应用随机过程实验2-泊松过程

应用随机过程实验2

—泊松过程

一.准备知识

1.泊松过程

2.非齐次泊松过程

3. 复合泊松过程

二.作业

1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程，

（1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图；

（2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图；

（3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。

2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)i N μσ:，1,2,3,i =L ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ，

（1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差；

（2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。

3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数，

（1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图；

（2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。

随机过程poisson过程 中科大

Poisson 过程 1.考虑电子管中的电子发射问题.设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的Poisson 分布,而每个电子携带的能量各自不相关且与N 独立,并均服从于区间[1,2]上的均匀分布.记单位时间内阳极接收的能量为S .求S 的期望和方差. 2.设{X (t ),t ≥0}为一个独立增量过程,且X (0)=0,分别记V (t ),R (t,s )为{X (t ),t ≥0}的方差函数和协方差函数,证明:R (t,s )=V (min {t,s }). 3.设N (t )是一强度为λ的Poisson 过程,s,t >0,试求: (a)P(N (s )=k |N (s +t )=n )=?k =1,...,n ; (b)E[N (s )N (s +t )]=? (c)Cov(N (s ),N (s +t ))=? (d)E[N (s +t )|N (s )]的期望和分布; (e)E[W k |N (t )=n ]=?E[W k ]=?(W k 为第k 个事件发生的时刻) 4.某路口蓝车,白车和黄车的到达分别为强度λ1,λ2和λ3的Poisson 过程,且相互独立.试求:(a)第一辆蓝车到达的平均时间和第一辆车到达的平均时间; (b)蓝车首先到达的概率; (c)蓝车先于黄车但落后于白车的概率; (d)在相继到达的两辆蓝车之间,恰有k 辆车到达的概率以及数学期望; (e)在t 0处观察到一辆黄车,在接下来恰有k 辆蓝车连续到达的概率以及数学期望. 5.设要做的试验的次数服从参数为λ的Poisson 分布,试验有n 个可能的结果,每次试验出现第j 个结果的概率为p j ,∑n j =1p j =1.若各次试验相互独立,并以X j 记第j 个结果发生的次数,试求E[X j ]、Var[X j ],j =1,...,n .又问X j 服从什么分布？且X 1,...,X n 是否相互独立？为什么？ 6.某人甲负责订阅杂志.设前来订阅杂志的人数服从强度为6的Poisson 过程,每人分别以概率1/2,1/3,1/6订阅1季,2季,3季杂志,且各人的选择相互独立.现以N i (t )表示(0,t ]时段内订阅i 季杂志的人数,i =1,2,3. 1

《应用随机过程》教学大纲

《应用随机过程》课程教学大纲 课程代码：090541007 课程英文名称：Applications Stochastic Processes 课程总学时：40 讲课：40 实验：0 上机：0 适用专业：应用统计学 大纲编写（修订）时间：2017.6 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 随机过程是现代概率论的一个重要的组成部分，其理论产生于上世纪初期，主要是由物理学、生物学、通讯与控制、管理科学等方面的需求而发展起来的。它是研究事物的随机现象随时间变化而产生的情况和相互作用所产生规律的学科。随机过程的理论为许多物理、生物等现象提供诸多数学模型，同时为研究这类现象提供了数学手段。本课程为统计学专业的专业课程，通过本课程的学习，掌握随机过程的基本概念、基本理论、内容和基本方法，了解随机过程的重要应用，为后继课程学习提供知识准备，另一方面，随机过程的发展也是人们认识客观世界的一个重要组成部分，它有助于学生辩证唯物主义世界观的培养。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：通过本科程的学习，使学生掌握，要求学生掌握随机过程的基本概念、二阶矩过程的均方微积分、马尔可夫过程的基本理论、平稳过程的基本理论、鞅和鞅表示、维纳过程、Ito定理、随机微分方程等理论和方法。 2.基本能力：通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。 3.基本技能：掌握建立随机数学模型、分析和解决问题方面的技能，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。 （三）实施说明 本大纲是根据沈阳理工大学关于制订本科教学大纲的原则意见专门制订的。在制订过 程中参考了其他学校相关专业应用随机过程教学大纲。 本课程思维方式独特，还需要学生有较高的微积分基础，教学中应注意概率意义的解 释和学生基础情况的把握，处理好抽象与具体，偶然与必然、一维与多维，理论与实践的关系。本课程内容分概率论与数理统计两部分，在教学中应充分注意两者之间的联系，重视基本概念，讲清统计思想。 （四）对先修课的要求 本课的先修课程：数学分析，高等代数，概率论。 （五）对习题课的要求 由于本课程内容多学时少，习题课在大纲中未作安排，建议教师授课过程中灵活掌 握；对于学生作业中存在的问题，建议通过课前和课后答疑解决。通过习题课归纳总结章节知识解决重点难点内容。 （六）课程考核方式 1.考核方式：考试 2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生解决实际问题的能力。 3.成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：平时成绩20-30％；期末成绩70-80％; 平时成绩构成：出勤，测验，作业。其中测验为开卷，随堂测验。

