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高二数学上学期期末考试试题 理38

高二数学上学期期末考试试题 理38
高二数学上学期期末考试试题 理38

遵义四中2018届高二第一学期期末测试

数学(理科)

(满分:150分 时间:120分钟)

一、选择题

1. 双曲线822

2=-y x 的实轴长是( )

A .2

B .22

C .4

D .42

2.已知命题p :?x 0∈R ,x 2

0+1<0,则 ( )

A .?p :?x ∈R ,x 2+1>0

B .?p :?x ∈R ,x 2

+1>0

C .?p :?x ∈R ,x 2+1≥0

D .?p :?x ∈R ,x 2

+1≥0

3.某单位有职工75人,其中青年职工35人,中年职工25人,老年职工15人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本容量为15,则样本中的青年职工人数为 ( )

A .7

B .5

C .3

D .10 4. 抛物线2

4x y =的焦点坐标是( )

A.()10,

B.???

??1610, C.()01, D.??

?

??0161, 5.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中,众数和中位数分别是( ).

A .23与26

B .31与26

C .24与30

D .26与30

6.“73<

13

72

2=-+-m y m x 的曲线是椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分条件又不必要条件

7.为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系,得到列联表如下: 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 40 80 120 女 40 140 180 总计

80

220

300

并经计算: 4.5452

≈K

)(2k K P ≥

0.100 0.050 0.010 0.001 k

2.706

3.841

6.635

10.828

请判断有( )把握认为性别与喜欢数学课有关.

A .5%

B .0099.9

C .0099

D .0095 8.阅读右面的程序框图,若输入的n 是100,则输出的变量S 的值

是( )

A .5 049

B .5 050

C .5 051

D .5 052

9.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动,则动点P 到顶点A 的

距离1||

A .

41

B .21

C .4

π

D .π

10.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,4AB =,16AA =.

若E ,F 分别是棱1BB ,1CC 上的点,且1BE B E =,111

3

C F CC =,则异面直线1A E 与AF

所成角的余弦值为( )

A .

3 B .2 C .3 D .2 11. 已知,A B 分别为双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右顶点, P 是C 上一点,

且直线,AP BP 的斜率之积为2,则C 的离心率为( )

A.2

B.3

C.5

D.6 12.设A ,B 在圆2

2

1x y +=上运动,且||3AB =,点P 在直线34120x y +-=上运动,

PB PA +的最小值为( )

A .3

B .4

C .

175 D .195

二、填空题

13. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段: [40,50),[50,60),…,[90,100]后得到频率分布直方图(如下图所示),则分数在[70,80)内的人数是 .

14.从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取2个数字相加,其和为偶数的概率是________.

15. 点P 是椭圆19

162

2=+y x 上一点,21,F F 分别是椭圆的左、右焦点,若12||||21=PF PF ,则21PF F ∠的大小 .

16.已知点P 为双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>右支上的一点,点12,F F 分别为双曲线的左、

右焦点,双曲线的一条渐近线的斜率为3,若M 为12PF F ?的内心,且1212PMF PMF MF F S S S λ???=+,则λ的值为 .

三、解答题

17.(本题满分10分)

设数列{}n a 满足:11=a ,121+=+n n a a .

(1)证明:数列{1}n a +为等比数列,并求出数列{}n a 的通项公式; (2)求数列(){}1+?n a n 的前n 项和n T .

18.(本题满分12分)

已知函数()23sin cos cos 2f x x x x =-,x R ∈. (1)求函数()f x 的单调递增区间;

(2)在ABC ?中,内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,若()2f A =,4

C π

=

2c =,求ABC ?的面积ABC S ?的值.

19.(本题满分12分)

如图,在四棱锥P ABCD -中,

PA ABCD

⊥底面,底面ABCD 为直角梯形,

//,90,AD BC BAD ∠=?22PA AD AB BC ====,M 为PB 的中点,平面ADM 交PC 于

N 点.

(1)求证://MN BC ; (2)求证:PB DN ⊥;

(3)求二面角P DN A --的余弦值.

20.(本题满分12分)

一台机器使用时间较长,但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有

转速x (转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有 缺点的零件数y (件)

11

9

8

5

(1)用相关系数r 对变量y 与x 进行相关性检验; (2)如果y 与x 有线性相关关系,求线性回归方程;

(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个,那么,机器 的运转速度应控制在什么范围内?(结果保留整数) 参考数据:

4384

1

=∑=i

i i y

x ,6604

1

2=∑=i i x ,2914

1

2=∑=i i y ,25.62656.25≈.

参考公式:相关系数计算公式 :∑∑∑==-

=-

--?---=

n

i n

i i i

n

i i i

y y x x

y y x x

r 1

1

2

21

)()()

)((

回归方程a

x b y ?+=∧

∧中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ∑∑=-

=-

-∧

---=

n

i i

n

i i i

x x

y y x x

b 1

2

1

)()

)((, -

∧∧∧-=x b y a .

21.(本题满分12分)

已知平面内一动点M 到点)01(,F 距离比到直线3-=x 的距离小2. 设动点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程;

(2)若过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,过点B 作直线:1-=x 的垂线,垂足为D ,

设),(11y x A , ),(22y x B .

求证:①121=?x x ,421-=?y y ; ②A 、O 、D 三点共线 (O 为坐标原点).

22.(本题满分12分)

已知椭圆C :12222=+b

y a x )0(>>b a 的离心率为

22,左焦点为(1,0)-F ,过点(0,2)D 且斜

率为k 的直线l 交椭圆于,A B 两点.

(1)求椭圆C 的标准方程;

(2)在y 轴上,是否存在定点E ,使AE BE ?恒为定值?若存在,求出E 点的坐标和这个定值;若不存在,说明理由.

