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2019年天津高考文科数学试题及答案(Word版)

2019年天津高考文科数学试题及答案(Word版)
2019年天津高考文科数学试题及答案(Word版)

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数 学(文史类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利

第Ⅰ卷

注意事项:

1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分共40分。 参考公式:

·如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+.

·圆柱的体积公式V Sh =,其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高

·棱锥的体积公式1

3

V Sh =,其中S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}1,1,2,3,5A =-,{}2,3,4B = ,{|13}C x R x =∈< ,则()A C B =

A. {2}

B. {2,3}

C. {-1,2,3}

D. {1,2,3,4}

2.设变量,x y 满足约束条件,则目标函数4z x y

=-+最大值为

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

3.设x R ∈,则“05x <<”是“11x -<”

A. 充分而不必要条件 B .

必要而不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为

A. 5

B. 8

C. 24

D. 29

5.已知2log 7a =,3log 8b =,0.20.3c =,则,,a b c 的大小关系为 A. c b a << B. a b c << C. b c a <<

D. c a b <<

6.已知抛物线2

4y x =的焦点为F ,准线为l .若与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线分别交于

点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为 A.

2

B.

3

C. 2

D.

57.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数,且()f x 的最小正周期为π,将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为()g x .若24g π??

=

???

则38

f π??=

???

A. -2

B.

D. 2

8.

已知函数01,()1,

1.x f x x x

??

=?>??若关于x

方程1

()()4

f x x a a R =-

+∈恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为

A. 59,44

??????

B. 59,44??

???

C. 59,{1}44??

???

D. 59,{1}44

??

??

??

绝密★启用前

第Ⅱ卷

注意事项:

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2.本卷共12小题,共110分。

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

9.i 是虚数单位,则

51i

i

-+的值为__________. 10. 设x R ∈,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 11. 曲线cos 2

x

y x =-

在点()0,1处的切线方程为__________. 12.

若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________. 13. 设0x >,0y >,24x y +=,则

(1)(21)

x y xy

++的最小值为__________.

14. 在四边形ABCD 中,AD BC ∥

,AB =,5AD = ,30A ∠=? ,点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,则BD AE ?=__________.

三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽

样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?

(Ⅱ)抽取的

25

人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如右表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

员工 项目 A

B

C

D

E

F

子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗

×

× × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○

×

×

×

(i )试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

(ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M 发生的概率.

16. 在ABC 中,内角A B C ,,

所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =. (Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π?

?

+

???

的值. 17. 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,PCD △为等边三角形,平面PAC ⊥平面

PCD ,PA CD ⊥,2CD =,3AD =,

(Ⅰ)设G H ,

分别为PB AC ,的中点,求证:GH ∥平面PAD ; (Ⅱ)求证:PA ⊥平面PCD ;

(Ⅲ)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.

18. 设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0,已知113a b ==,23b a = ,3243b a =+. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;

(Ⅱ)设数列{}n c 满足2

1,

,

,n

n n c b

n ??

=???为奇数为偶数求()*

112222n n

a c a c a c n N ++

+∈.

19. 设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ,左顶点为A ,顶点为B .已知3||2||OA OB =(O 为原

点).

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设经过点F 且斜率为

3

4

的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线4x =上,且OC AP ∥,求椭圆的方程.

20. 设函数()ln (1)x f x x a x e =--,其中a R ∈. (Ⅰ)若0a ≤,讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)若10a e

<<

, (i )证明()f x 恰有两个零点

(ii )设x 为()f x 的极值点,1x 为()f x 的零点,且10x x >,证明0132x x ->.

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}1,1,2,3,5A =-,{}2,3,4B = ,{|13}C x R x =∈< ,则()A C B =

A. {2}

B. {2,3}

C. {-1,2,3}

D. {1,2,3,4}

【答案】D 【解析】 【分析】

先求A B ?,再求()A C B 。

【详解】因为{1,2}A C =,

所以(){1,2,3,4}A

C B =.

故选D 。

【点睛】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形结合,即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算.