随机过程及其应用结课论文

硕士研究生课程结课论文 《随机过程》 姓名：xxxx 学号：xxxx 年级：14 级 学科（领域）：数学 培养单位：理学院 日期：2014年11月12日 教师评定： 综合评定成绩：任课教师签字：

目录 1 引言 (2) 1.1 研究背景 (2) 1.2 研究意义 (2) 1.3 选题依据 (2) 2 时间序列分析的理论 (3) 2.1 时间序列分析的问题 (3) 2.2 确定与随机性时间序列分析 (3) 2.3 时间序列的概念及性质 (3) 2.3.1 平稳性 (3) 2.3.2 平稳时间序列 (3) 2.3.3 平稳时间序列的统计性质 (4) 2.3.4 平稳性的检验 (4) 2.3.5 纯随机性检验 (4) 3 平稳时间序列分析 (5) 3.1 ARMA 模型 (5) 3.1.1 AR 模型 (5) 3.1.2 MA模型 (5) 4 非平稳序列分析 (8) 4.1 确定性成分 (8) 4.1.1 趋势成分 (8) 4.1.2 季节效应分析 (8) 4.2 非平稳序列的随机分析 (9) 4.2.1 差分 (9) 4.2.2 ARIMA 模型 (9) 4.2.3 ARIMA 模型建模 (9) 4.2.4 异方差及方差齐性变换 (10) 4.2.5 条件异方差模型 (10) 5 基于时间序列分析的股票预测模型的实证分析 (11) 5.1 关于样本数据的描述与调整 (11) 5.2 结论 (15) 参考文献 (16)

基于时间序列分析的股票预测模型研究 摘要：在现代金融浪潮的推动下，越来越多的人加入到股市，进行投资行为，以期得到丰厚的回报。所谓股票预测是指：根据股票现在行情的发展情况地对未来股市发展方向以及涨跌程度的预测行为。时间序列数据因为接受到许多偶然因素的影响，会常常表现出随机性，在统计学上称之为序列的依赖关系。在股票市场上，时间序列预测法常用于对股票价格趋势进行预测，为投资者和股票市场管理方提供决策依据。 本文主要介绍了时间序列分析方法的概念，特点及时间序列模型，包括建模时对数据时间序列的预处理、及模型预测等。并通过对时间序列分析的实证研究分析，建立时间序列模型，其中包括 ARIMA 等模型，进行误差分析，说明时间序列分析的方法对于股票价格的预测趋势有一定的参考价值。 关键词：股票，预测，时间序列分析，ARIMA 模型 Study on prediction model of time series analysis based on the stock Bian Xiaofei （HeiLongJiang University of science and technology,Harbin City） Abstract：In the modern financial wave, more and more people join the stock market to invest, expecting to get rich return, which has gr eatly promoted the stock market’s prosperity.The so-called stock forecast is defined: with the help of the stock’s recent condition, we’ll predict the future stock’s development, including its later development directions and fluctuations. Time-series data often show some kinds of randomness and dependence between each other because of the influence of various accidental factors.Time series analysis is often used to predict the stock price, which provides decision-making basis for investors and the stock market managers. This thesis mainly introduces time series analysis theory, including its notion, character as well as the expression and description of some models derived from it ,including method of data simulation, method of parameter estimation and method of testing degree of fitting and arrange them by the numbers. Therefore we can establish some models, including ARIMA model and so on. While through this empirical research analysis, we could prove that the method has some value for predicting t he stock’s trend by means of model fitting effect and error analysis. Keywords: stock, predict, time series analysis, ARIMA model

