同济版高等数学新编课后习题解析

同济版高等数学新编课

后习题解析

GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

书后部分习题解答

P21页

3．（3）n

n

n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<

知识点：1）等比级数求和)1(1)1(1

2≠--=++++-q q

q a aq

aq aq a n n （共n 项）

2）用P14例4的结论：当1

→n n q

解：n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim

a

b b

b a a n n n --=----=++∞→111111lim 11

5.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：

设a 为正常数，00>x ，)(2

11n

n n x a x x +

=+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n

n n n n =??≥+

=+221)(2

11（数列有下界） 又02)(212

1≤-=-+=-+n

n n n n n n x x a x x a

x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少）

由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞

→lim ，对)(2

1

1n

n n x a

x x +

=+两边取极限，得)(21b

a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a .

P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211)

1()1()]1(1[lim -++--++→x n

x n x n x (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则2

11)1()1(lim -++-+→x n

x n x n x

2

)

1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页

8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3

12

--+x ax ，求常数a . 知识点：1）等价无穷小的概念；

2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。

解：由题意：1322

31lim 1cos 1)1(lim

2203

120=-=-=--+→→a x

ax

x ax x x 得23

-=a 或13

2]1)1()1[(2

1

1lim 1

cos 1)1(lim 31

232

22203

1

20=-

=++++?--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化） P42页3（4）

关于间断点：x

x

x f 1sin

1)(=

0=x 为第二类间断点

说明：x

x x 1sin 1lim 0→不存在（在0→x 的过程中，函数值不稳定，不趋向与∞） P43页7（1）证明方程042=-x x 在)2

1,0(内必有一实根。 知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理

证明：设x x f x 42)(-=，易知，)(x f 在]2

1,0[上连续； （注:设函数，闭区间）

01)0(>=f ，022)2

1(<-=f ，

故由根的存在定理，至少在)2

1,0(内存在一点ξ，使0)(=ξf ，

即方程042=-x x 在)2

1,0(内必有一实根.

P61页

3.设)(0x f '存在，求：

（1）x x x f x f x ??--→?)()(lim

000

（2）h

h x f h x f h )

()(lim 000--+→

（3）t

x f t x f t )

()3(lim

000

-+→

分析：因)(0x f '存在，则极限x

x f x x f x ?-?+→?)

()(lim

000

的值为)(0x f '。

把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式

解：（1）x

x x f x f x ??--→?)

()(lim

000

)()()())((lim 0000x f x x f x x f x '=?--?-+=→? （2）h h x f h x f h )()(lim

000

--+→h

x f h x f x f h x f h )

()()()(lim

00000+---+=→ （3）t x f t x f t )()3(lim

000

-+→)(333)()3(lim 0000x f t

x f t x f t '=?-+=→ 8.用导数的定义求??

?≥+<=0

,)1ln(0,

)(x x x x x f 在0=x 处的导数.（可参看P51例1-2）

知识点：1）导数在一点0x 处的定义：x

x f x x f x f x ?-?+='→?)

()(lim

)(000

0；

2）点0x 处的左右导数的定义与记号：

左导数x

x f x x f x f x ?-?+='-

→?-)

()(lim

)(0000

右导数x

x f x x f x f x ?-?+='+

→?+)

()(lim

)(0000

3）分段函数在分界点（具体的点）处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。

解：因0)0(=f （先写出0=x 处的函数值） 又10

lim )0()0(lim

)0(00=?-?=?-?+='--

→?→?-x

x x f x f f x x （在0=x 处的左导数定义）

（在0=x 处的右导数定义）

而1)0()0()0(=''='+-f f f 故

10.设函数???>+≤=1

,1

,)(2x b ax x x x f ，为了使函数在1=x 处连续且可导，b a ,应取什么

值？

题型：分段函数在分界点处的连续性与导数的求法。

解：由题意，函数在1=x 处连续，则1)1()01()01(==+=-f f f ，即

b a b ax x f f x x +=+==+++→→)(lim )(lim )01(1

1

，得1=+b a

又函数在1=x 处可导，则)1()1(+-'='f f

而21

)1(lim )1()1(lim )1(200=?-?+=?-?+='--

→?→?-x

x x f x f f x x a x

b x a x f x f f x x =?-+?+=?-?+='--

→?→?+1

)1(lim )1()1(lim )1(00

（用到了1=+b a ） 故1,2-==b a

书后部分习题解答3（关于隐函数求导） P62页

14． 设032=+-y x e xy ，求

=x dx

dy .

