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高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何含参考答案

高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何含参考答案
高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何含参考答案

高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何

(含参考答案)

一、选择题

1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12

O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A .122π

B .12π

C .82π

D .10π

2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .172

B .52

C .3

D .2

3.【2018全国一卷10】在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?,则该长方体的体积为 A .8

B .62

C .82

D .83

4.【2018全国二卷9】在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为 A .

B .

C .

D .

5.【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 2

35

7

6.【2018全国三卷12】设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为

A .

B .

C .

D .

7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

第7题图 第8题图

8.【2018浙江卷3】某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 A .2

B .4

C .6

D .

8

A B C D ,,

,ABC

△D ABC

俯视图

正视图

2

21

1

9.【2018浙江卷8】已知四棱锥S ?ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点(不含端点),设SE 与BC 所成的角为θ1,SE 与平面ABCD 所成的角为θ2,二面角S ?AB ?C 的平面角为θ3,则 A .θ1≤θ2≤θ3

B .θ3≤θ2≤θ1

C .θ1≤θ3≤θ2

D .θ2≤θ3≤θ1

10.【2018上海卷15】《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ?是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA ?为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( ) (A )4 (B ) 8(C )12 (D )16

二、填空题

1.【2018全国二卷16】已知圆锥的顶点为,母线,互相垂直,与圆

锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的体积为__________.

2.【2018天津卷11】如图,已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则四棱锥A 1–

BB 1D 1D 的体积为__________.

3.【2018江苏卷10】如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点

S SA SB SA 30 SAB △8

的多面体的体积为 .

三、解答题

1.【2018全国一卷18】如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,

90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;

(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且23

BP DQ DA ==,求三棱锥Q ABP -的体积.

2.【2018全国二卷19】如图,在三棱锥中,,

,为的中点.

(1)证明:平面;

(2)若点在棱上,且,求点到平面的距离.

P ABC

-AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C

POM

3.【2018全国三卷19】如图,矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直,

是上异于,的点. (1)证明:平面平面;

(2)在线段上是否存在点,使得平面?说明理由.

4.【2018北京卷18】如图,在四棱锥P ?ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA ⊥PD ,PA =PD ,E ,F 分别为AD ,PB 的中点.

(Ⅰ)求证:PE ⊥BC ;

(Ⅱ)求证:平面PAB ⊥平面PCD ; (Ⅲ)求证:EF ∥平面PCD .

5.【2018天津卷17】如图,在四面体ABCD 中,△ABC 是等边三角形,平面ABC ⊥平面ABD ,点M 为棱AB 的中点,AB =2,AD

=BAD =90°.

(Ⅰ)求证:AD ⊥BC ;

(Ⅱ)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.

ABCD CD M CD C D AMD ⊥BMC AM P MC ∥

PBD

6.【2018江苏卷15】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1111,AA AB AB B C =⊥.

求证:(1)AB ∥平面11A B C ; (2)平面11ABB A ⊥平面1A BC .

7.【2018江苏卷22(附加题)】如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1=2,点

P ,Q 分别为A 1B 1,BC 的中点.

(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值; (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.

8.【2018浙江卷19】如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,

B 1B,C

1

C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A

1

A=4,

C 1C=1,AB=BC=B

1

B=2.

(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1;

(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.

9.【2018上海卷17】已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;

(2)设PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小.

参考答案

一、选择题

1.B

2.B

3.C

4.C

5.A

6.B

7.C

8.C

9.D 10.D 二、填空题

1.π8

2.3

1 3.4

3

三、解答题

1.解:(1)由已知可得,BAC ∠=90°,BA AC ⊥.

又BA ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD . 又AB ?平面ABC , 所以平面ACD ⊥平面ABC .

(2)由已知可得,DC =CM =AB =3,DA =32. 又2

3

BP DQ DA ==,所以22BP =. 作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE =1

3

DC .

由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE =1. 因此,三棱锥Q ABP -的体积为

111

1322sin 451332

Q ABP ABP V QE S -=??=?????=△.

2解:(1)因为AP =CP =AC =4,O 为AC 的中点,所以OP ⊥AC ,且OP =.

连结OB .因为AB =BC =

,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB ==2.

232

2

AC 12

AC

由知,OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ,OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .

(2)作CH ⊥OM ,垂足为H .又由(1)可得OP ⊥

CH ,所以CH ⊥平面POM .

故CH 的长为点C 到平面POM 的距离. 由题设可知OC =

=2,CM ==,∠ACB =45°. 所以OM =

,CH ==.