(完整版)布朗运动以及维纳过程学习难点总结

1、引言 布朗运动的数学模型就是维纳过程。布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。 2.维纳过程 2.1独立增量过程 维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。 定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程， 那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。 若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量 )()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ 是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。 我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。 如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量)()(s X t X -的分布函数只与时间差)0(t s s t <≤-有关，而与t 和s 无关(令s h -=便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。

随机过程在信息与通信工程领域中的应用(可编辑).docx

随机过程在信息与通信工程领域中的应用 随机过程在信息为通信工程领域小的应用 姓名：马远美学号：1120110202专业：信息与通信工程信息科学技术学院 内容摘耍 信息为通信工程中存在大量的随机现象和随机问题。如:信源是随机过程;信道不仅对随机过程进行了变换，而R会叠加随机噪声; 从蒂加了噪声和进行了变换之后的接收信号屮将所需要的信号进行恢复;多个业务请求要共亨一个资源的排队问题等等。随机过程理论在信息与通信工程领域中已经得到了广泛的应川。本文主要研究了随机过程屮的泊松过程、马尔可夫过程以及平稳过程在信息与通信工程屮的应用。 关键词:通信与信息工程；泊松过程；马尔可夫过程；平稳过程 ABSTRACT There are a lot of random phenomena and random problems in Communication and Tnfonnation Engineering, such as: the sigrml source is a random process; channcl is not only a transformation of random process, but also superimposed random noise; the received signal which is the superposition of the

noise and after the transformation will be needed to restore the signal; queuing problems that multiple service request to share a resource. Stochastic process theory has been widely used in the field of Informati on and Comm uni cati on En gineer ing. This thesis studies the stochastic process of Poisson process, Markov processes and stationary processes in Conimunication and Information Engineering. Keywords: Communi cati on and Tnformati on Engi neering; Poisson process; Markov process; stationary process 1.信息和通信系统中的随机问题 信息和通信系统是一个产生、传输或处由电于信息的系统?在信息与通信工程中，存在人量的随机对象和相应的随机问题.卜-面我们就一些典型的例子加以说明［2］。 1.1信源和随机信号信源是指一?个能产生信号的随机系统, 其输出可以是一个离散值的随机过程，或者一个连续值的随机过程。离散值的随机过程称为数字随机信号，二进制数字信号是最常见的数字随机信号;连续值的随机过程称为模拟随机信号。如一个打字机町以输出一个数字随机信号,一个麦克风可以输Hl模拟随机信号。在信息和通信系统屮，通常用具有随机信号波形的电压和电流表示一个随机信号。 1. 2信道模型信道是指信号传输的物理介质,可以是电缆、不 同波长的电磁波等等。当随机信号通过信道以后，除了对信号进行了一个一般来说是线性的变换外，往往还要加上一个不可预测的干扰, 这种干扰被称为噪声。噪声的形成原因有许多；-?般有三类：人为噪声、自然噪声和内部噪声。人为噪声來源于和传输信号无关的英他信号源,如外台信号、开关接触噪声、工业的点火辐射和荧光灯干扰等; 自然噪声指自然界存在的各种电磁波源，如闪电和宇宙噪声等；内部噪声指系统设备木身产生的各种噪声；噪声也是一个随机过程，在没有信号传输时，我们也可以接收到一个随机波形，所有这些可能的随机波形的全体是噪声随机过程。在有信号传输时，这些随机噪声就叠加在随机信号上，成为信号接收的干扰。

