matlab matrix 矩阵基本运算
第1章矩阵及其基本运算
MATLAB，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB的命令及其用法。
1.1 矩阵的表示
1.1.1 数值矩阵的生成
1．实数值矩阵输入
MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。
不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如：
>> Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
Time =
11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98]
X_Data =
2.43
3.43
4.37
5.98
>> vect_a = [1 2 3 4 5]
vect_a =
1 2 3 4 5
>> Matrix_B = [1 2 3；
>> 2 3 4；3 4 5]
Matrix_B = 1 2 3
2 3 4
3 4 5
>> Null_M = [ ] %生成一个空矩阵
2．复数矩阵输入
复数矩阵有两种生成方式：
第一种方式
例1-1
>> a=2.7;b=13/25;
>> C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1]
C=
1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544
0.7071 5.3000 4.5000
第2种方式
例1-2
>> R=[1 2 3;4 5 6], M=[11 12 13;14 15 16]
R =
1 2 3
4 5 6
M =
11 12 13
14 15 16
>> CN=R+i*M
CN =
1.0000 +11.0000i
2.0000 +12.0000i
3.0000 +13.0000i
4.0000 +14.0000i
5.0000 +15.0000i
6.0000 +16.0000i
1.1.2 符号矩阵的生成
在MATLAB中输入符号向量或者矩阵的方法和输入数值类型的向量或者矩阵在形式上很相像，只不过要用到符号矩阵定义函数sym，或者是用到符号定义函数syms，先定义一些必要的符号变量，再像定义普通矩阵一样输入符号矩阵。
1．用命令sym定义矩阵：
这时的函数sym实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者是表达式，而且长度没有限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中。如下例：
例1-3
>> sym_matrix = sym（'[a b c；Jack，Help Me!，NO WAY!]，'）
sym_matrix =
[a b c]
[Jack Help Me! NO WAY!]
>> sym_digits = sym（'[1 2 3；a b c；sin（x）cos（y）tan（z）]'）
sym_digits =
[1 2 3]
[a b c]
[sin（x）cos（y）tan（z）]
2．用命令syms定义矩阵
先定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后像普通矩阵一样输入符号矩阵。
例1-4
>> syms a b c ；
>> M1 = sym（'Classical'）；
>> M2 = sym（' Jazz'）；
>> M3 = sym（'Blues'）
>> syms_matrix = [a b c；M1，M2，M3；int2str（[2 3 5]）]
syms_matrix =
[ a b c]
[Classical Jazz Blues]
[ 2 3 5]
把数值矩阵转化成相应的符号矩阵。
数值型和符号型在MATLAB中是不相同的，它们之间不能直接进行转化。MA TLAB提供了一个将数值型转化成符号型的命令，即sym。
例1-5
>> Digit_Matrix = [1/3 sqrt（2）3.4234；exp（0.23）log（29）23^（-11.23）]
>> Syms_Matrix = sym（Digit_Matrix）
结果是：
Digit_Matrix =
0.3333 1.4142 3.4234
1.2586 3.3673 0.0000
Syms_Matrix =
[ 1/3，sqrt（2），17117/5000]
[5668230535726899*2^（-52），7582476122586655*2^（-51），5174709270083729*2^（-103）]
注意：矩阵是用分数形式还是浮点形式表示的，将矩阵转化成符号矩阵后，都将以最接近原值的有理数形式表示或者是函数形式表示。
1.1.3 大矩阵的生成
对于大型矩阵，一般创建M文件，以便于修改：
例1-6 用M文件创建大矩阵，文件名为example.m
exm=[ 456 468 873 2 579 55
21 687 54 488 8 13
65 4567 88 98 21 5
456 68 4589 654 5 987
5488 10 9 6 33 77]
在MA TLAB窗口输入：
>>example;
>>size(exm) %显示exm的大小
ans=
5 6 %表示exm有5行6列。
1.1.4 多维数组的创建
函数cat
格式A=cat(n,A1,A2,…,Am)
说明n=1和n=2时分别构造[A1；A2]和[A1，A2]，都是二维数组，而n=3时可以构造出三维数组。
例1-7
>> A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=A1';A3=A1-A2;
>> A4=cat(3,A1,A2,A3)
A4(:,:,1) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A4(:,:,2) =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
A4(:,:,3) =
0 -2 -4
2 0 -2
4 2 0
或用另一种原始方式可以定义：
例1-8
>> A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=A1';A3=A1-A2;
>> A5(:,:,1)=A1, A5(:,:,2)=A2, A5(:,:,3)=A3
A5(:,:,1) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A5(:,:,2) =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
A5(:,:,3) =
0 -2 -4
2 0 -2
4 2 0
1.1.5 特殊矩阵的生成
命令全零阵
函数zeros
格式 B = zeros(n) %生成n×n全零阵
B = zeros(m,n) %生成m×n全零阵
B = zeros([m n]) %生成m×n全零阵
B = zeros(d1,d2,d3…) %生成d1×d2×d3×…全零阵或数组
B = zeros([d1 d2 d3…]) %生成d1×d2×d3×…全零阵或数组
B = zeros(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的全零阵
命令单位阵
函数eye
格式Y = eye(n) %生成n×n单位阵
Y = eye(m,n) %生成m×n单位阵
Y = eye(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的单位阵命令全1阵
函数ones
格式Y = ones(n) %生成n×n全1阵
Y = ones(m,n) %生成m×n全1阵
Y = ones([m n]) %生成m×n全1阵
Y = ones(d1,d2,d3…) %生成d1×d2×d3×…全1阵或数组
Y = ones([d1 d2 d3…]) %生成d1×d2×d3×…全1阵或数组
Y = ones(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的全1阵命令均匀分布随机矩阵
函数rand
格式Y = rand(n) %生成n×n随机矩阵，其元素在（0，1）内Y = rand(m,n) %生成m×n随机矩阵
Y = rand([m n]) %生成m×n随机矩阵
Y = rand(m,n,p,…) %生成m×n×p×…随机矩阵或数组
Y = rand([m n p…]) %生成m×n×p×…随机矩阵或数组
Y = rand(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的随机矩阵
rand %无变量输入时只产生一个随机数
s = rand('state') %产生包括均匀发生器当前状态的35个元素的向量rand('state', s) %使状态重置为s
rand('state', 0) %重置发生器到初始状态
rand('state', j) %对整数j重置发生器到第j个状态
rand('state', sum (100*clock)) %每次重置到不同状态
例1-9 产生一个334随机矩阵
>> R=rand(3,4)
R =
0.9501 0.4860 0.4565 0.4447
0.2311 0.8913 0.0185 0.6154
0.6068 0.7621 0.8214 0.7919
例1-10 产生一个在区间[10, 20]内均匀分布的4阶随机矩阵
>> a=10;b=20;
>> x=a+(b-a)*rand(4)
x =
19.2181 19.3547 10.5789 11.3889
17.3821 19.1690 13.5287 12.0277
11.7627 14.1027 18.1317 11.9872
14.0571 18.9365 10.0986 16.0379
命令正态分布随机矩阵
函数randn
格式Y = randn(n) %生成n×n正态分布随机矩阵
Y = randn(m,n) %生成m×n正态分布随机矩阵
Y = randn([m n]) %生成m×n正态分布随机矩阵
Y = randn(m,n,p,…) %生成m×n×p×…正态分布随机矩阵或数组
Y = randn([m n p…]) %生成m×n×p×…正态分布随机矩阵或数组
Y = randn(size(A)) %生成与矩阵A相同大小的正态分布随机矩阵
randn %无变量输入时只产生一个正态分布随机数
s = randn('state') %产生包括正态发生器当前状态的2个元素的向量
s = randn('state', s) %重置状态为s
s = randn('state', 0) %重置发生器为初始状态
s = randn('state', j) %对于整数j重置状态到第j状态
s = randn('state', sum(100*clock)) %每次重置到不同状态
例1-11 产生均值为0.6，方差为0.1的4阶矩阵
>> mu=0.6; sigma=0.1;
>> x=mu+sqrt(sigma)*randn(4)
x =
0.8311 0.7799 0.1335 1.0565
0.7827 0.5192 0.5260 0.4890
