2018年全国卷文科数学十年真题分类汇编_导数

导 数

一．基础题组

1. 【2008全国1，文4】曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°

【答案】B

【解析】,

2. 【2005全国1，文3】函数，已知在时取得极值，则=

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

【答案】D

3.【2017新课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】 【解析】

试题分析：设，则，所以

， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【考点】导数几何意义

【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线

在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

4. 【2013课标全国Ⅰ，文20】(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x

(ax ＋b )－x 2

－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；,

(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．

3

24y x x =-+(1

3)，2

2

32,3121,tan 1,45.y x k θθ'=-∴=?-=∴=∴=o

Q 93)(2

3-++=x ax x x f )(x f 3-=

x 2

1

y x x

=+1y x =+()y f x =21

()2f x x x

'=-

(1)211f '=-=2

1

y x x

=+

(1,2)21(1)y x -=?-1y x =+),(00y x P )(x f y =P 000()()y y f x x x '-=-)(x f y =))(,(00x f x P y 0x x =

【解析】(1)f ′(x )＝e x

(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8.

5. 【2011全国1，文20】

已知函数，. (Ⅰ)证明：曲线

（Ⅱ）若求a 的取值范围。

【解析】(Ⅰ)，，故x=0处切线斜率

，又

即，当

故曲线,

（Ⅱ），令

，

故 6. 【2009全国卷Ⅰ,文21】已知函数=x 4-3x 2

+6.

3

2

()3(36)124f x x ax a x a =++---a R ∈()0y f x x ==在的切线过点（2，2）；00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），3

2

()3(36)124f x x ax a x a =++-+-2

()3636f x x ax a '=++-36k a =-(0)124,124(36)f a y a a x =-∴-+=-切线方程为(36)1240a x y a --+-=2,2x y ==时(36)2212461221240a a a a -?-+-=--+-=()0(2,2)y f x x ==在处的切线过点0x Q 处取极小值2

()3636,()g x x ax a g x =++-由题意知在(1,3)有解00)0;)0x x x x x x <<>>且时g(时

g(22(6)43(36)0(6)43(36)0(1)0(1)01(3)0(3)0a a a a g g a g g ???=-?-=?=-?->??

<>?>?

???>>??

或)(x f

(1)讨论的单调性;

(2)设点P 在曲线y=上,若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点,求l 的方程.

【解析】:(1)f′(x)=4x 3

-6x=4x·()(). 当x ∈(-∞,)和x ∈(0,)时,f′(x)＜0; 当x ∈(,0)和x ∈(,+∞)时,f′(x)＞0. 因此,在区间(-∞,)和(0,)上是减函数,在区间(,0)和(,+∞)上是增函数.

7. 【2007全国1，文20】（本小题满分12分）设函数在及时取得极值。,

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）若对任意的，都有成立，求c 的取值范围。 【解析】：

（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，.

)(x f )(x f 26+

x 2

6-x 26-

2

6

26-

2

6)(x f 26-

26)(x f 26-2

6

3

2

()2338f x x ax bx c =+++1x =2x =[0,3]x ∈2

()f x c <2

()663f x x ax b '=++()f x 1x =2x =(1)0f '=(2)0f '=

即

解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

.

当时，； 当时，； 当时，.

二．能力题组

1. 【2007全国1，文11】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A.

B. C. D. 【答案】：A

【解析】：对x 求导，得y'=x2+1

在点(1,4/3)处，导数为y'=2，∴此处切线为:y-(4/3)=2(x-1) 即6x-3y-2=0

与两坐标轴的交点是(0,-2/3)和(1/3,0)

∴与坐标轴围成的三角形的面积是：S=(2/3)*(1/3)/2=1/9

6630241230a b a b ++=??

++=?，

．

3a =-4b =3

2

()29128f x x x x c =-++2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--(01)

x ∈，()0f x '>(1

2)x ∈，()0f x '<(23)x ∈，

()0f x '

>313y x x =

+4

(1,)3

1929132

3

2.【2011新课标，文21】21.（本小题满分12分）,

【解析】

3. 【2008全国1，文21】,

已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 【解析】：（1）

求导：

当时，，

在上递增

当，求得两根为

即在递增，递减，

递增

（2），且

解得： 4. 【2010全国1，文21】已知函数f (x )＝3ax 4

－2(3a ＋1)x 2

＋4x . (1)当a ＝

时，求f (x )的极值； (2)若f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围．

,

3

2

()1f x x ax x =+++a ∈R ()f x ()f x 2133??-- ???