《系统建模与及辨识》课程实验报告

《系统建模与及辨识》课程 上机实验报告 专业名称 ： 控制工程 上机题目 ： 用极大似然法进行参数估计 一 实验目的 通过实验掌握极大似然法在系统参数辨识中的原理和应用。 二 实验原理 1 极大似然原理 设有离散随机过程}{k V 与未知参数θ有关，假定已知概率分布密度)(θk V f 。如果我们得到n 个独立的观测值,21,V V …n V ,，则可得分布密度)(1θV f ，)(2θV f ，…,)(θn V f 。要求根据这些观测值来估计未知参数θ，估计的准则是观测值{}{k V }的出现概率为最大。为此，定义一个似然函数 ) ()()(),,,(2121θθθθn n V f V f V f V V V L = （1.1）

上式的右边是n 个概率密度函数的连乘，似然函数L 是θ的函数。如果L 达到极大值，}{k V 的出现概率为最大。因此，极大似然法的实质就是求出使L 达到极大值的θ的估值∧ θ。为了便于求∧ θ，对式（1.1）等号两边取对数，则把连乘变成连加，即 ∑==n i i V f L 1 )(ln ln θ （1.2） 由于对数函数是单调递增函数，当L 取极大值时，lnL 也同时取极大值。求式（1.2） 对θ的偏导数，令偏导数为0，可得 ln =??θL （1.3） 解上式可得θ的极大似然估计ML ∧ θ。 2 系统参数的极大似然估计 Newton-Raphson 法实际上就是一种递推算法，可以用于在线辨识。不过它是一种依每L 次观测数据递推一次的算法，现在我们讨论的是每观测一次数据就递推计算一次参数估计值得算法。本质上说，它只是一种近似的极大似然法。 设系统的差分方程为 )()()()()(1 1 k k u z b k y z a ξ+=-- （2.1） 式中 111()1...n n a z a z a z ---=+++ 1101()...n n b z b b z b z ---=+++ 因为)(k ξ是相关随机向量，故（2.1）可写成 )()()()()()(1 1 1 k z c k u z b k y z a ε---+= （2.2） 式中 )()()(1 k k z c ξε=- （2.3） n n z c z c z c ---+++= 1111)( （2.4） )(k ε是均值为0的高斯分布白噪声序列。多项式)(1-z a ，)(1-z b 和)(1-z c 中的系数n n c c b b a a ,,,,,10,1和序列)}({k ε的均方差σ都是未知参数。 设待估参数 n a a 1[=θ n b b 0 ]T n c c 1 （2.5） 并设)(k y 的预测值为 +-+++-----=∧ ∧∧∧∧)()()()1()(01n k u b k u b n k y a k y a k y n n )()1(1n k e c k e c n -++-∧ ∧ （2.6） 式中)(i k e -为预测误差；i a ∧ ，i b ∧ ，i c ∧ 为i a ，i b ，i c 的估值。预测误差可表示为 +-+-???--=-=∑∑=∧ =∧ ∧)()()()()()(01 i k u b i k y a k y k y k y k e n i i n i i

