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2021届高考数学专题汇编:数列放缩方法

2021届高考数学专题汇编:数列放缩方法
2021届高考数学专题汇编:数列放缩方法

数列放缩法

常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,基本结构有4种:

1.形如∑a i n i=1

2.形如∑a i n i=1

3.形如∏a i n i=1

4.形如∏a i n

i=1

例1.求证:12

+

12

+

12

+?+

12<1(n ∈N ?)

变式1求证:1

2+

22+

32+?+

n 2<2(n ∈N ?)

变式2求证:12+1

+

12+1

+?+

12+1

<1(n ∈N ?)

变式3求证:1

2+1+2

22+2

+?+n

2n+n

<2(n∈N?)

例2.求证:1

1×3+1

3×5

+?+1

(2n?1)(2n+1)

<1

2

(n∈N?)

变式1求证:1

1×3+1

3×5

+?+1

(2n?1)(2n+1)

≤1

3

(n∈N?)

变式2求证:1

2×3+1

3×5

+?+1

(n+1)(2n+1)

<5

12

(n∈N?)

例3.求证:1+1

22

+1

32

+??1

+n2

<2(n∈N?)

变式1求证:1+1

22

+1

32

+??1

+n2

<7

4

(n∈N?)

变式2求证:1+1

2

+1

3

+??1

+n

<5

3

(n∈N?)

变式3求证:1+1

3

+1

5

+??1

(2n?1)

2

<5

4

(n∈N?)

例4.已知数列{a n},a n=2n

2?1(n∈N?)求证:∑a i(a i?1)

n

i=1

<3

变式.已知数列{a n},a n=2n

2?1(n∈N?)求证:∑a i(a i?1)

n

i=1

<

25 9

例5. 求证:1

3?2+1

3?2

+?+1

3?2

<3

2

(n∈N?)

变式.求证:1

3?2+1

32?2

+?+1

3n?2

<17

14

(n∈N?)

例6. 求证:2(√n+1?1)<1+

√2+

√3

+?+

√n

<2√n(n∈N?)

变式.求证:1+

√2+

√3

+?+

√n

<√2(√2n+1?1)(n∈N?)

例7. 求证:12

×34

×56

?

2n?12n

<√

12n+1

(n ∈N ?)

变式.求证:(1+1)(1+1

4)(1+1

7)?(1+1

3n?2)>√3n +13

(n ∈N ?

)

常见放缩公式: 平方型:1

n (n+1)

<

1n <

1n (n?1) (n ≥2)

1n 2

<

1

n 2?1=1

2(1

n?1?1

n+1

)(n ≥2) 1n 2=44n 2<44n 2?1=2(12n ?1?1

2n +1) 1(2n ?1)2<14n (n ?1)=14(1n ?1?1

n

)(n ≥2)

立方型:

1n 3

<

1n (n 2?1

)

=1

2n (

1

n?1

?

1n+1

)=12

[1(

n?1)n

?

1n (n+1)

] (n ≥2)

根式型:

2(√n+1?√n)=

2

√n+1+√n

<

1

√n

=

2

2√n

<

2

√n+√n?1

=2(√n?√n?1)

1√n =

2√2

2√2n

<

2√2

√2n?1+√2n+1

=√2(√2n+1?√2n?1) 1

√n+2

=

2

2√n+2

<

2

√n+2+√n

=√n+2?√n

1

√n(n+1)

<

1

√n+√n?1

=√n?√n?1

指数型:

1

a n?

b n ≤

1

a n?1(a?b)

(a>b≥1)

证:1

a n?

b n =1

a n?1[a?b?(b

a

)

n?1

]

≤1

a n?1[a?b?(b

a

)

]

=1

a n?1(a?b)

1

a n?b

1

a n?1(a?b)

(a>b≥1)

证:1

a n?

b =1

a n?1(a?b

a n?1

)

≤1

a n?1(a?b

a0

)

=1

a n?1(a?b)

1

3n

<

1

3n?2

1

3n?1

1

4n

<

1

4n?3

1

4n?1

1

n

<

1

n

1

n?1

奇偶型:

2n?1 2n <

2n?1

√(2n?1)(2n+1)