0.6127 0.4806 0.6375 0.7971 0.8141 0.5064 0.6996 0.8527
命令 产生随机排列 函数 randperm
格式 p = randperm(n) %产生1～n 之间整数的随机排列 例1-12
>> randperm(6) ans =
3 2 1 5
4 6
命令 产生线性等分向量 函数 linspace
格式 y = linspace(a,b) %在(a, b)上产生100个线性等分点
y = linspace(a,b,n) %在(a, b)上产生n 个线性等分点 命令 产生对数等分向量 函数 logspace
格式 y = logspace(a,b) %在（ ）之间产生50个对数等分向量
y = logspace(a,b,n) y = logspace(a,pi) 命令 计算矩阵中元素个数
n = numel(a) %返回矩阵A 的元素的个数 命令 产生以输入元素为对角线元素的矩阵 函数 blkdiag
格式 out = blkdiag(a,b,c,d,…) %产生以a,b,c,d,…为对角线元素的矩阵 例1-13
>> out = blkdiag(1,2,3,4) out =
1 0 0 0 0
2 0 0 0 0
3 0 0 0 0 4
命令 友矩阵 函数 compan
格式 A = compan(u) %u 为多项式系统向量，A 为友矩阵，A 的第1行元素为
-u (2:n)/u(1)，其中u (2:n)为u 的第2到第n 个元素，A 为特征值就是多项式的特征根。
例1-14 求多项式 的友矩阵和根
>> u=[1 0 -7 6];
>> A=compan(u) %求多项式的友矩阵
A =
0 7 -6 1 0 0 0 1 0
>> eig(A) %A 的特征值就是多项式的根
ans =
b a 10,1067)3)(2)(1(3+-=+--x x x x x
-3.0000
2.0000
1.0000
命令hadamard矩阵
函数hadamard
格式H = hadamard(n) %返回n阶hadamard矩阵
例1-15
>> h=hadamard(4)
h =
1 1 1 1
1 -1 1 -1
1 1 -1 -1
1 -1 -1 1
命令Hankel方阵
函数hankel
格式H = hankel(c) %第1列元素为c，反三角以下元素为0。
H = hankel(c,r) %第1列元素为c，最后一行元素为r，如果c的最后一个元素
与r的第一个元素不同，交叉位置元素取为c的最后一个元素。例1-16
>> c=1:3,r=7:10
c =
1 2 3
r =
7 8 9 10
>> h=hankel(c,r)
h =
1 2 3 8
2 3 8 9
3 8 9 10
命令Hilbert矩阵
函数hilb
格式H = hilb(n) %返回n阶Hilbert矩阵，其元素为H(i,j)=1/(i+j-1)。
例1-17 产生一个3阶Hilbert矩阵
>> format rat %以有理形式输出
>> H=hilb(3)
H =
1 1/
2 1/3
1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5
命令逆Hilbert矩阵
函数invhilb
格式H = invhilb(n) %产生n阶逆Hilbert矩阵
命令Magic(魔方)矩阵
函数magic
格式M = magic(n) %产生n 阶魔方矩阵
例1-18
>> M=magic(3)
M =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
命令Pascal矩阵
函数pascal
格式 A = pascal(n) %产生n阶Pascal矩阵，它是对称、正定矩阵，它的元素由
Pascal三角组成，它的逆矩阵的所有元素都是整数。
A = pascal(n,1) %返回由下三角的Cholesky系数组成的Pascal矩阵
A = pascal(n,2) %返回Pascal(n,1)的转置和交换的形式
例1-19
>> A=pascal(4)
A =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
>> A=pascal(3,1)
A =
1 0 0
1 -1 0
1 -
2 1
>> A=pascal(3,2)
A =
1 1 1
-2 -1 0
1 0 0
命令托普利兹矩阵
函数toeplitz
格式T = toeplitz(c,r) %生成一个非对称的托普利兹矩阵，将c作为第1列，将r作
为第1 行，其余元素与左上角相邻元素相等。
T = toeplitz(r) %用向量r生成一个对称的托普利兹矩阵
例1-20
>> c=[1 2 3 4 5];
>> r=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5];
>> T=toeplitz(c,r)
T =
1 5/
2 7/2 9/2 11/2
2 1 5/2 7/2 9/2
3 2 1 5/2 7/2
4 3 2 1 5/2
5 4 3 2 1
命令Wilkinson特征值测试阵
函数wilkinson
格式W = wilkinson(n) %返回n阶Wilkinson特征值测试阵
例1-21
>> W=wilkinson(4)
W =
3/2 1 0 0
1 1/
2 1 0
0 1 1/2 1
0 0 1 3/2
>> W=wilkinson(7)
W =
3 1 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 0 1 3
1.2 矩阵运算
1.2.1 加、减运算
运算符：“＋”和“－”分别为加、减运算符。
运算规则：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十”，“一”运算进行。
例1-22
>>A=[1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6]
>>B=[8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2]
>>A＋B=A+B
>>A-Ｂ=A-B
结果显示：A+B=
9 2 7
4 7 10
5 12 8
A－B=
-7 0 -5
-2 -3 -4
-3 -6 4
1.2.2 乘法
运算符：*
运算规则：按线性代数中矩阵乘法运算进行，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。
1．两个矩阵相乘
例1-23
>>X= [2 3 4 5;
1 2 2 1]；
>>Y=[0 1 1;
1 1 0;
0 0 1;
1 0 0]；
Z=X*Y
结果显示为：
Z=
8 5 6
3 3 3
2．矩阵的数乘：数乘矩阵
上例中：a=2*X
则显示：a =
4 6 8 10
2 4 4 2
向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘。
数组乘法：
A.*B表示A与B对应元素相乘。
3．向量点积
函数dot
格式 C = dot(A,B) %若A、B为向量，则返回向量A与B的点积，A与B长度
相同；若为矩阵，则A与B有相同的维数。
C = dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积
例>>X=[-1 0 2]；
>>Y=[-2 -1 1];
>>Z=dot(X, Y)
则显示：Z =
4
还可用另一种算法：
sum(X.*Y)
ans=
4
4．向量叉乘
在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。在Matlab中，用函数cross实现。
函数cross
格式 C = cross(A,B) %若A、B为向量，则返回A与B的叉乘，即C=A3B，A、B
必须是3个元素的向量；若A、B为矩阵，则返回一个33n
矩阵，其中的列是A与B对应列的叉积，A、B都是33n矩
阵。
C = cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A与B的叉积。A和B必须具有
相同的维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3。
例1-24 计算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。
>>a=[1 2 3];
>>b=[4 5 6];
>>c=cross(a,b)
结果显示：
c=
-3 6 -3
可得垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量为±(-3, 6, -3)
5．混合积
混合积由以上两函数实现：
例1-25 计算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3) 的混合积)c b (a ?? 解：
>>a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; c=[-3 6 -3]; >>x=dot(a, cross(b, c)) 结果显示：x = 54
注意：先叉乘后点乘，顺序不可颠倒。
6．矩阵的卷积和多项式乘法 函数 conv
格式 w = conv(u,v) %u 、v 为向量，其长度可不相同。
说明 长度为m 的向量序列u 和长度为n 的向量序列v 的卷积(Convolution)定义为：
∑=-+=k
1
j )j 1k (v )j (u )k (w 式中：w 向量序列的长度为(m+n-1)，当m=n 时，
w(1) = u(1)*v(1)
w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1)
w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1) …
w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ … +u(n)*v(1) …
w(2*n-1) = u(n)*v(n)
例1-26 展开多项式)1()4()22(2++++s s s s 解：>> w=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1]))
w =
1 7 16 18 8
>> P=poly2str(w,'s') %将w 表示成多项式
P =
s^4 + 7 s^3 + 16 s^2 + 18 s + 8
7．反褶积（解卷）和多项式除法运算 函数 deconv
格式 [q,r] = deconv(v,u) %多项式v 除以多项式u ，返回商多项式q 和余多项式r 。 注意：v 、u 、q 、r 都是按降幂排列的多项式系数向量。
例1-27 ，则其卷积为
>>u = [1 2 3 4]
>>v = [10 20 30] >>c = conv(u,v)
c =
10 40 100 160 170 120 则反褶积为
>>[q,r] = deconv(c,u)
q =
10 20 30 r =
0 0 0 0 0 0
8．张量积
)302010)(432(2
23+++++x x x x x
函数 kron
格式 C=kron (A,B) %A 为m×n 矩阵，B 为p×q 矩阵，则C 为mp×nq 矩阵。
说明 A 与B 的张量积定义为：?