分析：1）隐函数求导；2）由0=x 代入方程要求出y 的值。

解：方程两边对x 求导：

032)1(2=?+-?+?dx dy y x dx dy x y e xy

得：2

32y xe ye x dx dy xy xy +-= 又由0=x 代入方程，得1-=y ，所以：

3

10

=

=x dx

dy

20.已知0)sin(2

=-y xy π，求

)

1,0(-dx

dy

，)

1,0(2

2-dx

y d .

要点：求隐函数二阶导数的方法。 解：方程两边对x 求导： 02)cos()1(2=??-?

+?dx

dy y y dx dy x y ππ （1） 把1,0-==y x 代入式（1），解得

π

21)

1,0(-

=-dx

dy

（或由式（1）解得：

x

y y y dx dy -=)cos(22ππ （2） 再把点代入得

π

21

)

1,0(-

=-dx

dy ） （求隐函数二阶求导的方法）

方法1：式（1）两边对x 求导，（记y dx

dy

'=，y dx y d ''=22）

把1,0-==y x ，

π

21

)1,0(-=-dx

dy

代入，得2

)

1,0(2

241π

-

=-dx y d

（代入：0)1(2)1(1)21(2)1(0021212=''?-??-?--?--++--

y ππ

πππ）

方法2：式（2）对x 求导：

2

222222]

)cos(2[]

12)sin(2)cos(2[])cos(2[x y y y y y y y y y x y y y dx y d --'?-'--'=πππππππππ， 点、一阶导数直接代入（不用化简，注意式中有0处的值）即可. P62页15题.利用对数求导法求导

（3）x

x

x y +-=112

说明：1）一定要用对数求导法求导；2）取对数后，先化简. 解：取对数：)]1ln()1[ln(2

1ln 2ln x x x y +--+=（化简）

两边对x 求导：)11

11(

21121x

x x

y y

+---+='?

所以：)11

2(112

2

x

x x x x y --+-=' （y 代入） 书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限） P82页

1．检验罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 是否成立？

分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件； 2）若符合，ξ是否存在？

解：易知)3)(2)(1()(---=x x x x f 在[1,2],[2,3]上连续，（1,2），（2,3）内可导，且0)3()2()1(===f f f ，故符合罗尔定理的条件。

又由011123)(2=+-='x x x f ，得3

3

2±

=ξ，故有)2,1(;0)(11∈='ξξf )3,2(;0)(22∈='ξξf ，符合罗尔定理的结论.

故罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 成立。 4.(3)证：b a b a -≤-arctan arctan

证：设x x f arctan )(=，当b a =时，等式成立；

若b a <，则易知x x f arctan )(=在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则由拉格朗日定理

存在),(b a ∈ξ，使)(11

))(()()(2

a b a b f a f b f -+=

-'=-ξξ 取绝对值，得a b a b a b -≤-+=

-)(11

arctan arctan 2

ξ

同理b a >，可证b a b a -≤-arctan arctan 综合：有b a b a -≤-arctan arctan

6.设函数)(x f 在闭区间[1,2]上可微，证明：ξ

ξ2)

(3)1()2(f f f '=

-，其中21<<ξ. 提示：对)(x f ，2)(x x g =用柯西中值定理.

8.证明：π=--)43arccos(arccos 33x x x ，其中2

1≤

x . 题型：证明函数为常数；

用到的知识：书78页定理3.4（3）的结论，若0)(≡'x f ，则C x f ≡)(.()(0x f C =) 证明：设)43arccos(arccos 3)(3x x x x f --=，则