<√

2n?1

2n+1

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、(2016年上海高考)无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 2、(2015年上海高考)记方程①:x 2+a 1x+1=0,方程②:x 2+a 2x+2=0,方程③:x 2+a 3x+4=0,其中a 1,a 2,a 3是正实数.当a 1,a 2,a 3成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( ) A .方程①有实根,且②有实根 B . 方程①有实根,且②无实根 C .方程①无实根,且②有实根 D . 方程①无实根,且②无实根 3、(2014年上海高考)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若()134lim n n a a a a →∞ =++ +,则q = . 4、(虹口区2016届高三三模)若等比数列{}n a 的公比1q q <满足,且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、(浦东新区2016届高三三模)已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 533S S =,则53 a a = 6、(杨浦区2016届高三三模)若两整数a 、 b 除以同一个整数m ,所得余数相同,即 a b k m -=()k Z ∈,则称a 、b 对模m 同余,用符号(mod )a b m ≡表示,若10(mod 6)a ≡(10)a >,满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????,则数列{}n a 的前16项和为 7、(黄浦区2016届高三二模) 已知数列{}n a 中,若10a =,2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=,则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、(静安区2016届高三二模)已知数列{}n a 满足181a =,1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?,则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、(闵行区2016届高三二模)设数列{}n a 的前n 项和为n S , 2 2|2016|n S n a n (0a >),则使得1 n n a a +≤(n ∈* N )恒成立的a 的最大值为 . 10、(浦东新区2016届高三二模)已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+,* n N ∈,则这个数列的前 n 项和n S =___________. 11、(徐汇、金山、松江区2016届高三二模)在等差数列{}n a 中,首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要:纵观近几年高考数学卷,压轴题很多是数列型不等式,其中通常需要证明数列型不等式,它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法,而且还可以综合考查其它多种数学思想方法,充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算,利用不等式的传递性,其优点是能迅速地化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺度很难把握。对大部分学生来说,在面对这类考题时,往往无从下笔.本文以数列型不等式压轴题的证明为例,探究放缩法在其中的应用,希望能抛砖引玉,给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词:放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体: 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型: (1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+,1,2,3, n =。设2n n n T S =, 1,2,3, n =,证明: 1 32 n i i T =< ∑。 证明:易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----, 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评: 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---,然后再求和,即可达到目标。 (2)先放缩通项,然后将其裂成(3)n n ≥项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的

数列综合应用(放缩法)教案资料

数列综合应用(1) ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中, 是历年高考命题的热点,这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.解决 这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条: 一是先求和再放缩,二是先放缩再求和. 二、典例讲解 1.先求和后放缩 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足 12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设1 1+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和 为n B ,求证:21

③.放缩后为差比数列,再求和 例4.已知数列{}n a 满足:11=a , )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n .求证: 112 13-++-≥>n n n n a a ④.放缩后为裂项相消,再求和 例5.在m (m ≥2)个不同数的排列P 1P 2…P n 中, 若1≤i <j ≤m 时P i >P j (即前面某数大于后面某数), 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ,如排列21的逆序数11=a ,排列321的 逆序数63=a . (1)求a 4、a 5,并写出a n 的表达式; (2)令n n n n n a a a a b 11+++=,证明: 32221+<++

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. ; 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. % 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. {

、 ~

、 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -=. 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,

(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+

数列放缩法高考专题

高考专题—数列求和放缩法 一.先求和后放缩 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+= n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:2 1 n n n n a a 4.放缩后为裂项相消,再求和 例5.在m (m ≥2)个不同数的排列P 1P 2…P n 中,若1≤i <j ≤m 时P i >P j (即前面某数大于后面某数),则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ,如排列21的逆序数11=a ,排列321的逆序数63=a . (1)求a 4、a 5,并写出a n 的表达式; (2)令n n n n n a a a a b 11+++=,证明32221+<++

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列:S n =na 1+ n (n -1)2 d (d 为公差)或S n =n (a 1+a n ) 2 . (2)等比数列:S n =???? ?na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q ,q ≠1其中(q 为公比). 4类特殊数列的前n 项和 (1)1+2+3+…+n =1 2n (n +1). (2)1+3+5+…+(2n -1)=n 2 . (3)12+22+32+…+n 2 =16n (n +1)(2n +1). (4)13+23+33+…+n 3=14 n 2(n +1)2 . 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n 2a n +3 ,n ∈N * .

(1)求证:数列???? ?? 1a n 为等差数列; (2)设T 2n = 1 a 1a 2- 1 a 2a 3+ 1 a 3a 4- 1 a 4a 5 +…+ 1 a 2n -1a 2n - 1 a 2n a 2n +1 ,求T 2n . 【解】 (1)证明:由a n +1=3a n 2a n +3,得1a n +1=2a n +33a n =1a n +2 3 , 所以 1 a n +1-1a n =23. 又a 1=1,则1a 1=1,所以数列???? ??1a n 是首项为1,公差为2 3的等差数列. (2)设b n = 1 a 2n -1a 2n - 1 a 2n a 2n +1 =? ??? ?1a 2n -1-1a 2n +11a 2n , 由(1)得,数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列, 所以 1 a 2n -1 - 1 a 2n +1=-43,即 b n =? ????1a 2n -1-1a 2n +11a 2n =-43×1a 2n , 所以b n +1-b n =-43? ????1a 2n +2-1a 2n =-43×43=-16 9. 又b 1=-43×1a 2=-43×? ????1a 1+23=-20 9 , 所以数列{b n }是首项为-209,公差为-16 9的等差数列, 所以T 2n =b 1+b 2+…+b n =- 209n +n (n -1)2×? ?? ??-169=-49(2n 2 +3n ). 求解此类题需过“三关”:第一关,定义关,即会利用等差数列或等比数列的定义,判断所给的数列是等差数列还是等比数列;第二关,应用关,即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解,需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式:S n = n (a 1+a n ) 2 或S n =na 1+ n (n -1) 2d ;等比数列{a n }的前n 项和公式:S n =?????na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1;第三关,运算关,认真运算,此类题将迎刃而解. 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等),然后分别求和.也可先根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和,再分组求和,即把一个通项拆成几个通项求和的形式,方便求和. 已知等差数列{a n }的首项为a ,公差为d ,n ∈N * ,且不等式ax 2 -3x +2<0的解集为(1,