?
??
?
?
?
??
???=?=B a B
a B a B a B a B a B a B
a B a B A C mn 2m 1m n 222
21n 11211 A ?B 与B ?A
均为mp×nq 矩阵，但一般地A ?B ≠B ?A 。
例1-28 ???
???=4321A ????
?
?????=987654321B 求A ?B 。 >> A=[1 2;3 4];B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> C=kron(A,B)
C =
1 2 3 2 4 6 4 5 6 8 10 12 7 8 9 14 16 18 3 6 9 4 8 12 12 15 18 16 20 24 21 24 27 28 32 36
1.2.3 集合运算
1．两个集合的交集 函数 intersect
格式 c = intersect(a,b) %返回向量a 、b 的公共部分，即c= a ∩b 。
c = intersect(A,B,'rows') %A 、B 为相同列数的矩阵，返回元素相同的行。 [c,ia,ib] = intersect(a,b) %c 为a 、b 的公共元素，ia 表示公共元素在a 中的位置，
ib 表示公共元素在b 中位置。
例1-29
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]
A =
1 2 3 4 1 2 4 6 6 7 1 4 >> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]
B =
1 2 3 8 1 1 4 6 6 7 1 4 >> C=intersect(A,B,'rows')
C =
6 7 1 4
例1-30
>> A = [1 9 6 20]; B = [1 2 3 4 6 10 20]; >> [c,ia,ib] = intersect(A,B)
c =
1 6 20
ia =
1 3 4
ib =
1 5 7
2．检测集合中的元素
函数ismember
格式k = ismember(a,S) %当a中元素属于S时，k取1，否则，k取0。
k = ismember(A,S,'rows') %A、S有相同的列，返回行相同k取1，不相同取0
的列向量。
例1-31
>> S=[0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20];
>> a=[1 2 3 4 5 6];
>> k=ismember(a,S)
k =
0 1 0 1 0 1 %1表示相同元素的位置
例1-32
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]
>> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]
>> k=ismember(A,B,'rows')
k =
1 %1表示元素相同的行
3．两集合的差
函数setdiff
格式 c = setdiff(a,b) %返回属于a但不属于b的不同元素的集合，C = a-b。
c = setdiff(A,B,'rows') %返回属于A但不属于B的不同行
[c,i] = setdiff(…) %c与前面一致，i表示c中元素在A中的位置。
例1-33
>> A = [1 7 9 6 20]; B = [1 2 3 4 6 10 20];
>> c=setdiff(A,B)
c =
7 9
例1-34
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]
>> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]
>> c=setdiff(A,B,'rows')
c =
1 2 3 4
1 2 4 6
4．两个集合交集的非（异或）
函数setxor
格式 c = setxor(a,b) %返回集合a、b交集的非
c = setxor(A,B,'rows') %返回矩阵A、B交集的非，A、B有相同列数。
[c,ia,ib] = setxor(…) %ia、ib表示c中元素分别在a (或A)、b(或B)中位置
例1-35
>> A=[1 2 3 4];
>> B=[2 4 5 8];
>> C=setxor(A,B)
C =
1 3 5 8
例1-36
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4]
A =
1 2 3 4
1 2 4 6
6 7 1 4
>> B=[1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4]
B =
1 2 3 8
1 1 4 6
6 7 1 4
>> [C,ia,ib]=setxor(A,B,'rows')
C =
1 1 4 6
1 2 3 4
1 2 3 8
1 2 4 6
ia =
1
2
ib =
2
1
5．两集合的并集
函数union
格式 c = union(a,b) %返回a、b的并集，即c = a∪b。
c = union(A,B,'rows') %返回矩阵A、B不同行向量构成的大矩阵，其中相同行
向量只取其一。
[c,ia,ib] = union(…) %ia、ib分别表示c中行向量在原矩阵(向量)中的位置例1-37
>> A=[1 2 3 4]；
>> B=[2 4 5 8]；
>> c=union(A,B)
则结果为
c =
1 2 3 4 5 8
例1-38
>> A=[1 2 3 4;1 2 4 6]
A =
1 2 3 4
1 2 4 6
>> B=[1 2 3 8;1 1 4 6]
B =
1 2 3 8
1 1 4 6
>> [c,ia,ib]=union(A,B,'rows')
c =
1 1 4 6
1 2 3 4
1 2 3 8
1 2 4 6
ia =
1
2
ib =
2
1
6．取集合的单值元素
函数
格式 b = unique (a) %取集合a的不重复元素构成的向量
b = unique (A,'rows') %返回A、B不同行元素组成的矩阵
[b,i,j] = unique (…) %i、j体现b中元素在原向量（矩阵）中的位置例1-39
>> A=[1 1 2 2 4 4 6 4 6]
A =
1 1
2 2 4 4 6 4 6
>> [c,i,j]=unique(A)
c =
1 2 4 6
i =
2 4 8 9
j =
1 1
2 2
3 3
4 3 4
例1-40
>> A=[1 2 2 4;1 1 4 6;1 1 4 6]
A =
1 2 2 4
1 1 4 6
1 1 4 6
>> [c,i,j]=unique(A,'rows')
c =
1 1 4 6
1 2 2 4
i =
3
1
j =
2
1
1
1.2.4 除法运算
Matlab提供了两种除法运算：左除（\）和右除（/）。一般情况下，x=a\b是方程a*x =b 的解，而x=b/a是方程x*a=b的解。
例：a=[1 2 3; 4 2 6; 7 4 9]
b=[4; 1; 2]; x=a\b 则显示：x=
-1.5000
2.0000
0.5000
如果a 为非奇异矩阵，则a\b 和b/a 可通过a 的逆矩阵与b 阵得到：
a\b = inv(a)*b b/a = b*inv(a)
数组除法：
A./B 表示A 中元素与B 中元素对应相除。
1.2.5 矩阵乘方
运算符：^ 运算规则：
（1）当A 为方阵，P 为大于0的整数时，A^P 表示A 的P 次方，即A 自乘P 次；P 为小于0的整数时，A^P 表示A -1的P 次方。
（2）当A 为方阵，p 为非整数时，则1p nn p 11V d d V P ^A -????
?
???
??= 其中V 为A 的特征向量，?
???
???
?nn 11d d
为特征值对角矩阵。如果有重根，以上指令不成立。 （3）标量的矩阵乘方P A ，标量的矩阵乘方定义为1
d d A V p p V P n n 11-??
???
?
??????= 式中V ，D 取
自特征值分解A V=AD 。
（4）标量的数组乘方P.^A ，标量的数组乘方定义为????
?
