∞

∞∞

---∞

-∞

-∞

=??=+-????

????=????=?

?? (2 - 25)

由上是式可见,输出随机过程ξo (t )的功率谱密度等于输入随机过程ξi (t )的功率谱密度乘

以系统传输函数模值的平方。

随机过程ξo (t )可以表示为

k o i i k

k k 0

()()()dz lim

()()k t h t t h ?τξτξτξτ

τ?τ∞

-∞

→==-=-∑?

当ξi (t )是高斯分布的时,ξi (t - τk )h (τk )Δτk 是一个高斯随机变量,而无限个高斯随机变量的叠加也是一个高斯分布的。因此,随机过程ξo (t )呈高斯分布。

1.2习题详解

2-1 设随机过程{ X (t ) = A cos(ωt ) + B cos(ωt ), -∞ < t < ∞ }, ω为常数,A 、B 为互相独立的随机变量,且E(A) = E(B) = 0, D(A) = D(B) =σ2。试判断X(t)是否为平稳过程。

解 [][][]()cos()sin()0E X t E A t E B t ωω=+=,

[]

[]{}

[][]

[]22

(,)()() cos()sin()[cos()sin()] cos()cos()sin()sin() +E cos()sin()sin()cos(R t t E X t X t E A t B t A t B t E A A t t E B t t AB t t t ττωωωωτωωτωωωτωωωτωωωτω+=+=++++????=+++????++[][]22) cos()cos()sin()sin() cos()

t t t t t ωωτσωωωτωωωτσωτ+=+++=

因此,X (t )的均值与时间无关,自相关函数只与时间间隔有关,它是平稳过程。 2-2 离散白噪声{ X (n ), n = 0, ± 1, ± 2, … },其中,是X (n )是两两不相关的随机变量,且E[X (n )] = 0, D[X (n )] =σ2。试求X (n )的功率谱密度。

解 X (n )的自相关函数为

[]2 0

()()()0 0

m R m E X n X n m m σ?==+=?

≠? X (n )的功率谱密度为

j 2()() [-π, π]m m S R m e

ω

ωσω∞

=-∞

=

=∈∑

2-3 已知零均值平稳随机过程{ X (t ), -∞ < t < ∞ }的功率谱密度为

2424

()109

S ωωωω+=++

试求其自相关函数、方差和平均功率。 解 由于1

222F

e ατ

αωα--??=??+??

,因此,自相关函数为 []()()21

1

2

2

112234

()()913151 818935 1648

R F S F F F e e

ττ

ωτωωωωω------??+??==++????

????=+????++????

=+ 方差为

D [X (t )] = R (0) –

E 2[X (t )] = R (0)=7/24。

平均功率为

7

(0)24

R ψ==

2-4 电路图如图题2-4所示。如果输入平稳过程{ X(t), -∞ < t < ∞ }的均值m X 为零,自相关函数为21

()e

, 0, X R RC

βτ

τσββ-=>≠

。试求输出过程{ Y (t ), -∞ < t < ∞ }的均值m Y ,自相关函数R Y (τ)、功率谱密度S Y (ω)。

+-+

-X (t )Y (t )R

C

图 题2-4

解 由电路分析的知识可得

d ()1

()(),d d ()

()()d Y t RC

Y t X t t RC

Y t Y t X t t

ααα+==+=

两边取付立叶变换,得到

j ()()()Y Y X ωωαψαω+=

此系统的传输函数为

()j H α

ωωα

=

+

此系统的脉冲响应函数为

[]1

e 0

()()0 0t t h t F H t ααω--?>==?

输出过程的均值为

()d 0Y X m m h t t +∞

==?

输出过程的功率谱密度为

()()

22

2

2

222

2()()()Y X S H S αβσωωωωαωβ?==++ 输出过程的自相关函数为

[]2

1

112

2

222222222()() e e Y Y R F S F F βτατ

ασβατωαβαβωβωαασαβαβ

-----??????==-?? ? ?-++????????=-??-

2-5 高斯随机变量X 的均值为0,方差为1,试求随机变量Y = 6X + 5的概率密度f (y )。

解 高斯随机变量通过线性变换后仍然是高斯随机变量,Y 也是高斯随机变量。 随机变量Y 的均值为

[][65]6[]55E Y E X E X =+=+=

随机变量Y 的方差为

{}2222

2

[][][][366025]25 36[]36[][]36(10)36

D Y

E Y E Y E X X E X D X E X =-=++-==+=+=

随机变量Y 的概率密度为

22(5)(5)()23672y y f y ????--=-=-?????????

