数数学学文文科科模模拟拟试试卷卷一一
一、选择题:
每题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内
1. 设集合A={a,b,c},那么满足A ∪B=A 的集合B 的个数是( ) (A) 1 (B) 7 (C) 8 (D) 10
2. 不等式x
1
log 2
1
的解集是( ) (A) {x |o <x <1} (B) {x |x >1或x <0} (C) {x |x >1} (D) {x |x <1}
3. 设α、β是第二象限角,且α>β,那么下面四个不等式中: sin α>sin β、cos α>cos β、tg α>tg β、ctg α>ctg β 一定成立的不等式的个数是( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
4. 棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是( ) (A) 棱柱有一条侧棱与底面垂直
(B) 棱柱有一条侧棱与底面的两边都垂直 (C) 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直
(D) 棱柱有一个侧面是矩形,且它与底面垂直
5. 圆06622
2
=-+-+y x y x 关于直线2x+ay-b=0对称,那么点(a, b)在( ) (A) 直线3x-y-2=0上 (B) 直线3x-y+2=0上 (C) 直线3x+y-2=0上 (D) 直线3x+y+2=0上
6. 函数211)(x x f --= (-1≤x ≤0),那么)(1
x f
y -=的图象是( ) (如图)
7. 某文艺队有8名歌舞演员,其中6人会演舞蹈,有5人会演歌唱节目,
现从这8人中选两个人,一人演舞蹈,另一人唱歌,则不同选法共有( ) (A) 36种 (B) 28种 (C) 27种 (D) 24种
8. 复平面上,A 点对应复数1+2i ,B 点对应复数3-5i ,向量AB 绕A 点逆时针旋转90°, 得向量AC ,那么C 点对应的复数是( ) (A) 8-2i (B) 8+2i (C) 8+4i (D) 8-4i
9. 椭圆01620252
2
=++-+y x y x 的焦点坐标是( ) (A) (-3,2)、(1,2) (B) (-3,-2)、(1,-2) (C) (-1,2)、(3,2) (D) (-1,-2)、(3,-2)
10. 如果6
)1arg(π
=
+z , 3
2)1arg(π
=
-z ,那么复数z 等于( ) (A)
i 2321- (B) i 2321+ (C) i 2321+-
(D) i 2
3
21-- 11. 函数 )
5
2
sin(1
)52
cos(ππ+-+=x x y 的递减区间是( ) (A) (-∞,+∞) (B) (22,22π
ππ
π+
-
k k ),k ∈z
(C) (ππππ103
,107+-k k ),k ∈z
(D) (ππππ5
3
2,572+-k k ),k ∈Z
12. 数列{a n }的前n 项和n n S n +=2
2
1)3(log ,当n 是大于1 的自然数时,一定有( )
(A) na n <na 1<S n (B) S n <na n <na 1
(C) na 1<S n <n ·a n (D) na n <S n <na 1
13. 椭圆β2
x 2
+α2
y 2
=α2
β2
(α>β>0),双曲线122
22=-q
y p x (p >0,q >0)有相同
的焦点F 1、F 2,M 是它们的一个公共点。则 |MF 1|·|MF 2|等于( )
(A) α-p (B)α+p (C) α2
-p 2
(D) α2
+p 2
14. 四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,PA =AB ,M 、N 分别是PB 和PD 的中点。那么PC 和过A 、M 、N 三点的平面所成的角是( ) (A) 90° (B) 60° (C) 45° (D) 30°
15. f(x)是定义在R 上的函数,且满足f(10+x)=f(10-x)、f(20-x)=-f(20+x), 那么f(x)是( )
(A) 偶函数,也是周期函数 (B) 偶函数,但不是周期函数 (C) 奇函数,也是周期函数 (D) 奇函数,但不是周期函数
二、填空题:
16. 在9
)1(x
x 的展开式中,x 3 的系数是( )。
[解答]
17. 抛物线y 2=4x 截直线 y=2x+m 得弦 AB ,若 |AB |=53, F 是抛物线的焦点,那么 △FAB 的面积是( )。 [解答] 18. 设二面角α-a-β的大小是60°,P 是二面角内的一点,P 点到α、β的距离分别为1cm 、 2cm ,那么点P 到棱a 的距离是( ) (A)
3212 (B) 3
21
(C) 32 (D)
213
4
[解答]
19. 不等式x m x
m x 3·3)3
1(2-+< 对一切实数x 都成立,那么实数m 的取值范围是( )
