绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分共40分。 参考公式:
·如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+.
·圆柱的体积公式V Sh =,其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高
·棱锥的体积公式1
3
V Sh =,其中S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}1,1,2,3,5A =-,{}2,3,4B = ,{|13}C x R x =∈< ,则()A C B =
A. {2}
B. {2,3}
C. {-1,2,3}
D. {1,2,3,4}
2.设变量,x y 满足约束条件,则目标函数4z x y
=-+最大值为
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
3.设x R ∈,则“05x <<”是“11x -<”
A. 充分而不必要条件 B .
必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为
A. 5
B. 8
C. 24
D. 29
5.已知2log 7a =,3log 8b =,0.20.3c =,则,,a b c 的大小关系为 A. c b a << B. a b c << C. b c a <<
D. c a b <<
6.已知抛物线2
4y x =的焦点为F ,准线为l .若与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于
点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为 A.
2
B.
3
C. 2
D.
57.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数,且()f x 的最小正周期为π,将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为()g x .若24g π??
=
???
则38
f π??=
???
A. -2
B.
D. 2
8.
已知函数01,()1,
1.x f x x x
??
=?>??若关于x
的
方程1
()()4
f x x a a R =-
+∈恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为
A. 59,44
??????
B. 59,44??
???
C. 59,{1}44??
???
D. 59,{1}44
??
??
??
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第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
9.i 是虚数单位,则
51i
i
-+的值为__________. 10. 设x R ∈,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 11. 曲线cos 2
x
y x =-
在点()0,1处的切线方程为__________. 12.
若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________. 13. 设0x >,0y >,24x y +=,则
(1)(21)
x y xy
++的最小值为__________.
14. 在四边形ABCD 中,AD BC ∥
,AB =,5AD = ,30A ∠=? ,点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,则BD AE ?=__________.
三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽
样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(Ⅱ)抽取的
25
人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如右表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 A
B
C
D
E
F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗
×
× × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○
○
×
×
×
○
(i )试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M 发生的概率.
16. 在ABC 中,内角A B C ,,
所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =. (Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π?
?
+
???
的值. 17. 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,PCD △为等边三角形,平面PAC ⊥平面
PCD ,PA CD ⊥,2CD =,3AD =,
(Ⅰ)设G H ,
分别为PB AC ,的中点,求证:GH ∥平面PAD ; (Ⅱ)求证:PA ⊥平面PCD ;
(Ⅲ)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.
18. 设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0,已知113a b ==,23b a = ,3243b a =+. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;
(Ⅱ)设数列{}n c 满足2
1,
,
,n
n n c b
n ??
=???为奇数为偶数求()*
112222n n
a c a c a c n N ++
+∈.
19. 设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,左顶点为A ,顶点为B .已知3||2||OA OB =(O 为原
点).
(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设经过点F 且斜率为
3
4
的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线4x =上,且OC AP ∥,求椭圆的方程.
20. 设函数()ln (1)x f x x a x e =--,其中a R ∈. (Ⅰ)若0a ≤,讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)若10a e
<<
, (i )证明()f x 恰有两个零点
(ii )设x 为()f x 的极值点,1x 为()f x 的零点,且10x x >,证明0132x x ->.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}1,1,2,3,5A =-,{}2,3,4B = ,{|13}C x R x =∈< ,则()A C B =
A. {2}
B. {2,3}
C. {-1,2,3}
D. {1,2,3,4}
【答案】D 【解析】 【分析】
先求A B ?,再求()A C B 。
【详解】因为{1,2}A C =,
所以(){1,2,3,4}A
C B =.
故选D 。
【点睛】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形结合,即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算.
2.设变量,x y 满足约束条件,则目标函数4z x y =-+的最大值为
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域,用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距, 故目标函数在点A 处取得最大值。 由20,
1x y x -+=??
=-?
,得(1,1)A -,
所以max 4(1)15z =-?-+=。 故选C 。
【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求.