所以点C 到平面POM 的距离为.

3.解:(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .

因为BC ⊥CD ,BC 平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM . 因为M 为上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM .

又BC ∩CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM 平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时,MC ∥平面PBD .

证明如下:连结AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 中点. 连结OP ,因为P 为AM 中点,所以MC ∥OP .

MC 平面PBD ,OP 平面PBD ,所以MC ∥平面PBD .

222OP OB PB +=12AC 23BC 423

25

sin OC MC ACB OM ??∠4545

?CD ???

4.解:(Ⅰ)∵PA PD

=,且E为AD的中点,∴PE AD

⊥.

∵底面ABCD为矩形,∴BC AD

∥,

∴PE BC

⊥.

(Ⅱ)∵底面ABCD为矩形,∴AB AD

⊥.

∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.

∴AB PD

⊥.又PA PD

⊥,

∴PD⊥平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.

(Ⅲ)如图,取PC中点G,连接,

FG GD.

∵,F G分别为PB和PC的中点,∴FG BC

∥,且

1

2

FG BC

=.

∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,

1

,

2

ED BC DE BC

=

∥,

∴ED FG

∥,且ED FG

=,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF GD

∥.

又EF?平面PCD,GD?平面PCD,

∴EF∥平面PCD.

5.解:(Ⅰ)证明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.

(Ⅱ)解:取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN ∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.

在Rt△DAM中,AM=1,故DM

AD⊥平面ABC,故AD

⊥AC.

在Rt△DAN中,AN=1,故DN

在等腰三角形DMN中,MN=1

,可得

1

2

cos

MN

DMN

DM

∠==.

所以,异面直线BC与MD

(Ⅲ)解:连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM

又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM?平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.

在Rt△CAD中,CD

=4.

在Rt△CMD

中,sin CM

CDM

CD

∠==.

所以,直线CD与平面ABD

6.证明:(1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ∥A 1B 1.

因为AB ?平面A 1B 1C ,A 1B 1?平面A 1B 1C , 所以AB ∥平面A 1B 1C .

(2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABB 1A 1为平行四边形.

又因为AA 1=AB ,所以四边形ABB 1A 1为菱形, 因此AB 1⊥A 1B .

又因为AB 1⊥B 1C 1,BC ∥B 1C 1, 所以AB 1⊥BC .

又因为A 1B ∩BC =B ,A 1B ?平面A 1BC ,BC ?平面A 1BC , 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1?平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .

7.解:如图,在正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中,设AC ,A 1C 1的中点分别为O ,O 1,则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ,OO 1⊥OB ,以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O ?xyz .

因为AB =AA 1=2,

所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --.

(1)因为P 为A 1B 1

的中点,所以

1,2)2P -,

从而

131

(,,2)(0,2,22),BP AC ==-

-,

111|||cos ,|

||||

5BP AC BP AC BP AC ?=

=

?.

因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为.

(2)因为Q 为BC 的中点,所以

1,0)2Q ,

因此

33(

,0)2AQ =,11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==

设n =(x ,y ,z )为平面AQC 1的一个法向量,

则10,0,AQ AC ??????=?

=n n 即3

0,2

220.x y y z +=?+=?

不妨取1,1)=-n ,

设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ,

1

1

1

||

sin|cos|

,

|||

CC

CC

CC|

θ==

?

?

==

n

n

n,

所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为

8.解:方法一:

(Ⅰ)由1111

2,4,2,,

AB AA BB AA AB BB AB

===⊥⊥得

111

AB A B

==,所

以222

1111

A B AB AA

+=.

故11

1

AB A B

⊥.

由2

BC=,

11

2,1,

BB CC

==

11

,

BB BC

CC BC

⊥⊥得

11

B C=,

由2,120

AB BC ABC

==∠=?得AC=

由1

CC AC

⊥,得

1

AC=222

1111

AB B C AC

+=,故

111

AB B C

⊥.

因此1

AB⊥平面

111

A B C.

(Ⅱ)如图,过点1C作111

C D A B

⊥,交直线

11

A B于点D,连结AD.

由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB , 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB , 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.

由111111BC A B AC ===

111111cos C A

B C A B ∠=∠=,

所以1C D =

,故111sin C D C AD AC ∠=

=. 因此,直线1AC 与平面1ABB

方法二:

(Ⅰ)如图,以AC 的中点O 为原点,分别以射线OB ,OC 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O -xyz .

