2019年湖北省襄阳中考数学试卷含答案解析

湖北省襄阳市2019年初中毕业生学业水平考试

数 学

本试卷满分120分,考试时间120分钟.

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的) 1.计算3-的结果是

( )

A.3

B.1

3 C.3-

D.3±

2.下列运算正确的是

( ) A. 32a a a -= B.236a a a ?=

C.623a a a ÷=

D.236()a a --=

3.如图，直线BC AE ∥，CD AB ⊥于点D ，若40BCD =?∠，则1∠的度数是 ( )

第3题图

A.60o

B.50o

C.40o

D.30o

4.某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是 ( )

第4题图

A.青

B.来

C.斗

D.奋

5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

( )

A B C

D

6.不等式组24

339x x x x +??++?

＜≥的解集在数轴上用阴影表示正确的是

( )

A B C D

7.如图，分别以线段AB 的两个端点为圆心，大于AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别交

于C ，D 两点，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则四边形ADBC 一定是 ( )

第7题图

A.正方形

B.矩形

C.梯形

D.菱形

8.下列说法错误的是

( )

A.必然事件发生的概率是1

B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率

C.概率很小的事件不可能发生

D.投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得

9.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是 ( ) A.54573x x -=- B.54573x x +=+

C.45357x x ++=

D.45357x x --=

10.如图，AD 是O e 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，

下列结论错误的是 ( )

第10题图

A.2AP OP =

B.2CD OP =

C.OB AC ⊥

D.AC 平分OB

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)

11.习总书记指出，善于学习，就是善于进步.“学习强国”平台上线后的某天，全国大约

有1.2亿人在平台上学习.1.2亿这个数用科学记数法表示为 .

12.定义：*a

a b b

=，则方程2*(3)1*(2)x x +=的解为 .

13.从2，3，4，6中随机选取两个数记作a 和b (a b ＜)，那么点(,)a b 在直线2y x =上的概

率是 .

14.如图，已知ABC DCB =∠∠，添加下列条件中的一个：①A D =∠∠，②AC DB =，③

AB DC =，其中不能确定ABC DCB △≌△的是 (只填序号).

第14题图

15.如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m )与飞行时间t (单位：s )之间具有的关系

为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为 s .

第15题图

16.如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，

30BAC DEC ==?∠∠，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若1BD =，5AD =，则CF

EF

= .

第16题图

三、解答题(本大题共9小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分6分)

先化简，再求值：2

221

111x x x x x ++??-÷ ?--??

，其中1x =.

18.(本小题满分6分)

今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动.学校3 000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分(满分100分).为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下

(1)表中a = ，b = ； (2)这组数据的中位数落在 范围内；

(3)判断：这组数据的众数一定落在7080x ≤＜范围内，这个说法 (填“正确”或“错误”)；

(4)这组数据用扇形统计图表示，成绩在8090x ≤＜范围内的扇形圆心角的大小

为 ；

(5)若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有 名学生获得优秀成绩.

19.(本小题满分6分)

改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长(AD )16m ，宽(AB )9m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为2112m ，则小路的宽应为多少？

第19题图

20.(本小题满分6分)

襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC 和塔冠BE )进行了测量.如图所示，最外端的拉索AB 的底端A 到塔柱底端C 的距离为121m ，拉索AB 与桥面AC 的夹角为37?，从点A 出发沿

AC 方向前进23.5m ，在D 处测得塔冠顶端E 的仰角为45?.请你求出塔冠BE 的高度(结

果精确到0.1m .参考数据sin370.60?≈，cos370.80?≈，tan370.75?≈ 1.41).

第20题图

21.(本小题满分7分)

如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2m

y x

=

的图象在第一、第三象限分别交于(3,4)A ，(,2)B a -两点，直线AB 与y 轴，x 轴分别交于C ，D 两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)比较大小：AD ______BC (填“＞”或“＜”或“=”)； (3)直接写出12y y ＜时x 的取值范围.