???????=n m 1m n 111a a a a p p p p A .^P 数组乘方：
A.^P ：表示A 的每个元素的P 次乘方。
1.2.6 矩阵函数
命令 方阵指数
函数 expm
格式 Y = expm(A) %使用Pade 近似算法计算e A ，这是一个内部函数，A 为方阵。 Y=expm1(A) %使用一个M 文件和内部函数相同的算法计算e A Y=expm2(A) %使用泰勒级数计算e A
Y=expm3(A) %使用特征值和特征向量计算e A
命令矩阵的对数
函数logm
格式Y = logm(X) %计算矩阵X的对数，它是expm(X)的反函数。
[Y,esterr] = logm(X) %esterr为相对残差的估计值：norm(expm(Y)-X)/norm(X) 例1-41
>> A=[1 1 0;0 0 2;0 0 -1];
>> Y=expm(A)
Y =
2.7183 1.7183 1.0862
0 1.0000 1.2642
0 0 0.3679
>> A=logm(Y)
A =
1.0000 1.0000 0.0000
0 0 2.0000
0 0 -1.0000
命令方阵的函数
函数funm
格式 F = funm(A,fun) %A为方阵，计算由fun指定的A的矩阵函数，fun可以
是任意基本函数，如sin、cos等等，例如：
funm(A, ’exp’)=expm(A)。
[F,esterr] = funm(A,fun) %esterr为结果所产生的相对误差的估计值。
命令矩阵的方根
函数sqrtm
格式X = sqrtm(A) %矩阵A的平方根A1/2，相当于X*X=A，求X。若A的特征值
有非负实部，则X是唯一的；若A的特征值有负的实部，则X
为复矩阵；若A为奇异矩阵，则X不存在。
[X,resnorm] = sqrtm(A) % resnorm为结果产生的相对误差
[X,alpha,condest] = sqrtm(A) % alpha为稳定因子，condest为结果的条件数的估
计值。
命令矩阵A的多项式
函数polyvalm
格式polyvalm(P, A) %P为多项式系数向量，方阵A为多项式变量，返回多项式值。
1.2.7 矩阵转置
运算符：′
运算规则：若矩阵A的元素为实数，则与线性代数中矩阵的转置相同。
若A为复数矩阵，则A转置后的元素由A对应元素的共轭复数构成。
若仅希望转置，则用如下命令：A.′。
1.2.8 方阵的行列式
函数det
格式 d = det(X) %返回方阵X 的多项式的值 例1-42
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> D=det(A)
D = 0
1.2.9 逆与伪逆
命令 逆 函数 inv
格式 Y=inv(X) %求方阵X 的逆矩阵。若X 为奇异阵或近似奇异阵，将给出警告信息。
例1-43 求???
?
?
??=343122321A 的逆矩阵
方法一
>>A=[1 2 3; 2 2 1; 3 4 3]; >>Y=inv(A)或Y=A^(-1) 则结果显示为 Y =
1.0000 3.0000 -
2.0000 -1.5000 -
3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000
方法二：由增广矩阵???
?
? ??=100343010122001321B 进行初等行变换
>>B=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 2, 2, 1, 0, 1, 0; 3, 4, 3, 0, 0, 1]；
>>C=rref(B) %化行最简形
>>X=C(:, 4:6) %取矩阵C 中的A^(-1)部分 显示结果如下： C =
1.0000 0 0 1.0000 3.0000 -
2.0000 0 1.0000 0 -1.5000 -
3.0000 2.5000 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 X =
1.0000 3.0000 -
2.0000 -1.5000 -
3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000
例1-44
>> A=[2 1 -1;2 1 2;1 -1 1]；
>> format rat %用有理格式输出 >> D=inv(A)
D =
1/3 0 1/3 0 1/3 -2/3 -1/3 1/3 0
命令 伪逆 函数 pinv
格式 B = pinv(A) %求矩阵A 的伪逆
B = pinv(A, tol) %tol 为误差：max(size(A))*norm(A)*eps
说明 当矩阵为长方阵时，方程AX=I 和XA=I 至少有一个无解，这时A 的伪逆能在某种程度上代表矩阵的逆，若A 为非奇异矩阵，则pinv(A) = inv(A)。
例1-45
>> A=magic(5); %产生5阶魔方阵。
>> A=A(:,1:4) %取5阶魔方阵的前4列元素构成矩阵A 。
A =
17 24 1 8 23 5 7 14 4 6 13 20 10 12 19 21 11 18 25 2 >> X=pinv(A) %计算A 的伪逆
X =
-0.0041 0.0527 -0.0222 -0.0132 0.0069 0.0437 -0.0363 0.0040 0.0033 0.0038 -0.0305 0.0027 -0.0004 0.0068 0.0355 0.0060 -0.0041 0.0314 0.0211 -0.0315
1.2.10 矩阵的迹
函数 trace
格式 b=trace (A) %返回矩阵A 的迹，即A 的对角线元素之和。
1.2.11 矩阵和向量的范数
命令 向量的范数 函数 norm
格式 n = norm(X) %X 为向量，求欧几里德范数，即∑=
2k 2|x |||X ||。
n = norm(X,inf) %求∞-范数，即))X (abs (max ||X ||=。 n = norm(X,1) %求1-范数，即∑=k
k 1|x |||X ||。
n = norm(X,-inf) %求向量X 的元素的绝对值的最小值，即))X (abs (min ||X ||=。 n = norm(X, p) %求p-范数，即p
k
p k p |x |||X ||∑=，所以norm(X,2) = norm(X)。
命令 矩阵的范数 函数 norm
格式 n = norm(A) %A 为矩阵，求欧几里德范数2||A ||，等于A 的最大奇异值。
n = norm(A,1) %求A 的列范数1||A ||，等于A 的列向量的1-范数的最大值。 n = norm(A,2) %求A 的欧几里德范数2||A ||，和norm(A)相同。
n = norm(A,inf) %求行范数∞||A ||，等于A 的行向量的1-范数的最大值
即：max(sum(abs(A')))。
n = norm(A, 'fro' ) %求矩阵A 的Frobenius 范数∑∑=
i
j
2j i F |a |||A ||，
即sqrt(sum(diag(A'*A)))，不能用矩阵p-范数的定义来求。 命令 范数的估计值 函数 normest
格式 nrm = normest(A) %矩阵A 的2-范数(欧几里德范数)的估计值，相对误
差小于106。
nrm = normest(A,tol) %tol 为指定相对误差
[nrm,count] = normest(…) %count 给出计算估计值的迭代次数
1.2.12 条件数
命令 矩阵的条件数 函数 cond
格式 c = cond(X) %求X 的2-范数的条件数，即X 的最大奇异值和最小奇异值的商。
c = cond(X,p) %求p-范数的条件数，p 的值可以是1、2、inf 或者’fro’。 说明 线性方程组AX=b 的条件数是一个大于或者等于1的实数，用来衡量关于数据中的扰动，也就是A/或b 对解X 的灵敏度。一个差条件的方程组的条件数很大。条件数的定义为：|||||||)(1-A A A cond
命令 1-范数的条件数估计 函数 condest
格式 c = condest (A) %方阵A 的1-范数的条件数的下界估值。
[c,v] = condest (A) %v 为向量，满足||
v ||||A ||||Av ||?=
，即norm(A*v,1) =norm(A,1)*norm(v,1)/c 。
[c,v] = condest (A,t) %求上面的c 和v ，同时显示出关于计算的步骤信息。如果
t=1，则计算的每步都显示出来；如果t=-1，则给出商c/rcond(A)。 命令 矩阵可逆的条件数估值 函数 rcond
格式 c = rcond(A) %对于差条件矩阵A 来说，给出一个接近于0的数；对于好条件
矩阵A ，则给出一个接近于1的数。
命令 特征值的条件数 函数 condeig
格式 c = condeig(A) %返回矩阵A 的特征值的条件数
[V,D,c] = condeig(A) %D 为A 的特征值对角阵，V 为A 的特征向量。
1.2.13 矩阵的秩
函数 rank
格式 k = rank (A) %求矩阵A 的秩
MATLAB中的矩阵与向量运算