3.设x R ∈,则“05x <<”是“11x -<”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
求出11x -<的解集,根据两解集的包含关系确定.
【详解】11x -<等价于02x <<,故05x <<推不出11x -<; 由11x -<能推出05x <<。
故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。 故选B 。
【点睛】充要条件的三种判断方法: (1)定义法:根据p ?q ,q ?p 进行判断;
(2)集合法:根据由p ,q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断;
(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个
方法特别适合以否定形式给出的问题.
4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为
A. 5
B. 8
C. 24
D. 29
【答案】B 【解析】 【分析】
根据程序框图,逐步写出运算结果。
【详解】1,2S i ==→1
1,1225,3j S i ==+?==8,4S i ==,
结束循环,故输出8。
故选B 。
【点睛】解决此类型问题时要注意:①要明确是当型循环结构,还是直到型循环结构,根据各自的特点执行循环体;②要明确图中的累计变量,明确每一次执行循环体前和执行循环体后,变量的值发生的变化;③要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体.
5.已知2log 7a =,3log 8b =,0.20.3c =,则,,a b c 的大小关系为 A. c b a <<
B. a b c <<
C. b c a <<
D. c a b <<
【答案】A 【解析】 【分析】
利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小。 【详解】0.200.30.31c =<=;
22log 7log 42>=; 331log 8log 92<<=。
故c b a <<。 故选A 。
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。
6.已知抛物线2
4y x =的焦点为F ,准线为l .若与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于
点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为
A.
B.
C. 2
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 【详解】l 的方程为1x =-,双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±
, 故得(1,),(1,)b b A B a a ---,
所以2b AB a =,
24b
a
=,2b a =,
所以c e a ===
故选D 。
【点睛】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>
的离心率c e a ==
7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数,且()f x 的最小正周期为π,将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为()g x .
若4g π??
=
???
则38
f π
??= ???
A. -2
B.
C.
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
只需根据函数性质逐步得出,,A ω?值即可。 【详解】()f x 为奇函数,可知(0)sin 0f A ?==, 由?π<可得0?=;
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得1()sin 2
g x A x ω=, 由()g x 的最小正周期为2π可得2ω=,
由()4
g π
=
2A =,
所以()2sin 2f x x =
,33()2sin 84
f ππ== 故选C 。
8.
已知函数01,
()1,
1.x f x x x
??
=?>??若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解,则
a 的取值范围为
A. 59,44??
????
B. 59,44?? ???
C. 59,{1}44??
???
D. 59,{1}44??
??
??
【解析】 【
分析】
画出()f x 图象及直线1
4
y x a =-+,借助图象分析。
【详解】如图,当直线1
4
y x a =-+位于B 点及其上方且位于A 点及其下方,
或者直线1
4y x a =-+与曲线1y x
=相切在第一象限时符合要求。
即1124a ≤-
+≤,即5944a ≤≤, 或者2114x -=-,得2x =,12y =,即11
224
a =-?+,得1a =,
所以a 的取值范围是{}59,149??
??
??
。
故选D 。
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围,常把其转化为曲线交点个数,特别是其中一条为直线时常用此法。
绝密★启用前
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
9.i 是虚数单位,则
51i
i
-+的值为__________. 13
【分析】
先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】解法一:
5(5)(1)
231(1)(1)
i i i i i i i ---==-=++-。
解法二:
55
11i i i i --===++ 【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a +b i(a ,b ∈R )的形式,再根据题意求解.
10. 设x R ∈,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 【答案】2
(1,)3
- 【解析】 【分析】
通过因式分解,解不等式。 【详解】2320x x +-<, 即(1)(32)0x x +-<, 即213
x -<<
, 故x 的取值范围是2(1,)3
-。
【点睛】解一元二次不等式的步骤:(1)将二次项系数化为正数;(2)解相应的一元二次方程;(3)根据一元二次方程的根,结合不等号的方向画图;(4)写出不等式的解集.容易出现的错误有:①未将二次项系数化正,对应错标准形式;②解方程出错;③结果未按要求写成集合.