高三数学必做题--数列放缩法

(1) 求数列 4的通项公式; 1 a a 1 (2) 若a ,设b n n 丄,且数列b n 的前n 项和为「,求证:人 3 1 a n 1 a n i 3 n 1 a 2、已知数列 q 的前n 项和s n -,且a 1 1. 2 (1) 求数列耳的通项公式; (2) 令b n ln a n ,是否存在k (k 2,k N),使得b k 、b k 1、b k 2成等比数列.若存在, 值;若不存在,请说明理由. 3、已知a n 是等差数列,a 2 3, a 3 5. ⑴求数列a n 的通项公式; 4、设数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a 1 2, a . 1⑵对一切正整数n ,设b n n (1) n a n a n 1 ,求数列 b n 的前n 项和S n . 求出所有符合条件的 k 2S n 2 n 1,2,3L

(1)求 a 2 ; (2)数列a n 的通项公式; 5、对于任意的n € N*,数列{a n }满足 (I )求数列{a n }的通项公式; (n )求证:对于 n 》2,—— a ? a a i 1 a 2 2 , a n n -1 .2 L n 1 2 1 2 1 2 1 L 2 1 J a n 1 2n 2 6、已知各项均为正数的数列 {a n }的前n 项和为S n 满足4S n a n 2a n ?(3)设 b n a n 1 S n i S n ,求证: b i b 2 b n

(1)求a i 的值; (2)求{a .}的通项公式; 1 (1)求证:数列{」}是等差数列; a n 1 2 (2)求证:丄色更鱼L n 1 a 2 a 3 a ° (3)求证: 1 ~2 a i 1 ~2 a 2 a n ^,n N 2 7、已知数列耳满足a 1 2,a n 1a n 细1 1 0," N 8已知首项大于0的等差数列 a n }的公差d 1,且二 a n a n 1

高考数学大题题型解答技巧

高考数学大题题型解答技巧 六月,有一份期待,年轻绘就畅想的星海,思想的热血随考卷涌动,灵魂的脉搏应分 数澎湃,扶犁黑土地上耕耘,总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧,希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握

最新高考数学数列题型专题汇总

1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

2. 4、如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N , 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 22 23 A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 24 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36

高中数学放缩法技巧全总结

2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结

1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ,若5 4)1(= f ,且 )(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证: .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例4 已知222121n a a a +++=L ,222 121n x x x +++=L ,求证:n n x a x a x a +++Λ2 211≤1. 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828e ≈L ) 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121

高考数学数列放缩法技巧全汇总

高考数学数列放缩法技巧全汇总

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高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点5数列求和及其综合应用教学案

突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项,S n 为其前n 项和,则有a n =??? ? ? S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2. 在使用这个关系 式时,一定要注意区分n =1,n ≥2两种情况,求出结果后,判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法:①形如a n +1=a n +c (c 为常数),直接利用定义判断其为等差数列.②形如 a n +1=ka n (k 为非零常数)且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列. (2)叠加法:形如a n +1=a n +f (n ),利用a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1),求其通项公式. (3)叠乘法:形如 a n +1a n =f (n )≠0,利用a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1 ,求其通项公式. (4)待定系数法:形如a n +1=pa n +q (其中p ,q 均为常数,pq (p -1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为a n +1-t =p (a n -t ),其中t =q 1-p ,再转化为等比数列求解. (5)构造法:形如a n +1=pa n +q n (其中p ,q 均为常数,pq (p -1)≠0),先在原递推公式两边同除以q n +1 ,得 a n +1q n +1=p q ·a n q n +1q ,构造新数列{ b n }? ? ???其中b n =a n q n ,得b n +1=p q ·b n +1q ,接下来用待定系数法求解. (6)取对数法:形如a n +1=pa m n (p >0,a n >0),先在原递推公式两边同时取对数,再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等,而裂项相消法,错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种: (1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者是借助数列对应函数的单调性比较大小. (2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题.

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