4.1 数组运算和矩阵运算 从外观形状和数据结构来看,二维数组和数学中的矩阵没有区别.但是,矩阵作为一种变换或映射算符的体现,矩阵运算有着明确而严格的数学规则.而数组运算是MATLAB软件所定义的规则,其目的是为了数据管理方面,操作简单,指令形式自然和执行计算有效.所以,在使用MATLAB时,特别要明确搞清数组运算和矩阵运算的区别.表 4.1.1 数组运算和矩阵运算指令形式和实质内涵 数组运算矩阵运算 指令含义指令含义 A.'非共轭转置A'共轭转置 A=s把标量s赋给数组A的每个元素 s+B把标量s分别与数组B的每个元素相加s-B, B-s标量s分别与数组B的元素之差 s.*A标量s分别与数组A的元素之积s*A标量s分别与矩阵A的元素之积 s./B, B.\s标量s分别被数组B的元素除s*inv(B)矩阵B的逆乘标量s A.^n数组A的每个元素的n次方A^n A为方阵时,矩阵A的n次方 A+B数组对应元素的相加A+B矩阵相加 A-B数组对应元素的相减A-B矩阵相减 A.*B数组对应元素的相乘A*B内维相同矩阵的乘积 A./B A的元素被B的对应元素除A/B A右除B B.\A一定与上相同B\A A左除B(一般与右除不同) exp(A)以e为底,分别以A的元素为指数,求幂expm(A) A的矩阵指数函数 log(A) 对A的各元素求对数logm(A) A的矩阵对数函数 sqrt(A) 对A的积各元素求平方根sqrtm(A) A的矩阵平方函数 从上面可以看到,数组运算的运算如:乘,除,乘方,转置,要加"点".所以,我们要特别注意在求"乘,除,乘方,三角和指数函数"时,两种运算有着根本的区别.另外,在执行数组与数组运算时,参与运算的数组必须同维,运算所得的结果数组也是总与原数组同维. 4.2 数组的基本运算 在MATLAB中,数组运算是针对多个数执行同样的计算而运用的.MATLAB以一种非常直观的方式来处理数组. 4.2.1 点转置和共轭转置 . ' ——点转置.非共轭转置,相当于conj(A'). >> a=1:5; >> b=a. ' b = 1 2 3 4 5 >> c=b. ' c = 1 2 3 4 5 这表明对行向量的两次转置运算便得到原来的行向量. ' ——共轭转置.对向量进行转置运算并对每个元素取其共轭.如: >> d=a+i*a
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)
性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
MATLAB实验二 矩阵基本运算(一)答案
实验一 矩阵基本运算（一） （1）设A 和B 是两个同维同大小的矩阵，问： 1）A*B 和A.*B 的值是否相等？ ????? ?? =763514432A ???? ? ??=94 525 313 4B A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A*B, A.*B ans = 37 37 44 44 37 51 65 67 78 ans = 8 9 4 12 5 10 15 24 63 2）A./B 和B.\A 的值是否相等？ A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A./B, B./A
ans = 0.5000 1.0000 4.0000 1.3333 0.2000 2.5000 0.6000 1.5000 0.7778 ans = 2.0000 1.0000 0.2500 0.7500 5.0000 0.4000 1.6667 0.6667 1.2857 3）A/B和B\A的值是否相等？ A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A/B, B/A ans = -0.3452 0.5119 0.3690 0.7857 -0.7857 0.6429 -0.9762 1.3095 0.5952 ans = 110.0000 -15.0000 -52.0000
92.0000 -13.0000 -43.0000 -22.0000 4.0000 11.0000 4）A/B和B\A所代表的数学含义是什么？ 解： A/B是B*A的逆矩阵 B\A是B*A的逆矩阵 （2）写出完成下列操作的命令。 1）将矩阵A第2—5行中第1，3，5列元素赋给矩阵B。 A=[0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.0153 0.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.7468 0.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.4451 0.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.9318 0.8913 0.6154 0.9355 0.8132 0.2722 0.4660 0.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186] B=A(2:5,[1,3,5]) A = 0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.0153 0.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.7468 0.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.4451 0.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.9318 0.8913 0.6154 0.9355 0.8132 0.2722 0.4660 0.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186 B = 0.2311 0.7382 0.2028 0.6068 0.1763 0.1987 0.4860 0.4057 0.6038 0.8913 0.9355 0.2722 2）删除矩阵A的第7号元素。 A=rand(6,6); >> A(7)=[inf] A = 0.8385 Inf 0.1730 0.1365 0.2844 0.5155
C语言程序设计报告 矩阵运算
C程序设计报告 矩 阵 运 算 学院：地质与环境学院 专业：资源勘查工程0901 姓名：王甲 学号：0909030119
目录1.设计任务书 1.1题目 1.2设计要求 1.3程序涉及的知识点 2.功能设计 2.1算法设计 2.2部分模块流程图 3.程序代码设计 3.1源代码 3.2运行结果 4.运行结果 5.程序设计总结 6.致谢 7.参考文献
1设计任务书 1.1 题目 矩阵运算 1.2 设计要求 此程序为矩阵运算的相关程序，用来计算包括两矩阵的加、减、乘运算，求矩阵的转置矩阵、最大值元素、最小值元素及对角线元素之和等运算。 1.2 本系统涉及的知识点 此程序涉及了老师讲授的多个知识点，包括：for、if、printf及scanf 等语句，顺序、选择、循环等结构。 2功能设计 2.1 算法设计 此程序需要实现的功能要求： 利用for、if、printf及scanf 等语句来实现所需功能。 输入矩阵a和b的元素之后，依次计算： 程序一：计算a+b矩阵； 程序二：计算a-b矩阵； 程序三：计算a*b矩阵； 程序四：计算a的转置矩阵； 程序五：计算a矩阵的最小值元素；
程序六：计算a 矩阵的最大值元素； 程序七：计算a 矩阵的主对角线元素之和； 程序八：计算a 矩阵的副对角线元素之和； 程序九：计算a 矩阵的上三角元素之和； 程序九：计算a 矩阵的下三角元素之和； 2.2 部分模块流程图 3 程序源代码 3.1源代码 #include"stdio.h" void main() { int a[3][3],b[3][3],c[3][3], int i,j,k,s,max,min,sum1=0,sum2=0,sum3=0,sum4=0; printf("计算a+b 矩阵:\n"); for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) c[i][j]=a[i][j]+b[i][j]; printf("%6d"); printf("\n"); printf(" 请输入a 矩阵元素:\n"); for(i=0;i<3;i++); for(j=0;j<3;j++); scanf("%4d",&a[i][j]); printf("a 矩阵:\n");
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1tr(P AP)tr(A)-=；
5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理：设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0，
2-matlab矩阵的代数运算 (1)