第21题图

22.(本小题满分7分)

如图，点E 是ABC △的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆O e 相交于点D ，过D 作直线DG BC ∥.

(1)求证：DG 是O e 的切线；

(2)若6DE =，BC =?BAC

的长.

第22题图

23.(本小题满分10分)

襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜.某超市看好甲、

(1)该超市购进甲种蔬菜10kg 和乙种蔬菜5kg 需要170元；购进甲种蔬菜6kg 和乙种

蔬菜10kg 需要200元.求m ，n 的值；

(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg ，且不大于70kg .实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg 的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y (元)与购进甲种蔬菜的数量x (kg )之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；

(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润额y (元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每

千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a 的最大值.

24.(本小题满分10分)

(1)证明推断：如图(1)，在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥. ①求证：DQ AE =；

②推断：GF

AE

的值为 ；

(2)类比探究：如图(2)，在矩形ABCD 中，BC

k AB =(k 为常数).将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点

O .试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP ，当23k =时，若3

tan 4

CGP ∠=，GF =求CP 的长.

第24题图（1） 第24题图（2）

25.(本小题满分13分)

如图，在直角坐标系中，直线1

32

y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为

1x =的抛物线过B ，C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接AC .

(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；

(2)已知点P 为第一象限内抛物线上一点，当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；

(3)抛物线上是否存在一点Q (点C 除外)，使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与ABC △相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

第25题图

湖北省襄阳市2019年初中毕业生学业水平考试

数学答案解析

一、选择题 1.【答案】A

【解析】解：33-=. 故选：A.

根据绝对值的性质进行计算. 【考点】绝对值的性质 2.【答案】D

【解析】解：A.32a a -，无法计算，故此选项错误； B.235a a a ?=，故此选项错误； C.624a a a ÷=，故此选项错误； D.()

3

2

6a a --=，正确.

故选：D.

直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案. 【考点】合并同类项，同底数幂的乘除运算 3.【答案】B

【解析】解：∵CD AB ⊥于点D ，40BCD =?∠， ∴90CDB =?∠.

∴90BCD DBC +=?∠∠，即4090BCD +?=?∠.

∴50DBC =?∠. ∵直线BC AE ∥，

∴150DBC ==?∠

∠. 故选：B.

先在直角CBD △中可求得DBC ∠的度数，然后平行线的性质可求得1∠的度数. 【考点】平行线的性质，垂线的定义，直角三角形两锐角互余的性质 4.【答案】D

【解析】解：由：“Z ”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋； 故选：D.

正方体展开图的“Z ”字型找对面的方法即可求解； 【考点】正方体的展开图 5.【答案】B

【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误. 故选：B.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【考点】中心对称图形与轴对称图形的概念 6.【答案】C

【解析】解：不等式组整理得：4

3x x ??-?

＜≤，

∴不等式组的解集为3x -≤，

故选：C.

求出不等式组的解集，表示出数轴上即可. 【考点】解一元一次方程组 7.【答案】D

【解析】解：由作图可知：AC AD BC BD ===， ∴四边形ACBD 是菱形， 故选：D.

根据四边相等的四边形是菱形即可判断. 【考点】基本作图，菱形的判定 8.【答案】C

【解析】解：A.必然事件发生的概率是1，正确； B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C.概率很小的事件也有可能发生，故错误；

D.投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确， 故选：C.

不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于

1.

【考点】本题考查了概率的意义 9.【答案】B

【解析】解：设合伙人数为x 人， 依题意，得：54573x x +=+. 故选：B.