2.设变量,x y 满足约束条件,则目标函数4z x y =-+的最大值为

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

【答案】D 【解析】 【分析】

画出可行域,用截距模型求最值。

【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距, 故目标函数在点A 处取得最大值。 由20,

1x y x -+=??

=-?

,得(1,1)A -,

所以max 4(1)15z =-?-+=。 故选C 。

【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求.

3.设x R ∈,则“05x <<”是“11x -<”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】

求出11x -<的解集,根据两解集的包含关系确定.

【详解】11x -<等价于02x <<,故05x <<推不出11x -<; 由11x -<能推出05x <<。

故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。 故选B 。

【点睛】充要条件的三种判断方法: (1)定义法:根据p ?q ,q ?p 进行判断;

(2)集合法:根据由p ,q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断;

(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个

方法特别适合以否定形式给出的问题.

4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为

A. 5

B. 8

C. 24

D. 29

【答案】B 【解析】 【分析】

根据程序框图,逐步写出运算结果。

【详解】1,2S i ==→1

1,1225,3j S i ==+?==8,4S i ==,

结束循环,故输出8。

故选B 。

【点睛】解决此类型问题时要注意:①要明确是当型循环结构,还是直到型循环结构,根据各自的特点执行循环体;②要明确图中的累计变量,明确每一次执行循环体前和执行循环体后,变量的值发生的变化;③要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体.

5.已知2log 7a =,3log 8b =,0.20.3c =,则,,a b c 的大小关系为 A. c b a <<

B. a b c <<

C. b c a <<

D. c a b <<

【答案】A 【解析】 【分析】

利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小。 【详解】0.200.30.31c =<=;

22log 7log 42>=; 331log 8log 92<<=。

故c b a <<。 故选A 。

【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。

6.已知抛物线2

4y x =的焦点为F ,准线为l .若与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线分别交于

点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为

A.

B.

C. 2

D.

【答案】D 【解析】 【分析】

只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 【详解】l 的方程为1x =-,双曲线的渐近线方程为b

y x a

, 故得(1,),(1,)b b A B a a ---,

所以2b AB a =,

24b

a

=,2b a =,

所以c e a ===

故选D 。

【点睛】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>

的离心率c e a ==

7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数,且()f x 的最小正周期为π,将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为()g x .

若4g π??

=

???

则38

f π

??= ???

A. -2

B.

C.

D. 2

【答案】C 【解析】 【分析】

只需根据函数性质逐步得出,,A ω?值即可。 【详解】()f x 为奇函数,可知(0)sin 0f A ?==, 由?π<可得0?=;

把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得1()sin 2

g x A x ω=, 由()g x 的最小正周期为2π可得2ω=,

由()4

g π

=

2A =,

所以()2sin 2f x x =

,33()2sin 84

f ππ== 故选C 。

8.

已知函数01,

()1,

1.x f x x x

??

=?>??若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解,则

a 的取值范围为

A. 59,44??

????

B. 59,44?? ???

C. 59,{1}44??

???

D. 59,{1}44??

??

??

【解析】 【

分析】

画出()f x 图象及直线1

4

y x a =-+,借助图象分析。

【详解】如图,当直线1

4

y x a =-+位于B 点及其上方且位于A 点及其下方,

或者直线1

4y x a =-+与曲线1y x

=相切在第一象限时符合要求。

即1124a ≤-

+≤,即5944a ≤≤, 或者2114x -=-,得2x =,12y =,即11

224

a =-?+,得1a =,

所以a 的取值范围是{}59,149??

??

??

故选D 。

【点睛】根据方程实根个数确定参数范围,常把其转化为曲线交点个数,特别是其中一条为直线时常用此法。

绝密★启用前

第Ⅱ卷

注意事项:

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2.本卷共12小题,共110分。

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

9.i 是虚数单位,则

51i

i

-+的值为__________. 13

【分析】

先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模。

【详解】解法一:

5(5)(1)

231(1)(1)

i i i i i i i ---==-=++-。

解法二:

55

11i i i i --===++ 【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a +b i(a ,b ∈R )的形式,再根据题意求解.