乘法运算乘法运算符为”*”，运算规则和现行代数中矩阵乘法运算相同，即放在前面的矩阵的行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。 1、两个矩阵相乘：必须满足前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数。 2、矩阵的数乘：返回数与矩阵中每一个元素相乘后的矩阵 3、向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘；A.*B表示A与B对应的元素相乘，返回的是一个向量 4、向量点积： （1）C=dot(A,B) %若A、B为向量，A与B长度相同；若为矩阵，则A与B有相同维数 （2）C=dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积 5、向量叉乘：在数学上，两向量的叉乘是一个过两向量交点且垂直于两向量所在平面的向量。 （1）C=cross(A,B) %若A、B为向量，则返回A与B的叉乘，即C=AXB；若为矩阵，则返回一个3Xn矩阵，其中列是A与B对应列的叉积，A、B都是3Xn矩阵 （2）C=cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A与B的叉积注：A与B必须具有相同维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3 6、矩阵卷积和多项式乘法：w=conv(u,v) （反褶积deconv(u,v)）长度为m的向量序列u和长度为n的向量序列v的卷积定义为 ∑ = + = k 1 j j) -1 u(j)v(k )k( w，其中w向量序列长度为（m+n-1） 多项式的乘法实际上是多项式系数向量间的卷积运算，举例如下：展开多项式(s2+2s+2)(s+4)(s+1) >>w=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1])) w = 1 7 16 18 8 >>p=poly2str(w,’s’) %将w表示成多项式 p=s^4 +7 s^3 +16 s^2 +18 s + 8 7、张量积 C=kron(A,B) %A为mxn矩阵，B为pxq矩阵，则C为mpxnq矩阵A与B的张量积定义为： 加、减运算加、减运算符为”+”、”--”。运算规则为对应元素相加、减 pow2函数命令：X=pow2(F,E)，表示F*2E；命令：X=pow2(E），表示2E 矩阵的代数 运算
Matlab常用函数数组及矩阵的基本运算
实验一 Matlab 常用函数、数组及矩阵的基本运算 一、 实验目的 1. 了解Matlab7.0软件工作界面结构和基本操作; 2. 掌握矩阵的表示方法及Matlab 常用函数; 3. 掌握数组及矩阵的基本运算. 二、 实验内容 1. 了解命令窗口(command widow)和变量空间(workspace)的作用,掌握清 除命令窗口(clc )和变量空间(clear)的方法.掌握查询函数(help)的方法. 2. 掌握保存和加载变量的方法. 加载变量:load 变量名. 3. 掌握掌握矩阵的表示方法: 给a,b,c 赋如下数据: ]6,46,23,4,2,6,3,8,0,1[,356838241248 7,278744125431-=??????????--=??????????=c b a 4. 求a+b,a*b,a.*b,a/b,a./b,a^2,a.^2的结果. 5. 将str1=electronic; str2 = information; str3 = engineering; 三个字符串连接 在一起成str = electronic information engineering. 6. 求矩阵a 的逆矩阵a -1，行列式计算。 (inv(a),det(a)) 三、 实验要求 1.上机操作,熟练掌握清除命令窗口和变量空间的方法、查询变量的方法、加载变量的方法。 2.第2道题请写出步骤。 3.对实验内容中第3-6项,写出指令,上机运行. 记录运行结果(数据)。 4.写出实验报告。 四、 实验结果 2. 用save 函数,可以将工作空间的变量保存成txt 文件或mat 文件等. 比如: save peng.mat p j 就是将工作空间中的p 和j 变量保存在peng.mat 中. 用load 函数,可以将数据读入到matlab 的工作空间中. 比如:load peng.mat 就是将peng.mat 中的所有变量读入matlab 工作空间中。
matlab中的矩阵的基本运算命令范文
1.1 矩阵的表示 1.2 矩阵运算 1.2.14 特殊运算 1．矩阵对角线元素的抽取 函数diag 格式X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。 X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。 v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。 v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。 2．上三角阵和下三角阵的抽取 函数tril %取下三角部分 格式L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L L = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。函数triu %取上三角部分 格式U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。3．矩阵的变维 矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。 （1）“：”变维 （2）Reshape函数变维 格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B B = reshape(A,m,n,p,…) %将矩阵A变维为m×n×p×… B = reshape(A,[m n p…]) %同上 B = reshape(A,siz) %由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数 相同。 （5）复制和平铺矩阵 函数repmat 格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。 B = repmat(A,[m n]) %与上面一致 B = repmat(A,[m n p…]) %B由m×n×p×…个A块平铺而成 repmat(A,m,n) %当A是一个数a时，该命令产生一个全由a组成的m×n矩阵。 1.3 矩阵分解 1.3.1 Cholesky分解 函数chol 格式R = chol(X) %如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。 [R,p] = chol(X) %不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。 1.3.2 LU分解
课程设计矩阵运算系统
wen 滨江学院 windows 程序设计综合实验 课程设计 题目矩阵综合运算系统 学生姓名晏文涛 学号20102309060 院系电子工程系 专业信息工程 指导教师方忠进
二Ｏ一二年12 月16 日 摘要 设计了一个矩阵运算系统，该矩阵运算系统具有普通矩阵相加、相减、相乘及稀疏矩阵转置等功能。本运算系统以Microsoft Visual C++ 6.0 作为系统开发工具，采用算数表达式处理算法来实现了矩阵的加、减、乘等混合运算和稀疏矩阵的转置矩阵运算。系统操作简单，界面清晰，便于用户使用。 关键词：普通矩阵; 运算; VC6.0
目录 1 课题描述 (1) 2 设计过程 (1) 3 程序编码 (3) 4 测试 (10) 总结 (12) 参考文献 (13)
1 课题描述 矩阵运算系统是一个非常重要的运算,很多软件开发公司都开发了这个运算系统。现在我们用C 语言编出这个运算系统。它的原理是对于输入的矩阵，进行相加、相乘以及相减。另外一个是稀疏矩阵的转置运算系统，按提示输入数值即可得到所要求的稀疏矩阵的转置矩阵。 运行环境：Visual C++ 6.0 2 设计过程 经过对程序设计题目的分析可知，整个程序的设计实现大致分为四个模块，其中每一个模块对应一
个函数，他们的功能分别是：1）矩阵相加运算函数(ADD)，主要实现将两矩阵相加的功能；2）矩阵相乘运算函数(MUL)，主要实现将两矩阵相乘的功能；3)矩阵相减函数（SNB）;实现的功能是矩阵之间的减法4）稀疏矩阵矩阵转置函数(TRANPOSE) 实现的功能是将稀疏矩阵进行转置。在这些函数当中，第1、2、4个函数的实现严格按照题目的要求，而第3个函数为自行设计的函数。程序的一次运行当中可以循环执行所有的功能，并根据需要终止程序的执行。在这个程序中，将各个功能以子程序模块的形式编写。这样使所编写的程序简单明了，逻辑性思维表达明确，具有很强的可读性。流程图如下： 1）矩阵相乘流程图如图2.1所示： 图2.1 2）矩阵相加流程图如图2.2所示 图2.2 3）矩阵相减流程图如图2.3所示
Excel 矩阵运算及引用
利用Excel中函数进行矩阵运算实验 一、实验目的与要求 了解Excel的函数应用并能够利用Excel进行常用的矩阵运算。掌握以Excel 中的几个主要矩阵运算函数的功能，即 MDETERM：用于计算矩阵行列式的值； MINVERSE：用于求解某个可逆矩阵的逆矩阵； MMULT：用于计算两个矩阵的乘积，进行两个矩阵的乘法时必须确保第一个乘积矩阵的列等于第二个乘积矩阵的行； TRANSPOSE：用来求解矩阵的转置或用于Excel中行列的互换。 二、实验内容及步骤 1.矩阵的数乘 用一个数乘以一个矩阵，必须将该数与矩阵的每一个元素相乘。将单元格B3中的数字乘以矩阵A，只需在单元格B10中输入公式“=$B$3*B5”（注意：单元格B3必须采用绝对引用，及固定单元格），然后将其复制到B10:D12区域（利用自拖功能也可以实现），最终结果见下表： 矩阵的数乘 2.矩阵的加法 具有相同行列的两个矩阵才能相加。要进行矩阵的加法，只需将两个矩阵相