设合伙人数为x 人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解. 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程 10.【答案】A

【解析】解：∵AD 为直径， ∴90ACD =?∠，

∵四边形OBCD 为平行四边形， ∴CD OB ∥，CD OB =，

在Rt ACD △中，1

sin 2

CD A AD =

=， ∴30A =?∠，

在Rt AOP △中，AP ，所以A 选项的结论错误； ∵OP CD ∥，CD AC ⊥，

∴OP AC ⊥，所以C 选项的结论正确； ∴AP CP =，

∴OP 为ACD △的中位线，

∴2CD OP =，所以B 选项的结论正确； ∴2OB OP =，

∴AC 平分OB ，所以D 选项的结论正确. 故选：A.

利用圆周角定理得到90ACD =?∠，再根据平行四边形的性质得到CD OB ∥，CD OB =，则

可求出30A =?∠，在Rt AOP △中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A 选项进

行判断；利用OP CD ∥，CD AC ⊥可对C 选项进行判断；利用垂径可判断OP 为ACD

△的中位线，则2CD OP =，原式可对B 选项进行判断；同时得到2OB OP =，则可对D 选项进行判断.

【考点】圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质. 二、填空题

11.【答案】81.210?

【解析】解：81.2 1.210=?亿. 故答案为：81.210?.

科学记数法就是将一个数字表示成（10a ?的n 次幂的形式），其中110a ≤＜，n 表示整

数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂. 【考点】科学记数法的理解和运用，单位的换算 12.【答案】1x =

【解析】解：2*(3)1*(2)x x +=， 2132x x =+， 43x x =+， 1x =，

经检验：1x =是原方程的解， 故答案为：1x =.

根据新定义列分式方程可得结论. 【考点】解分式方程，新定义的理解 13.【答案】13

【解析】解：画树状图如图所示，

一共有6种情况，2b a =的有(2,4)和(3,6)两种，

所以点(,)a b 在直线2y x =上的概率是2163

=， 故答案为：13

.

画出树状图，找到2b a =的结果数，再根据概率公式解答 【考点】列表法与树状图法 14.【答案】②

【解析】解：∵已知ABC DCB ∠=∠，且BC CB =

∴若添加①A D ∠=∠，则可由AAS 判定ABC DCB △≌△；

若添加②AC DB =，则属于边边角的顺序，不能判定ABC DCB △≌△； 若添加③AB DC =，则属于边角边的顺序，可以判定ABC DCB △≌△. 故答案为：②.

一般三角形全等的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，据此可逐个对比求解. 【考点】全等三角形的几种基本判定方法 15.【答案】4

【解析】解：依题意，令0h =得 20205t t =- 得(205)0t t -=

解得0t =（舍去）或4t =

即小球从飞出到落地所用的时间为4s 故答案为4.

根据关系式，令0h =即可求得t 的值为飞行的时间 【考点】二次函数的性质在实际生活中的应用

16.

【解析】解：如图，过点C 作CM DE ⊥于点M ，过点E 作EN AC ⊥于点N ， ∵1BD =，5AD =， ∴6AB BD AD =+=，

∵在Rt ABC △中，30BAC ∠=?，9060B BAC ∠=?-∠=?，

∴1

32

BC AB ==，AC =

在Rt BCA △与Rt DCE △中， ∵30BAC DEC =∠=?， ∴tan tan BAC DEC ∠=∠， ∴BC DC

AC EC

=， ∵90BCA DCE =∠=?，

∴BCA DCA DCE DCA -∠=∠-∠∠， ∴BCD ACE ∠=∠， ∴BCD ACE △∽△， ∴60CAE B ∠=∠=?， ∴BC BD

AC AE

=， ∴306090DAE DAC CAE ∠=∠+∠=?+?=?1

AE ，

∴AE =， 在Rt ADE △中，

DE =

在Rt DCE △中，30DEC ∠=?，

∴60EDC ∠=?

，1

2

DC DE ==，

在Rt DCM △中，

22

MC DC =

=

， 在Rt AEN △中，

3

2

NE AE ==，

∵MFC NFE ∠=∠，90FMC FNE ∠=∠=， ∴MFC NFE △∽△+，

∴232CF MC EF NE ==

.