应用随机过程——马尔可夫过程的应用

应用随机过程——马尔可夫过程的应用 李文雯，黄静冉，李鑫，苏建武 （国防科学技术大学电子科学与工程学院，湖南，长沙，410072） 摘要：现实生活中，语音处理、人脸识别以及股市走势预测等实际问题都具有马尔可夫性，即未来的走势 和演变仅仅与当前的状态有关而不受过去状态的影响。本文运用这一性质建立了以上三个问题的马尔可夫 链模型并做出了相应分析。 Abstract: In practical, phonetic processing, face recognition and the prediction of trend in stock market all have the MarKov property, that is, the evolvement and trend in the future are just in relationship with present state but not influenced by the past. In this article, we use the property setting up MarKov chain models of the three problems mentioned above and make some corresponding analysis. 关键词：马尔可夫过程语音处理人脸识别股市走势预测 Keyword: MarKov Process Phonetic processing Face recognition Prediction of trend in stock market 一、引言 马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程 在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关， 这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。我们称时间离散、状态离散 的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概 率矩阵控制。我们将采用马尔可夫链建模的方法，就马尔可夫模型在语音处理、人脸识别以 及股市走势预测等几个方面的应用进行探讨。 二、马尔可夫过程的应用举例 1、股票市场走势预测 对一支股票来说，令x(n)表示该股票在第n天的收盘价，x(n)是一个随机变量，(x(n)， n≥0)是一个参数离散的随机过程。假设股票价格具有无后效性与时问齐次性，这样一来我 们就可以用马尔可夫过程的研究方法预测未来某交易日收盘价格落在每个区间的概率。 以某股份18个收盘交易日的收盘价格为资料 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 收盘价12.99 13.15 13.78 13.83 12.54 13 13.2 12.96 12.6 序号10 11 12 13 14 15 16 17 18 收盘价13.7 13.58 13.58 13.58 13.49 13.7 14.03 13.77 13.82 这组数据中的最大值为14.03，最小值为12.54，因此可以将这个取值范围划分为 [12.54,12.9125],[12.9125,13.285],[13.285,13.6575],[13.6575,14.03]。故将观测数据划分如下： 价格状态 A B C D 价格区间 [12.54,12.9125] [12.9125,13.285][13.285,13.6575][13.6575,14.03] 频数 2 5 4 7 根据以上的状态划分，可以对状态转移的情况进行统计如下：

三国杀随机过程建模研究

基于随机过程的三国杀分析 张鹏缪雨壮洪杰 钟科杰许晨 2010-11-30

目录 1 课题背景 (4) 2 研究目的与报告结构 (4) 3 闪电命中概率 (5) 3.1 背景知识 (5) 3.2 建模场景 (5) 3.3 理论分析 (5) 3.4 仿真结果及讨论 (6) 4 司马懿对甄姬洛神技能的影响 (6) 4.1 背景知识 (6) 4.2 建模场景 (7) 4.3 理论分析 (7) 4.4 仿真结果及讨论 (8) 5 陆逊爆发力 (12) 5.1 背景知识 (12) 5.2 建模场景 (13) 5.3 理论分析 (13) 5.4 仿真结果及讨论 (15) 6 黄盖寿命及攻击力 (17) 6.1 背景知识 (17) 6.2 理论分析 (18) 6.3 仿真结果及讨论 (19) 6.4 补充拓展 (21) 7 郭嘉存活力 (24) 7.1 背景知识 (24) 7.2 建模场景 (25) 7.3 理论分析 (25) 7.4 仿真结果及讨论 (29) 8 周泰存活力 (31) 8.1 背景知识 (31) 8.2 建模场景 (32)

8.3 理论分析 (32) 8.4 仿真结果及讨论 (33) 9 黄月英爆发力 (35) 9.1 背景知识 (35) 9.2 建模场景 (35) 9.3 理论分析 (35) 9.4 仿真结果及讨论 (37) 10 总结 (38) 10.1 课题总结 (38) 10.2 学习感悟 (39) 11 成员分工情况 (39)

