2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
(6月14日上午8:3011:30--)
一、 填空题
1
、若三位数n abc =是一个平方数,并且其数字
和a b c ++也是一个平方数,则称n 为超级平方数,这种超级平方数的个数是 .
答案:13个. 解
:可顺次列举出:
100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961
.
2
、函数
2281448
y x x x x =---的最大值
是 .
答案:3 解:(8)(6)(8)86y x x x x x
x x =
---=--686
x
x x -=
+-
其定义域为68x ≤≤,当6x =时,此分式的分子最大而分母最小,这时分式的值达最大,其值为3
3
、直线l 过点(1,2)M ,若它被两平行线4310x y ++=与4360
x y ++=所截得的线段长为
2
,则直线l 的方程
为 .
答案:715x y +=或者75x y -=.
3
解:设l 的方程为2(1)y k x -=-,将此方程分别与
4310
x y ++=及4360x y ++=联立,解得交点坐标3758,3434
k k A k k --+??
?++?
?
与312108,3434
k k B k k --+??
?++?
?
,据2AB = 得
22
5523434k k k ????
+= ? ?++????
()
22
25(1)
2
34k k +=+,所以17
k
=,2
17
k
=-
,
分别代入所设方程,得到715x y +=或者75x y -=.
4
、0
13
sin10
-
= .
答案:4. 解
:00
000000000
13cos1013sin 30cos10cos30sin102244sin102sin10cos102sin10cos10-=?=
sin 2044sin 20
=?=.
5
、满足21x x
-≥的实数
x
的取值范围
是 .
答案:
21,?-???
.
解:用图像法:令2
1y x =
-圆,它与直线y x =交点22,半圆位于交点左侧的
4
5
被3除余2,并且被5除余3,被7除余4的元素个数是 .
答案:95个.
解:对于每个满足条件的数n ,数2n 应当被3,5,7除皆余1,且为偶数;因此,21n -应当是3,5,7的公倍数,且为奇数;即21n -是105的奇倍数,而当{}
1,2,
,10000n ∈时,
{}
211,2,
,19999n -∈,由于在{}
1,2,
,19999中,共有190个数是105
的倍数,其中的奇倍数恰有95个.
8
、如图,正四面体ABCD 的各棱长皆为2,1
1
1
,,A B C
分别是棱,,DA DB DC 的中点,
以D 为圆心,1为半径,分别在面,DAB DBC 内作弧
1111
,A B B C ,并将两弧各分成五等分,
分点顺次为
112341
,,,,,A P P P P B 以及
112341
,,,,,B Q Q Q Q C ,
一只甲虫欲从点1
P 出发,沿四面体表面爬行至点4
Q ,则其
爬行的最短距离为 .
答案:0
2sin 42.
6
解:作两种展开,然后比较;
由于11
A B 被1
1
2
3
4
1
,,,,,A P P P P B 分成五段等弧,每段弧对
应的中心角各为0
12,11B C 被112341
,,,,,B Q Q Q Q C 分成五段等
弧,每段弧对应的中心角也各为0
12,
若将DBC ?绕线段DB 旋转,使之与DAB ?共面,这两段弧均重合于以D 为圆心,半径为1的圆周,1
4
PQ 对应
的圆心角为0
812
96?=,此时,点1
4
,P Q 之间直线距离为
2sin 48,
若将DAB ?绕线段DA 旋转,DBC ?绕线段DC 旋转,
使之皆与DAC ?共面,在所得图形中,1
4
PQ 对应的圆心
角为0
712
84?=,此时,点1
4
,P Q 之间直线距离为0
2sin 42,
所以最短距离是0
2sin 42.
二、解答题
9
、正整数数列{}n
a 满足:2
1
12,1
n n n a
a a a +==-+;证明:
数列的任何两项皆互质.
证:改写条件为 11(1)
n n n a a a +-=-,从而111(1)
n
n n a
a a ---=-,
等等,据此迭代得
1111221
111
1
1(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +--------=-=-=
=-=,
7
所以,1211
n
n n a
a a a --=+,因此当k n <,(,)1n
k
a a =.