过点C 作CM DE ⊥于点M ，过点E 作EN AC ⊥于点N ，先证BCD ACE △∽△，求出AE 的

长及60CAE ∠=?，推出90DAE ∠=?，在Rt DAE △中利用勾股定理求出DE 的长，进一步求出CD 的长，分别在Rt DCM △和Rt AEN △中，求出MC 和NE 的长，再证MFC NFE △∽△，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF 与EF 的比值.

【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形 三、解答题

17.【答案】解：2

221

111x x x x x ++??-÷ ?--??

22121111x

x x x x x x -++??=-÷

?---??

21(1)(1)1(1)x x x x +-=?-+ 11

x =+，

当1x =

时，原式2

=

=

.

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可. 【考点】分式的化简求值 18.【答案】（1）20? 0.2?

（2）7080x ?≤＜ （3）正确 （4）72? （5）900

【解析】解：（1）调查学生总数：150.350÷=（名）， 7080x ≤＜的频数：501510520---=，即20a =。 8090x ≤＜的频率：10.30.40.10.2---=，即0.2b =， 故答案为20，0.2；

（2）共50名学生，中位数落在“7080x ≤＜”范围内；

（3）“7080x ≤＜”范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在7080x ≤＜范围内， 故答案为正确；

（4）成绩在8090x ≤＜范围内的扇形圆心角：10

3607250

?=??，

故答案为72?；

（5）获得优秀成绩的学生数：15

300090050

?=（名），

故答案为900.

【考点】中位数，众数

19.【答案】解：设小路的宽应为m x ， 根据题意得：(162)(9)112x x --=， 解得：11x =，216x =. ∵169＞，

∴16x =不符合题意，舍去， ∴1x =.

答：小路的宽应为1m .

【解析】设小路的宽应为m x ，那么草坪的总长度和总宽度应该为(162)(9)x x --；那么根

据题意得出方程，解方程即可. 【考点】一元二次方程的应用

20.【答案】解：在Rt ABC △中，tan BC

A AC

=

， 则tan 1210.7590.75BC AC A =?≈?=， 由题意得，97.5CD AC AD =-=， 在Rt ECD △中，45EDC ∠=?， ∴97.5EC CD ==，

∴ 6.75 6.8(m)BE EC BC =-=≈， 答：塔冠BE 的高度约为6.8m .

【解析】根据正切的定义分别求出EC 、BC ，结合图形计算，得到答案. 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

21.【答案】（1）把(3,4)A 代入反比例函数2y m

x

=得，

43

m

=，解得12m =，

∴反比例函数的解析式为212

y x =；

∵(,2)B a -点在反比例函数2y m

x

=的图象上，

∴212a -=，解得6a =-， ∴(6,2)B --，

∵一次函数1y kx b =+的图象经过(3,4)A ，(6,2)B --两点，

∴3462k b k b +=??-+=-?，解得232

k b ?

=

??

?=?， ∴一次函数的解析式为12

23

y x =+；

（2）由一次函数的解析式为12

23

y x =+可知 (0,2)C ，(3,0)D -，

∴AD =

BC =，

∴AD BC =， 故答案为=；

（3）由图象可知：12y y ＜时x 的取值范围是6x -＜或03x ＜＜.

【解析】（1）把(3,4)A 代入反比例函数2y m

x

=，根据待定系数法即可求得m ，得到反比例

函数的解析式，然后代入(,2)B a -，求得a ，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；

（2）求得C 、D 的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）根据图象即可求得.