由题意知各点坐标如下:

111(0,(1,0,0),(0,(1,0,2),A B A B C

因此11111(1,3,2),(1,3,2),(0,23),AB A B AC =

=-=-[来源:学#科#网Z#X#X#K]

由1110AB A B ?=得111AB A B ⊥.

由1110AB AC ?=得

111AB AC ⊥. 所以1AB ⊥平面111A B C .

(Ⅱ)设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.

由(Ⅰ)可知11(0,23,1),(1,3,0),(0,0,2),AC AB BB === 设平面1ABB 的法向量(,,)x y z =n .

由10,0,AB BB ??=??

?=??n n 即0,20,x z ?

=?

?=??可取(=n

.

所以111|sin |cos ,||||AC AC AC θ?=

=

=?n |n n |

因此,直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是

13

.

9.解:(1)依题意可知:圆锥的高度为322422=-=OP ,

所以其体积为:πππ33

8

322313122=???==h r V 。

(2)依题意可知:⊥OP 平面OAB ,则OA OP ⊥,OB OP ⊥。 而 90=∠AOB ,则OB OA ⊥,即OA 、OB 、OP 两两相互垂直。

所以可以以点O 为原点,分别以OA 、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系。则)0,0,2(A ,)0,2,0(B ,)4,0,0(P

M 为线段AB 中点,)0,1,1(M ∴,)4,1,1(-=∴,)0,2,0(=。 则直线PM 与OB 的夹角的余弦值为:

62

4

16112cos =?++=

=

θ, 解得:6

2

arccos

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )

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立体几何高考真题大题

立体几何高考真题大题 1.(2016 高考新课标 1 卷)如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 . D C F (Ⅰ)证明:平面ABEF平面EFDC; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 2 19 19 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC .(Ⅱ)建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法 向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角.n m 试题解析:(Ⅰ)由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC . 又F平面F,故平面 F 平面FDC . (Ⅱ)过 D 作DG F ,垂足为 G ,由(Ⅰ)知 DG平面 F . 以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz . 由(Ⅰ)知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 . 由已知 ,// F,所以//平面FDC . 又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F . 由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 .从而可得C2,0,3.

设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 . 设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 .则 cos n, m n m 2 19. n m19 故二面角C 219的余弦值为. 19 考点:垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不 大 , 以中档题为主.第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决. 2 .( 2016 高考新课标 2 理数)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O , AB 5,AC 6,点 E, F 分别在 AD,CD 上, AE CF 5 ,EF交BD于点H.将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置,OD10. (Ⅰ)证明: D H平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B D A C 的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)295 .25

2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学之立体几何解答題23題 一.解答题(共23小题) 1.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点. (Ⅰ)求证:AN∥平面MEC; (Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由. 2.如图,三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点,侧面A1ACC1为边长为2 的菱形,AC⊥CB,BC=1. (Ⅰ)证明:AC1⊥平面A1BC; (Ⅱ)求二面角B﹣A1C﹣B1的大小.

3.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. (I)求点P到平面ABCD的距离, (II)求面APB与面CPB所成二面角的大小. 4.在正三棱锥P﹣ABC中,底面正△ABC的中心为O,D是PA的中点,PO=AB=2,求PB与平面BDC所成角的正弦值.

5.如图,正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知. (1)求证:B1C1⊥平面OAH; (2)求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小. 6.如图,在三棱锥A﹣BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形. (1)求证:AD⊥BC. (2)求二面角B﹣AC﹣D的大小. (3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由.

2019高考试题分类汇编-立体几何

2019高考试题分类汇编-立体几何 立体几何 1(2019北京文)(本小题14分) 如图,在三棱锥P –ABC 中,PA ⊥AB ,PA ⊥BC ,AB ⊥BC ,PA =AB =BC =2,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点. (Ⅰ)求证:PA ⊥BD ; (Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面PAC ; (Ⅲ)当PA ∥平面BD E 时,求三棱锥E –BCD 的体积. 2(2019新课标Ⅱ理)(12分) 如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点. 2 (1)证明:直线CE ∥平面PAB ; (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ,求二面角M -AB -D 的余弦值. 3(2019天津理)(本小题满分13分) 如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,∠BAC =90?. 点D ,E ,N 分别为棱PA ,P C ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,PA =AC =4,AB =2. (Ⅰ)求证:MN ∥平面BDE ;(Ⅱ)求二面角C -EM -N 的正弦值; (Ⅲ)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ,求线段AH 的长. 21 4(2019新课标Ⅲ理数)a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角;②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角;③直线AB 与a 所称角的最小值为45°;④直线AB 与a 所称角的最小值为60°;

