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由二项分布推导泊松分布

由二项分布推导泊松分布

泊松分布的概率分布函数为:

由二项分布推导泊松分布

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。泊松分布的期望和方差均为λ。

泊松分布是最重要的离散分布之一,当随机变量X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数时,它往往服从泊松分布。例如,在一定时间内某交通路口所发生的事故个数,是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。

为方便记,设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n,把时间段[0,1)分为等长的n段:

由二项分布推导泊松分布

我们做如下两个假定:

1. 在每段内,恰发生一个事故的概率,近似的与这段时间的长成正比,可设为。当n很大,很小时,在这么短暂的一段时间内,要发生两次或者更多次事故是不可能的。因此在这段时间内不发生事故的概率为。

2. 各段是否发生事故是独立的把在[0,1)时段内发生的事故数X视作在n 个划分之后的小时段内有事故的时段数,则按照上述两个假定,X应服从二

项分布。于是,我们有

由二项分布推导泊松分布

注意到当取极限时,我们有

由二项分布推导泊松分布

因此

由二项分布推导泊松分布

从上述推导可以看出:泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说,若,其中n很大,p很小,因而不太大时,X的分布接近于泊松分布。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。