1 课题背景 随机过程，作为对一连串随机事件动态关系的定量描述，在自然科学、工程科学以及社会科学各领域具有重要应用。 数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。随机过程的概念很广泛，因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义，但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时，通常想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程。由于这些过程类在数学上和非数学上的应用中十分重要，用这种理论工具，可以对常见的过程进行分析，进行一系列随机计算，从而可以将随机过程这一理论工具应用到实际中去，可以进行预测与决策，是相关数学模型的理论基础。 本课题选取三国杀桌牌游戏为研究对象，利用随机过程理论进行几个特定场景模式下的人物特性、角色相互关系的建模分析。正是由于摸牌结果的随机性、策略之间的牵制性，游戏过程往往涉及到随机概率、马尔可夫过程等概念；在研究某一问题的统计平均值时，又建模为随机变量的期望值求解。显然，基于随机过程的理论研究方法，可以得到一些三国杀游戏中的规律性认识。 2 研究目的与报告结构 将随机过程应用于对三国杀的建模分析，可以使我们在理解基本概念和方法的基础上，获得更灵活的对随机事件相互关系的探究；能够深刻体会随机过程在生活实际中的运用；并且，熟练掌握利用建模思想，解决问题的方法。当然，对于游戏的取胜功略方面，研究结果也将是颇有指导意义的。 下面的章节将分不同人物及场景来进行相关内容的阐述。其中，3~9节分别对闪电命中概率、司马懿对甄姬洛神技能的影响、陆逊爆发力、黄盖寿命及攻击力、郭嘉存活力、周泰存活力、黄月英爆发力几个问题进行了理论分析，并给出了仿真结果和必要的讨论。综合性的总结在第10节给出。第11节是小组内部成员的分工情况。

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为

随机过程分析

随机过程分析 摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。 关键字通信系统随机过程噪声 通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。下面对随机过程进行分析。 一、随机过程的统计特性 1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心， 即均值

?∞ ∞-==11);()]([)(dx t x xp t X E t a 2、方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。 即均方值与均值平方之差。 {}?∞ ∞ --=-=-==112222);()]([)]()([))](()([)]([)(dx t x p t a x t a t X E t X E t X E t X D t δ 3、自协方差函数和相关函数: 衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。 （1）自协方差函数定义 {} )]()()][()([);(221121t a t X t a t X E t t C x --=??∞∞-∞ ∞---=2121212211),;,()]()][([dx dx t t x x p t a x t a x 式中t1与t2是任意的两个时刻；a (t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望； 用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。 （2）自相关函数 ??∞∞-∞ ∞-==2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t X t X E t t R X 用途：a 用来判断广义平稳； b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。 二、平稳随机过程 1、定义（广义与狭义）： 则称X(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。

a第7讲-第8讲第3章 泊松过程

一．假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程, 据以往资料统计为每小时平均观察到 3 颗流星.试求: ( 1 ) 在上午 8 点到 12 点期间, 该天文台没有观察到流星的概率 . ( 2 ) 下午( 12 点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数 . 二．设电话总机在] X是具有强度 ,0(t内接到电话呼叫数) (t λ的泊松过程，求 （每分钟）2 = （1）两分钟内接到2次呼叫的概率； （2）“第二分钟内收到第2次呼叫”的概率。

维纳过程 如果它满足 给定实随机过程,}0),({≥t t W ; )2(是平稳的独立增量过程;0)),(,0()()( ,0 )3(2 >??≥>σσ且～增量 对任意的s t N s W t W s t . 0)0()1(=W 则称此过程为维纳过程.

3. 维纳过程的特征 ). ,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==; 0),,0()( 2>σσ且～t N t W ). ,min()]()()(()([(2 a t a s a W s W a W s W E ??=??σ, ,0+∞<<≤?t s a （１）（２）)] ()())(()([(a W t W a W s W E ??, t s <令))]()()()())(()([(a W s W s W t W a W s W E ?+??=))] ()())(()([(s W t W a W s W E ??=))]()())(()([(a W s W a W s W E ??+).(2a s ?=σ

五.平稳过程 定义2.12,,,,,21T t t t N n n ∈∈L )) (,),(),((21n t X t X t X n L 变量维随机)) (,),(),((21h t X h t X h t X n +++L 和具有相同的分布函数, 则称随机过程}),({T t t X ∈具有平稳性, 并同时称此过程为严平稳随机过程,(或狭义平稳过程). 与 常数若对为随机过程设τ?∈,}),({T t t X ,,,,21时当T t t t n ∈+++τττL 严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变.

