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100以内勾股数表

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3 4 5

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33 44 55

33 56 65

35 84 91

36 48 60

36 77 85

39 52 65

39 80 89

40 42 58

40 75 85

42 56 70

45 60 75

48 55 73

48 64 80

51 68 85

54 72 90

57 76 95

60 63 87

60 80 100

65 72 97

苏科版八年级数学上册 3.3勾股定理的简单应用 教学案(无答案)

§3.3勾股定理的简单应用教学案 学习目标: 1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题. 2.构造直角三角形及正确解出此类方程. 3.运用勾股定理解释生活中的实际问题. 自主学习 在Rt△ABC中,∠C=, (1)若BC=9,AC=12,则AB= ,(2)若BC=8,AC=10,则AC= (3)若AC=5,AB=13,则BC= ,(4)若AB+AC=9,BC=3,则AC= ,AB= 探究活动 例1、《九章算术》中有折竹问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折高几何? 题意是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面离竹根3尺,问折断处离地面多高 练习:在平静的湖面上,有一枝红莲高出水面1米,一阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是多少?(画出图形并解答) 例2. 如图,AD是△ABC的中线,AD=24,AB=26,BC=20,求AC.

练习:在四边形ABCD中,∠B=90度AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积是多少? 例3. “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题:“今有池一丈,葭生 其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深,葭长各几何?”题意是:有一个底面是边长为1O尺的正方形池塘,一棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面BC为l尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'(如图).问水深和芦苇长各多少?(画出几何图形并解答) 练习:1.如图,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.5米,则梯子顶端A下落了多少米. 2.如图,折叠长方形纸片AB CD,使点D落在边B C上的点F处(折痕为AE).已知AB=D C=6c m,A D=B C=10cm.求E C的长

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道,如果∠C=90°,a 、b 、c 是直角三角形的三边,则由勾股定理,得a 2+b 2=c 2;反之,若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2,则该三角形是直角三角形,c 为斜边.与此相类似,如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,则称a 、b 、c 为勾股数,记为(a ,b ,c ).勾股数有无数多组,下面向同学们介绍几种: 一、三数为连续整数的勾股数 (3,4, 5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数,除此之外是否还有第二组或更多组呢? 设三数为连续整数的勾股数组为(x -1,x ,x +1),则由勾股数的定义,得(x+1)2+x 2=(x+1)2,解得x = 4或x =0(舍去),故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5);类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知:(5,12,13),(9,40,41),(113,6338,6385),…,都是勾股数,如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数,它的一般形式究竟是什么呢? a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1(其特点是斜边与其中一股的差为1). 分别取n =1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道(20,21,29),(119,120,169),(4059,4060,5741)…,这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为:(x ,x +1,1222++x x )(x 为正整数)。 设前两数为连续整数的勾股数组为(x ,x +1,y ),y=1222++x x 则()22 21y x x =++(*) 整理,得1222++x x =2y ,化为()121222-=-+y x ,即()y x 212++() y x 212-+=-1, 又()()2121-+=-1,∴()122 1++n ()1221+-n =-1(n∈N), 故取()y x 212++=()1221++n ,()y x 212-+=()1 221+-n , 解之,得x =41〔()1221++n +()1221+-n -2〕,y =42〔()1221++n -()1221+-n 〕, 故前两数为连续整数的勾股数组是(4 1〔()1221++n +()1221+-n -2〕,41〔()1221++n +()1221+-n -2〕+1,42〔()1221++n -()1221+-n 〕). 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8,15,17), (12,35,37) …其公式为:4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式: 1.a=2m,b=m 2-1,c=m 2+1(m 大于1的整数). 2.a=21(m 2-n 2),b=mn,c= 21(m 2+n 2 )(其中m>n 且是互质的奇数). 3.a=2m,b=m 2-n 2,c=m 2+n 2(m>n,互质且一奇一偶的任意正整数). 下面我们把100以内的勾股数组列出来,供同学们参考: 3 4 5;5 12 13;6 8 10;7 24 25;8 15 17;9 12 15;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20; 12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15 112 113;16 30 34;16 63 65 17 144 145;18 24 30;18 80 82;19 180 181;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 35 21 72 75;21 220 221;22 120 122;23 264 265;24 32 40;24 45 51;24 70 74;24 143 145