高考立体几何大题20题汇总情况

高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(2012江西省)(本小题满分12分) 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 是线段AB 上的两点,且DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,AB=12,AD=5, BC=42,DE=4.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使A ,B 两点重合与点G ,得到多面体CDEFG. (1) 求证:平面DEG ⊥平面CFG ; (2)求多面体C DEFG 的体积。 2012,山东(19) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 2012浙江20.(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中,,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点,F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 (Ⅰ)证明:(i) 11;EF A D //ii ()111;BA B C EF ⊥平面 (Ⅱ)求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

(2010四川)18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中,点M 是棱'AA 的中点,点O 是对角线'BD 的中点, (Ⅰ)求证:OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线; (Ⅱ)求二面角''M BC B --的大小; 2010辽宁文(19)(本小题满分12分) 如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形,11B C A B ⊥ (Ⅰ)证明:平面11A B C ⊥平面11A BC ; (Ⅱ)设D 是11A C 上的点,且1//AB 平面1B CD ,求11:A D DC 的值。

高考数学专题复习立体几何(理科)练习题

A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A

(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析

【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A . 643 π B .8316π π+ C .28π D .8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图,还原直观图,得到一个圆锥和一个圆柱,计算体积,即可. 【详解】 结合三视图,还原直观图,得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+,故选B . 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图,考查了组合体体积计算方法,难度中等. 2.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ,使得1AP D P +取得最小值,则此最小值为( )

A .7 B .3 C .1+3 D .2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上,连接1MD 并求出,就 是最小值. 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上,连接1MD .1MD 就是1||||AP D P +的最小值, Q ||||3AB AD ==,1||1AA =,∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=. 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A . 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征,考查计算能力,空间想象能力,解决此类问题常通过转化,转化为在同一平面内两点之间的距离问题,是中档题. 3.已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍,且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等,则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为( ). A 10 B .3:1 C .2:1 D 102 【答案】A

(完整版)2019数学高考试题分类汇编 立体几何

2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12.已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是P A ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为( ) A .68π B .64π C .62π D .6π 2、全国III 理8.如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则( ) A .BM =EN ,且直线BM ,EN 是相交直线 B .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线 C .BM =EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 D .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 3、浙江4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是 A .158 B .162 C .182 D .32 4、浙江8.设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点),记直线PB 与直线AC 所成角为α,直线PB 与平面ABC 所成角为β,二面角P -AC -B 的平面角为γ,则 A .β<γ,α<γ B .β<α,β<γ C .β<α,γ<α D .α<β,γ<β 5、北京理(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________. 6、北京理(12)已知l ,m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l ⊥m ;②m ∥α;③l ⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________. 7、江苏9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16.已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC ,BC 的距离均为3,那么P 到平面ABC 的距离为______ _____. 9、全国II 文理16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1). 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方 体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.) 10、全国III 理16.学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E ,F ,G ,H 分别为所在棱的中点,16cm 4cm AB =BC =, AA =,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3,不考虑打印损耗, 制作该模型所需原料的质量为___________g.

立体几何高考真题大题

立体几何高考真题大题 1.(2016高考新课标1卷)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=o ,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60o . (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)19 - 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ?平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平 面FDC E .(Ⅱ)建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m u r 及平面C B E 的法向量 n r ,再利用cos ,n m n m n m ?=r r r r r r 求二面角. 试题解析:(Ⅰ)由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E . 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E . (Ⅱ)过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由(Ⅰ)知DG ⊥平面F ABE . 以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -. 由(Ⅰ)知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E - ,(D . 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E . 又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E . 由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角, C F 60∠E =o .从而可得(C -. 所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r ,(C 3,A =--u u u r ,()4,0,0AB =-u u u r . 设(),,n x y z =r 是平面C B E 的法向量,则 C 0 0n n ??E =???EB =??u u u r r u u u r r , 即040x y ?=?? =??, 所以可取(3,0,n =r .

