第一讲:图论模型
程序一:可达矩阵算法
%根据邻接矩阵A(有向图)求可达矩阵P(有向图)
function P=dgraf(A)
n=size(A,1);
P=A;
for i=2:n
P=P+A^i;
end
P(P~=0)=1; %将不为0的元素变为1
P;
程序二:无向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法
F表示所给出的图的相应矩阵
W表示程序运行结束后的结果
f=0表示把邻接矩阵转换为关联矩阵
f=1表示把关联矩阵转换为邻接矩阵
%无向图的关联矩阵和邻接矩阵的相互转换
function W=incandadf(F,f)
if f==0 %邻接矩阵转换为关联矩阵
m=sum(sum(F))/2; %计算图的边数
n=size(F,1);
W=zeros(n,m);
k=1;
for i=1:n
for j=i:n
if F(i,j)~=0
W(i,k)=1; %给边的始点赋值为1
W(j,k)=1; %给边的终点赋值为1
k=k+1;
end
end
end
elseif f==1 %关联矩阵转换为邻接矩阵
m=size(F,2);
n=size(F,1);
W=zeros(n,n);
for i=1:m
a=find(F(:,i)~=0);
W(a(1),a(2))=1; %存在边,则邻接矩阵的对应值为1 W(a(2),a(1))=1;
end
else
fprint('Please imput the right value of f'); end
W;
程序三:有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法
%有向图的关联矩阵和邻接矩阵的转换
function W=mattransf(F,f)
if f==0 %邻接矩阵转换为关联矩阵
m=sum(sum(F));
n=size(F,1);
W=zeros(n,m);
k=1;
for i=1:n
for j=i:n
if F(i,j)~=0 %由i发出的边,有向边的始点 W(i,k)=1; %关联矩阵始点值为1
W(j,k)=-1; %关联矩阵终点值为-1
k=k+1;
end
end
end
elseif f==1 %关联矩阵转换为邻接矩阵
m=size(F,2);
n=size(F,1);
W=zeros(n,n);
for i=1:m
a=find(F(:,i)~=0); %有向边的两个顶点
if F(a(1),i)==1
W(a(1),a(2))=1; %有向边由a(1)指向a(2) else
W(a(2),a(1))=1; %有向边由a(2)指向a(1) end
end
else
fprint('Please imput the right value of f'); end
W;
第二讲:最短路问题
程序0:最短距离矩阵
W表示图的权值矩阵
D表示图的最短距离矩阵
%连通图中各项顶点间最短距离的计算
function D=shortdf(W)
%对于W(i,j),若两顶点间存在弧,则为弧的权值,否则为inf;当i=j时W(i,j)=0 n=length(W);
D=W;
m=1;
while m<=n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,j)>D(i,m)+D(m,j)
D(i,j)+ D(i,m)+D(m,j); %距离进行更新
end
end
end
m=m+1;
end
D;
程序一:Dijkstra算法(计算两点间的最短路)
function [l,z]=Dijkstra(W)
n = size (W,1);
for i = 1 :n
l(i)=W(1,i);
z(i)=0;
end
i=1;
while i<=n
for j =1 :n
if l(i)>l(j)+W(j,i)
l(i)=l(j)+W(j,i);
z(i)=j-1;
if j
i=j-1;
end
end
end
i=i+1;
end
程序二:floyd算法(计算任意两点间的最短距离)function [d,r]=floyd(a)
n=size(a,1);
d=a;
for i=1:n
for j=1:n
r(i,j)=j;
end
end
r;
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if d(i,k)+d(k,j) end end end end 程序三:n2short.m 计算指定两点间的最短距离 function [P u]=n2short(W,k1,k2) n=length(W); U=W; m=1; while m<=n for i=1:n for j=1:n if U(i,j)>U(i,m)+U(m,j) U(i,j)=U(i,m)+U(m,j); end end end m=m+1; end u=U(k1,k2); P1=zeros(1,n); k=1; P1(k)=k2; V=ones(1,n)*inf; kk=k2; while kk~=k1 for i=1:n V(1,i)=U(k1,kk)-W(i,kk); if V(1,i)==U(k1,i) P1(k+1)=i; kk=i; k=k+1; end end end k=1; wrow=find(P1~=0); for j=length(wrow):-1:1 P(k)=P1(wrow(j)); k=k+1; end P; 程序四、n1short.m(计算某点到其它所有点的最短距离) function[Pm D]=n1short(W,k) n=size(W,1); D=zeros(1,n); for i=1:n [P d]=n2short(W,k,i); Pm{i}=P; D(i)=d; end 程序五:pass2short.m(计算经过某两点的最短距离) function [P d]=pass2short(W,k1,k2,t1,t2) [p1 d1]=n2short(W,k1,t1); [p2 d2]=n2short(W,t1,t2); [p3 d3]=n2short(W,t2,k2); dt1=d1+d2+d3; [p4 d4]=n2short(W,k1,t2); [p5 d5]=n2short(W,t2,t1); [p6 d6]=n2short(W,t1,k2); dt2=d4+d5+d6; if dt1 d=dt1; P=[p1 p2(2:length(p2)) p3(2:length(p3))]; else d=dt1; p=[p4 p5(2:length(p5)) p6(2:length(p6))]; end P; d; 第三讲:最小生成树 程序一:最小生成树的Kruskal算法 function [T c]=krusf(d,flag) if nargin==1 n=size(d,2); m=sum(sum(d~=0))/2; b=zeros(3,m); k=1; for i=1:n for j=(i+1):n if d(i,j)~=0 b(1,k)=i;b(2,k)=j; b(3,k)=d(i,j); k=k+1; end end end else b=d; end n=max(max(b(1:2,:))); m=size(b,2); [B,i]=sortrows(b',3); B=B'; c=0;T=[]; k=1;t=1:n; for i=1:m if t(B(1,i))~=t(B(2,i)) T(1:2,k)=B(1:2,i); c=c+B(3,i); k=k+1; tmin=min(t(B(1,i)),t(B(2,i))); tmax=max(t(B(1,i)),t(B(2,i))); for j=1:n if t(j)==tmax t(j)=tmin; end end end if k==n break; end end T; c; 程序二:最小生成树的Prim算法 function [T c]=Primf(a) l=length(a); a(a==0)=inf; k=1:l; listV(k)=0; listV(1)=1; e=1; while (e min=inf; for