(A) -1 三、解答题 20. 在复平面上,A 、B 、C 三个点分别对应复数z 1=1+i ,z 2=4+2i,z 3=3+3i 。 以AB 为边,AC 为对角线作平行四边形ABCD 。 (1) 求D 点对应的复数z 4( ) (A) -2i (B) 1+2i (C) 2i (D) -2i (2) 求arg(z 4)。( ) (A) 3π (B) 2 π (C) 1 (D)2 π - [分析解答] 21. 已知函数y=sin 2 x+2sinxcosx+3cos 2 x ,求该函数图象的平行于y 轴的对称轴方程?( ) (A) 82π π+=k x k ∈Z (B) 83π π+=k x k ∈Z (C) 8 3π π-=k x k ∈Z (D) 6 2π π-= k x k ∈Z [解答] 22. △ABC 和△DBC 是两个直角三角形,它们所在的平面互相垂直,AB=AC=CD=a , P 是AC 边上的一点。当△PBD 的面积最小时,求二面角P —BD —C 的正切值? 并求此时△PBD 的面积? 二面角P —BD —C 的正切值是( ), (A) 22 (B) 1 (C) 22- (D) 2 2 此时△PBD 的面积是( ) (A) a 2 (B) 236a (C) 266a (D) 2 6 5a [解答] 23. 有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次是A 、B(万元),它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式:x A 61= , x B 3 1 =。今有30万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别应为甲( )万元, 乙( )万元. 能获得多大利润?( )万元 (A) 625 (B) 619 (C) 631 (D) 6 29 [分析解答]: 24. 已知椭圆 1:22221=+b y a x C (a >b >0),双曲线 1:22 222=-b y a x C ,A 、B 是椭圆的左、 右顶点,P 是双曲线C 2右支上的一点,AP 交C 1于C 点,PB 延长后与C 1交于D 点,且 △ACD 和△PCD 面积相等。 (1) 求直线CD 的倾斜角? ( ) (A) 2π (B) π (C) 4π (D) 3 π [解答]: (2) C 2 的离心率e 为($S*D$)值时,直线CD 恰好过C 1 的右焦点。 (A) 47= e (B) 37=e (C) 26=e (D) 2 7=e [解答]: 25. 数列 {a n } 中,a 1=a,a n =a ·a n-1(n ≥2) 数列 {b n } 中,b 1=b,b n =b ·a n-1+c ·b n-1(n ≥2) (a 、b 、c 是常数,且b ≠0,a >c >0) (1) 求b 2、b 3、b 4; b 2=b(a+c) ( ) b 3=b(a 2-a ·c- c 2) ( ) b 4=b(a 3+a 2c+ac 2+c 3^^3) ( ) [解答]: (2) 猜b n 的表达式,并用数学归纳法证之; [解答] (3)求∞ →n lim 22n n n b a b + [解答] 一、 1. C [分析解答] B 可能是ф、{a}、{b}、{c}、{a ,b}、{a ,c}、{b ,c}、{a ,b ,c}。 2. A [分析解答] x 1log 2 1 < 0 <==> x 1log 21 <1log 2 1 <==> x 1 >1 3. A [分析解答] 均可举出反例。 4. B [分析解答] 注意条件是必要的,但又是不充分的,即由此不能断定棱柱为直棱柱,但直棱柱必具备 这性质。 5. C [分析解答] 2x+ay-b=0过圆心(1,-3),故3a+b=2。 6. B [分析解答] 函数y=f(x)的解析式可以化为 1)1(2 2=-+y x (-1≤x ≤0, 0≤y ≤1) 于是y=f(x)的图象是(C)。再关于y=x 对称。 7. C [分析解答] 首先“全能”演员有3个,用不用他们? 用几个27 (2) 3131312131213=+++P C C C C C C 8. C [分析解答] i AB 72-= , i i AC 27)72(+=-= ∴C 对应复数(7+2i)+(1+2i)=8+4i 9. D [分析解答] 配方 (x-1)2+5(y+2) 2=5 ∴中心为O'(1,-2),C=2 10. B [分析解答] 设z=x+yi(x,y ∈R) 则: 331=+x y 31 -=-x y 解之,得 2 3 ,21==y x 11. D [分析解答] )5 2(π+-=x tg y ππππππππ π5 325722522 +<<-?+<+< - k x k k x k 12. D [分析解答] 易知{a n }是d <0的等差数列 故na n <S n <na 1 13. C [分析解答] 设|MF 1|=d 1, |MF 2|=d 2 4c 2 =d 2 1+d 2 2-2d 1·d 2cos θ 对椭圆而言: 4c 2 =4a 2 -2d 1d 2-2d 1d 2cos θ 对双曲线而言: 4c 2 =4p 2 +2d 1d 2-2d 1d 2cos θ 由(1)、(2)解出d 1d 2=a 2 -p 2 14. A 15. C [分析解答] f(x)=f(20-x) =-f(20+x) =-f(-x)=f(40+x) 二、 16. -84 [分析解答] C r 9X r -9·(-1)r ·x r -=(-1)r ·C r 9·X r 29- 令r=3,则得系数(-1)3 ·C 3 9=-84 17. 3 [分析解答] y 2 =4x => y 2 -2y+2m=0 y=2x+m 45=(1+ 41 )[4-8m] => m=-4 F(1,0)到直线之距离 5 2=b ∴ 351· 5·3==S 18. A [分析解答] 设PA ⊥α于A ,PB ⊥β于B 7120cos ·2·1· 241=?