同行、列的元素相加，即可得到新的矩阵。如下图，要将矩阵A和B相加，只需在单元格G4中输入公式“=A4+D4”，并将其复制到G4:H8区域（利用自拖功能也可以实现），就可得到最终结果。 矩阵的相加 3.矩阵的转置 对矩阵E进行转置，首先选中打算放置输出结果的整个单元格区域F4:H7，然后选择“插入-函数”，在“查找与引用”或“全部”函数中选择函数“TRANSPOSE”。在“函数参数”的对话框中输入“A4:D6”，同时按住[Ctrl]+[Shift]+[Enter]键，最终得到下列结果。 矩阵转置 也可以利用复制，选择性粘贴中选择转置即可得到上述结果。 4、矩阵相乘 做法一：进行矩阵乘法必须保证第一个乘积矩阵的列等于第二个乘积矩阵的行。首先选中打算放置输出结果的整个单元格区域A9:D10，然后选择“插入-函数”，在“数学与三角”或“全部”函数中选择函数“MMULT”。在“函数参数”的对话框中分别输入第一个数组“A4:C5”和第二个数组“E4:H6”，同时按住[Ctrl]+[Shift]+[Enter]键，最终得到下列结果。
C语言矩阵的运算
C语言课程设计题目矩阵的运算 西安科技大学 二0 一一年十一月
一、设计目的 1. 综合C语言相关知识制作简单的应用程序 2. 灵活对程序代码进行利用，修改和编写； 3. 熟练将C语言所学知识和其它知识相结合 二、功能描述 编写一个矩阵运算程序，能够进行矩阵加、减、乘、转置，求矩阵的最大值，最小值，对角线元素的和等 三、流程图
定义及预处理m1=0,m2=0,m3=0,m4=0,l=0；i,j,k,d,max,min； a[M][N],b[M][N],c[N][P] 输出“输入a矩阵” j++,输入a矩阵元素 直到j>=N,i++ 直到i>=M 输出“a矩阵” j++,输出a矩阵 直到j>=N,i++,输出换行 直到i>=M 输出“输入b矩阵” j++,输入b矩阵元素 直到j>=N,i++ 直到i>=M 输出“b矩阵” j++,输出b矩阵 直到j>=N,i++,输出换行 直到i>=M 输出“输入c矩阵” j++,输入c矩阵元素 直到j>=P,i++ 直到i>=N
输出“c 矩阵” 直到i>=N 直到j>=P,i++,输出换行 j++,输出c 矩阵 输出“输入a,b 矩阵之和” 直到i>=M 直到j>=N,i++,输出换行 j++,输出a 矩阵与b 矩阵对应元素 输出“输入a,b 矩阵之差” 直到i>=M 直到j>=N,i++,输出换行 j++,输出a 矩阵与b 矩阵对应元素 输出“输入a,c 矩阵之积” 直到i>=N 直到j>=P,i++ j++,输出换行，直到k 〉=M k++，输出 a[i][k]*c[k][j]; 输出“a 矩阵的转置” 直到j>=N 直到i>=M,j++,输出换行 i++，输出a[i][j] 输出“a 矩阵的最大值” max=a[0][0] 直到i>=M 直到i>=M 直到j>=N,i++ max 1.2.10矩阵的迹 函数trace 格式b=trace (A) %返回矩阵A的迹，即A的对角线元素之和。 1.2.11矩阵和向量的范数 命令向量的范数 函数norm 格式n = norm(X) %X为向量，求欧几里德范数，即。 n = norm(X,inf) %求-范数，即。 n = norm(X,1) %求1-范数，即。 n = norm(X,-inf) %求向量X的元素的绝对值的最小值，即。 n = norm(X, p) %求p-范数，即，所以norm(X,2) = norm(X)。 命令矩阵的范数 函数norm 格式n = norm(A) %A为矩阵，求欧几里德范数，等于A的最大奇异值。 n = norm(A,1) %求A的列范数，等于A的列向量的1-范数的最大值。 n = norm(A,2) %求A的欧几里德范数，和norm(A)相同。 n = norm(A,inf) %求行范数，等于A的行向量的1-范数的最大值 即：max(sum(abs(A')))。 n = norm(A, 'fro' ) %求矩阵A的Frobenius范数， 即sqrt(sum(diag(A'*A)))，不能用矩阵p-范数的定义来求。 命令范数的估计值 函数normest 格式nrm = normest(A) %矩阵A的2-范数(欧几里德范数)的估计值，相对误差小于 106。 nrm = normest(A,tol) %tol为指定相对误差 [nrm,count] = normest(…) %count给出计算估计值的迭代次数 1.2.12条件数 命令矩阵的条件数 函数cond 格式c = cond(X) %求X的2-范数的条件数，即X的最大奇异值和最小奇异值的商。 c = cond(X,p) %求p-范数的条件数，p的值可以是1、2、inf或者’fro’。 说明线性方程组AX=b的条件数是一个大于或者等于1的实数，用来衡量关于数据中的扰动，也就是A/或b对解X的灵敏度。一个差条件的方程组的条件数很大。条件数的定义为： 命令1-范数的条件数估计 函数condest 格式c = condest (A) %方阵A的1-范数的条件数的下界估值。 [c,v] = condest (A) %v为向量，满足，即norm(A*v,1) =norm(A,1)*norm(v,1)/c。 [c,v] = condest (A,t) %求上面的c和v，同时显示出关于计算的步骤信息。如果t=1，则计算的 每步都显示出来；如果t=-1，则给出商c/rcond(A)。 命令矩阵可逆的条件数估值 函数rcond 格式c = rcond(A) %对于差条件矩阵A来说，给出一个接近于0的数；对于好条件矩阵A， 则给出一个接近于1的数。 命令特征值的条件数 函数condeig MATLAB中矩阵常用的操作函数 1. zeos : 生成零矩阵 2. ones : 生成1矩阵 3. eye : 生成单位矩阵 4. rand : 返回[0,1]之间的平均分布的随机数（矩阵） 5. randn : 返回标准正态分布的随机数（矩阵） 6. mean : 返回列的均值 7. std : 返回列的方差 8. magic : 返回魔方矩阵，即行、列，对角线元素之和都相等的矩阵 9. hilb : 返回Hilbert矩阵，即H(i,j)=1/(i+j-1) 的矩阵 10. toeplitz : 返回toeplitz矩阵 11. 常用运算： 和：A+B 积：A*B 转置：A'，注意：如果A是复矩阵，则A'是共轭转置 行列式：det(A) 逆：inv(A) 内积：dot(a, b) 秩：rank(A) 迹：trace(A) 12. 线性方程组：Ax=b，可以用左除运算：x=A\b；也可以用逆运算：x=inv(A)*b，但效率不如左除运算。 13. Jordan 标准型：jordan(A)，返回A的Jordan标准型。或者用两个参数接收结果：[V, J] = jordan(A)，那么J是A的Jordan标准型，V是用到的相似变换矩阵，即A=V*J*inv(V)。 14. SVD分解，即奇异值分解：[U, S, V] = svd(A)，A=USV'。 15. 特征值：eig(A)返回A的所有特征值。如果用两个参数接收结果：[E, F] = eig(A)，那么E 的列是A的特征向量，F是A的特征值。 16. 范数： 1范数：norm(A, 1) 2范数：norm(A, 2) 无穷范数：norm(A, inf) Frobenius范数（也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数），即A全部元素平方和的平方根：norm(A, 'fro') 17. 矩阵函数：通用方法是funm(A, @fun)，即计算矩阵A的fun函数。 目录 1 课题分析 (1) 2 模块化分析 (1) 2.1 输入模块 (1) 2.1.1 输入模块要求 (1) 2.1.2 输入模块程序说明 (1) 2.2 判断模块 (3) 2.3 求和求差模块 (3) 2.4 乘法模块 (5) 2.4.1 求乘积模块概要 (5) 2.4.2 子程序段说明 (5) 2.4.3 乘法模块流程图 (8) 3 运行分析 (9) 4 心得体会 (11) 参考文献 (13) 矩阵运算程序设计 1 课题分析 根据给定的任务：能用键盘输入矩阵的参数（行、列及元素值），在进行运算前，先判断两个矩阵是否符合运算规则实现这两个矩阵的加，实现这两个矩阵的减，实现这两个矩阵的乘。进行模块化分析，所以程序中应该包括输入模块，保存需要处理的数据。判断模块，根据矩阵运算规则判断输入的数据能否进行矩阵加法，减法或者乘法运算，并调用相应的计算程序。计算模块，包括矩阵的加法，矩阵的减法和矩阵的乘法运算。输出模块，显示运算的结果。 2 模块化分析 2.1 输入模块 2.1.1 输入模块要求 先能用键盘输入矩阵的参数，行数和列数，然后根据输入各元素值，在输入数据之前有明显的提示信息，输入完后要保持各数据。运算完后要将各类计算的结果显示在屏幕上，并且要有明显的提示信息。 2.1.2 输入模块程序说明 输入的行列数保存到N和M中，为后来的比较和输入做准备，本程序段只是针对矩阵1的行和列，矩阵2则在此基础上经行替换即可以得到。 