i=1:l if listV(i)==1 for j=1:l if listV(j)==0 & min>a(i,j) min=a(i,j);b=a(i,j); s=i;d=j; end end end end listV(d)=1; distance(e)=b; source(e)=s; destination(e)=d; e=e+1; end T=[source;destination]; for g=1:e-1 c(g)=a(T(1,g),T(2,g)); end c; 第四讲:Euler图和Hamilton图程序一:Fleury算法(在一个Euler图中找出Euler环游) 注:包括三个文件;fleuf1.m, edf.m, flecvexf.m function [T c]=fleuf1(d) %注:必须保证是Euler环游,否则输出T=0,c=0 n=length(d); b=d; b(b==inf)=0; b(b~=0)=1; m=0; a=sum(b); eds=sum(a)/2; ed=zeros(2,eds); vexs=zeros(1,eds+1); matr=b; for i=1:n if mod(a(i),2)==1 m=m+1; end end if m~=0 fprintf('there is not exit Euler path.\n') T=0;c=0; end if m==0 vet=1; flag=0; t1=find(matr(vet,:)==1); for ii=1:length(t1) ed(:,1)=[vet,t1(ii)]; vexs(1,1)=vet;vexs(1,2)=t1(ii); matr(vexs(1,2),vexs(1,1))=0; flagg=1;tem=1; while flagg [flagg ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem); tem=tem+1; if ed(1,eds)~=0 & ed(2,eds)~=0 T=ed; T(2,eds)=1; c=0; for g=1:eds c=c+d(T(1,g),T(2,g)); end flagg=0; break; end end end end function[flag ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem) flag=1; for i=2:eds [dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,tem); if f==1 flag=0; break; end if dvex~=0 ed(:,i)=[vexs(1,i) dvex]; vexs(1,i+1)=dvex; matr(vexs(1,i+1),vexs(1,i))=0; else break; end end function [dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,temp) f=0; edd=find(matr(vexs(1,i),:)==1); dvex=0; dvex1=[]; ded=[]; if length(edd)==1 dvex=edd; else dd=1;dd1=0;kkk=0; for kk=1:length(edd) m1=find(vexs==edd(kk)); if sum(m1)==0 dvex1(dd)=edd(kk); dd=dd+1; dd1=1; else kkk=kkk+1; end end if kkk==length(edd) tem=vexs(1,i)*ones(1,kkk); edd1=[tem;edd]; for l1=1:kkk lt=0;ddd=1; for l2=1:eds if edd1(1:2,l1)==ed(1:2,l2) lt=lt+1; end end if lt==0 ded(ddd)=edd(l1); ddd=ddd+1; end end end if temp<=length(dvex1) dvex=dvex1(temp); elseif temp>length(dvex1) & temp<=length(ded) dvex=ded(temp); else f=1; end end 程序二:Hamilton改良圈算法(找出比较好的Hamilton路) function [C d1]= hamiltonglf(v) %d表示权值矩阵 %C表示算法最终找到的Hamilton圈。 %v =[ 51 67;37 84;41 94;2 99;18 54;4 50;24 42;25 38;13 40;7 64;22 60;25 62;18 40;41 26]; n=size(v,1); subplot(1,2,1) hold on; plot (v(:,1),v(:,2),'*'); %描点 for i=1:n str1='V';str2=num2str(i); dot=[str1,str2]; text(v(i,1)-1,v(i,2)-2,dot); %给点命名 end plot (v(:,1),v(:,2));%连线 plot([v(n,1),v(1,1)],[v(n,2),v(1,2)]); for i =1:n for j=1:n d(i,j)=sqrt((v(i,1)-v(j,1))^2+(v(i,2)-v(j,2))^2); end end d2=0; for i=1:n if i d2=d2+d(i,i+1); else d2=d2+d(n,1); end end text(10,30,num2str(d2)); n=size(d,2); C=[linspace(1,n,n) 1]; for nnn=1:20 C1=C; if n>3 for m=4:n+1 for i=1:(m-3) for j=(i+2):(m-1) if (d(C(i),C(j))+d(C(i+1),C(j+1)) for k=(i+1):j C1(k)=C(j+i+1-k); end C1((j+1):m)=C((j+1):m); end end end end elseif n<=3 if n<=2 fprint('It does not exist Hamilton circle.'); else fprint('Any cirlce is the right answer.'); end end C=C1; d1=0; for i=1:n d1=d1+d(C(i),C(i+1)); end d1; end subplot(1,2,2); hold on; plot (v(:,1),v(:,2),'*'); %描点 for i=1:n str1='V';str2=num2str(i); dot=[str1,str2]; text(v(i,1)-1,v(i,2)-2,dot); %给点命名 end v2=[v;v(1,1),v(1,2)]; plot(v(C(:),1),v(C(:),2),'r'); text(10,30,num2str(d1)); 第五讲:匹配问题及算法 程序一:较大基础匹配算法 function J=matgraf(W) n=size(W,1); J=zeros(n,n); while sum(sum(W))~=0 a=find(W~=0); t1=mod(a(1),n); if t1==0 t1=n; end if a(1)/n>floor(a(1)/n) t2=floor(a(1)/n)+1; else t2=floor(a(1)/n); end J(t1,t2)=1,J(t2,t1)=1; W(t1,:)=0;W(t2,:)=0; W(:,t1)=0;W(:,t2)=0; end J; 程序二:匈牙利算法(完美匹配算法,包括三个文件fc01,fc02,fc03)function [e,s]=fc01(a,flag) if nargin==1 flag=0; end b=a; if flag==0 cmax=max(max(b)'); b=cmax-b; end