2-6 随机过程X (t ) = 5sin(πt + θ),其中,θ是随机变量,概率P (θ = 0) = 0.2,P (θ = 0.5π)

= 0.8,试求随机变量X (2)的均值,随机过程X (t )的自相关函数R X (0, 1)。

解 随机变量X (2)的均值为

()()()[(2)]5sin 2π50.2sin 2π00.8sin 2π0.5π4X E X E θ=+=+++=????????

随机过程X (t )的自相关函数R X (0, 1)为

[]()2

2

2

(0,1)(0)(1)5sin 5sin π 25sin 250.2sin 00.8sin (0.5π)20

X R E X X E E θθθ=?=?+????????==+=????

2-7随机过程X (t ) = X 1 sin(ωt ) – X 2 cos(ωt ),其中,X 1和X 2都是均值为0,方差为σ2的彼此独立的高斯随机变量,试求:随机过程X (t )的均值、方差、一维概率密度函数和自相关函数。

解 随机过程X (t )的均值为

1212[()][sin(ω)cos(ω)]sin(ω)[]cos(ω)[]0E X t E X t X t t E X t E X =-=-=

随机过程X (t )的方差为

222222

12122

2

22

1

21222221[()][()][()]

sin (ω)cos (ω)2sin(ω)cos(ω) sin (ω)[]cos (ω)[]sin(2ω)[] sin (ω)cos (ω)sin(2ω)[][D X t E X t E X t E X t X t X X t t t E X t E X t E X X t t t E X E X σσ=-??=+-??

=+-=+-??2

2]σ=

随机过程X (t )的自相关函数为

[][]{}

[]12121121122222

112212*********(,)[()()]

sin(ω)cos(ω)sin(ω)cos(ω) sin(ω)sin(ω)cos(ω)cos(ω)sin(ωω) sin(ω)sin(ω)cos(ω)cos(ω)R t t E X t X t E X t X t X t X t E X t t X t t X X t t t t t t σ==--??=--+??=+[][]()[]

12122212sin(ωω) cos ωωcos ωE X E X t t t t σστ-??+=-=

其中,τ = t 2 – t 1。

随机过程X (t )的一维概率密度函数为

22()2x f x σ??=- ???

2-8 平稳随机过程X (t )和Y (t )的均值分别为a X 和a Y ,自相关函数分别为R X (τ)和R Y (τ),

且它们彼此独立。随机过程Z 1(t ) = X (t ) + Y (t )和Z 2(t ) = X (t ) Y (t )的。

解 随机过程Z 1(t )的自相关函数为

[][]{}[][][][][]11211121122121212121212(,)[()()]()()()() ()()()()()()()() ()()()()()() ()()2Z X Y X Y X Y

R t t E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t X t Y t Y t X t Y t Y t R R E X t E Y t E Y t E X t R R a a ττττ==++=+++=++?+?=++

随机过程Z 2(t )的自相关函数为

[][]{}[][]212212*********(,)[()()]()()()() ()()()()()()

Z X Y R t t E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t E Y t Y t R R ττ===?=?

2-9 已知随机过程X (t ) = a (t ) cos(ω0t + θ),其中,随机变量θ在(0,2π)上服从均匀分布,是a (t )广义平稳过程,且其自相关函数为

1 -10()1 0<10 Others a R τττττ+<

=-≤???

a (t )与θ统计独立。试求随机过程X (t )的自相关函数、功率谱密度和平均功率,并判断其是否为广义平稳过程。

解 随机过程X (t )的均值为

[][][][][]002π

00()()cos(ω)()cos(ω) ()cos(ω)d 0

E X t E a t t E a t E t E a t t θθθθ=+=?+=?+=?

