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2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

(6月14日上午8:3011:30--)

一、 填空题

1

、若三位数n abc =是一个平方数,并且其数字

和a b c ++也是一个平方数,则称n 为超级平方数,这种超级平方数的个数是 .

答案:13个. 解

:可顺次列举出:

100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961

2

、函数

2281448

y x x x x =---的最大值

是 .

答案:3 解:(8)(6)(8)86y x x x x x

x x =

---=--686

x

x x -=

+-

其定义域为68x ≤≤,当6x =时,此分式的分子最大而分母最小,这时分式的值达最大,其值为3

3

、直线l 过点(1,2)M ,若它被两平行线4310x y ++=与4360

x y ++=所截得的线段长为

2

,则直线l 的方程

为 .

答案:715x y +=或者75x y -=.

3

解:设l 的方程为2(1)y k x -=-,将此方程分别与

4310

x y ++=及4360x y ++=联立,解得交点坐标3758,3434

k k A k k --+??

?++?

?

与312108,3434

k k B k k --+??

?++?

?

,据2AB = 得

22

5523434k k k ????

+= ? ?++????

()

22

25(1)

2

34k k +=+,所以17

k

=,2

17

k

=-

分别代入所设方程,得到715x y +=或者75x y -=.

4

、0

13

sin10

-

= .

答案:4. 解

:00

000000000

13cos1013sin 30cos10cos30sin102244sin102sin10cos102sin10cos10-=?=

sin 2044sin 20

=?=.

5

、满足21x x

-≥的实数

x

的取值范围

是 .

答案:

21,?-???

解:用图像法:令2

1y x =

-圆,它与直线y x =交点22,半圆位于交点左侧的

4

5

被3除余2,并且被5除余3,被7除余4的元素个数是 .

答案:95个.

解:对于每个满足条件的数n ,数2n 应当被3,5,7除皆余1,且为偶数;因此,21n -应当是3,5,7的公倍数,且为奇数;即21n -是105的奇倍数,而当{}

1,2,

,10000n ∈时,

{}

211,2,

,19999n -∈,由于在{}

1,2,

,19999中,共有190个数是105

的倍数,其中的奇倍数恰有95个.

8

、如图,正四面体ABCD 的各棱长皆为2,1

1

1

,,A B C

分别是棱,,DA DB DC 的中点,

以D 为圆心,1为半径,分别在面,DAB DBC 内作弧

1111

,A B B C ,并将两弧各分成五等分,

分点顺次为

112341

,,,,,A P P P P B 以及

112341

,,,,,B Q Q Q Q C ,

一只甲虫欲从点1

P 出发,沿四面体表面爬行至点4

Q ,则其

爬行的最短距离为 .

答案:0

2sin 42.

6

解:作两种展开,然后比较;

由于11

A B 被1

1

2

3

4

1

,,,,,A P P P P B 分成五段等弧,每段弧对

应的中心角各为0

12,11B C 被112341

,,,,,B Q Q Q Q C 分成五段等

弧,每段弧对应的中心角也各为0

12,

若将DBC ?绕线段DB 旋转,使之与DAB ?共面,这两段弧均重合于以D 为圆心,半径为1的圆周,1

4

PQ 对应

的圆心角为0

812

96?=,此时,点1

4

,P Q 之间直线距离为

2sin 48,

若将DAB ?绕线段DA 旋转,DBC ?绕线段DC 旋转,

使之皆与DAC ?共面,在所得图形中,1

4

PQ 对应的圆心

角为0

712

84?=,此时,点1

4

,P Q 之间直线距离为0

2sin 42,

所以最短距离是0

2sin 42.

二、解答题

9

、正整数数列{}n

a 满足:2

1

12,1

n n n a

a a a +==-+;证明:

数列的任何两项皆互质.

证:改写条件为 11(1)

n n n a a a +-=-,从而111(1)

n

n n a

a a ---=-,

等等,据此迭代得

1111221

111

1

1(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +--------=-=-=

=-=,

7

所以,1211

n

n n a

a a a --=+,因此当k n <,(,)1n

k

a a =.