m=size(b); for i =1:m(1) b(i,:)=b(i,:)-min(b(i,:)); end for j=1:m(2) b(:,j)=b(:,j)-min(b(:,j)); end d=(b==0); [e,total]=fc02(d); while total~=m(1) b=fc03(b,e); d=(b==0); [e,total]=fc02(d); end inx=sub2ind(size(a),e(:,1),e(:,2)); e=[e,a(inx)]; s=sum(a(inx)); function [e,total]=fc02(d) total=0;m=size(d); e=zeros(m(1),2); t=sum(sum(d)'); nump=sum(d'); while t~=0 [s,inp]=sort(nump); inq=find(s); ep=inp(inq(1)); inp=find(d(ep,:)); numq=sum(d(:,inp)); [s,inq]=sort(numq); eq=inp(inq(1)); total=total+1; e(total,:)=[ep,eq]; inp=find(d(:,eq)); nump(inp)=nump(inp)-1; nump(ep)=0; t=t-sum(d(ep,:))-sum(d(:,eq))+1; d(ep,:)=0*d(ep,:); d(:,eq)=0*d(:,eq); end function b=fc03(b,e) m=size(b);t=1; p=ones(m(1),1); q=zeros(m(1),1); inp=find(e(:,1)~=0); p(e(inp,1))=0; while t~=0 tp=sum(p+q); inp=find(p==1); n=size(inp); for i=1:n(1) inq=find(b(inp(i),:)==0); q(inq)=1; end inp=find(q==1); n=size(inp); for i=1:n(1) if all(e(:,2)-inp(i))==0 inq=find((e(:,2)-inp(i))==0); p(e(inq))=1; end end tq=sum(p+q); t=tq-tp; end inp=find(p==1); inq=find(q==0); cmin=min(min(b(inp,inq))'); inq=find(q==1); b(inp,:)=b(inp,:)-cmin; b(:,inq)=b(:,inq)+cmin; 第六讲:最大流最小费用问题 程序一:2F算法(Ford-Fulkerson算法),求最大流 %C=[0 5 4 3 0 0 0 0;0 0 0 0 5 3 0 0;0 0 0 0 0 3 2 0;0 0 0 0 0 0 2 0; %0 0 0 0 0 0 0 4;0 0 0 0 0 0 0 3;0 0 0 0 0 0 0 5;0 0 0 0 0 0 0 0 ] function [f wf]=fulkersonf(C,f1) %C表示容量 %f1表示当前流量,默认为0 %f表示最大流±íê?×?′óá÷ %wf表示最大流的流量 n=length(C); if nargin==1; f=zeros(n,n); else f=f1; end No=zeros(1,n); d=zeros(1,n); while (1) No(1)=n+1; d(1)=Inf; while (1) pd=1; for (i=1:n) if (No(i)) for (j=1:n) if (No(j)==0 & f(i,j) No(j)=i;d(j)=C(i,j)-f(i,j);pd=0; if (d(j)>d(i)) d(j)=d(i); end elseif (No(j)==0 & f(j,i)>0) No(j)=-i;d(j)=f(j,i);pd=0; if (d(j)>d(i)) d(j)=d(i); end end end end end if (No(n)|pd) break; end end if (pd) break; end dvt=d(n);t=n; while (1) if(No(t)>0) f(No(t),t)=f(No(t),t)+dvt; elseif (No(t)<0) f(No(t),t)=f(No(t),t)-dvt; end if (No(t)==1) for (i=1:n) No(i)=0;d(i)=0; end break end t=No(t); end end wf=0; for (j=1:n) wf=wf+f(1,j); end f; wf; 程序二:Busacker-Gowan算法(求最大流最小费用) %C=[0 15 16 0 0;0 0 0 13 14;0 11 0 17 0;0 0 0 0 8;0 0 0 0 0] %b=[0 4 1 0 0;0 0 0 6 1;0 2 0 3 0;0 0 0 0 2;0 0 0 0 0] %function [f wf zwf]=BGf(C,b) %C表示弧容量矩阵 %b表示弧上单位流量的费用 %f表示最大流最小费用矩阵 %wf最大流量 %zwf表示最小费用 n=size(C,2); wf=0;wf0=inf; f=zeros(n,n); while (1) a=ones(n,n)*inf; for (i=1:n) a(i,i)=0; end for (i=1:n) for (j=1:n) if(C(i,j)>0 & f(i,j)==0) a(i,j)=b(i,j); elseif (C(i,j)>0 & f(i,j)==C(i,j)) a(j,i)=-b(i,j); elseif (C(i,j)>0) a(i,j)=b(i,j); a(j,i)=-b(i,j); end end end for (i=2:n) p(i)=inf;s(i)=i; end for (k=1:n) pd=1; for (i=2:n) for (j=1:n) if (p(i)>p(j)+a(j,i)) p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)=j;pd=0; end end end if (pd) break; end end if (p(n)==inf) break; end dvt=inf;t=n; while (1) if (a(s(t),t)>0) dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t); elseif (a(s(t),t)<0) dvtt=f(t,s(t)); end if (dvt>dvtt) dvt=dvtt; end if (s(t)==1) break; end t=s(t); end pd=0; if (wf+dvt>=wf0) dvt=wf0-wf;pd=1; end t=n; while (1) if (a(s(t),t)>0) f(s(t),t)=f(s(t),t)+dvt; elseif (a(s(t),t)<0) f((t),s(t))=f(t,s(t))-dvt; end if (s(t)==1) break; end t=s(t); end if (pd) break; end wf=0; for (j=1:n) wf=wf+f(1,j); end end zwf=0; for (i=1:n) for (j=1:n) zwf=zwf+b(i,j)*f(i,j); end end f; 图论算法及其MATLAB 程序代码 求赋权图G =(V ,E ,F )中任意两点间的最短路的Warshall-Floyd 算法: 设A =(a ij )n ×n 为赋权图G =(V ,E ,F )的矩阵,当v i v j ∈E 时a ij =F (v i v j ),否则取a ii =0,a ij =+∞(i ≠j ),d ij 表示从v i 到v j 点的距离,r ij 表示从v i 到v j 点的最短路中一个点的编号. ①赋初值.