11. 曲线cos 2
x
y x =-
在点()0,1处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-= 【解析】 【分析】
利用导数值确定切线斜率,再用点斜式写出切线方程。
【详解】1'sin 2
y x =--, 当0x =时其值为12
-
, 故所求的切线方程为1
12
y x -=-
,即220x y +-=。 【点睛】曲线切线方程的求法:
(1)以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤: ①求出函数f (x )的导数f ′(x ); ②求切线的斜率f ′(x 0);
③写出切线方程y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0),并化简.
(2)如果已知点(x 1,y 1)不在曲线上,则设出切点(x 0,y 0),解方程组0010010
()'()y f x y y f x x x
=??
-?=?-?得切点(x 0,y 0),进而
确定切线方程.
12.
若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________. 【答案】
4
π. 【解析】 【分析】
根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径。
2=, 故圆柱的高为1,圆柱的底面半径为
12
, 故其体积为2
1124ππ????= ???
。 【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
13. 设0x >,0y >,24x y +=,则
(1)(21)
x y xy
++的最小值为__________.
【答案】【解析】 【分析】
把分子展开化为26xy +,再利用基本不等式求最值。
==≥=
等号当且仅当3xy =,即3,1x y ==时成立。
故所求的最小值为
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14. 在四边形ABCD 中,AD BC ∥,AB =,5AD = ,30A ∠=? ,点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,则BD AE ?=__________. 【答案】1-. 【解析】 【分析】
可利用向量的线性运算,也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。 【详解】详解:解法一:如图,过点B 作AE 的平行线交AD 于F , 因为AE BE =,故四边形AEBF 为菱形。
因为30BAD ∠=?,AB =2AF =,即2
5
AF AD =. 因为2
5
AE FB AB AF AB AD ==-=-
,
所以222727()()5121015555BD AE AD AB AB AD AB AD AB AD =--
=--=?-=-.
解法二:建立如图所示的直角坐标系,则(23,0)B ,535
(,)2
D 。 因为AD ∥BC ,30BAD ∠=?,所以30CB
E ∠=?, 因为AE BE =,所以30BAE ∠=?, 所以直线BE 的斜率为
3
3
,其方程为3(23)y x =-,
直线AE 的斜率为3-
,其方程为3
3
y x =-。 由3
(23),33y x y x ?=
-????=-??
得3x =,1y =-, 所以(3,1)E -。
所以35
(
,)(3,1)122
BD AE =-=-。
【点睛】平面向量问题有两大类解法:基向量法和坐标法,在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。
三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为,,,,,
A B C D E F.享受情况如右表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
【答案】(I)6人,9人,10人;
(II)(i)见解析;(ii)11 15
.
【解析】
【分析】
(I)根据题中所给的老、中、青员工人数,求得人数比,利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等
的,结合样本容量求得结果;
(II )(I )根据6人中随机抽取2人,将所有的结果一一列出; (ii )根据题意,找出满足条件的基本事件,利用公式求得概率. 【详解】(I )由已知,老、中、青员工人数之比为6:9:10, 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工, 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人. (II )(i )从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F ,{}{}{}{},,,,,,,B C B D B E B F ,{}{}{},,,,,C D C E C F ,
{}{}{},,,,,D E D F E F ,共15种;
(ii )由表格知,符合题意的所有可能结果为
{}{}{}{},,,,,,,A B A D A E A F ,{}{}{},,,,,B D B E B F ,{}{},,,C E C F ,{}{},,,D F E F ,共11种,
所以,时间M 发生的概率11
()15
P M =
. 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
16. 在ABC 中,内角A B C ,,
所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =. (Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π?
?+ ???
的
值.