)123()43(11)11(3)(22

32

x x x x x f ---+

--='，

整理，当21<

x ，0)(='x f ，故C x f ≡)(，又ππ

π=-?=2

23)0(f 所以：π=--)43arccos(arccos 33x x x ，当2

1

≤

x . P89页（用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算）

2（3）x

x

x 3tan tan lim

2

π

→

解：x x x x x x x x cos 3sin 3cos sin lim 3tan tan lim

2

2

ππ

→→

=x

x

x cos )1(3cos 1lim 2

?-?=→π

（用到连续性与极限的运算，相当于2

π

=x 代入）

（5）)0(sin ln sin ln lim

0>+→m x

mx

x

解：x

x m

mx mx

x

mx

x x sin cos sin cos lim sin ln sin ln lim 00?=++→→

（整理，等价无穷小的代换）

3.（2）)1(cot lim 0

x

x x -→ （函数差的极限，一定要整理成函数商的极限）

解：)1(cot lim 0

x

x x -→=x x x x x x sin sin cos lim

-→20sin cos lim x

x

x x x -=→ （用了等价无穷小的代换） 4.（3）x x x

)]1

[ln(lim 0+

→ （幂指函数的极限）

解：x x x

)]1[ln(lim 0+→=)]1

ln[ln(lim 0x x x e +

→

先求0)ln (lim 1)

1

(ln 1lim 1)ln ln(lim )]1ln[ln(lim 02

000=-=---=-=+++

+→→→→x

x

x

x x x x x x x x x x （用到x x

ln )1

ln(-=，+→0x 时，-∞→x ln ，无穷大量的倒数为无穷小） 故1)]1[ln(lim 00==+

→e x

x x

（4）x x x )arctan 2

(lim π+∞→

解：)

arctan 2

ln(

lim )arctan 2

(lim x x x

x x e

x π

π

+∞

→=+∞→

而2

2

1

11

arctan 1lim 1)

ln(arctan )2

ln(lim )arctan 2

ln(lim x

x x x

x x x x x x -+?=+=+∞→+∞→+∞→π

π

π2arctan )1(lim 22-=+-=+∞→x x x x (用到1)

1(lim 22

-=+-+∞→x x x ，2arctan lim π=+∞→x x ) 故π

π

2

)arctan 2

(lim -

+∞→=e

x x

x

7.试确定常数b a ,，使得2)

()1ln(lim 220=+-+→x

bx ax x x . 解：因=+-+→220)

()1ln(lim x bx ax x x x

bx a x x 2)

2(11

lim 0+-+→， 又0→x ，上式分母02→x ，且极限存在，则必须分子

0211

→--+bx a x

得1=a ；则

x

bx a x x 2)2(11lim 0+-+→=222122)1(1lim

2

0=--=-+-→b b x x ，得25-=b 书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限） P82页

1．检验罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 是否成立？

分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件； 2）若符合，ξ是否存在？

解：易知)3)(2)(1()(---=x x x x f 在[1,2],[2,3]上连续，（1,2），（2,3）内可导，且0)3()2()1(===f f f ，故符合罗尔定理的条件。

又由011123)(2=+-='x x x f ，得3

3

2±

=ξ，故有)2,1(;0)(11∈='ξξf )3,2(;0)(22∈='ξξf ，符合罗尔定理的结论.

故罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 成立。 4.(3)证：b a b a -≤-arctan arctan

证：设x x f arctan )(=，当b a =时，等式成立；

若b a <，则易知x x f arctan )(=在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则由拉格朗日定理

存在),(b a ∈ξ，使)(11

))(()()(2

a b a b f a f b f -+=

-'=-ξ

ξ 取绝对值，得a b a b a b -≤-+=

-)(11

arctan arctan 2

ξ 同理b a >，可证b a b a -≤-arctan arctan 综合：有b a b a -≤-arctan arctan

6.设函数)(x f 在闭区间[1,2]上可微，证明：ξ

ξ2)

(3)1()2(f f f '=

-，其中21<<ξ. 提示：对)(x f ，2)(x x g =用柯西中值定理. 8.证明：π=--)43arccos(arccos 33x x x ，其中2

1≤

x . 题型：证明函数为常数；

用到的知识：书78页定理3.4（3）的结论，若0)(≡'x f ，则C x f ≡)(.()(0x f C =) 证明：设)43arccos(arccos 3)(3x x x x f --=，则