全国高考理科数学:立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 .(2013年新课标1(理))如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ) A 2 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是( )[] A .若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B .若//αβm α?n β?则//m n C .若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D .若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 .(2013年上海市春季数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为( ) A .1:2 B .1:4 C .1:8 D .1:16 4 .(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( ) A 5 .(2013年新课标1(理))某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 6 .(2013年湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有( ) A .1243V V V V <<< B .1324V V V V <<< C .2134V V V V <<< D .2314V V V V <<< 7 .(2013年湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能...等于( ) A .1 B 8 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是

历年高考立体几何大题试题汇编

2015 年高考立体几何大题试卷 1. 【 2015 高考新课标 2,理 19】 如图,长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=16 , BC =10, AA 1 8,点E ,F 分别在 A 1B 1, C 1 D 1上, A 1 E D 1 F 4.过点 E ,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方 形. ( 1 题图) Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) Ⅱ)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值. 2. 【 2015江苏高考, 16】 如图,在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中,已知 AC BC , BC CC 1,设 AB 1的中点为 D , B 1C BC 1 E .求证:(1) DE //平面AA 1C 1C ; 2) BC 1 AB 1 . 3 题图) 3. 【2015 高考安徽,理 19】如图所示,在多面体 A 1B 1D 1DCBA ,四边形 2 题图) A B C

AA1B1B , ADD1 A1 , ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D, E的平面交CD1于 F.

4. 【2015 江苏高考, 22】如图,在四棱锥 P ABCD 中,已知 PA 平面 ABCD ,且 四边形 ABCD 为直角梯 形, ABC BAD ,PA AD 2, AB BC 1 2 1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; 2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长 面 BEC ,BE ^ EC ,AB=BE=EC=2 ,G ,F 分别是线 段 ( Ⅰ ) 求证: GF // 平面 ADE ; ( Ⅱ)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 6.【2015 高考浙江,理 17】如图,在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 -中, BAC 90 , AB AC 2,A 1A 4 , A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 为B 1C 1的中点. (1)证明: A 1D 平面 A 1B C ; (2)求二面角 A 1 -BD- B 1的平面角的余弦值 . Ⅰ)证明: EF //B 1C ; Ⅱ)求二面角 E A 1D B 1余弦值 . 4 题图) 5 题图) 5 .【 2015 高考福建, 理 17】如图, 在几何体 ABCDE 中, 四边形 ABCD 是矩形, AB ^ 平 BE , DC 的中点 . B C D B

高考立体几何大题及答案理

1.如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面 ABCD ,2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上, ∠ABM=60 。 (I )证明:M 是侧棱SC 的中点; ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点,DE ⊥平面BCC 1(Ⅰ)证明:AB =AC (Ⅱ)设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC ,22AC BC EB DC ====,120ACB ∠=,,P Q 分别为,AE AB 的中点.(I )证明://PQ 平面ACD ; (II )求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值. 4.如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形, PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上.(Ⅰ)求证:平面AEC PDB ⊥平面;(Ⅱ)当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时,求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =.以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M . B C D E O A P B M

(1)求证:平面ABM ⊥平面PCD ; (2)求直线PC 与平面ABM 所成的角; (3)求点O 到平面ABM 的距离. 6.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=(I )求证:EF BCE ⊥平面; (II )设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ,求证: PM ∥BCE 平面 (III )求二面角F BD A --的大小。 7.如图,四棱锥S -ABCD 的底面是正方形,SD ⊥平面ABCD ,SD =AD =a ,点E 是SD 上的点,且DE =λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证:对任意的λ∈(0、1), 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ,求λ的值。 8.如图3,在正三棱柱111ABC A B C -中,AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点,点E 在AC 上,且DE ⊥1A E .(Ⅰ)证明:平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;(Ⅱ)求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= (I )求证:EF BCE ⊥平面;

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,() 1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB ⊥⊥(Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一) 1.如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,⊥PD 平面ABCD , 2PD AB ==,点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证:EF PA ⊥; (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示,该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成,AF AD ⊥,2AE AD ==. (1)证明:平面⊥PAD 平面ABFE ; (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ,使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角,M为PB的中点. (Ⅰ)求证:PD∥面ACM. (Ⅱ)求证:PA⊥CD. (Ⅲ)求三棱锥P ABCD -的体积. 4.如图,四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD,90 DAB ABC ∠=∠=?.SA AB BC a ===,2 AD a =. (Ⅰ)求证:面SAB⊥面SAD. (Ⅱ)求证:CD⊥面SAC. S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,测棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,点E 是 BC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于F . (Ⅰ)求证:平面PCD ⊥平面PBC . (Ⅱ)求证:PB ⊥平面EFD . 6.在直棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,设1AB 中点为D ,1A C 中点为E . (Ⅰ)求证:DE ∥平面11BCC B . (Ⅱ)求证:平面11ABB A ⊥平面11ACC A . E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