，

3

2

()1f x x ax x =+++2

()321f x x ax '=++2

3a

≤0?≤()0f x '≥()f x R 2

3a >()0f x '

=3

a x -±=()f

x 3a ??

---∞ ? ???

，33a a ?--+ ???

，?

+∞????

2

31

3

--2

3a

>74

a ≥

1

6

(ⅰ)当a ＝0时①恒成立；

(ⅱ)当a ＞0时①成立，当且仅当3a ·12

＋3a ·1－1≤0， 解得a ≤

. (ⅲ)当a ＜0时①成立，即3a (x ＋

)2－－1≤0成立，当且仅当－－1≤0.解得a ≥－. 综上，a 的取值范围是－，]． 三．拔高题组

1. 【2014全国1，文12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的

取值范围是( )

（B ） （C ） （D ）

【答案】C

【解析】根据题中函数特征，当时，函数显然有两个零点且一正一负; 当时，求导可得：，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和

时函数单调递增; 时函数单调递减，显然存在负零点; 当时，求导可得：

，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时

函数单调递减; 时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：

，即

16

1234a 34

a 43431

6

32

()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0a =2

()31f x x =-+0a >2

'()363(2)f x ax x x ax =-=-(,0)x ∈-∞2(,)x a ∈+∞2

(0)x a ∈，0a <2'()363(2)f x ax x x ax =-=-2(,)x a

∈-∞(0,)x ∈+∞2(0)x a ∈，2

()0(0)0

f a f ?>???>?

得：，可解得：，则． 2. 【2014全国1，文21】设函数，曲线处的切线斜率为0 （1）求b;

（2）若存在使得，求a 的取值范围。 【解析】（1）， 由题设知，解得.

当时，，在单调递减，在单调递增. 所以，存在，使得的充要条件为，

而，所以不合题意. （ⅲ）若，则. 综上，a 的取值范围是.

3222

()3()10a a a

?-+>2

4a >2(,2a a ><-舍去）()()2

1ln 12

a f x a x x bx a -=+-≠()()()11y f x f =在点，01,x ≥()01

a

f x a <

-'

()(1)a

f x a x b x

=

+--'

(1)0f =1b

=(

,)1a x a ∈+∞-'()0f x >()f x (1,)1a a -(,)1a a

+∞-01x ≥0()1a f x a <

-()11

a a

f a a <--2()ln 112(1)11

a a a a a

f a a a a a a =++>-----1a >11(1)1221

a a a

f a ---=

-=<

-(1)(1,)+∞U

3. 【2012全国1，文21】已知函数f (x )＝x 3＋x 2

＋ax . (1)讨论f (x )的单调性；,

(2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，若过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的直线l 与x 轴的交点在曲线y ＝f (x )上，求a 的值．

(2)由题设知，x 1，x 2为方程f ′(x )＝0的两个根， 故有a ＜1，x 12

＝－2x 1－a ，x 22

＝－2x 2－a . 因此f (x 1)＝

x 13

＋x 12＋ax 1 ＝

x 1(－2x 1－a )＋x 12＋ax 1＝x 12＋ax 1 ＝

(－2x 1－a )＋ax 1＝(a －1)x 1－. 同理，f (x 2)＝

(a －1)x 2－. 因此直线l 的方程为y ＝

(a －1)x －. 设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得，

． 由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0， 解得a ＝0或或. 4. 【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数.

1

3

13

1313231323233

a 233

a

233

a

02(1)

a

x a =

-22322

03

1()[][](12176)32(1)2(1)2(1)24(1)

a a a a f x a a a a a a =++=-+----23a =

3

4

a =()2ln x

f x e

a x =-

（I ）讨论的导函数的零点的个数； （II ）证明：当时., 【答案】（I ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（II ）见解析 【解析】

试题分析：（I ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）

由（I ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函

数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式. 试题解析：（I ）的定义域为，. 当时,，没有零点； 当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b 满

足且时，,故当时，存在唯一零点.

由于，所以. 故当时，. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.

()f x ()f x '0a >()22ln

f x a a a

≥+0a ￡()f x ￠

0a >()f x ￠0a ￡0a >()f x '()f x ￠

()0+￥，0

x

()f x '2

2ln

a a a

+()f x ()

0+￥，

()

2()=20x a

f x e x x

￠

->0a ￡()0f x ￠

>()f x ￠0a >2x

e

a

x

-

()f x ￠

()0+￥，()0f a ￠>04a b <<

1

4

b <(b)0f ￠

<0a >()f x

￠0

20

2=0x a e

x -

00022

()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a ++?0a >2()2ln

f x a a a

?