雷达系统建模与仿真报告

设计报告一 十种随机数的产生 一 概述. 概论论是在已知随机变量的情况下，研究随机变量的统计特性及其参量，而随机变量的仿真正好与此相反，是在已知随机变量的统计特性及其参数的情况下研究如何在计算机上产生服从给定统计特性和参数随机变量。 下面对雷达中常用的模型进行建模： ● 均匀分布 ● 高斯分布 ● 指数分布 ● 广义指数分布 ● 瑞利分布 ● 广义瑞利分布 ● Swerling 分布 ● t 分布 ● 对数一正态分布 ● 韦布尔分布 二 随机分布模型的产生思想及建立. 产生随机数最常用的是在(0,1)区间内均匀分布的随机数，其他分布的随机数可利用均匀分布随机数来产生。 2.1 均匀分布 1>（0，1）区间的均匀分布： 用混合同余法产生 (0,1)之间均匀分布的随机数，伪随机数通常是利用递推公式产生的，所用的混和同余法的递推公式为: 1 n x =n x +C （Mod m ）

其中，C是非负整数。通过适当选取参数C可以改善随机数的统计性质。一般取作小于M的任意奇数正整数，最好使其与模M互素。其他参数的选择 (1) 的选取与计算机的字长有关。 (2) x(1)一般取为奇数。 用Matlab来实现，编程语言用Matlab语言，可以用 hist 函数画出产生随机数的直方图（即统计理论概率分布的一个样本的概率密度函数），直观地看出产生随机数的有效程度。其产生程序如下： c=3;lamade=4*200+1; x(1)=11; M=2^36; for i=2:1:10000; x(i)=mod(lamade*x(i-1)+c,M); end; x=x./M; hist(x,10); mean(x) var(x) 运行结果如下： 均值 = 0.4948 方差 = 0.0840 2> （a,b）区间的均匀分布： 利用已产生的（0，1）均匀分布随机数的基础上采用变换法直接产生（a,b）

随机过程读书报告

随机过程读书报告 老子云：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于垒土；千里之行，始于足下。”而这句话的哲理就是告诉我们量变最终可以达到质变。而对于任何事物的认识只有逐渐积累，扩大视野，把握其整体基础体系并不断思索，才会上升到一个新的高度。其实考试只是一种形式，而真正的去理解和领悟一门课程知识才是最为重要的，而学期结束时写一篇读书报告有利于我们去对这门课整体把握同时也复习一下已经掌握的知识。因此，我想这也是老师的一番苦心吧！ 说实在的，我本科是师范类专业的，从未接触过随机过程这门在工程技术中广泛应用的课程知识。但我感到很庆幸，有幸在读研期间接触到这门课程。并对其有了初步的了解和认识。下面对自己对随机过程的学习做以下报告：学习过程中通过老师的讲解和自己课下的学习我了解到随机过程的理论与方法，已广泛地应用于科学技术各个领域，并越来越显示出十分重要的作用。例如，平稳过程的滤波和预测应用于通信、雷达及导航；时间序列分析应用于系统建模及气象预报；卡尔曼滤波应用于空间技术及信息处理；线性系统在随机作用下的分析计算应用于电力系统运行及船舶自动航行等等。不仅如此，随机过程理论与方法已广泛地渗透到很多专业和技术领域中，特别是，作为控制科学与工程的基础课，为许多后续专业课，如系统辨识与参数估计，自适应控制，随机控制，最优估计，智能控制与专家系统等学习，打下坚实的理论基础。因此，我认识到对于工科院校的研究生以及从事科学研究、工程技术的工作者，随机过程无疑是一门很重要的基础课程。 下面具体谈一下我所了解和学到的随机过程知识。 一般来说，把一组随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。 古人云：“欲灭一国，必先灭其历史文化。”由此可见历史文化的重要性，下面我们就一起来了解一下随机过程学科的历史发展，随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛钦发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。 在研究方法方面，研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。而该课程研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马