探究:关于勾股定理的那点事(勾股的历史、证明,勾股数探究等)

探究:关于勾股定理的证明的那点事 在我国,把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理,这个定理在中国又称为“商高定理”,在外国称为“毕达哥拉斯定理”(Pythagoras Theorem)。 数学公式中常写作a2+b2=c2 勾股定理(又称商高定理,毕达哥拉斯定理)是一个基本的几何定理,早在中国商代就由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”。 勾股定理指出: 直角三角形两直角边(即“勾”“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。 也就是说, 设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么 a^2+b^2=c^2 (为了编辑省时,以下“a2”用“a^2”代替)

勾股定理现发现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。 勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。 我国古代著名数学家商高说:“若勾三,股四,则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。 勾股数组 满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。 由于方程中含有3个未知数,故勾股数组有无数多组。 勾股数组的通式: a=m^2-n^2 b=2mn c=m^2+n^2 (m>n,m,n为正整数) 推广 1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量,将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影,则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即,向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。 2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。

勾股定理 定理 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a^2+b^ 2=c^2;;即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 古埃及人利用打结作Rt 如果三角形的三条边a,b,c满足a^2+b^2=c^2;,还有变形公式:A B=根号(AC^2+BC^2),如:一条直角边是3,另一条直角边是4,斜边就是3×3+4×4=x×x,x=5。那么这个三角形是直角三角形。 (称勾股定理的逆定理) 勾股定理的来源

勾股定理实际应用教学设计

勾股定理应用的教学设计教学目标 1.会用勾股定理进行简单的计算。 2.通过探究,会运用勾股定理解释生活中的实际问题。 教学重点 勾股定理的应用。 教学难点 实际问题向数学问题的转化 教学过程 通过小组合作学习探究,研究勾股定理在实际中的应用 一、复习旧知 复习勾股定理以及一些简单的计算 (1)勾股定理: (2)求出下列直角三角形中未知的边. A C B 二、合作探究 通过四个问题,让学生明白勾股定理在实际生活中的应用,以及如何去使用勾股定理。 问题1.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为多少米.? 5 m处断裂,旗杆顶部落在离底部12 m处,问旗杆折断前 如下图,要将楼梯铺上地毯,则需要米长的地毯. 5米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为3米. ①球梯子的底端B距墙角O多少米? ②如果梯的顶端A沿墙下滑1米至C,请同学们猜一猜,底端B也将滑动1米吗? 算一算,底端滑动的距离。(结果保留1位小数). 6 1 A C B 2 30° C B 2 2

三.深化新知 “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴 岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何?” 四、课堂小结 本节课你有什么收获?你认为用勾股定理解决实际问题的关键是什么? 五、运用新知 1校园里有两棵树,相距15米,一棵树高10米,另一棵树高18米,一只小鸟从一棵树的顶 端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞米。 2如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离 是。 4、一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ= 厘米。 3、小东拿着一根长竹竿进一个宽为三米的城门,他先横着拿不进去,又竖起来拿,结果竿比城 门高1米,当他把竿斜着时,两端刚好顶着城门的对角,问竿长多少米。 六、课后反思 我学到了什么—————— 还想知道什么——————

勾股数

勾股数 勾股数 勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。 目录 常用套路 简介 所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a2+b2=c2,a,b,c∈N 又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种: 第一套路 当a为大于1的奇数2n+1时,b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如: n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 第二套路 2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:

n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1,例如: n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... 公式证明 证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证: 假设a^2+b^2=c^2,这里研究(a,b)=1的情况(如果不等于1则(a,b)|c,两边除以(a,b)即可)如果a,b均奇数,则a^2 + b^2 = 2(mod 4)(奇数mod4余1),而2不是模4的二次剩余,矛盾,所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶(否则右边等于奇数矛盾) 作代换:M=(c+b)/2, N=(c-b)/2,显然M,N为正整数 现在往证:(M,N)=1 如果存在质数p,使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a,这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理,k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...,其中a1,a2...均为偶数,p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi,M的pi因子个数为奇数个,那N对应的pi因子必为奇数个(否则加起来不为偶数),从而pi|M, pi|N,(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N,即M,N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2,解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn 局限 目前,关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数,但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3,4,5;6,8,10;9,12,15...,就不能全部有公式计算出来。 完全公式

