专升本高等数学(二)笔记大全
第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数:
??
?∈∈=2
1
)
()(D x x g D x x f y
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1
(y)
y=f -1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),
则称f(x)在D 内单调增加( )；
若f(x 1)≥f(x 2),
则称f(x)在D 内单调减少( )；
若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )；
若f(x 1)＞f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c 为常数)
2.幂函数： y=x n
, (n 为实数)
3.指数函数： y=a x
, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x ∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
A y
n
n =∞
→lim
称数列
{}n y 以常数A 为极限;
或称数列{}
n y 收敛于A.
定理: 若
{}n y 的极限存在?{}n
y 必定有界.
2.函数的极限： ⑴当
∞→x 时，)(x f 的极限：
A
x f A x f A x f x x x =????
?
==∞→+∞→-∞
→)(lim )(lim )(lim ⑵当
0x x →时，)(x f 的极限：
A x f x x =→)(lim 0
左极限：
A x f x x =-→)(lim 0
右极限：
A x f x x =+→)(lim 0
⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x
x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量：
+∞=)(lim x f
称在该变化过程中
)(x f 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
,,
,∞→+∞→-∞→x x x 000,,x x x x x x →→→+
-
2．
无穷小量：
0)(lim =x f
称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。
3．
无穷大量与无穷小量的关系：
定理：)0)((,)
(1
lim
0)(lim ≠+∞=?=x f x f x f
4． 无穷小量的比较：
0lim ,0lim ==βα
⑴若0lim =α
β
,则称β是比α较高阶的无穷小量； ⑵若c =αβ
lim
（c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ⑶若1lim =αβ
，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ⑷若∞=α
β
lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。 定理：若：；，2211
~~βαβα
则：
2
12
1lim
lim ββαα=
㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则：
设：n n n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）
且：
a z y n n n n ==∞
→∞
→lim lim
则： a x n n =∞→lim
2．
函数极限存在的判定准则：
设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 （点x 0除外）有：
)()()(x h x f x g ≤≤
且：
A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
则：A x f x
x =→)(lim 0
㈣极限的运算规则
若：
B x v A x u ==)(lim ,)(lim
则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[
②
B A x v x u x v x u ?=?=?)(lim )(lim )]()(lim[
③
B
A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①
)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±
)(lim )(lim )(lim 21x u x u x u n ±±±=
②
)(lim )](lim[x u c x u c ?=?
③n
n x u x u )]([lim )](lim [=
㈤两个重要极限
1．1sin lim 0=→x
x
x 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ??? 2．e x
x
x =+∞→)11(lim e x x x =+→1
0)1(lim §1.3 连续
一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性
1. 函数在
0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义，
1o
0)]()([lim lim 000
=-?+=?→?→?x f x x f y x x
2o
)()(lim 00
x f x f x x =→
左连续：
)()(lim 00
x f x f x x =-→ 右连续：)()(lim 00
x f x f x x =+→
2. 函数在
0x 处连续的必要条件：
定理：)(x f 在0x 处连续?)(x f 在0x 处极限存在
3. 函数在
0x 处连续的充要条件：
定理：)()(lim )(lim )()(lim 000
x f x f x f x f x f x x x x x
x ==?=+-→→→
4. 函数在[]
b a ,上连续：
)(x f 在[]b a ,上每一点都连续。
在端点a 和b 连续是指：
)()(lim a f x f a
x =+→ 左端点右连续；
)()(lim b f x f b
x =-→ 右端点左连续。
a
0 b x 5. 函数的间断点：
若
)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。
间断点有三种情况：
1o
)(x f 在
x 处无定义；
2o )(lim 0
x f x
x →不存在；
3o
)(x f
在
0x 处有定义，且)(lim 0
x f x x →存在，
但)()(lim 00
x f x f x
x ≠→。
两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：
特点：)(lim 0
x f x x -
→和)(lim 0
x f x x +→都存在。
可去间断点：)(lim 0
x f x
x →存在，但
)()(lim 00
x f x f x x ≠→，或)(x f
在
0x 处无定义。
2o 第二类间断点：
特点：)(lim 0
x f x x -
→和)(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞，
或)(lim 0x f x
x →振荡不存在。
无穷间断点：)(lim 0
x f x x -
→和)(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞
㈡函数在0x 处连续的性质
1.
连续函数的四则运算：
设)()(lim 00
x f x f x
x =→，)()(lim 00
x g x g x x =→
1o )()()]()([lim 000
x g x f x g x f x
x ±=±→
2o )()()]()([lim 000
x g x f x g x f x
x ?=?→
3o )()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ ??
? ??≠→0)(lim 0x g x x 2.
复合函数的连续性：
)]([),
(),(x f y x u u f y ??===
)]([)(lim ),
()(lim 0)
(000
x f u f x x x u x x ????==→→
则：)]([)](lim [)]([lim 00
x f x f x f x x x
x ???==→→
3. 反函数的连续性：
)(),
(),
(001
x f y x f
x x f y ===-
)()(lim )()(lim 01100
y f y f x f x f y y x x --→→=?=
㈢函数在],[b a 上连续的性质 1.最大值与最小值定理：
)(x f
,[a
x
2. 有界定理：
)(x f 在],[b a 上连续?)(x f 在],[b a 上一定有界。
3.介值定理：
)(x f 在],[b a 上连续?在),(b a 内至少存在一点
ξ，使得：c f =)(ξ，
其中：M c m ≤≤
y
x
12x
推论：
)
(x f 在
],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号
?
在
),(b a 内至少存在一点ξ
，使得：
0)(=ξf 。
4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数：
)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，
x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 0
0)()(lim 0
x x x f x f x x --=→ 0
0)(0x x x x dx
dy x f y ===
'='
2．左导数：
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-
→- 右导数：
00)()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='+
→+