10. 设x R ∈,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 【答案】2

(1,)3

- 【解析】 【分析】

通过因式分解,解不等式。 【详解】2320x x +-<, 即(1)(32)0x x +-<, 即213

x -<<

, 故x 的取值范围是2(1,)3

-。

【点睛】解一元二次不等式的步骤:(1)将二次项系数化为正数;(2)解相应的一元二次方程;(3)根据一元二次方程的根,结合不等号的方向画图;(4)写出不等式的解集.容易出现的错误有:①未将二次项系数化正,对应错标准形式;②解方程出错;③结果未按要求写成集合.

11. 曲线cos 2

x

y x =-

在点()0,1处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-= 【解析】 【分析】

利用导数值确定切线斜率,再用点斜式写出切线方程。

【详解】1'sin 2

y x =--, 当0x =时其值为12

-

, 故所求的切线方程为1

12

y x -=-

,即220x y +-=。 【点睛】曲线切线方程的求法:

(1)以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤: ①求出函数f (x )的导数f ′(x ); ②求切线的斜率f ′(x 0);

③写出切线方程y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0),并化简.

(2)如果已知点(x 1,y 1)不在曲线上,则设出切点(x 0,y 0),解方程组0010010

()'()y f x y y f x x x

=??

-?=?-?得切点(x 0,y 0),进而

确定切线方程.

12.

若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________. 【答案】

4

π. 【解析】 【分析】

根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径。

2=, 故圆柱的高为1,圆柱的底面半径为

12

, 故其体积为2

1124ππ????= ???

。 【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。

13. 设0x >,0y >,24x y +=,则

(1)(21)

x y xy

++的最小值为__________.

【答案】【解析】 【分析】

把分子展开化为26xy +,再利用基本不等式求最值。

==≥=

等号当且仅当3xy =,即3,1x y ==时成立。

故所求的最小值为

【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。

14. 在四边形ABCD 中,AD BC ∥,AB =,5AD = ,30A ∠=? ,点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,则BD AE ?=__________. 【答案】1-. 【解析】 【分析】

可利用向量的线性运算,也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。 【详解】详解:解法一:如图,过点B 作AE 的平行线交AD 于F , 因为AE BE =,故四边形AEBF 为菱形。

因为30BAD ∠=?,AB =2AF =,即2

5

AF AD =. 因为2

5

AE FB AB AF AB AD ==-=-

所以222727()()5121015555BD AE AD AB AB AD AB AD AB AD =--

=--=?-=-.

解法二:建立如图所示的直角坐标系,则(23,0)B ,535

(,)2

D 。 因为AD ∥BC ,30BAD ∠=?,所以30CB

E ∠=?, 因为AE BE =,所以30BAE ∠=?, 所以直线BE 的斜率为

3

3

,其方程为3(23)y x =-,

直线AE 的斜率为3-

,其方程为3

3

y x =-。 由3

(23),33y x y x ?=

-????=-??

得3x =,1y =-, 所以(3,1)E -。

所以35

(

,)(3,1)122

BD AE =-=-。

【点睛】平面向量问题有两大类解法:基向量法和坐标法,在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。

三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?

(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为,,,,,

A B C D E F.享受情况如右表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.

【答案】(I)6人,9人,10人;

(II)(i)见解析;(ii)11 15

.

【解析】

【分析】

(I)根据题中所给的老、中、青员工人数,求得人数比,利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等

的,结合样本容量求得结果;

(II )(I )根据6人中随机抽取2人,将所有的结果一一列出; (ii )根据题意,找出满足条件的基本事件,利用公式求得概率. 【详解】(I )由已知,老、中、青员工人数之比为6:9:10, 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工, 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人. (II )(i )从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F ,{}{}{}{},,,,,,,B C B D B E B F ,{}{}{},,,,,C D C E C F ,

{}{}{},,,,,D E D F E F ,共15种;

(ii )由表格知,符合题意的所有可能结果为

{}{}{}{},,,,,,,A B A D A E A F ,{}{}{},,,,,B D B E B F ,{}{},,,C E C F ,{}{},,,D F E F ,共11种,

所以,时间M 发生的概率11

()15

P M =

. 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

16. 在ABC 中,内角A B C ,,

所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =. (Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π?