勾股数

勾股数免费编辑添加义项名 勾股数勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。为数学名词。 表达式 a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 别称 毕氏三元数 《周髀算经》 应用学科 几何 勾股数又名毕氏三元数。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。 编辑本段常用套路 简介 所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种: 第一套路 当a为大于1的奇数2n+1时,b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如: n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 第二套路 2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如: n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是第二经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1,例如: n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... 编辑本段公式证明 证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证: 假设a^2+b^2=c^2,这里研究(a,b)=1的情况(如果不等于1则(a,b)|c,两边除以(a,b)即可) 如果a,b均奇数,则a^2 + b^2 = 2(mod 4)(奇数mod4余1),而2不是模4的二次剩余,矛盾,所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶(否则右边等于奇数矛盾) 作代换:M=(c+b)/2, N=(c-b)/2,显然M,N为正整数 往证:(M,N)=1 如果存在质数p,使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a,这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理,k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...,其中a1,a2...均为偶数,p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi,M的pi因子个数为奇数个,那N对应的pi因子必为奇数个(否则加起来不为偶数),从而pi|M, pi|N,(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N,即M,N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道,如果∠C=90°,a 、b 、c 是直角三角形的三边,则由勾股定理,得a 2+b 2=c 2;反之,若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,则该三角形是直角三角形,c 为斜边.与此相类似,如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,则称a 、b 、c 为勾股数,记为(a ,b ,c ).勾股数有无数多组,下面向同学们介绍几种: 一、三数为连续整数的勾股数 (3,4, 5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数,除此之外是否还有第二组或更多组呢 设三数为连续整数的勾股数组为(x -1,x ,x +1),则由勾股数的定义,得(x+1)2+x 2=(x+1)2,解得x =4或x =0(舍去),故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5);类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知:(5,12,13),(9,40,41),(113,6338,6385),…,都是勾股数,如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数,它的一般形式究竟是什么呢 a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1(其特点是斜边与其中一股的差为1). 分别取n =1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道(20,21,29),(119,120,169),(4059,4060,5741)…,这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为:(x ,x +1,1222++x x )(x 为正整数)。 设前两数为连续整数的勾股数组为(x ,x +1,y ),y=1222++x x 则()22 21y x x =++(*)

3.3勾股定理的简单应用.doc

3.3 勾股定理的简单应用 学习目标:1、巩固勾股定理及其逆定理; 2、会用勾股定理及其逆定理解决问题。 教学重点:用勾股定理及其逆定理解决问题 教学难点:用勾股定理及其逆定理解决问题 【复习回顾】 问题1:勾股定理是如何描述的?符号语言如何表示? 问题2:你能说出这个定理的逆命题吗?符号语言如何表示? 【情境创设】 从远处看,斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角 三角形.已知桥面以上索塔AB的高,怎样计算AC、AD、AE、 AF、AG的长? 思考,讨论并交流线段的长的计算. 【例题1】 【课堂练习1】 “引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题“今有池方一丈,葭 生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各 几何?”(有一个边长为10尺的正方形池塘,在水池正中央有 一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇沿与水池 边垂直的方向拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边.请问这个水 池的深度和这根芦苇的长度各是多少?) 【例题2探究】 【课堂练习2】 1、在△ABC中,AB=AC=17,BC=16,求△ABC的面积. 2、在△ABC中,AD⊥BC,AB=15,AD=12,AC=13,求△ABC的周长和面积. 【课堂小结】 本节课2个目标你达成个?分别是: :