10

、(25分)H 为锐角三角形ABC 的垂心,在线段

CH

上任取一点E ,延长CH 到F ,使HF CE =,作FD BC ⊥,EG BH

⊥,其中,D G 为垂足,M 是

线段CF 的中点,1

2

,O O 分别为

,ABG BCH ??的外接圆圆心,

12

,

O O 的另一交点为N ;

证明:()1、,,,A B D G 四点共圆;

()2、12,,,O O M N 四点共圆;

证:()1、如图,设EG

DF K

=,连AH ,

则因,AC BH EK BH ⊥⊥,AH BC ⊥,

KF BC ⊥,得CA ∥EK ,AH ∥KF ,且

CH EF

=,所以CAH ?≌EKF ?,AH 与KF 平行且相等,故AK

∥HF ,

090KAB KDB KGB ∠==∠=∠,因此, ,,,A B D G

四点共圆;

()2、据()1,BK 为

1

O 的直径,作

2

O 的直径

BP

,连

N O 2

O 1

G D

F

M

H

A

B

C

E

P

N

K

O 2

O 1

G D F

M

H

A

B C

E

8

12

,,,CP KP HP O O ,则

90BCP BHP ∠=∠=,所以CP ∥AH ,

HP ∥AC ,故AHPC 为平行四边形,进而得, PC

与KF 平行且相等,因此对角线KP 与CF 互相平分于

M

,从而1

2

,,O O M 是KBP ?三边的中点,KM ∥1

2

O O ,

而由0

90KNB ∠=,

1

2

O O BN

⊥,得KN ∥1

2

O O ,所以,,M N K 共

线,

因此MN ∥1

2O O ,又由KBP ?的中位线知2

11MO

O B O N

==,因

此四边形1

2

O O MN 是等腰梯形,其顶点共圆.

11

、对于任意给定的无理数,a b 及实数0r >,证明:

圆周()

()2

2

2

x a y b r -+-=上至多只有两个有理点(纵横坐

标皆是有理数的点).

证:对于点(),M a b ,用(),P M r 表示上述圆周上有理点的个数;首先,我们可以作一个合于条件的圆,其上至少有两个有理点,为此,取点()()0,0,2,2A B ,线段

AB

中垂线l 的方程为:2x y +=,今在l 上取点(

12,12M -,再取 6r MA ==M 为圆心、r 为半

径的圆周上至少有,A B 这两个有理点;

其次说明,对于任何无理点M 以及任意正实数

9

r

,(),2P M r ≤;

为此,假设有无理点(),M a b 及正实数r ,在以M 为

圆心,r 为半径的圆周上,至少有三个有理点(),i

i

i

A x y ,

,i i

x y 为有理数,1,2,3i =,则

()()()()()()

2

2

2222

112233x a y b x a y b x a y b -+-=-+-=-+- ……① 据前一

等号

()()()2222

1212112212

x x a y y b x y x y -+-=

+-- ……②

据后一

等号得

()()()22222323223312

x x a y y b x y x y -+-=

+-- ……③

记 ()2222

1

1221

12x

y x y t +--=,()22222

2332

12

x

y x y t +--=,则1

2

,t t 为有理数,

若12

x x

-=,则由②,()1

2

1

y y b t -=,

因b 为无理数,得1

2

y y -=,

故1

2

,A A 共点,矛盾!同理,若2

30

x

x -=,可得2

3

,A A 共点,

矛盾! 若1

2

230,0

x x

x x -≠-≠,由②、③消去b 得,

()()()()()()12231223123212x x y y y y x x a t y y t y y -----=---=

????有理数,因a

为无理数,故得,()()()()1

2

2

312230

x x y

y y y x x -----=,所以

32

121232

y y y y x x x x --=

--,则 1

2

3

,,A A A 共线,这与1

2

3

,,A A A 共圆矛盾!

10

因此所设不真,即这种圆上至多有两个有理点.于是对于所有的无理点M 及所有正实数r ,(),P M r 的最大值为2.

12

、从集合{}

1,2,

,36M =中删去n 个数,使得剩下

的元素中,任两个数之和都不是2015的因数,求n 的最小值.

答案:17.

解:因201551331=??,M 中任两个元素之和不大于

71

,由于2015不大于71的正因数有1,5,13,31,65,在M 的二

元子集中,元素和为5的有{}{}1,4,2,3; 元素和为13的有{}{}{}{}{}{}1,12,2,11,3,10,4,9,5,8,6,7; 元素和为31的有{}{}{}{}{}{}{}

1,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,,15,16;

元素和为65的有{}{}{}{}29,36,30,35,31,34,32,33;

为直观起见,我们将其画成一个图,每条线段

端的数为

(E)

(D)

(C)

(B)

(A)58

28

2123

1032

36292011

1912

27

4

1

上述一个二元子集,为了不构成这些和,每对数(每条线段)中至少要删去一个数;

于是在图(),()

C D中各

A B中各至少要删去4个数,图(),()

至少要删去2个数,图()E中至少删去5个数,总共至少要删去17个数.

另一方面,删去适当的17个数,可以使得余下的数满足条件;例如在图()A中删去12,30,4,22,图()B中删去11,29,3,21,()C中删去23,5,()D中删去24,6,()E中删去13,14,15,31,32.这时图中所有的线段都已被断开.

11

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