概率论与数理统计学1至7章课后答案
一、第六章习题详解
证明（6.2.1）和式.
证明： (1) ∑∑∑===+=+==n
i i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 1
11)(1
)(11
b X a b X n a n
i i +=+=∑=1
)1(
(2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Y
b X a b aX n Y Y n S 1
212
2
)]()[(1)(11 221
2212)(1)]([1X n
i i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑==
设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2
σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。证明与2
(),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =12121
1
1
[()]()()n n E X X X E X X X n n
n n μμ++
=
++==
()Var X =22
1212221
1
1[()]()()n n Var X X X E X X X n n
n
n n
σσ++
=++
==
设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2
σ的总体的样本,2
21
1()1n
i i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2
S =)(11
21
2X n X n n
i i --=
∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i
i n i i X X X X n X X n S 1
2
2122
)2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n
i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑= )(1121
2X n X n n
i i --=∑=
(2) )(11)(2
122
X n X E n S E n i i --=
∑=)]()([1121
2X nE X E n n
i i --=∑= ]})()([])()([{11212X E X Var n EX X Var n n
i i i +-+-=∑= )}()({1122122μσμσ+-+-=∑=n
n n n
i )]()([11
2222μσμσn n n +-+-=
222)(11σσσ=--=n n
在例6.2.3 中, 设每箱装n 瓶洗净剂. 若想要n 瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超 过毫升的概率近似为95%, 请问n 至少应该等于多少 解：因为1)3.0(2)/3
.0|/(|
)3.0|(|-Φ≈<
-=<-n n
n
X P X P σσμ
μ
依题意有，95.01)3.0(2=-Φn ，即)96.1(975.0)3.0(Φ==Φn
于是 96.13.0=n ，解之得 7.42=n 所以n 应至少等于43.
假设某种类型的电阻器的阻值服从均值 μ=200 欧姆, 标准差σ=10 欧姆的分布, 在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.
(1) 求这25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率; (2) 求这25个电阻总阻值不超过5100 欧姆的概率. 解：由抽样分布定理，知
n
X /σμ
-近似服从标准正态分布N (0,1)，因此
(1) )25
/10200199()25/10200
202(
)202199(-Φ--Φ≈≤≤X P
)5.0(1)1()5.0()1(Φ+-Φ=-Φ-Φ=
5328.06915.018413.0=+-=
(2) )204()25
5100
()5100(≤=≤
=≤X P X P X n P 9772.0)2()25
/10200204(
=Φ=-Φ≈
假设某种设备每天停机时间服从均值μ=4 小时、标准差σ=小时的分布. (1) 求一个月(30天) 中, 每天平均停机时间在1到5小时之间的概率; (2) 求一个月(30天) 中, 总的停机时间不超过115 小时的概率. 解：(1))30
/8.041(
)30
/8.045(
)/1(
)/5(
)51(-Φ--Φ=-Φ--Φ≈≤≤n
n
X P σμ
σμ
1)54.20()85.6(≈-Φ-Φ=
(2) )30
115
()11530(≤
=≤X P X P 1271.08729.01)14.1(1)30
/8.0430/115(=-=Φ-=-Φ≈
设~n T t ，证明()0,2,3,
.E T n ==
证：)(n t 分布的概率密度为: +∞<<-∞??
?
?
??+Γ+Γ=
+-
t n x n n n x f n ,1)2/(]2/)1[()(2
1
2
π，
()()E T xf x dx +∞-∞
==
?
=
11
2
2
2
2
2
122
11(1)
10
n n n
x x x dx d n n n
x n ++--
+∞
+∞
-∞
-∞
-+∞
-∞
????
+=++?
?
??
?=+=??
?
?
设总体X ~N(150，252
), 现在从中抽取样本大小为25的样本, {140147.5}P X ≤≤. 解： 已知150=μ，25=σ，25=n ，
)25
/25150
140()25/251505.147()5.147140(-Φ--Φ≈≤≤X P
)5.0()2()2()5.0(Φ-Φ=-Φ--Φ=
2857.09615.09772.0=-=
设某大城市市民的年收入服从均值μ=万元、标准差σ=万元的正态分布. 现 随机调查了100 个人, 求他们的平均年收入落在下列范围内的概率: (1) 大于万元; (2) 小于万元; (3) 落在区间[，] 内.
解：设X 为人均年收入，则)5.0,5.1(~2
N X ，则)100
5.0,5.1(~2
N X ，得 (1) )100
/5.05.16.1(
1)6.1(1)6.1(-Φ-≈≤-=>X P X P
0228.09772.01)2(1=-=Φ-=
(2) 011)4(1)4()100
/5.05.13.1(
)3.1(=-≈Φ-=-Φ=-Φ≈ (3) )100 /5.05.12.1()100 /5.05.16.1( )6.12.1(-Φ--Φ≈< 9772.0)6()2(=-Φ-Φ= 假设总体分布为N(12，22 ), 今从中抽取样本125,, ,X X X . 求 (1) 样本均值X 大于13的概率; (2) 样本的最小值小于10的概率; (3) 样本的最大值大于15的概率. 解：因为 )2,12(~2 N X ，所以2 2~(12,)5 X N ，得 (1) )5 /21213( 1)13(1)13(-Φ-≈≤-=>X P X P 1314.08686.01)12.1(1=-=Φ-= (2) 设样本的最小值为Y ，则),,,(521X X X Min Y =，于是 )10(1)10(≥-= )10()10()10(1521≥≥≥-=X P X P X P )]2 12 10(1[1)]10(1[15 15 1-Φ-∏-=<-∏-===i i i X P 5785.0)8413.0(1)1(1)]1(1[155 1 51 =-=Φ∏-=-Φ-∏-===i i (3) 设样本的最大值为Z ，则),,,(521X X X Max Z =，于是 )15(1)15(≤-=>Z P Z P )15()15()15(1521≤≤≤-=X P X P X P )2 1215(15 1-Φ∏-==i 2923.0)9332.0(1)5.1(1551=-=Φ∏-==i 设总体),(~2σμN X ，从中抽取容量样本1216,, ,X X X , 2S 为样本方差. 计算 22 2.04S P σ??≤???? . 解 因为),,(~2σμN X 由定理2, 得 ),1(~)1(212 2 2 -??? ? ? ?-=-∑ =n X X S n n i i χσσ 所以,1)1(22-=???? ??-n S n E σ),1(2)1(22-=??? ? ??-n S n D σ 于是,)(22σ=S E ).1/(2)(42-=n S D σ 当16=n 时, ,15/2)(42σ=S D 且 2222{/ 2.04}{15/30.615}P S P S σσ≤=≤}615.30/15{122>-=σS P 99.001.01=-=).578.30)15((2 01.0=χ 第六章 《样本与统计量》定理、公式、公理小结及补充：