3.3 勾股定理的简单应用练习 1、在一块平地上,离张大爷家屋前9m 处有一棵大树.在一次强风中,这棵树从离地面6m 处折断倒下,量得倒下部分的长是10m ,则大树倒下时能砸到张大爷的房子吗?() A.一定不会 B.可能会 C.一定会 D.无法确定 2、如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行() A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 3、如图,是一个人字形屋架,为等腰三角形ABC ,跨度AB =24?m ,上弦AC =13m ,则中柱CD =________m . 4、如图,要在高AC 为6米,斜坡AB 长10米的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米? 5、如图,一圆柱体的底面周长为40cm ,高AB 为15cm ,BC 是上底面的直径,一只蚂蚁从 点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程. 6、某校A 与直线公路距离为3000m ,又与该公路上某车站D 的距离为5000m ,现要在公路 这边建一个小商店C ,使之与学校A 及车站D 的距离相等,那么该店与车站D 的距离是多少? D C B A

三种常见的勾股数

三种常见的勾股数 我们知道,如果a 、b 、c 是直角三角形的三边,则由勾股定理,得222c b a =+,反之,若三角形的三边a 、b 、c 满足222c b a =+,则该三角形是直角三角形.与此相类似,如果三个正整数a 、b 、c 满足222c b a =+,则称a 、b 、c 为勾股数,记为(a ,b ,c ).勾股数有无数多组,下面向同学们介绍三种: 一、三数为连续整数的勾股数 (3,4, 5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数,除此之外是否还有第二组或更多组呢? 设三数为连续整数的勾股数组为(x -1,x ,x +1),则由勾股数的定义,得()()2 2211+=+-x x x ,解得x =4或x =0(舍去),故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5); 二、后两数为连续整数的勾股数 易知:(5,12,13),(9,40,41),(113,6338,6385),…,都是勾股数,如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数,它的一般形式究竟是什么呢? 设后两数为连续整数的勾股数组为(x ,y ,y +1),则 ()2 221+=+y y x , 整理,得122=-y x ,(*) 显然,x 不能是偶数,否则,当x 为偶数时,(*)式的左边是偶数,而右边是奇数,矛盾.故x 不能是偶数,因此, 取x =2m +1,则y =m m 222+(m ∈N), 故后两数为连续整数的勾股数组是 (2m +1,m m 222+,m m 222 ++1); 分别取m =1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道(20,21,29),(119,120,169),(4059,4060,5741)…,这些前两数为连续整数的勾股数组是怎样构造出来的吗?下面我们仿照后两数为连续整数的勾股数组的导出老进行推导. 设前两数为连续整数的勾股数组为(x ,x +1,y ),则 ()2221y x x =++(*) 整理,得1222++x x =2 y ,化为 ()121222-=-+y x ,即

勾股数的常用套路

勾股数的常用套路 所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种: 1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如: n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如: n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如: n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行取相应的勾股数补充,即1个N会有多对的勾股数,例如: n=9时(a,b,c)=(9,24,25)or (9,12,15) --------3* (3,4,5) n=12时(a,b,c)= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*(3,4,5) =========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数,20、21、29; 119、120、169;

几种简单证明勾股定理的方法

几种简单证明勾股定理的方法 ——拼图法、定理法 江苏省泗阳县李口中学沈正中 据说对社会有重大影响的10大科学发现,勾股定理就是其中之一。早在4000多年前,中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有500余种,各种证法融几何知识与代数知识于一体,完美地体现了数形结合的魅力。让我们动起手来,拼一拼,想一想,娱乐几种,去感悟数学 的神奇和妙趣吧! 一、拼图法证明(举例12种) 拼法一:用四个相同的直角三角形(直角边为a 、b ,斜边为c )按图2拼法。 问题:你能用两种方法表示左图的面积吗?对比两种不同的表示方法,你发现了什么? 分析图2:S 正方形=(a+b )2= c 2 + 4×2 1ab 化简可得:a 2+b 2 = c 2 拼法二:做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像左 图那样拼成两个正方形。 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等. 即 a 2+ b 2+4×21ab = c 2+4×21ab 整理得 a 2+b 2 = c 2 拼法三:用四个相同的直角三角形(直角边为a 、b ,斜边为c )按图3拼法。 问题:图3是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。在图3中用同样的办法研究,你有什么发现?你能验证a 2+b 2=c 2吗? 分析图3:S 正方形= c 2 =(a-b )2+ 4×21ab 化简可得:a 2+b 2 = c 2 图1 图2 图3 图4 b a b a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a