?+ ???

值.

【答案】(Ⅰ) 14

-

; (Ⅱ

) 【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,a b c 的比例关系,然后利用余弦定理可得cos B 的值

(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin 2,cos 2B B 的值,然后利用两角和的正弦公式可得2a =的值. 【详解】(Ⅰ)在ABC 中,由正弦定理

sin sin b c

B C

=得sin sin b C c B =,

又由3sin 4sin c B a C =,得3sin 4sin b C a C =,即34b a =.

又因为2b c a +=,得到4

3b a =,23

c a =. 由余弦定理可得222cos 2

a c

b B a

c +-=

2

224161992423

a a a

a a +-==-??. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得215sin 1cos B B =-=

, 从而15sin 22sin cos 8

B B B ==-

,22

7cos 2cos sin 8B B B =-=-.

故15371357

sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ+?

?

+

=+=-?-?=- ?

?

?. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理?余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.

17. 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,PCD △为等边三角形,平面PAC ⊥平面

PCD ,PA CD ⊥,2CD =,3AD =,

(Ⅰ)设G H ,

分别为PB AC ,的中点,求证:GH ∥平面PAD ; (Ⅱ)求证:PA ⊥平面PCD ;

(Ⅲ)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】(I )见解析;(II )见解析;(III 3

【解析】 【分析】

(I )连接BD ,结合平行四边形的性质,以及三角形中位线的性质,得到GH

PD ,利用线面平行的判定

定理证得结果;

(II )取棱PC 的中点N ,连接DN ,依题意,得DN PC ⊥,结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN PA ⊥,利用线面垂直的判定定理证得结果;

(III )利用线面角的平面角的定义得到DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角,放在直角三角形中求得结果.

【详解】(I )证明:连接BD ,易知AC BD H ?=,BH DH =,

又由BG PG =,故GH PD ,

又因为GH ?平面PAD ,PD ?平面PAD , 所以GH ∥平面PAD .

(II )证明:取棱PC 的中点N ,连接DN ,依题意,得DN PC ⊥,

又因为平面PAC ⊥平面PCD ,平面PAC

平面PCD PC =,

所以DN ⊥平面PAC ,又PA ?平面PAC ,故DN PA ⊥, 又已知PA CD ⊥,CD DN D =,

所以PA ⊥平面PCD .

(III )解:连接AN ,由(II )中DN ⊥平面PAC , 可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角.

因为PCD ?为等边三角形,2CD =且N 为PC 的中点, 所以3DN =DN AN ⊥,

在Rt AND ?中,3

sin DN DAN AD ∠=

=

所以,直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为

3

3

. 【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基

础知识,考查空间想象能力和推理能力.

18. 设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0,已知113a b ==,23b a = ,3243b a =+. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;

(Ⅱ)设数列{}n c 满足2

1,,

,n n n c b

n ??

=???为奇数为偶数求()*

112222n n

a c a c a c n N ++

+∈.

【答案】(I )3n a n =,3n

n b =;

(II )22(21)369()2

n n n n N +*-++∈

【解析】 【分析】

(I )首先设出等差数列的公差,等比数列的公比,根据题意,列出方程组,求得3

3d q =??=?

,进而求得等差数

列和等比数列的通项公式;

(II )根据题中所给的n c 所满足的条件,将112222n n a c a c a c ++

+表示出来,之后应用分组求和法,结合

等差数列的求和公式,以及错位相减法求和,最后求得结果.

【详解】(I )解:设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,

依题意,得2

3323154q d q d =+??

=+?,解得3

3

d q =??=?, 故33(1)3n a n n =+-=,1333n n

n b -=?=,

所以,{}n a 的通项公式为3n a n =,{}n b 的通项公式为3n

n b =;

(II )112222n n a c a c a c +++

135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++

+++++

+

123(1)

[36](6312318363)2

n n n n n -=?+

?+?+?+?++?

21236(13233)n n n =+??+?+

+?,

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