LEA DX,INFORMATION1 ;取信息提示地址偏移量 MOV AH,09h ;9号功能调用显示提示信息 INT 21H LEA DX,input1 ;提示输入矩阵1 的行数 MOV AH,09h ;9号功能调用显示提示信息 INT 21H 矩阵的运算 （一） 矩阵的线性运算 特殊乘法:222()A B A AB BA B +=+++ 2 22 ()()() A B A B A B A B =≠ （二） 关于逆矩阵的运算规律 111 1 1 11 1 1(1)()(2)() /(3)( )( )(4)()( ) T T n n A B B A k A A k A A A A ---------==== （三） 关于矩阵转置的运算规律 (1)()(2)()T T T T T T A B B A A B B A =+=+ （四） 关于伴随矩阵的运算规律 **1 *2 ***1* **1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(), ()(5)()1,()1 0,()2(6)()()()n n n AA A A A E A A n A A A kA k A n r A n r A r A n r A n A A A A A A A A A -------===≥===?? ==-??≤-?= ==若若若若可逆，则，， （五） 关于分块矩阵的运算法则 1 1 1 110000(2)000 0T T T T T A B A C C D B D B B B C C C C B -----?? ?? =????????????????==????????????????(1)；， （六） 求变换矩阵 ()121 1 2 11121311111121222321121121313233313131100(a )(2)i n n i i i ij i i i i A T TAT T P P P AP P A a a a p p p a a a p p P p a a a p p p AP P P i λλλλλλλ--?? ? ?= ? ? ? ?===???????? ??? ? ? =→= ??? ? ? ??? ? ?????????=+≥已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1 T T -由求 （七） 特征值与矩阵 Basic Matrix Operations 一、实验目的 1、掌握向量和矩阵的创建方法； 2、掌握向量和矩阵元素的索引方法； 3、掌握向量和矩阵的基本操作； 4、利用MATLAB编写程序进行矩阵运算。 二、基础知识 1、常见数学函数 函数名数学计算功能函数名数学计算功能 Abs(x) 实数的绝对值或复数的幅值floor(x) 对x朝-∞方向取整 Acos(x) 反余弦arcsin x gcd(m，n）求正整数m和n的最大公约数 acosh(x) 反双曲余弦arccosh x imag(x) 求复数x的虚部 angle(x) 在四象限内求复数 x 的相角lcm(m，n) 求正整数m和n的最小公倍数 asin(x) 反正弦arcsin x log(x) 自然对数（以e为底数） asinh(x) 反双曲正弦arcsinh x log10(x) 常用对数（以10为底数） atan(x) 反正切arctan x real(x) 求复数x的实部 atan2(x,y) 在四象限内求反正切Rem(m，n) 求正整数m和n的m/n之余数 atanh(x) 反双曲正切arctanh x round(x) 对x四舍五入到最接近的整数 ceil(x) 对x朝+∞方向取整sign(x) 符号函数：求出x的符号 conj(x) 求复数x的共轭复数sin(x) 正弦sin x cos(x) 余弦cos x sinh(x) 反双曲正弦sinh x cosh(x) 双曲余弦cosh x sqrt(x) 求实数x的平方根：x exp(x) 指数函数xe tan(x) 正切tan x fix(x) 对x朝原点方向取整tanh(x) 双曲正切tanh x 2、常量与变量 系统的变量命名规则：变量名区分字母大小写；变量名必须以字母打头，其后可以是任意字母，数字，或下划线的组合。此外，系统内部预先定义了几个有特殊意义和用途的变量，见下表： 特殊的变量、常量取值 实验报告 --矩阵运算 一．实验目的。 1.通过实践加强对程序设计语言课程知识点的理解和掌握，培养对课程知识综合运用能力、实际分析问题能力及编程能力，养成良好的编程习惯。 2.通过实践进一步领会程序设计的特点和应用，提高运用C++ 语言以及面向对象知识解决实际问题的能力。 3.通过实践掌握用C++ 语言编写面向对象的实用程序的设计方法，对面向对象方法和思想增加感性的认识； 4.学会利用C++程序设计语言编写出一些短小、可靠的Windows实用程序，切实提高面向对象的程序设计能力。为后续的相关课程的学习打下基础。 二．实验要求。 1.学会建立模板类； 2.实现矩阵的“加”、“减”、“乘”、“数乘”、“转置”； 3.动态存分配并用随机数填充； 4.注意“加”、“减”、“乘”要进行条件的判断； 三．设计思路。 3.1算法基本流程 1)获取用户输入的矩阵1的行数和列数,动态生成一个一维数组 2)利用随机数生成数组成员,并利用两个循环输出数组,使其符合矩阵的格式 3)矩阵2同矩阵1的处理方法 4)通过两个矩阵的行数和列数比较来判断能否进行加减乘等运算,如不能,输出相关信息 5)如能够进行计算,则利用数组进行相应运算,并按照正确格式输出 6)通过改变一维数组中元素的顺序来实现转置并输出 3.2算法流程图 四．基本界面。 五．关键代码。 5.1关键类的声明 class CMatrixclass { public: CMatrixclass() { int m_Row = 0; //行 int m_Col = 0; //列 m_pElements = NULL; //一维数组 MatLab常见函数和运算符号 基本运算 convhull :凸壳函数 cumprod :累计积 cumsum :累计和 cumtrapz :累计梯形数值积分 delaunay :Delaunay三角化 dsearch :求最近点(这是两个有趣的函数 factor :质数分解inpolygon :搜索多边形内的点 max :最大元素 mean :平均值 median :数组的中间值 min :最小值 perms :向量所有排列组成矩阵 polyarea :多边形的面积 primes :生成质数列表 prod :数组元素积 sort :元素按升序排列 sortrows :将行按升序排列 std :标准差 sum :元素和 trapz :梯形数值积分 tsearch :搜索Delaunay三角形var :方差 voronoi :Voronoi图 del2 :Laplacian离散 diff :差分和近似微分gradient:数值梯度 corrcoef :相关系数 cov :协方差矩阵 xcorr :互相关系数 xcov :互协方差矩阵 xcorr2 :二维互相关 conv :卷积和多项式相乘conv2 :二维卷积 deconv :反卷积 filter :滤波 filter2 :二维数字滤波 傅立叶变换 abs :绝对值和模 angle :相角 cplxpair :按复共扼把复数分类 fft :一维快速傅立叶变换 fft2 :二维快速傅立叶变换 fftshit :将快速傅立叶变换的DC分量移到谱中央ifft :以为逆快速傅立叶变换 ifft2 :二维逆快速傅立叶变换 ifftn :多维逆快速傅立叶变换 ifftshift :逆fft平移 nextpow2 :最相邻的2的幂 unwrap :修正相角 cross :向量叉积 intersect:集合交集 ismember :是否集合中元素 setdiff :集合差集 setxor :集合异或(不在交集中的元素 union :两个集合的并 c课程设计矩阵的转置与乘法计算 C++课程设计实验报告 姓名学号班级 任课教师时间 9月 教师指定题目4-4 矩阵的转置与乘法计算评定难易级别 A 实验报告成绩 1.实验内容: 1.1 程序功能介绍 该程序定义了一个向量类，里面的元素是模板形式，定义了有关向量了类的各种属性、方法及运算符重载函数。 1.2 程序设计要求 （1）利用已知的向量类对象定义一个矩阵类，矩阵类的数据是向量子对象，同样定义矩阵类的各种属性、方法及运算符重载函数。 （2）完善成员函数，使矩阵能够由文件输入，具体的输入格式自己规定。（3）完成矩阵的赋值、转置、乘法等运算，要求用整形矩阵和浮点型矩阵分别演算。 （4）更改main函数结构，可由用户选择输入矩阵数据的方法，程序能够连续运行，直到选择退出为止。 2. 源程序结构流程框图与说明(含新增子函数的结构框图) 作者：喻皓学号： 3. 基本数据结构 定义的类模板，将函数用链表将一些功能函数连接起来。其中定义了构造函数，析构函数，重载赋值、乘法、数乘、输入、输出，矩阵转置等函数，实现矩阵的矩阵的赋值、转置、乘法等运算。 template 矩阵操作C/C++语言：#include "iostream.h" #include "stdlib.h" void main() { int i,j,imax,jmax,max,t,k=0; int a[4][4],b[4][4],c[4][4],d[4][4]; for(i=0;i<4;i++) for(j=0;j<4;j++) { a[i][j]=rand()%41+30; b[i][j]=rand()%36+100; } cout<<"矩阵A为：\n"; for(i=0;i<4;i++) { for(j=0;j<4;j++) cout< { for(j=0;j<4;j++) cout< { max=c[i][j]; imax=i; jmax=j;} } cout<<"max="<矩阵相关运算
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