勾股定理的简单应用教案

课题 3.3勾股定理的应用第1课时 学习目标1、在运用勾股定理解决实际问题的过程中,感受数学的“转化”思想, 2、进一步发展有条理思考和有条理表达的能力。 3、通过对勾股定理应用,培养解决实际问题的能力和审美能力。 教学重点解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题 教学难点勾股定理及直角三角形的判定条件的应用的区别 教法教具自主探究合作交流 教师活动二次备课 一创设情境 勾股定理在生活中的应用 从远处看,斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形 二探索活动 已知桥面以上索塔AB的高,怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的 长. A B C E F G D

二.例题教学 例1 九章算术中的“折竹”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何? 意思是:有一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高? 练习 “引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?” 题意是:有一个边长为10尺的正方形池塘,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? A C B 例2 如图,在△ABC中,AB=26,BC=20,BC边上的中线AD =24,求AC.

勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别? 三.展示交流 1.如图,在△ABC 中, AB =AC =17,BC =16,求△ABC 的面积. 2如图,在△ ABC 中,AD ⊥BC ,AB =15,AD =12,AC =13,求△ABC 的周长和面积. 3、如图,以△ABC 的三边为直径向外作半圆,且S 1+S 3=S 2,试判断△ABC 的形状? 四.总结 从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系;把研究等腰三角形转化为研究直角 D C B A D C B A

以内的勾股数

100以内的勾股数: i=3j=4k=5 i=5j=12k=13 i=6j=8k=10 i=7j=24k=25 i=8j=15k=17 i=9j=12k=15 i=9j=40k=41 i=10j=24k=26 i=11j=60k=61 i=12j=16k=20 i=12j=35k=37 i=13j=84k=85 i=14j=48k=50 i=15j=20k=25 i=15j=36k=39 i=16j=30k=34 i=16j=63k=65 i=18j=24k=30 i=18j=80k=82 i=20j=21k=29 i=20j=48k=52 i=21j=28k=35 i=21j=72k=75 i=24j=32k=40 i=24j=45k=51 i=24j=70k=74 i=25j=60k=65 i=27j=36k=45 i=28j=45k=53 i=30j=40k=50

i=30j=72k=78 i=32j=60k=68 i=33j=44k=55 i=33j=56k=65 i=35j=84k=91 i=36j=48k=60 i=36j=77k=85 i=39j=52k=65 i=39j=80k=89 i=40j=42k=58 i=40j=75k=85 i=42j=56k=70 i=45j=60k=75 i=48j=55k=73 i=48j=64k=80 i=51j=68k=85 i=54j=72k=90 i=57j=76k=95 i=60j=63k=87 i=65j=72k=97 勾股数的常用套路 所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种: 1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如: n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

勾股定理简单应用

勾股定理应用的教学设计 教学目标 1 ?会用勾股定理进行简单的计算。 2.通过探究,会运用勾股定理解释生活中的实际问题 教学重点 勾股定理的应用。 教学难点 实际问题向数学问题的转化 教学过程 通过小组合作学习探究,研究勾股定理在实际中的应用 一、 复习旧知 复习勾股定理以及一些简单的计算 ⑴勾股定理: ____________________________________________________ (2)求出下列直角三角形中未知的边. 通过四个问题,让学生明白勾股定理在实际生活中的应用,以及如何去使用勾股定理 问题1.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口, 则圆形盖半径至 少为多少米? ? 问题2.如图所示,一旗杆在离地面 5 m 处断裂,旗杆顶部落在离底部 12 m 处,问旗杆 折断前有多咼? 合作探究 B A 2 C C C

问题4.如图,一个5米长的梯子AB 斜着靠在竖直的墙A0上,这时A0的距离为3米. ① 球梯子的底端B 距墙角0多少米? ② 如果梯的顶端A 沿墙下滑1米至C,请同学们猜一猜,底端 B 也将滑动1米吗? 算一算,底端滑动的距离。(结果保留 1位小数). 三. 深化新知 “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺 , 引 葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何?” 四、课堂小结 本节课你有什么收获?你认为用勾股定理解决实际问题的关键是什么? 五、运用新知 1校园里有两棵树,相距15米,一棵树高10米,另一棵树高18米,一只小鸟从一棵树 的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞 ___________ 米。 2如图,一根12米高的电线杆两侧各用 15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离 问题3.如下图,要将楼梯铺上地毯,则需要 _____ 米长的地毯.