2019年高考试题汇编文科数学--立体几何

(2019全国1文)16.已知90ACB ∠=?,P 为平面ABC 外一点,2PC =,点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案: 解答: 如图,过P 点做平面ABC 的垂线段,垂足为O ,则PO 的长度即为所求,再做,PE CB PF CA ⊥⊥,由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥,在Rt PCF ?中,由2,PC PF == ,可得出1CF =,同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =,结合90ACB ∠=?,,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==,OC = , PO == (2019全国1文)19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,14,2AA AB ==,60BAD ∠=, ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. (1)证明://MN 平面1C DE (2)求点C 到平面1C DE 的距离. 答案: 见解析 解答: (1)连结1111,AC B D 相交于点G ,再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ,再连结GH ,NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ,//GH DE , 于是得到平面//NGHM 平面1C DE , 由 MN ?平面NGHM ,于是得到//MN 平面1C DE

(2) E 为BC 中点,ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥,又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱,1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥,又 12,4AB AA ==, 1DE C E ∴=,设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE (2019全国2文)7. 设,αβ为两个平面,则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案:B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. (2019全国2文)16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分.)

立体几何高考真题大题

立体几何咼考真题大题 1. (2016高考新课标1 卷)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方 形,AF=2FD, NAFD =90:且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60: (I )证明:平面 ABEF 丄平面EFDC (n )求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】(I )见解析;(n ) -2蜃 19 【解析】 试题分析:(I )先证明AF 丄平面E FDC ,结合直F U 平面AB E F ,可得平面ABE F 丄 平面E FDC . (n )建立空间坐标系,分别求出平面E C E 的法向量m 及平面E C E 的法 试题解析:(I )由已知可得 A F 丄DF, A F 丄F E|,所以A F 丄平面E FDC . 又A F U 平面 AE E F ,故平面AEE F 丄平面|E F D C . _ (n )过D 作DG 丄E F ,垂足为G ,由(I )知DG 丄平面[A E 百F . 以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直 角坐标系G —xyz . 由(I )知N DF E 为二面角D -A F -E 的平面角,故N DF E =60:贝U DF = 2 , DG|=3,可得九(1,4,0 ), B(—3,4,0 ), E(—3,0,0 ), D (0,0, 73 ). 由已知,AE //E F ,所以AE //平面E FDC . 又平面 A ECD n 平面 |E FDC = DC ,故〕AB //CD , CD//EF . 由EE //A F ,可得EE 丄平面I E F DC ,所以N C E F |为二面角C —EE —F 的平面角, 向量n ,再利用cos (n,m ) 求二面角. n ||m |

2021-2022年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A版

2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A 版 一、选择题 1.空间中四点可确定的平面有( ) A .1个 B .3个 C .4个 D .1个或4个或无数个 答案 D 解析 当这四点共线时,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面时,可确定一个平面;当这四点不共面时,其中任三点可确定一个平面,此时可确定4个平面. 2.一个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图,如图所示,则这个几何体的体积为( ) A .8 B .4 C .2 D .1 答案 C 解析 根据该几何体的三视图知,该几何体是一个平放的三棱柱;它的底面三角形的面积为S 底面=1 2×2×1=1,棱柱高为h =2,∴棱柱的体积为S 棱柱=S 底面·h =1×2=2. 3.下列命题中,错误的是( ) A .三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面 B .平面α∥平面β,a ?α,过β内的一点B 有唯一的一条直线b ,使b ∥a C .α∥β,γ∥δ,α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ,则a ∥b ∥c ∥d D .一条直线与两个平面成等角,则这两个平面平行

答案D 解析A正确,三角形可以确定一个平面,若三角形两边平行于一个平面,而它所在的平面与这个平面平行,故第三边平行于这个平面;B正确,两平面平行,一面中的线必平行于另一个平面,平面内的一点与这条线可以确定一个平面,这个平面与已知平面交于一条直线,过该点在这个平面内只有这条直线与a平行;C正确,利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的;D错误,一条直线与两个平面成等角,这两个平面可能是相交平面,故应选D. 4.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不能确定 答案B 解析作AE⊥BD,交BD于E, ∵平面ABD⊥平面BCD, ∴AE⊥平面BCD,BC?平面BCD,∴AE⊥BC, 而DA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴DA⊥BC, 又∵AE∩AD=A,∴BC⊥平面ABD, 而AB?平面ABD,∴BC⊥AB, 即△ABC为直角三角形.故选B. 5.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是( )

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