随机过程X (t )的自相关函数为

[][][][]

()[]

()[]1212101202120102020101020201(,)()()()cos(ω)()cos(ω) ()()cos(ω)cos(ω)1

cos(ω- ω)cos(ω+ω2)21

cos(ω- ω)cos 2

X R t t E X t X t E a t t a t t E a t a t E t t R E t t t t R E t t E θθθθτθτ=?=++=?++=?++=+[]{}

()()01022π0010200(ω+ω2)11 cos(ω)+cos(ω+ω2)d cos(ω)

2

2a t t R t t R θττθθττ+??=+=????? 其中,τ = t 2 – t 1。

由此可见,随机过程X (t )的自相关函数只与时间间隔有关,均值函数与时间无关,是广义平稳过程。

随机过程X (t )的功率谱密度为

[][][][]111200*********

()(,)π(- ) +()()22π

1 (- ) +()Sa 421 Sa Sa 422X X a P F R t t F R ωδωωδωωτωδωωδωωωωωω--==

??+*??

=+* ????-+?????=+ ? ?????????

随机过程X (t )的平均功率为

11

(0)=(0)cos(0)22

X a S R R =?=

2-10随机过程X (t )的均值为0,自相关函数为R X (τ),它通过一个如图题2-10所示的系

统后的输出为随机过程Y (t )。试求随机过程Y (t )的自相关函数和功率谱密度。

X (t )

Y (t )

图 题2-10

解 由题意可得

()()()Y t X t X t T =+-

因此,系统的传输函数为

()1exp(j )H T ωω=+-

随机过程Y (t )的功率谱密度为

[][]22

2

j j ()()()1exp(j )() 1cos()jsin()() 21cos()()e

d 21cos()()

e d Y X X X X X P H P T P T T F R T R T R ωτωτωωωωωωωτωττ

ωττ

--∞∞--∞==+-=+-?=+?=+??

随机过程Y (t )的自相关函数为

[][]11j -j 1

1j 1-j ()()2()()cos()e e 2()2()2 2()()e ()e 2()()()

Y Y X X T T X X T T

X X X X X X R F P F P P T R F P R F P F P R R t T R t T ωωωωτωωωωτωτωωτ-----==+??

+=+?????

????=+?+?????

=+-++

2-11 理想带通滤波器的中心频率为f c ,带宽为B ,幅度为1,如图题2-11所示。输入

此滤波器的高斯白噪声的均值为0,单边功率谱密度为n

0。试求滤波器输出噪声的自相关函数、平均功率和一维概率密度函数。

f

|H (f )|1c 图 题2-11

解 输出噪声的双边功率谱密度为

20()()2

2220

Others

c c o n B B

f f f n P f H f ?-

≤≤+?

==???

输出噪声的自相关函数为

j20()()e d Sa(π)cos(2π)f o o c R P f f n B B f πττττ+∞

-∞

==?

输出噪声的平均功率为

0(0)o o S R n B ==

输出噪声仍然是高斯过程,其均值和方差分别为

[][]()(0)()0o i E X t H E X t ==

[]2()(0)()o o o o D X t R R n B σ==-∞=

输出噪声的一维概率密度函数为

2220()22x x f x n B σ????== ? ?????

2-12 功率谱密度为P X ( f )的平稳过程X (t )通过图题2-12所示的系统。试求输出随机过

程Y (t )的功率谱密度,并判断其是否平稳。

图 题2-12

X (t )

Y (t )

解 这是一个线性系统,所以,随机过程Y (t )也是一个平稳过程。 系统传输函数为

()()j j ()1e j j 1e T T H ωωωωω--=+?=+

随机过程Y (t )的功率谱密度为

()2

2

()()()21cos ()Y X X P f P f H f T P ωωω==+????

2-13 平稳随机过程X 1(t )和X 2(t )的均值都为0,且互不相关,他们分别通过一个线性时

不变系统后的输出分别为Y 1(t )和Y 2(t )。试判断Y 1(t )与Y 2(t )是否互不相关。

解 由于

[][]11()()(0)0E Y t E X t H =?= [][]22()()(0)0E Y t E X t H =?=

[][][]11221122()()()()0E X t X t E X t E X t ?=?=

因此,

[][]112211220011220

()()()()d ()()d ()()()()d d 0

E Y t Y t E h X t h X t h h E X t X t αααβββαβαβαβ+∞+∞

+∞

+∞

??

?=-?-????

=-?-=???

?