遵义四中2018届高二第一学期期末测试

数学(理科)参考答案

1—https://www.docsj.com/doc/b42798464.html,A BB B DA C DBD 13.30 14.

52 15.?60 16.2

1 17.解析:(1)证明:()()1121121n n n a a a ++=++=+

于是

()11

2*1

n n a n N a ++=∈+ ……4分

即数列{1}n a +是以2为公比的等比数列. 因为()1

1112

2n n n a a -+=+?=,所以21n n a =-

……6分 (2)123

1222322n n T n =?+?+?+

+? ①

2n T = 2311222(1)22n n n n +?+?+

+-?+? ② ……8分

①-②得

1231121212122n n n T n +-=?+?+?+

+?-? ……10分

12(12)212

n n n +-=-?-12(1)2n n +=---?

故1

(1)22

n n T n +=-?+

……12分

18.解(1

)∵()cos cos 2f x x x x =-,x R ∈, ∴()2sin(2)6

f x x π

=-, ……3分

由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤-

≤+

,k Z ∈,解得6

3

k x k π

π

ππ-

≤≤+

,k Z ∈.

∴函数()f x 的单调递增区间是[]63

k k π

π

ππ-

+,,k Z ∈.……6分 (2)∵在ABC ?中,()2f A =,4

C π

=,2c =,

∴2sin(2)26

A π

-

=,解得3

A k π

π=+

,k Z ∈.

又0A π<<,∴3

A π

=. ……8分

依据正弦定理,有

sin

sin

3

4

a c π

π

=

,解得a =……9分

∴5

12

B A

C ππ=--=

,……10分

∴11

6sin 26

22

4ABC S ac B ?+=

==……12分 19.证明:(1)因为底面ABCD 为直角梯形, 所以//BC AD .

因为,,BC ADNM AD ADNM ??平面平面

所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBC

ADNM MN ?=平面平面平面,

所以//MN BC . ……3分 (2)因为,M N 分别为,PB PC 的中点,PA AB =,

所以PB MA ⊥. ……4分 因为90,BAD ∠=? 所以DA AB ⊥.

因为PA ABCD ⊥底面, 所以DA PA ⊥.

因为PA

AB A =,

所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……6分 因为AM

DA A =,

所以PB ADNM ⊥平面

因为DN ADNM ?平面,

所以PB DN ⊥. ……7分

(3)如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A xyz -.

则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P .

由(II )可知,PB ADNM ⊥平面,

所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……9分 设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-,(0,2,2)PD =-,

所以00

PC PD ??=???=??n n .即220220x y z y z +-=??-=?.

令2z =,则2y =,1x =.

所以(1,2,2)=n ……11分 所以2

cos ,223

BP BP BP

???=

=

=

?n n n . 所以二面角P DN A --的余弦值为

2

6

. ……12分

z y

x

P

A

B

C

D

M N

20.解 (1)x =12.5,y =8.25, 4x y =412.5, ……2分

所以r =

∑4

i =1

xiyi -4x y

(∑4

i =1x 2i -4x 2

)(∑4

i =1

y 2i -4y 2

)

438-412.5

(660-625)×(291-272.25)

=25.5656.25≈25.525.62≈0.995. ……4分

因为r >0.75,所以y 与x 有很强的线性相关关系. ……5分

(2)b ^

∑4

i =1

x i y i -4x y

∑4

i =1x 2i -4x

2

≈0.728 6, ……7分

a ^

=y -b ^

x =8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5,

∴所求线性回归方程为y ^

=0.728 6x -0.857 5. ……9分

(3)要使y ^

≤10?0.728 6x -0.857 5≤10, 所以x ≤14.901 9≈15.

所以机器的转速应控制在15转/秒以下. ……12分

21.解:(1)由题意可知:动点M 到点)01(,F 距离与到直线1-=x 的距离相等, 根据抛物线的定义,动点M 的轨迹是以)01(,F 为焦点,1-=x 为准线的抛物线, 所以动点M 的轨迹方程为x y 42

= ……6分

(2)联立直线与抛物线的方程,可得121=?x x ,421-=?y y ……9分

设),4(121y y A ,),4

(222

y y B ,则),1(2y D -,

041

2

1=+=

-y y y k k OD AO , 所以A 、O 、D 三点共线. ……12分

得由的方程为的直线且斜率为设过点分 所求的椭圆方程为,解得由已知可得解:

.068)21(212.2)2,0(D )2(412

1

,2122)1(22.2222

22

2

2=+++??

???+==++=??=+==??

???==kx x k kx y y x kx y l k y x b a c a c

1122(,),(,)A x y B x y ,

则1212

22

86

,1212k x x x x k k +=-

=++.……6分 又22

12121212224

(2)(2)2()421

k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=-+,

12121224(2)(2)()421

y y kx kx k x x k +=+++=++=

+. ……8分

设存在点(0,)E m ,则11(,)AE x m y =--,22(,)BE x m y =--, 所以2121212()AE BE x x m m y y y y ?=+-++

1

24

2124

126

2222

2

+--+?-++=k k k m m k 2222(22)410

21

m k m m k -+-+=+,

……10分

要使得AE BE t ?=(t 为常数),只要2222

(22)410

21

m k m m t k -+-+=+, 从而2

2

2

(222)4100m t k m m t --+-+-=,

即222220, (1)4100, (2)

m t m m t ?--=??-+-=?? ……11分

由(1)得2

1t m =-, 代入(2)解得114m =

,从而105

16

t =,

故存在定点11

(0,)4

E ,使AE BE 恒为定值10516. ……12分

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