【考点】一次函数与反比例函数的交点问题

22.【答案】（1）证明：连接OD 交BC 于H ，如图， ∵点E 是ABC △的内心， ∴AD 平分BAC ∠， 即BAD CAD ∠=∠， ∴??BD

CD =， ∴OD BC ⊥，BH CH =， ∵DG BC ∥， ∴OD DG ⊥，

∴DG 是O e 的切线；

（2）解：连接BD 、OB ，如图， ∵点E 是ABC △的内心， ∴ABE CBE ∠=∠， ∵DBC BAD ∠=∠，

∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴6DB DE ==，

∵1

2

BH BC ==，

在Rt BDH △

中，sin 62

BH BDH BD ∠===

， ∴60BDH ∠=?， 而OB OD =，

∴OBD △为等边三角形，

∴60BOD ∠=?，6OB BD ==， ∴120BOC ∠=?， ∴优弧?BAC

的长()36012068180

ππ-??==.

【解析】（1）连接OD 交BC 于H ，如图，利用三角形内心的性质得到BAD CAD ∠=∠，则

??BD CD =，利用垂径定理得到OD BC ⊥，BH CH =，从而得到OD DG ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）连接BD 、OB ，如图，先证明DEB DBE ∠=∠得到6DB DE ==，再利用正弦定义求出

60BDH ∠=?，则可判断OBD △为等边三角形，所以60BOD ∠=?，6OB BD ==，则

120BOC ∠=?，然后根据弧长公式计算优弧?BAC

的长. 【考点】三角形的内切圆与内心 23.【答案】解：（1）由题意可得，

105170610200m n m n +=??+=?，解得，10

14m n =??

=?， 答：m 的值是10，n 的值是14；

（2）当2060x ≤≤时，

(1610)(1814)(100)2400y x x x =-+--=+， 当6070x ＜≤时，

(1610)60(1610)0.5(60)(1814)(100)580y x x x =-?+-??-+--=-+， 由上可得，()()

24002060580

6070x x y x x ?+?=?

-+??≤≤＜≤；

（3）当2060x ≤≤时，2400y x =+，则当60x =时，y 取得最大值，此时520y =， 当6070x ＜≤时，580y x =-+，则60580520y -+=＜， 由上可得，当60x =时，y 取得最大值，此时520y =，

∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额y （元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每

千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于20%， ∴

5202604020%60104014

a a

-?-≥?+?，

解得， 1.8a ≤

， 即a 的最大值是1.8.

【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m 、n 的值； （2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得y 与x 的函数关系式；

（3）根据（2）中的条件，可以求得y 的最大值，然后再根据题意，即可得到关于a 的不

等式，即可求得a 的最大值，本题得以解决.

本题考查一次函数的应用.二元一次方程组的应用.解一元一次不等式，解答本题的关键是

明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答. 24.【答案】1

【解析】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB DA =，90ABE DAQ ∠=?=∠. ∴90QAO OAD ∠+∠=?. ∵AE DH ⊥，

∴90ADO OAD ∠+∠=?. ∴QAO ADO ∠=∠

.

∴()ABE DAQ ASA △≌△， ∴AE DQ =.

②解：结论：1GF

AE

=. 理由：∵DQ AE ⊥，FG AE ⊥， ∴DQ FG ∥， ∵FQ DG ∥，

∴四边形DQFG 是平行四边形， ∴FG DQ =， ∵AE DQ =， ∴FG AE =， ∴1GF

AE

=. 故答案为1.

（2）解：结论：k FG

AE

=. 理由：如图2中，作GM AB ⊥于M .

∵AE GF ⊥，

∴90AOF GMF ABE ∠=∠=∠=?，

∴90BAE AFO ∠+∠=?，90AFO FGM ∠+∠=?， ∴BAE FGM ∠=∠， ∴ABE GMF △∽△， ∴GF GM

AE AB

=， ∵90AMG D DAM ∠=∠=∠=?， ∴四边形AMGD 是矩形， ∴GM AD =， ∴

GF AD BC

k AE AB AB

===. （3）解：如图2-1中，作PM BC ⊥交BC 的延长线于M .