所以,Y1(t)与Y2(t)是互不相关的。

最新随机过程考试试题及答案详解1

随机过程考试试题及答案详解 1、(15分)设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ, 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知, )(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ,一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(;

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

(1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解:由定义,有: )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D (2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明:我们要证明: n t t t <<<≤? 210,有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有: } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程, 且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么? 解:任取n t t t <<<≤? 210,则有: n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

随机过程试题带答案

1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9.更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为 。 10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 1.为it (e -1) e λ。2. 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。3. 1 λ 4. Γ 5. 212t,t,;e,e 33?????? 。 6.(n)n P P =。 7.(n) j i ij i I p (n)p p ∈=?∑。 8.6 18e - 9。()()()()0 t K t H t K t s dM s =+-? 10. a μ 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

期末随机过程试题及标准答案

《随机过程期末考试卷》 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9.更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为 。 10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) 1.设A,B,C 为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号! 一. 单项选择题和填空题:(每空3分,共30分) 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A (A )若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; (B )若A A B ∈?A,,则B ∈A ; (C )若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; (D )若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是 .c (A )若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-; (B )若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ,则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==; (C )若A B C ∈∈∈F,F,F,,则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++; (D )若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/,1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数,表达式为100 0()k A k f kI ω==∑,其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=,则fdP Ω=? ;

随机过程习题答案

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为mx 和my ,它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案: (1)[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== :独立的性质和利用 (2)[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。 答案: (1) 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为: ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数: ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压:y(t) 电压:x(t) 电流:i(t)

随机过程试题及答案

一.填空题(每空2分,共20分) 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-

【免费下载】第一学期数理统计与随机过程研试题答案

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平)?050.=α解:这是单个正态总体),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ,计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值.052.2)27(025.0=t 由于,故拒绝0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? (取显著性水平) 050.=α解:由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下: 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术,不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系,根据生产工艺高中资料试卷要求,对电力保护装置调试技术,电力保护高中资料试卷配置技术是指机

最新随机过程习题及答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为: 试求:在时,求。 解: 当时,= = 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布: 试求的特征函数,并以此求其期望与方差。解:

所以: 2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ,其中 是常数,与是 相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解:(1) 与无关

(2) , 所以 (3) 只与时间间隔有关,所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E .321)方差函数)协方差函数;()均值函数;(( 2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且 数。试求它们的互协方差函 2.5, 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少?

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲) 解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当1N =2N ,1λ=2λ时,计算上述概率。 解: 法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程,令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻,2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----

随机过程补充例题

随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元,他们不知道那一种球多。他们约定:每一次从袋中摸1个球,如果摸到白球甲给乙1元,如果摸到黑球乙给甲1元,直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题,也叫赌徒输光问题。 由题知,甲赢1元的概率为b p a b =+,输1元的概率为 a q a b =+,设n f 为甲输光的概率,t X 表示赌t 次后甲的赌金, inf{:0 }t t t X or X m n τ===+,即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ(Φ为空集),则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”,则()b p A a b = +,()a p A a b = +,且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元),甲最终输光的概率为1n f +,第一局甲输的条件下(因甲有1n -元),甲最终输光的概率为1n f -,由全概率公式,得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =,0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+

(1)当q p ≠时,上述方程有解121,q p λλ==,所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - (2)当q p =时,上述方程有解121λλ==,所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合(1)(2)可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金,则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知,如果赌徒只有有限的赌金,而其对手有无限的赌金,当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ,即p q ≤时,

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意:试卷共七道大题,请写明详细解题过程。 考试方式:半开卷,考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版(或第二版)高等教育出版社。可以看笔记、作业,但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期:2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平050.=α)? 解:这是单个正态总体 ),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ, 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>,故拒绝 0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分.

050.= 解:由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p

随机过程试题及解答

2016随机过程(A )解答 1、(15分)设随机过程V t U t X +?=)(,),0(∞∈t ,U ,V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数; 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数; 解: 由于U ,V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量,所以V t U t X +?=)(也服从正态分布, 且: {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故: (1) )(t X 的一维概率密度函数为:()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为:()22m t t =+;相关函数为: {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为:(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ (3)相关系数: (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为: 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、(12分)某商店8时开始营业,在8时顾客平均到达率为每小时4人,在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人,从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少?在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少? 解: 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时,则顾客的到达速率函数为: 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布,其均值: 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=???