【答案】(Ⅰ) 14
-
; (Ⅱ
) 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,a b c 的比例关系,然后利用余弦定理可得cos B 的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin 2,cos 2B B 的值,然后利用两角和的正弦公式可得2a =的值. 【详解】(Ⅰ)在ABC 中,由正弦定理
sin sin b c
B C
=得sin sin b C c B =,
又由3sin 4sin c B a C =,得3sin 4sin b C a C =,即34b a =.
又因为2b c a +=,得到4
3b a =,23
c a =. 由余弦定理可得222cos 2
a c
b B a
c +-=
2
224161992423
a a a
a a +-==-??. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得215sin 1cos B B =-=
, 从而15sin 22sin cos 8
B B B ==-
,22
7cos 2cos sin 8B B B =-=-.
故15371357
sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ+?
?
+
=+=-?-?=- ?
?
?. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理?余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
17. 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,PCD △为等边三角形,平面PAC ⊥平面
PCD ,PA CD ⊥,2CD =,3AD =,
(Ⅰ)设G H ,
分别为PB AC ,的中点,求证:GH ∥平面PAD ; (Ⅱ)求证:PA ⊥平面PCD ;
(Ⅲ)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】(I )见解析;(II )见解析;(III 3
【解析】 【分析】
(I )连接BD ,结合平行四边形的性质,以及三角形中位线的性质,得到GH
PD ,利用线面平行的判定
定理证得结果;
(II )取棱PC 的中点N ,连接DN ,依题意,得DN PC ⊥,结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN PA ⊥,利用线面垂直的判定定理证得结果;
(III )利用线面角的平面角的定义得到DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角,放在直角三角形中求得结果.
【详解】(I )证明:连接BD ,易知AC BD H ?=,BH DH =,
又由BG PG =,故GH PD ,
又因为GH ?平面PAD ,PD ?平面PAD , 所以GH ∥平面PAD .
(II )证明:取棱PC 的中点N ,连接DN ,依题意,得DN PC ⊥,
又因为平面PAC ⊥平面PCD ,平面PAC
平面PCD PC =,
所以DN ⊥平面PAC ,又PA ?平面PAC ,故DN PA ⊥, 又已知PA CD ⊥,CD DN D =,
所以PA ⊥平面PCD .
(III )解:连接AN ,由(II )中DN ⊥平面PAC , 可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角.
因为PCD ?为等边三角形,2CD =且N 为PC 的中点, 所以3DN =DN AN ⊥,
在Rt AND ?中,3
sin DN DAN AD ∠=
=
所以,直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为
3
3
. 【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基
础知识,考查空间想象能力和推理能力.
18. 设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0,已知113a b ==,23b a = ,3243b a =+. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;
(Ⅱ)设数列{}n c 满足2
1,,
,n n n c b
n ??
=???为奇数为偶数求()*
112222n n
a c a c a c n N ++
+∈.
【答案】(I )3n a n =,3n
n b =;
(II )22(21)369()2
n n n n N +*-++∈
【解析】 【分析】
(I )首先设出等差数列的公差,等比数列的公比,根据题意,列出方程组,求得3
3d q =??=?
,进而求得等差数
列和等比数列的通项公式;
(II )根据题中所给的n c 所满足的条件,将112222n n a c a c a c ++
+表示出来,之后应用分组求和法,结合
等差数列的求和公式,以及错位相减法求和,最后求得结果.
【详解】(I )解:设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,
依题意,得2
3323154q d q d =+??
=+?,解得3
3
d q =??=?, 故33(1)3n a n n =+-=,1333n n
n b -=?=,
所以,{}n a 的通项公式为3n a n =,{}n b 的通项公式为3n
n b =;
(II )112222n n a c a c a c +++
135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++
+++++
+
123(1)
[36](6312318363)2
n n n n n -=?+
?+?+?+?++?
21236(13233)n n n =+??+?+
+?,