-+=AB 3 21 2120sin 7=? [分析解答] 易知MN ∥BD,AC ⊥BD PC ⊥BD ∴ PC ⊥MN 。 易知BC ⊥平面PAB , ∴ BC ⊥AM ,而AM ⊥PB , ∴ AM ⊥平面PBC ,故PC ⊥AM ∴ PC ⊥平面AMN 。 19. B [分析解答] 1<m <9 原不等式 <==> x 2+mx > 3x-m <==>x 2-(3-m)x+m > 0 △=(3-m) 2-4m < 0 => 1< m < 9 三、 20. (1) C (2) B [分析解答] 依题意 (z 4-z 1)+(z 2-z 1)=z 3-z 1 ∴ z 4=z 3+z 1-z 2 =1+i+3+3i-4-2i =2i 解(2) arg(z 4)=2 π 21. A [分析解答] y=1-cos 2x+2sinxcosx+3cos 2x =sin2x+cos2x+2 =2)4 2sin(2++ π x 令242πππ++k x 得:8 2π π+=k x k ∈Z 这就是竖直对称轴的一般方程。 22. (1) D (2) C [分析解答] 易知BD=CD=a 过A 作AO ⊥BC 于O ,则AO 平分BC ,且AO ⊥平面BCD ,过P 作PH ∥AO 交BC 于H 点,则PH ⊥平面BCD 。过H 作HM ∥DC 交BD 于M ∵CD ⊥BD ∴HM ⊥BD 连PM ,则PM ⊥BD ∴∠PMH 是二面角P —BD —C 的平面角 且S 2 1 =PHM △·a ·PM 设PH=HC=x ,MH=y 则 a x a a y 22-= ∴ 2x a y -=, ∴22y x PM += 2222 1 2x ax a x +-+= 22 22 3a ax x +-= 223 2)32(23a a x +-= ∴当a x 3 2 = 时,PM 最短,a PM 36)(min = 此时,a a a y 3 2 32· 2 1=- = ∴ 22 3 232===∠a a y x PMH tg 26 636· ·21a a a S PBD ==△ 故△PBD 面积最小时,二面角P —BD —C 的正切值为 2 2 此时,△PBD 的面积为 26 6a 23.( 29 )、( 1 )、( C )。 [分析解答]:设投资于甲商品x 万元,总利润为y 万元则 x x y -+=303 1 ·61 (0≤x ≤30) 令 x t -=30,(0≤t ≤30) 则 t 2=30-x x=30-t 2 ∴ t t y 31)30(612+-= 531 612++-=t t 6 31)1(612 +--=t 可见,t=1时,y 最大 t=1时,x=29 故投资甲商品29万元,投资乙商品1万元,所获利润最大,最大利润为6 31 万元。 24. (1) A [分析解答]:设A(-a,0),B(a,0),P(x 0,y 0),C(x 1,y 1),D(x 2,y 2) ∵△ACD 和△PCD 面积相等, ∴C 是AP 中点 故201a x x -= 2 01y y = ∵C 在C 1上,P 在C 2上。 ∴ 4)(220220=+-b y a a x 122 220=-b y a x 消去y 0,得5)(22 2 20=+-a x a a x 解之,得x 0=2a ( x 0=-a 舍) 于是b y 30= 故P 点坐标为)3,2(b a a b K PB 3= ∴PB 方程为)(3a x a b y -= 代入C 1中:2x 2 -3ax+a 2 =0 解之,得2 2a x = (x 2=a 舍) 而21a x = ∴直线CD 的倾斜角为2 π 。 (2) D [分析解答]:当CD:x=2 a 过右焦点时, 对C 1而言:a=2c b 2=4c 2-c 2=3c 2 =24 3a 对C 2而言:C 2=a 2+b 2=a 2 +224 743a a = ∴ 4 7 2 = e , 27=e 25. (1) 对、错、对。 [分析解答]: 由a n =a ·a n-1知,{a n }是等比数列,首项与公比都是a , 故a n =a n b 2=b ·a 1+ c ·b 1=b ·a+c ·b=b(a+c) b 3=b ·a 2+c ·b 2=b ·a 2 +c ·b=b(a+c) =b(a 2 +a ·c+c 2 ) b 4=b ·a 3+c ·b 3=b ·a 3 +c ·b(a 2 +ac+c 2 ) =b(a 3+a 2c+ac 2+c 3) (2) [分析解答] 猜想 b n =b(a 1-n +a 2-n ·c+a 3-n · c 2+…+c 1-n ) n=1时,显然成立; 设n=k 时,设b k =b(a +++---2321 c a c a k k k …+1-k c ) 则n=k+1时 b k+1=b ·a k +c ·b k =b ·a k +cb(a 1-k +a 2-k c+…+c 1-k ) +++=--221 ·(c a c a a b k k k …+k c ) 故对于一切n ∈N ,有 +++=---2321(c a c a a b b n n n n …)1 -+n c c a c a b a c a c a b n n n n --=--=-)(1] )(1[·1 (3) [分析解答] 2 22 22n n n n n n b a b b a b += + 2 2)(1)(n n n n a b a b += 2 222 2 2)(])(1[1)(])(1[c a a c b c a a c b n n --+ --= ∴∞ →n lim 2 2 22)(b c a b b a b n n n +-= +