对所有i ,j ,d ij =a ij ,r ij =j .k =1.转向② ②更新d ij ,r ij .对所有i ,j ,若d ik +d k j <d ij ,则令d ij =d ik +d k j ,r ij =k ,转向③. ③终止判断.若d ii <0,则存在一条含有顶点v i 的负回路,终止;或者k =n 终止;否则令k =k +1,转向②. 最短路线可由r ij 得到. 例1求图6-4中任意两点间的最短路. 解:用Warshall-Floyd 算法,MATLAB 程序代码如下: n=8;A=[0281Inf Inf Inf Inf 206Inf 1Inf Inf Inf 8607512Inf 1Inf 70Inf Inf 9Inf Inf 15Inf 03Inf 8 Inf Inf 1Inf 3046 Inf Inf 29Inf 403 Inf Inf Inf Inf 8630];%MATLAB 中,Inf 表示∞ D=A;%赋初值 for (i=1:n)for (j=1:n)R(i,j)=j;end ;end %赋路径初值 for (k=1:n)for (i=1:n)for (j=1:n)if (D(i,k)+D(k,j) (图论)matlab模板程序 第一讲:图论模型 程序一:可达矩阵算法 %根据邻接矩阵A(有向图)求可达矩阵P(有向图) function P=dgraf(A) n=size(A,1); P=A; for i=2:n P=P+A^i; end P(P~=0)=1; %将不为0的元素变为1 P; 程序二:无向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法F表示所给出的图的相应矩阵 W表示程序运行结束后的结果 f=0表示把邻接矩阵转换为关联矩阵 f=1表示把关联矩阵转换为邻接矩阵 %无向图的关联矩阵和邻接矩阵的相互转换 function W=incandadf(F,f) if f==0 %邻接矩阵转换为关联矩阵 m=sum(sum(F))/2; %计算图的边数 n=size(F,1); W=zeros(n,m); k=1; for i=1:n for j=i:n if F(i,j)~=0 W(i,k)=1; %给边的始点赋值为1 W(j,k)=1; %给边的终点赋值为1 k=k+1; end end end elseif f==1 %关联矩阵转换为邻接矩阵 m=size(F,2); n=size(F,1); W=zeros(n,n); for i=1:m a=find(F(:,i)~=0); W(a(1),a(2))=1; %存在边,则邻接矩阵的对应值为1 W(a(2),a(1))=1; end else fprint('Please imput the right value of f'); end W; 程序三:有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法 %有向图的关联矩阵和邻接矩阵的转换 function W=mattransf(F,f) if f==0 %邻接矩阵转换为关联矩阵 m=sum(sum(F)); n=size(F,1); W=zeros(n,m); k=1; for i=1:n for j=i:n if F(i,j)~=0 %由i发出的边,有向边的始点 W(i,k)=1; %关联矩阵始点值为1 W(j,k)=-1; %关联矩阵终点值为-1 k=k+1; end end end elseif f==1 %关联矩阵转换为邻接矩阵 m=size(F,2); n=size(F,1); W=zeros(n,n); for i=1:m a=find(F(:,i)~=0); %有向边的两个顶点 if F(a(1),i)==1 W(a(1),a(2))=1; %有向边由a(1)指向a(2) else W(a(2),a(1))=1; %有向边由a(2)指向a(1) end end else fprint('Please imput the right value of f'); end W; 图论实验三个案例 单源最短路径问题 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是,设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v 是图中的一个顶点,记()l v 为顶点 v 到源点v 1的最短距离, ,i j v v V ?∈,若 (,)i j v v E ?,记i v 到j v 的权ij w =∞。 Dijkstra 算法: ① 1{}S v =,1()0l v =;1{}v V v ??-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-; ② S φ=,停止,否则转③; ③ ()min{(),(,)} j l v l v d v v =, j v S ∈,v S ?∈; ④ 存在 1 i v +,使 1()min{()} i l v l v +=,v S ∈; ⑤ 1{} i S S v +=, 1{} i S S v +=-,1i i =+,转②; 实际上,Dijkstra 算法也是最优化原理的应用:如果12 1n n v v v v -是从1v 到 n v 的最短路径,则 12 1 n v v v -也必然是从1v 到 1 n v -的最优路径。 在下面的MATLAB 实现代码中,我们用到了距离矩阵,矩阵第i 行第j 行元 素表示顶点i v 到j v 的权ij w ,若i v 到j v 无边,则realmax ij w =,其中realmax 是 MATLAB 常量,表示最大的实数+308)。 function re=Dijkstra(ma) 图论与网络优化课程设计 四种基本网络(NCN、ER、WS、BA) 的构造及其性质比较 摘要:网络科学中被广泛研究的基本网络主要有四种,即:规则网络之最近邻耦合网络(Nearest-neighbor coupled network),本文中简称NCN;ER随机网络G(N,p);WS小世界网络;BA无标度网络。本文着重研究这几种网络的构造算法程序。通过运用Matlab软件和NodeXL网络分析软件,计算各种规模下(例如不同节点数、不同重连概率或者连边概率)各自的网络属性(包括边数、度分布、平均路径长度、聚类系数),给出图、表和图示,并进行比较和分析。 关键字:最近邻耦合网络;ER随机网络;WS小世界网络;BA无标度网络;Matlab;NodeXL。 四种基本网络(NCN、ER、WS、BA) 的构造及其性质比较 1.概述 1.网络科学的概述 网络科学(Network Science)是专门研究复杂网络系统的定性和定量规律的一门崭新的交叉科学,研究涉及到复杂网络的各种拓扑结构及其性质,与动力学特性(或功能)之间相互关系,包括时空斑图的涌现、动力学同步及其产生机制,网络上各种动力学行为和信息的传播、预测(搜索)与控制,以及工程实际所需的网络设计原理及其应用研究,其交叉研究内容十分广泛而丰富。网络科学中被广泛研究的基本网络主要有四种,即:规则网络之最近邻耦合网络(Nearest-neighbor coupled network),本文中简称NCN;ER随机网络G(N,p);WS小世界网络;BA无标度网络。本文着重研究这几种网络的构造算法程序。计算各种规模下(例如不同节点数、不同重连概率或者连边概率)各自的网络属性(包括边数、度分布、平均路径长度、聚类系数),给出图、表和图示,并进行比较和分析。 2.最近邻耦合网络的概述 如果在一个网络中,每一个节点只和它周围的邻居节点相连,那么就称该网络为最近邻耦合网络。这是一个得到大量研究的稀疏的规则网络模型。 常见的一种具有周期边界条件的最近邻耦合网络包含围成一个环的N个节点,其中每K个邻居节点相连,这里K是一个偶数。这类网络的一个重要特征个节点都与它左右各/2 就是网络的拓扑结构是由节点之间的相对位置决定的,随着节点位置的变化网络拓扑结构也可能发生切换。 