10
、(25分)H 为锐角三角形ABC 的垂心,在线段
CH
上任取一点E ,延长CH 到F ,使HF CE =,作FD BC ⊥,EG BH
⊥,其中,D G 为垂足,M 是
线段CF 的中点,1
2
,O O 分别为
,ABG BCH ??的外接圆圆心,
12
,
O O 的另一交点为N ;
证明:()1、,,,A B D G 四点共圆;
()2、12,,,O O M N 四点共圆;
证:()1、如图,设EG
DF K
=,连AH ,
则因,AC BH EK BH ⊥⊥,AH BC ⊥,
KF BC ⊥,得CA ∥EK ,AH ∥KF ,且
CH EF
=,所以CAH ?≌EKF ?,AH 与KF 平行且相等,故AK
∥HF ,
090KAB KDB KGB ∠==∠=∠,因此, ,,,A B D G
四点共圆;
()2、据()1,BK 为
1
O 的直径,作
2
O 的直径
BP
,连
N O 2
O 1
G D
F
M
H
A
B
C
E
P
N
K
O 2
O 1
G D F
M
H
A
B C
E
8
12
,,,CP KP HP O O ,则
90BCP BHP ∠=∠=,所以CP ∥AH ,
HP ∥AC ,故AHPC 为平行四边形,进而得, PC
与KF 平行且相等,因此对角线KP 与CF 互相平分于
M
,从而1
2
,,O O M 是KBP ?三边的中点,KM ∥1
2
O O ,
而由0
90KNB ∠=,
1
2
O O BN
⊥,得KN ∥1
2
O O ,所以,,M N K 共
线,
因此MN ∥1
2O O ,又由KBP ?的中位线知2
11MO
O B O N
==,因
此四边形1
2
O O MN 是等腰梯形,其顶点共圆.
11
、对于任意给定的无理数,a b 及实数0r >,证明:
圆周()
()2
2
2
x a y b r -+-=上至多只有两个有理点(纵横坐
标皆是有理数的点).
证:对于点(),M a b ,用(),P M r 表示上述圆周上有理点的个数;首先,我们可以作一个合于条件的圆,其上至少有两个有理点,为此,取点()()0,0,2,2A B ,线段
AB
中垂线l 的方程为:2x y +=,今在l 上取点(
12,12M -,再取 6r MA ==M 为圆心、r 为半
径的圆周上至少有,A B 这两个有理点;
其次说明,对于任何无理点M 以及任意正实数
9
r
,(),2P M r ≤;
为此,假设有无理点(),M a b 及正实数r ,在以M 为
圆心,r 为半径的圆周上,至少有三个有理点(),i
i
i
A x y ,
,i i
x y 为有理数,1,2,3i =,则
()()()()()()
2
2
2222
112233x a y b x a y b x a y b -+-=-+-=-+- ……① 据前一
等号
得
()()()2222
1212112212
x x a y y b x y x y -+-=
+-- ……②
据后一
等号得
()()()22222323223312
x x a y y b x y x y -+-=
+-- ……③
记 ()2222
1
1221
12x
y x y t +--=,()22222
2332
12
x
y x y t +--=,则1
2
,t t 为有理数,
若12
x x
-=,则由②,()1
2
1
y y b t -=,
因b 为无理数,得1
2
y y -=,
故1
2
,A A 共点,矛盾!同理,若2
30
x
x -=,可得2
3
,A A 共点,
矛盾! 若1
2
230,0
x x
x x -≠-≠,由②、③消去b 得,
()()()()()()12231223123212x x y y y y x x a t y y t y y -----=---=
????有理数,因a
为无理数,故得,()()()()1
2
2
312230
x x y
y y y x x -----=,所以
32
121232
y y y y x x x x --=
--,则 1
2
3
,,A A A 共线,这与1
2
3
,,A A A 共圆矛盾!
10
因此所设不真,即这种圆上至多有两个有理点.于是对于所有的无理点M 及所有正实数r ,(),P M r 的最大值为2.
12
、从集合{}
1,2,
,36M =中删去n 个数,使得剩下
的元素中,任两个数之和都不是2015的因数,求n 的最小值.
答案:17.
解:因201551331=??,M 中任两个元素之和不大于
71
,由于2015不大于71的正因数有1,5,13,31,65,在M 的二
元子集中,元素和为5的有{}{}1,4,2,3; 元素和为13的有{}{}{}{}{}{}1,12,2,11,3,10,4,9,5,8,6,7; 元素和为31的有{}{}{}{}{}{}{}
1,30,2,29,3,28,4,27,5,26,6,25,,15,16;
元素和为65的有{}{}{}{}29,36,30,35,31,34,32,33;
为直观起见,我们将其画成一个图,每条线段
两
端的数为
(E)
(D)
(C)
(B)
(A)58
28
2123
1032
36292011
1912
27
4
1
上述一个二元子集,为了不构成这些和,每对数(每条线段)中至少要删去一个数;
于是在图(),()
C D中各
A B中各至少要删去4个数,图(),()
至少要删去2个数,图()E中至少删去5个数,总共至少要删去17个数.
另一方面,删去适当的17个数,可以使得余下的数满足条件;例如在图()A中删去12,30,4,22,图()B中删去11,29,3,21,()C中删去23,5,()D中删去24,6,()E中删去13,14,15,31,32.这时图中所有的线段都已被断开.
11