14.2 勾股定理的应用

14.2 勾股定理的应用 教学目标 教学知识点:能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题. 能力训练要求:1.学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养学生的空间观念. 2.在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求:1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有用的数学. 教学重点难点: 重点:探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理,并用它们解决生活实际问题. 难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题. 教学过程 1、创设问题情境,引入新课: 前几节课我们学习了勾股定理,你还记得它有什么作用吗? 例如:欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,至少需多长的梯子? 根据题意,(如图)AC是建筑物,则AC=12米,BC=5米,AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC 中,AB2=AC2+BC2=122+52=132;AB=13米. 所以至少需13米长的梯子. 2、讲授新课:①、蚂蚁怎么走最近

出示问题:有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在圆行柱的底面A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物,需要爬行的的最短路程是多少?(π的值取3). (1)同学们可自己做一个圆柱,尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?(小组讨论) (2)如图,将圆柱侧面剪开展开成一个长方形,从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? (3)蚂蚁从A 点出发,想吃到B 点上的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(学生分组讨论,公布结果) 我们知道,圆柱的侧面展开图是一长方形.好了,现在咱们就用剪刀沿母线AA ′将圆柱的侧面展开(如下图). 我们不难发现,刚才几位同学的走法: (1)A →A ′→B ; (2)A →B ′→B ; (3)A →D →B ; (4)A —→B. 哪条路线是最短呢?你画对了吗? 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. ②、做一做。李叔叔随身只带卷尺检测AD ,BC 是否与底边AB 垂直,也就是要检测 ∠DAB=90°,∠CBA=90°.连结BD 或AC ,也就是要检测△DAB 和△CBA 是否为直角三角形.很显然,这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题. ③、随堂练习 出示投影片 A B A B

100以内的勾股数

100以内的 勾股数 i=3j=4k=5 i=5j=12k=13 i=6j=8k=10 i=7j=24k=25 i=8j=15k=17 i=9j=12k=15 i=9j=40k=41 i=10j=24k=26 i=11j=60k=61 i=12j=16k=20 i=12j=35k=37 i=13j=84k=85 i=14j=48k=50 i=15j=20k=25 i=15j=36k=39 i=16j=30k=34 i=16j=63k=65

i=18j=24k=30 i=18j=80k=82

i=65j=72k=97勾股数的常用套路 所谓勾股数, 条边的三个正整数 (a,b,c)o 即 a A 2+b A 2=c A 2,a,b,c € N 又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数 n 得到的新 数组(n a, nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c 互质的勾股数组。 i=20j=21k=29 i=24j=45k=51 i=30j=40k=50 i=35j=84k=91 i=40j=42k=58 i=40j=75k=85 i=42j=56k=70 i=45j=60k=75 i=48j=55k=73 i=48j=64k=80 i=51j=68k=85 i=54j=72k=90 i=57j=76k=95 i=60j=63k=87 i=20j=48k=52 i=24j=70k=74 i=30j=72k=78 i=36j=48k=60 i=21j=28k=35 i=25j=60k=65 i=32j=60k=68 i=36j=77k=85 i=21j=72k=75 i=27j=36k=45 i=33j=44k=55 i=39j=52k=65 i=24j=32k=40 i=28j=45k=53 i=33j=56k=65 i=39j=80k=89 一般是指能够构成直角三角形三

北师大版八年级数学上册1.1.2勾股定理的简单应用 同步训练卷

北师版八年级数学上册 1.1.2勾股定理的简单应用 同步训练卷 一、选择题(共10小题,3*10=30) 1.直角三角形的周长为12,斜边长为5,则面积为() A.12 B.10 C.8 D.6 2.如图,三个正方形围成一个直角三角形,64,100分别为所在正方形的面积,则图中字母M所代表的正方形的边长是() A.6 B.8 C.36 D.164 3.《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图):今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为() A.x2-6=(10-x)2B.x2-62=(10-x)2 C.x2+6=(10-x)2D.x2+62=(10-x)2 4.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是() A.48 B.60 C.76 D.80 5.如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于()