∵FB GC ∥，FE GP ∥， ∴CGP BFE ∠=∠，

∴3tan tan 4BE

CGP BFE BF

∠=∠==，

∴可以假设3BE k =，4BF k =，5EF AF k ==，

∵

2

FG AE =，FG =

∴AE =

∴222(3)(9)k k +=， ∴1k =或1-（舍弃）， ∴3BE =，9AB =，

∵23BC AB =:：

， ∴6BC =，

∴3BE CE ==，6AD PE BC ===， ∵90BEF FEP PME ∠=∠=∠=?，

∴90FEB PEM ∠+∠=?，90PEM EPM ∠+∠=?， ∴FEB EPM ∠=∠， ∴FBE EMP △∽△， ∴EF BF BE

PE EM PM ==， ∴543

6EM PM

==，

∴245EM =，18

5

PM =，

∴249355CM EM EC ===-=，

∴PC =. 【解析】（1）①由正方形的性质得AB DA =，90ABE DAH ∠=?=∠，

所以90HAO OAD ∠+∠=?，又知90ADO OAD ∠+∠=?，所以HAO ADO ∠=∠，于是

ABE DAH △≌△，可得AE DQ =.

②证明四边形DQFG 是平行四边形即可解决问题.

（2）结论：FG

k AE

=.如图2中，作GM AB ⊥于M .证明：ABE GMF △∽△即可解决问题. （3）如图2-1中，作PM BC ⊥交BC 的延长线于M .利用相似三角形的性质求出PM ，CM 即

可解决问题.

【考点】正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，解直角三角形

25.【答案】解：（1）1

32

y x =-+，令0x =，则3y =，令0y =，则6x =，

故点B 、C 的坐标分别为(6,0)、(0,3)， 抛物线的对称轴为1x =，则点(4,0)A -，

则抛物线的表达式为：()

2

(6)(4)224y a x x a x x =-+=--，

即243a -=，解得：18

a =-，

故抛物线的表达式为：211

384

y x x =-++…①；

（2）过点P 作y 轴的平行线交BC 于点G ，作PH BC ⊥于点H ，

将点B 、C 坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC 的表达式为：1

32

y x =-+，

则HPG CBA α∠=∠=，1tan tan

2OC CAB OB α∠===，则cos α=， 设点211,384+P x x x ??-+ ???，则点1,32G x x ??

-+ ???

，

则22111cos 33842PH PG a x x x ?

==-+++-=+???

，

∵020

-，故PH 有最小值，此时3x =，

则点213,8P ??

???

；

（3）①当点Q 在x 轴上方时，

则点Q ，A ，B 为顶点的三角形与ABC △全等，此时点Q 与点C 关于函数对称轴对称，则点

(2,3)Q ；

②当点Q 在x 轴下方时，

Q ，A ，B 为顶点的三角形与ABC △相似，则ACB Q AB ∠=∠'，

当ABC ABQ ∠=∠'时， 直线BC 表达式的k 值为12-，则直线BQ '表达式的k 值为12

， 设直线BQ '表达式为：1

2y x b =

+，将点B 的坐标代入上式并解得： 直线BQ ′的表达式为：1

32y x =-…②，

联立①②并解得：6x =或8-（舍去6）， 故点()Q Q '坐标为(8,7)--（舍去）； 当ABC ABQ ∠=∠'时，

同理可得：直线BQ '的表达式为：39

42

y x =-…③，

联立①③并解得：6x =或10-（舍去6）， 故点()Q Q '坐标为(10,12)--，

由点的对称性，另外一个点Q 的坐标为(12,12)-；

综上，点Q 的坐标为：2,3（）或(12,12)-或(10,12)--. 【解析】（1）1

32

y x =-+，令0x =，则3y =，令0y =，则6x =，故点B 、C 的坐标分别

为(6,0)、(0,3)，即可求解；

（2）2111cos 335842PH PG x x x α?

==

-+++-???

，即可求解； （3）分点Q 在x 轴上方，点Q 在x 轴下方两种情况，分别求解. 【考点】二次函数综合运用