NCN的Matlab实现: %function b = ncn(N,K) %此函数生成一个有N个节点,每个节点与它左右各K/2个节点都相连的最近邻耦合网络 %返回结果b为该最近邻耦合网络对应的邻接矩阵 function b = ncn(N,K) b=zeros(N); for i = 1:N for j = (i+1):(i+K/2) if j<=N b(i,j)=1; b(j,i)=1; else b(i,j-N)=1; 第一部分数字图像处理 实验一图像的点运算 实验1.1 直方图 一.实验目的 1.熟悉matlab图像处理工具箱及直方图函数的使用; 2.理解和掌握直方图原理和方法; 二.实验设备 1.PC机一台; 2.软件matlab。 三.程序设计 在matlab环境中,程序首先读取图像,然后调用直方图函数,设置相关参数,再输出处理后的图像。 I=imread('cameraman.tif');%读取图像 subplot(1,2,1),imshow(I) %输出图像 title('原始图像') %在原始图像中加标题 subplot(1,2,2),imhist(I) %输出原图直方图 title('原始图像直方图') %在原图直方图上加标题 四.实验步骤 1. 启动matlab 双击桌面matlab图标启动matlab环境; 2. 在matlab命令窗口中输入相应程序。书写程序时,首先读取图像,一般调用matlab自带的图像, 如:cameraman图像;再调用相应的直方图函数,设置参数;最后输出处理后的图像; 3.浏览源程序并理解含义; 4.运行,观察显示结果; 5.结束运行,退出; 五.实验结果 观察图像matlab环境下的直方图分布。 (a)原始图像 (b)原始图像直方图 六.实验报告要求 1、给出实验原理过程及实现代码; 2、输入一幅灰度图像,给出其灰度直方图结果,并进行灰度直方图分布原理分析。 实验1.2 灰度均衡 一.实验目的 1.熟悉matlab图像处理工具箱中灰度均衡函数的使用; 2.理解和掌握灰度均衡原理和实现方法; 二.实验设备 1.PC机一台; 2.软件matlab; 三.程序设计 在matlab环境中,程序首先读取图像,然后调用灰度均衡函数,设置相关参数,再输出处理后的图像。 I=imread('cameraman.tif');%读取图像 subplot(2,2,1),imshow(I) %输出图像 title('原始图像') %在原始图像中加标题 subplot(2,2,3),imhist(I) %输出原图直方图 title('原始图像直方图') %在原图直方图上加标题 a=histeq(I,256); %直方图均衡化,灰度级为256 subplot(2,2,2),imshow(a) %输出均衡化后图像 title('均衡化后图像') %在均衡化后图像中加标题 subplot(2,2,4),imhist(a) %输出均衡化后直方图 title('均衡化后图像直方图') %在均衡化后直方图上加标题 四.实验步骤 1. 启动matlab 双击桌面matlab图标启动matlab环境; 2. 在matlab命令窗口中输入相应程序。书写程序时,首先读取图像,一般调用matlab自带的图像, 如:cameraman图像;再调用相应的灰度均衡函数,设置参数;最后输出处理后的图像; 3.浏览源程序并理解含义; 4.运行,观察显示结果; 5.结束运行,退出; 五.实验结果 观察matlab环境下图像灰度均衡结果及直方图分布。 (a)原始图像 (b)均衡化后图像 NSGA-II 算法实例 目前的多目标优化算法有很多, Kalyanmoy Deb 的带精英策略的快速非支配排序遗传算法(NSGA-II) 无疑是其中应用最为广泛也是最为成功的一种。本文用的算法是MATLAB 自带的函数gamultiobj ,该函数是基于NSGA-II 改进的一种多目标优化算法。 一、 数值例子 多目标优化问题 424221********* 4224212212112 12min (,)10min (,)55..55 f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x s t x =-++-=-++-≤≤??-≤≤? 二、 Matlab 文件 1. 适应值函数m 文件: function y=f(x) y(1)=x(1)^4-10*x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2; y(2)=x(2)^4-x(1)^2*x(2)^2+x(1)^4+x(1)*x(2); 2. 调用gamultiobj 函数,及参数设置: clear clc fitnessfcn=@f; %适应度函数句柄 nvars=2; %变量个数 lb=[-5,-5]; %下限 ub=[5,5]; %上限 A=[];b=[]; %线性不等式约束 Aeq=[];beq=[]; %线性等式约束 options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100,'generations',200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-100,'PlotFcns',@gaplotpareto); % 最优个体系数paretoFraction 为0.3;种群大小populationsize 为100,最大进化代数generations 为200, % 停止代数stallGenLimit 为200, 适应度函数偏差TolFun 设为1e-100,函数gaplotpareto :绘制Pareto 前端 [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options) 精心整理 图论算法matlab实现 求最小费用最大流算法的 MATLAB 程序代码如下: n=5;C=[0 15 16 0 0 0 0 0 13 14 for while for for(i=1:n)for(j=1:n)if(C(i,j)>0&f(i,j)==0)a(i,j)=b(i,j); elseif(C(i,j)>0&f(i,j)==C(i,j))a(j,i)=-b(i,j); elseif(C(i,j)>0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j);end;end;end for(i=2:n)p(i)=Inf;s(i)=i;end %用Ford 算法求最短路, 赋初值 for(k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs 到vt 的最短路 for(i=2:n)for(j=1:n)if(p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)=j;pd=0;end ;end;end if(pd)break;end;end %求最短路的Ford 算法结束 if(p(n)==Inf)break;end %不存在vs 到vt 的最短路, 算法终止. 注意在求最小费用最大流时构造有 while if elseif if if pd=0; 值 t=n; if elseif if(s(t)==1)break;end %当t 的标号为vs 时, 终止调整过程 t=s(t);end if(pd)break;end%如果最大流量达到预定的流量值 wf=0; for(j=1:n)wf=wf+f(1,j);end;end %计算最大流量 zwf=0;for(i=1:n)for(j=1:n)zwf=zwf+b(i,j)*f(i,j);end;end%计算最小费用 图论实验三个案例 单源最短路径问题 1.1 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是,设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v 是图中的一个顶点,记()l v 为顶点 v 到源点v 1的最短距离, ,i j v v V ?∈,若 (,)i j v v E ?,记i v 到 j v 的权 ij w =∞ 。 Dijkstra 算法: ① 1{}S v =,1()0l v =;1{}v V v ??