A.35 B.53 C.73 D.54 6. 如图所示是一段楼梯,高BC 是3 m ,斜边AB 是5 m ,如果在楼梯上铺地毯,那么地毯的长至少需要( ) A .5 m B .6 m C .7 m D .8 m 7. 如图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,若a ,c 的面积分别为5和11,则b 的面积为( ) A .4 B .6 C .16 D .55 8.有长度为9 cm ,12 cm ,15 cm ,36 cm ,39 cm 的五根木棒,用其中的三根首尾连接可搭成直角三角形的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 9.如图,长方形ABCD 的对角线AC =10,BC =8,则图中五个小长方形的周长之和为( ) A .14 B .16 C .20 D .28 10.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的较长直角边长为a ,较短直角边长为b.若ab =8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( ) A .9 B .6 C .4 D .3 二.填空题(共8小题,3*8=24)

勾股数的整理及应用

首先要熟记1~30的平方 例如: 162 个位6乘以6 所以结果个位一定是6,个位不是6肯定错。 例如:可以用完全平方公式 192=(20-1)2=400-40+1=361 222=(20+2)2=400+80+4=484 整十的数比较好算。。。 某些学生觉得记上表很难,其实不然,部分已经是我们非常熟悉的数,像1~16、20、25…要记的不多,再加上上述的方法,再用心一下,就很好记的! 常用勾股数与上表有联系,涉及到xx的平方 常用勾股数: 3 4 5 (9+16=25) 5 12 13 (25+144=169) 7 24 25 (49+576=625) 8 15 17 (64+225=289) 9 40 41 (81+1600=1681) … 这些是要求学生熟悉并记住的。 例如:当你看见三个数,7/24/25时候,若你记得,马上可以做出判断。 常用勾股数的整数倍也可以构成勾股数。 6 8 10 9 12 15 12 16 20 15 20 25 10 24 26 15 36 39 …

常用勾股数的正实数倍,进而构成一组广义的勾股数 2.5 6 6.5 3.5 8.4 9.1 … 判定勾股数的方法:化整、约简、判断 例:3.5 8.4 9.1 → 35 84 91 → 5 12 13 例: 如图,为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离,一个观测者在点C 设桩,使三角形ABC 恰好为直角三角形.通过测量,得到AC 长160m ,BC 长128m ,则AB 长 m . 分析:很多学生会直接1602-1282=?这样算,不是不可以,而是数太大,一是易错,二是不好算。正确方法是 先约简: 160 128 ? 同除以32 5 4 3 ? =3x32=96 A C 160m

苏科版初中数学八年级上册3.3勾股定理的简单应用word教案(1)

勾股定理的简单应用 一、细心选一选. 1.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是 ( ) A.a=1,b=2,c=3 B.a:b:c=3:4:5 C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 2.如图,点D在△A BC的边AC上,将△ABC沿BD 翻折后,点A恰好与点C重合.若BC=5,CD=3,则BD的长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,有两棵树,一颗高10米,另一棵高4米,两 树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行 ( ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB,垂足为点D,如果∠A=30°,AE=6 cm,那么CE等于 ( ) A.17 2 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 5.如图,在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24 m处有一建筑物工地B,在AB间建一条直水管,则水管的长为 ( ) A.45 m B.40 m C.50 m D.56 m 6.如图,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,若在圆柱的侧面上,过点A和点C 嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为 ( ) A.42dm B.22dm C.dm D.dm 二、认真填一填.(每空2分,共12分) 7.甲、乙两人同时从同一地点出发,甲往北偏东60°的方向走了5.2 km,乙往南偏东30°的方向走了3.9 km,这时甲,乙两人相距 km. 8.如图,一个正方体盒子的棱长AB=1,A处的一只蚂蚁要绕盒子的表面爬到C'处吃糖,则需要爬行的最短距离是.

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