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明:当12n 0t t t t <<< <<时, 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

2017 2018期末随机过程试题及答案

《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布,则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-::vt<::其中「为正常数,A和门是相互独立的随机变量,且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布,则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程:X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列,则W n服从分布。5?袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回, r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球,则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j),n步转移矩阵P(n)=8(;)),二者之间的关系为。 7?设汉.,n -0?为马氏链,状态空间I,初始概率P i二P(X。二i),绝对概率 P j(n)二P^X n二j?,n步转移概率p j n),三者之间的关系为_____________ 。 8 .设{X(t),t 一0}是泊松过程,且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一:时,M t+a -M t > ____________ 3.设]X n,n — 0?为马尔科夫链,状态空间为I,则对任意整数n—0,仁I

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意0 12 ≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4 1 2141, ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ,则167)2(12 =P ,16 1}2,2,1{210= ===X X X P

???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ,则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2

通信原理期末考试试题及答案-(1).doc

通信原理期末考试试题及答案 一、填空题(总分24 ,共 12 小题,每空 1 分) 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量,可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号,数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关,自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程,其包络的一维分布服从瑞利分布, 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时,加性噪声是否存在?是乘性噪声是否存在?否。 6 、信道容量是指:信道传输信息的速率的最大值,香农公式可表示为: C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f(t)载波为cos c t,则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t,频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m (t )分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制,相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ,则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息, DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息,它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中,产生误码的因素有两个:一是由传输特性不良引起的码间串 扰,二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时, A 律对数压缩特性采用13折线 近似,律对数压缩特性采用15折线近似。

二、简答题(总分18 ,共 4 小题) 1 、随参信道传输媒质的特点?( 3 分) 答:对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散,幅值连续的脉冲信号;量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号;编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系?( 6 分) 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻;对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定;图的阴影区的垂直高度,表示信号幅度畸变范围;图中央横轴位置对应判决门 限电平;抽样时刻上,上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。( 3 分) 一个频带限制在( 0,f H)内的时间连续信号m(t) ,如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样,则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ,试编为 AMI 码和 HDB 3 码(第一个非零码编 为 +1 ),并画出相应波形。(6 分) 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3

2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题(解答)

北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案(仅供参考) 一、(10分)已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量(克)服从正态分布 ),(254σN ,在某日生产的零件中抽取10 件,测得重量如下: 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问:该日生产的零件的平均重量是否正常(取显著性水平050.=α)? 解:按题意,要检验的假设是 54:0=μH ,因2σ未知,故用-t 检验法,由05.0=α,查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ,由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222.

1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ,认为X 服从 等概率分布. 三、(15分)下表给出了在悬挂不同重量(单位:克)时弹簧的长度(单位:厘米) 求y 关于x 的一元线性回归方程,并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得: (1) 回归方程:X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得

随机过程习题答案

随机过程习题解答(一) 第一讲作业: 1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。 (a)分别写出随机变量和的分布密度 (b)试问:与是否独立?说明理由。 解:(a) (b)由于: 因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为: 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。 (a)试求和的相关系数; (b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 解:(a)利用的独立性,由计算有: (b)当的时候,和线性相关,即 3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 ,且是一个周期为T的函数,即,试求方差 函数。 解:由定义,有: 4、考察两个谐波随机信号和,其中:

式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。 (a)求的均值、方差和相关函数; (b)若与独立,求与Y的互相关函数。 解:(a) (b) 第二讲作业: P33/2.解: 其中为整数,为脉宽 从而有一维分布密度: P33/3.解:由周期性及三角关系,有: 反函数,因此有一维分布: P35/4. 解:(1) 其中 由题意可知,的联合概率密度为:

利用变换:,及雅克比行列式: 我们有的联合分布密度为: 因此有: 且V和相互独立独立。 (2)典型样本函数是一条正弦曲线。 (3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且 所以。 (4)由于: 所以因此 当时, 当时, 由(1)中的结论,有: P36/7.证明: (1) (2) 由协方差函数的定义,有:

P37/10. 解:(1) 当i =j 时;否则 令 ,则有 第三讲作业: P111/7.解: (1 )是齐次马氏链。经过 次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。 (2)由题意,我们有一步转移矩阵: P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有: (2)由齐次马氏链的性质,有: (2)

随机过程复习题(含答案)演示教学

随机过程复习题(含答 案)

随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为 ),,(4 12141, ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ,则167)2(12=P ,16 1 }2,2,1{210= ===X X X P

???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ,则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2

相关文档