-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-; ② S φ=,停止,否则转③; ③ ()min{(),(,)} j l v l v d v v =, j v S ∈,v S ?∈; ④ 存在1i v +,使1()min{()}i l v l v +=,v S ∈; ⑤ 1{}i S S v += ,1{}i S S v +=-,1i i =+,转②; 实际上,Dijkstra 算法也是最优化原理的应用:如果121n n v v v v - 是从1v 到n v 的最短路径,则121n v v v - 也必然是从1v 到1n v -的最优路径。 在下面的MATLAB 实现代码中,我们用到了距离矩阵,矩阵第i 行第j 行元素表示顶点i v 到 j v 的权 ij w ,若i v 到 j v 无边,则 realmax ij w =,其中realmax 是 MATLAB 常量,表示最大的实数(1.7977e+308)。 function re=Dijkstra(ma) 图论算法及其MATLAB程序代码 求赋权图G = (V, E , F )中任意两点间的最短路的Warshall-Floyd算法: 设A = (a ij )n×n为赋权图G = (V, E , F )的矩阵, 当v i v j∈E时a ij= F (v i v j), 否则取a ii=0, a ij = +∞(i≠j ), d ij表示从v i到v j点的距离, r ij表示从v i到v j点的最短路中一个点的编号. ①赋初值. 对所有i, j, d ij = a ij, r ij = j. k = 1. 转向② ②更新d ij, r ij . 对所有i, j, 若d ik + d k j<d ij, 则令d ij = d ik + d k j, r ij = k, 转向③. ③终止判断. 若d ii<0, 则存在一条含有顶点v i的负回路, 终止; 或者k = n终止; 否则令k = k + 1, 转向②. 最短路线可由r ij得到. 例1求图6-4中任意两点间的最短路. 图6-4 解:用Warshall-Floyd算法, MA TLAB程序代码如下: n=8;A=[0 2 8 1 Inf Inf Inf Inf 2 0 6 Inf 1 Inf Inf Inf 8 6 0 7 5 1 2 Inf 1 Inf 7 0 Inf Inf 9 Inf Inf 1 5 Inf 0 3 Inf 8 Inf Inf 1 Inf 3 0 4 6 Inf Inf 2 9 Inf 4 0 3 Inf Inf Inf Inf 8 6 3 0]; % MATLAB中, Inf表示∞ D=A; %赋初值 for(i=1:n)for(j=1:n)R(i,j)=j;end;end%赋路径初值 for(k=1:n)for(i=1:n)for(j=1:n)if(D(i,k)+D(k,j) 例1 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司,从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。(∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路线图。 ? ? ??? ? ? ? ? ?????????∞∞∞∞∞∞ 055252510550102025251001020402010015252015050102540500 用矩阵n n a ?(n 为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量pb 、1index 、2index 、 d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。其中分量 ?? ?=顶点未标号 当第顶点已标号 当第i i i pb 01)(; )(2i index 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号; )(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。 求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下: clear; clc; M=10000; a(1,:)=[0,50,M,40,25,10]; a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25]; a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M]; a(4,:)=[zeros(1,4),10,25]; a(5,:)=[zeros(1,5),55]; a(6,:)=zeros(1,6); a=a+a'; pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1; while sum(pb) 第一讲:图论模型 程序一:可达矩阵算法 function P=dgraf(A) n=size(A,1); P=A; for i=2:n P=P+A^i; end P(P~=0)=1; P; 程序二:关联矩阵和邻接矩阵互换算法 function W=incandadf(F,f) if f==0 m=sum(sum(F))/2; n=size(F,1); W=zeros(n,m); k=1; for i=1:n for j=i:n if F(i,j)~=0 W(i,k)=1; W(j,k)=1; k=k+1; end end end elseif f==1 m=size(F,2); n=size(F,1); W=zeros(n,n); for i=1:m a=find(F(:,i)~=0); W(a(1),a(2))=1; W(a(2),a(1))=1; end else fprint('Please imput the right value of f'); end W; 程序三:有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法 function W=mattransf(F,f) if f==0 m=sum(sum(F)); n=size(F,1); W=zeros(n,m); k=1; for i=1:n for j=i:n if F(i,j)~=0 W(i,k)=1; W(j,k)=-1; k=k+1; end end end elseif f==1 m=size(F,2); n=size(F,1); W=zeros(n,n); for i=1:m a=find(F(:,i)~=0); if F(a(1),i)==1 W(a(1),a(2))=1; else W(a(2),a(1))=1; end end else fprint('Please imput the right value of f'); end W; 超全的图论程序 关注微信公众号“超级数学建模”,教你做有料、有趣的数模人 程序一:可达矩阵算法 function P=dgraf(A) n=size(A,1); P=A; for i=2:n P=P+A^i; end P(P~=0)=1; P; 程序二:关联矩阵和邻接矩阵互换算法 function W=incandadf(F,f) if f==0 m=sum(sum(F))/2; n=size(F,1); W=zeros(n,m); k=1; for i=1:n for j=i:n if F(i,j)~=0 W(i,k)=1; W(j,k)=1; k=k+1; end end end elseif f==1 m=size(F,2); n=size(F,1); W=zeros(n,n); for i=1:m a=find(F(:,i)~=0); W(a(1),a(2))=1; W(a(2),a(1))=1; end else fprint('Please imput