)123()43(11)11(3)(22

32

x x x x x f ---+

--

='，

整理，当21<

x ，0)(='x f ，故C x f ≡)(，又ππ

π=-?=2

23)0(f 所以：π=--)43arccos(arccos 33x x x ，当2

1

≤

x . P89页（用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算）

2（3）x

x

x 3tan tan lim

2

π

→

解：x x x x x x x x cos 3sin 3cos sin lim 3tan tan lim

2

2

ππ

→→

=x

x

x cos )1(3cos 1lim 2

?-?=→π

（用到连续性与极限的运算，相当于2

π

=x 代入）

（5）)0(sin ln sin ln lim

0>+→m x

mx

x

解：x

x m

mx mx

x

mx x x sin cos sin cos lim sin ln sin ln lim 00?=++→→ （整理，等价无穷小的代换）

3.（2）)1(cot lim 0

x

x x -→ （函数差的极限，一定要整理成函数商的极限）

解：)1(cot lim 0

x

x x -→=x x x x x x sin sin cos lim

-→2

0sin cos lim

x x

x x x -=→ （用了等价无穷小的代换） 4.（3）x x x

)]1

[ln(lim 0+

→ （幂指函数的极限）

解：x x x

)]1[ln(lim 0+→=)]1

ln[ln(lim 0x x x e +

→

先求0)ln (lim 1)

1

(ln 1lim 1)ln ln(lim )]1ln[ln(lim 02

000=-=---=-=++++→→→→x

x

x

x x x x x x x x x x

（用到x x

ln )1

ln(-=，+→0x 时，-∞→x ln ，无穷大量的倒数为无穷小） 故1)]1[ln(lim 00==+

→e x

x x

（4）x x x )arctan 2

(lim π+∞→

解：)

arctan 2

ln(

lim )arctan 2

(lim x x x

x x e

x π

π

+∞

→=+∞→

而2

2

1

11

arctan 1lim 1)

ln(arctan )2

ln(lim )arctan 2

ln(lim x

x x x

x x x x x x -+?=+=+∞→+∞→+∞→π

π

π

2arctan )1(lim 22-=+-=+∞→x x x x (用到1

)1(lim 22

-=+-+∞→x x x ，2arctan lim π=+∞→x x ) 故π

π

2

)arctan 2

(lim -

+∞→=e

x x

x

7.试确定常数b a ,，使得2)

()1ln(lim

2

20=+-+→x bx ax x x . 解：因=+-+→22

0)()1ln(lim x bx ax x x x

bx a x x 2)

2(11

lim 0+-+→， 又0→x ，上式分母02→x ，且极限存在，则必须分子

0211

→--+bx a x

得1=a ；则

x

bx a x x 2)2(11lim 0+-+→=222122)1(1lim

2

0=--=-+-→b b x x ，得25-=b

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？ 解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来： （1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有 一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点

．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?

高等数学同济课后答案

总习题一 1、 在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列{x n }有界就是数列{x n }收敛的________条件、 数列{x n }收敛就是数列{x n }有界的________的条件、 (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界就是 )(lim 0 x f x x →存在的________条件、 )(lim 0 x f x x →存在就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内有界的________条件、 (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界就是 ∞=→)(lim 0 x f x x 的________条件、 ∞=→)(lim 0 x f x x 就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内无界的________条件、 (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等就是)(lim 0 x f x x →存在的________条件、 解 (1) 必要, 充分、 (2) 必要, 充分、 (3) 必要, 充分、 (4) 充分必要、 2、 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 就是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )就是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )就是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim ) (lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域就是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x )、 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]、 (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]、 (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?)、 4、 设

2-5高等数学同济大学第六版本

2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;

(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:

同济版高数课后习题答案1-9

习题1-9 1. 求函数6 33)(2 2 3-+--+= x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0 x f x →, )(lim 3 x f x -→及)(lim 2 x f x →. 解 ) 2)(3()1)(1)(3(6 33)(2 2 3 -++-+= -+--+= x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续 的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 2 1)0()(lim 0 = =→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞ =-++-+=→→) 2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 2 2 x x x x x x f x x , 5 82 ) 1)(1(lim )(lim 3 3 - =-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ?(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续. 证明 已知)()(lim 00 x f x f x x =→, )()(lim 00 x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([21 )(x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([2 1lim )(lim 0 x g x f x g x f x x x x x -++=→→? ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210 x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2 1 0000x g x f x g x f -++==?(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续. 同理可证明ψ(x )在点x 0也连续. 3. 求下列极限: (1)5 2lim 2 +-→x x x ;

(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)

高等数学同济课后答案

总习题一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格: (1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件. (2)f (x )在x 0的某一去心邻域有界是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. )(lim 0 x f x x →存在是 f (x )在x 0 的某一去心邻域有界的________条件. (3) f (x )在x 0的某一去心邻域无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件. ∞=→)(lim 0 x f x x 是f (x )在x 0 的某一去心邻域无界的________条件. (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ). 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]. (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?). 4. 设