the right value of f'); end W; 程序三:有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法 function W=mattransf(F,f) if f==0 m=sum(sum(F)); n=size(F,1); W=zeros(n,m); k=1; for i=1:n for j=i:n if F(i,j)~=0 W(i,k)=1; W(j,k)=-1; k=k+1; end end end elseif f==1 m=size(F,2); n=size(F,1); W=zeros(n,n); for i=1:m a=find(F(:,i)~=0); if F(a(1),i)==1 W(a(1),a(2))=1; else W(a(2),a(1))=1; end end else fprint('Please imput the right value of f'); end W; 最短路法MATLAB 程序 例1: 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司,从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。(∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路线图。 ??????????????????∞∞∞∞∞∞ 05525251055010202525100102040 2010015252015050102540500 用矩阵n n a ?(n 为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量pb 、1index 、 2index 、d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。其中分量 ? ??=顶点未标号当第顶点已标号当第i i i pb 01)(; )(2i index 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号; )(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。 求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下: 程序一: clc,clear a=zeros(6); %邻接矩阵初始化 a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10; a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25; a(3,4)=10;a(3,5)=20; a(4,5)=10;a(4,6)=25; a(5,6)=55; a=a+a'; %将矩阵数据对称赋予矩阵 a(find(a==0))=inf; %找到0值并赋值为inf pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=inf;d(1)=0; temp=1; %最新的P标号的顶点 while sum(pb) 图论程序大全 程序一:可达矩阵算法 function P=dgraf(A) n=size(A,1); P=A; for i=2:n P=P+A^i; end P(P~=0)=1; P; 程序二:关联矩阵和邻接矩阵互换算法function W=incandadf(F,f) if f==0 m=sum(sum(F))/2; n=size(F,1); W=zeros(n,m); k=1; for i=1:n for j=i:n if F(i,j)~=0 W(i,k)=1; W(j,k)=1; k=k+1; end end end elseif f==1 m=size(F,2); n=size(F,1); W=zeros(n,n); for i=1:m a=find(F(:,i)~=0); W(a(1),a(2))=1; W(a(2),a(1))=1; end else fprint('Please imput the right value of f'); end W; 程序三:有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法 function W=mattransf(F,f) if f==0 m=sum(sum(F)); n=size(F,1); W=zeros(n,m); k=1; for i=1:n for j=i:n if F(i,j)~=0 W(i,k)=1; W(j,k)=-1; k=k+1; end end end elseif f==1 m=size(F,2); n=size(F,1); W=zeros(n,n); for i=1:m a=find(F(:,i)~=0); if F(a(1),i)==1 W(a(1),a(2))=1; else 图论实验三个案例 单源最短路径问题 1.1 Dijkstra算法 Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是,设置一个顶点集合 S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合 S 当且 仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v 是图中的一个顶点,记l (v) 为顶点 v 到源点 v1的最短距离,v i ,v j V ,若 (v i , v j ) E ,记 v i到 v j的权 w ij。 Dijkstra算法: ①S{ v 1 } , l (v 1 ) 0 ; v V { v 1 } , l (v) , i 1,S V { v1}; ②S ,停止,否则转③; ③l (v) min{ l (v), d (v j , v)} , v j S ,v S ; ④存在v i 1,使l (v i 1) min{ l (v)},v S; ⑤S S U { v i 1 } , S S { v i 1 } ,i i 1,转②; 实际上,Dijkstra算法也是最优化原理的应用:如果v 1 v 2 L v n 1 v n是从 v 1 到 v n的最 短路径,则v 1 v 2 L v n 1也必然是从 v 1 到 v n 1的最优路径。 实现代码中,我们用到了距离矩阵,矩阵第i 行第 j 行元 在下面的 MATLAB 素表示顶点v i 到 v j的权 w ij,若 v i 到 v j无边,则 w ij realmax ,其中 realmax 是 MATLAB常量,表示最大的实数 (1.7977e+308) 。 function re=Dijkstra(ma) 图论算法matlab实现求最小费用最大流算法的 MATLAB 程序代码如下: n=5;C=[0 15 16 0 0 0 0 0 13 14 0 11 0 17 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0]; %弧容量 b=[0 4 1 0 0 0 0 0 6 1 0 2 0 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0]; %弧上单位流量的费用 wf=0;wf0=Inf; %wf 表示最大流量, wf0 表示预定的流量值 for(i=1:n)for(j=1:n)f(i,j)=0;end;end %取初始可行流f 为零流 while(1) for(i=1:n)for(j=1:n)if(j~=i)a(i,j)=Inf;end;end;end%构造有向赋权图 for(i=1:n)for(j=1:n)if(C(i,j)>0&f(i,j)==0)a(i,j)=b(i,j); elseif(C(i,j)>0&f(i,j)==C(i,j))a(j,i)=-b(i,j); elseif(C(i,j)>0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j);end;end;end for(i=2:n)p(i)=Inf;s(i)=i;end %用Ford 算法求最短路, 赋初值 for(k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs 到vt 的最短路 for(i=2:n)for(j=1:n)if(p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)=j;pd=0;end;end;en d if(pd)break;end;end %求最短路的Ford 算法结束 if(p(n)==Inf)break;end %不存在vs 到vt 的最短路, 算法终止. 注意在求最小费用最大流时构造有 向赋权图中不会含负权回路, 所以不会出现k=n dvt=Inf;t=n; %进入调整过程, dvt 表示调整量 while(1) %计算调整量 if(a(s(t),t)>0)dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t); %前向弧调整量 elseif(a(s(t),t)<0)dvtt=f(t,s(t));end %后向弧调整量 if(dvt>dvtt)dvt=dvtt;end if(s(t)==1)break;end %当t 的标号为vs 时, 终止计算调整量 t=s(t);end %继续调整前一段弧上的流f pd=0;if(wf+dvt>=wf0)dvt=wf0-wf;pd=1;end%如果最大流量大于或等于预定的流量值 t=n;while(1) %调整过程 if(a(s(t),t)>0)f(s(t),t)=f(s(t),t)+dvt; %前向弧调整 elseif(a(s(t),t)<0)f(t,s(t))=f(t,s(t))-dvt;end %后向弧调整 if(s(t)==1)break;end %当t 的标号为vs 时, 终止调整过程 求单源最短路径的Dijkstra算法的Matlab程序 function [d index1 index2]=Dijkf(a) M=max(max(a)); pb(1:length(a))=0; pb(1)=1; index1=1; index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1; while sum(pb) end end end D;R ; 求Euler回路的Fleury算法的Matlab程序function [eu,cEu]=arEuler(E) eu=0; cEu=[]; ncV=arComp(E); if max(ncV)>1 return end n=max(max(E(:,1:2))); m=size(E,1); for i=1:n b(i)=0; for j=1:m if E(j,1)==i|E(j,2)==i b(i)=b(i)+1; end end end rp=rem(b,2); srp=sum(rp); switch srp case 0, eu=1; case 2, eu=0.5; otherwise, return end if srp==0 v1=1; else v1=find(rp); v1=v1(1); end vc=v1; m=size(E,1); E1=[E(:,1:2),[1:m]']; 常用离散信号MATLAB 表示 单位抽样序列 n=-10:10; x=[n==0]; stem(n,x); title('单位抽样信号'); xlabel('n');ylabel('x');grid on ; -10 -8 -6 -4 -2 02 4 6 8 10 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91单位抽样信号 n x 延迟k=4个单位后的图像为: -10 -8 -6 -4 -2 02 4 6 8 10 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91单位抽样信号 n x 单位阶跃信号 n=-5:10; x=[zeros(1,5),ones(1,11)]; stem(n,x,'m','p'); axis([-5,10,-0.5,1.5]); title('单位阶跃信号'); xlabel('n');ylabel('幅度') grid on ; -5 510 -0.50 0.5 1 1.5 单位阶跃信号 n 幅度 矩形序列 n=-5:15; x=[zeros(1,5),ones(1,11),zeros(1,5)]; stem(n,x,'r','h') axis([-5,15,-0.5,1.5]); title('矩形序列'); xlabel('时间');ylabel('幅度') grid on ; -5 51015 -0.50 0.5 1 1.5 矩形序列 时间 幅度 正弦序列 n=-5:0.1:5; xn=2*sin(0.5*pi*n+pi/3); stem(n,xn) axis([-5,5,-3,3]); title('正弦序列'); xlabel('时间');ylabel('幅度'); grid on ; -5 -4-3-2-1 012345 -3-2 -1 1 2 3 正弦序列 时间 幅度 用matlab寻找赋权图中的最短路中的应用 1引言 图论是应用数学的一个分支,它的概念和结果来源都非常广泛,最早起源于一些数学游戏的难题研究,如欧拉所解决的格尼斯堡七桥问题,以及在民间广泛流传的一些游戏的难题,如迷宫问题,博弈问题等。这些古老的难题,吸引了很多学者的注意。 1847年,图论应用于分析电路网络,这是它最早应用于工程科学,以后随着科学的发展,图论在解决运筹学,网络理论,信息论,控制论,博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时,发挥出很大的作用。在实践中,图论已成为解决自然科学,工程技术,社会科学,军事等领域中许多问题的有力工具之一。 最短路问题是图论理论中的经典问题,寻找最短路径就是在指定网络中两节点间找一条距离最小的路。 2 最短路 2.1 最短路的定义(short-path problem) 对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图()0 w≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的,该算法能ij 够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路。后来海斯在Dijkstra算法的基础之上提出了海斯算法。但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。因此由Ford提出了Ford算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。但在现实生 w≥的情况下选择Dijkstra算法。活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在()0 ij 若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等),则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一,它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题,如管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等,而且经常被作为一个基本的工具,用于解决其他的做优化问题。 定义1:若图G=G(V,E)中个边[v i,v j]都赋有一个实数w ij ,则称这样的图G为图论算法及其MATLAB程序代码
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