应用随机过程建模报告

Harbin Institute of Technology 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：建模 院系：电子与信息工程学院 班级：通信1班 设计者： 学号： 指导教师： 设计时间：2013-11-9 哈尔滨工业大学 线性模型

——电力负荷时间序列建模 1电力系统负荷预测的意义 随着我国电力事业的发展，电网的管理日趋现代化，对电力系统负荷预测问题的研究也越来越引起人们的注意。电力负荷预测是电力系统调度、用电、计划、规划等管理部门的重要工作之一。提高负荷预测技术水平，有利于计划用电管理，有利于合理安排电网运行方式和机组检修计划，有利于节煤、节油和降低发电成本，有利于制定合理的电源建设规划，有利于提高电力系统的经济效益和社会效益。 电力负荷预测，为编制电力规划提供依据，是电网规划的基础，它规定了电力工业的发展水平、发展速度、源动力资源的需求量，电力工业发展的资金需求量，以及电力工业发展对人力资源的需求量。 因此，国内外许多专家和学者开始致力于现代负荷预测方法的研究，而时间序列模型在国际和国内的电力系统短期负荷预测中得到了广泛应用。 2 平稳时间序列及其随机线性模型 时间序列是指随时间改变而随机的变化的序列。时间序列分析分为时域分析和频域分析，前者是对时间序列在时间域上的各种平均值进行分析研究，后者是进行傅里叶变换以后在频率域进行谱分析。随着计算机技术的飞速发展，时域分析方法为人们所关注。本文所要研究的就是时域分析。 平稳时间序列是平稳序列，它满足期望为0，且任意两个时刻的相关函数与时间t 无关，仅与两个时刻的时间差相关。因为我们所掌握的为平稳时间序列的线性随机模型，而在实际中所遇到的一般都不是平稳时间序列，这就要对其进行相关的处理，使其变化为平稳序列。 均值为0且具有有理谱密度的平稳时间序列必可表示为下面三种形式中的一种（其中{,0,1,2,}t a t =±± 为白噪声）： （1）自回归模型——AR 模型 1122,0,1,2,t t t p t p t a t ωφωφωφω-------==±± AR （p ）模型由p ＋2参数来刻画; （2）滑动平均模型——MA 模型 1122,0,1,2,t t t t q t q a a a a t ωθθθ---=---=±± MA(q)模型由q ＋2参数刻画; （3）自回归滑动平均模型或混合模型——ARMA 模型 11221122, 0,1,2,,0,1,2,t t t p t p t t t q t q a a a a t t ωφωφωφωθθθ----------=---=±±=±± ARMA(p,q)混和模型由p ＋q ＋3参数刻画； 通过以上介绍可以看出我们可以把AR(p)和MA(q)模型看成APMA(p,q)的两种特例。 线性模型中有两个重要的参数：自相关函数k ρ和和偏相关函数kk φ。其中偏相关函数kk φ刻画了平稳序列任意一个长1k +的片段在中间量固定的条件下，两端的线性密切程度，而自相关函数k ρ也是刻画两端的线性密切程度，但并不需

泊松过程

第二讲 泊松过程 1．随机过程和有限维分布族 现实世界中的随机过程例子： 液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数； 到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。 特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。 定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族 }),({T t t X ∈为随机过程。 注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →?Ωω:),(。固定ω，即考虑某个事件相 应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。映射的值域空间E 称为状态空间。 例 随机游动(离散时间，离散状态) 质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。 如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。 两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01 n n k k S S X ==+ ∑ 习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。 提示 利用∑== n k k n X S 1 ，其中k X 是时刻k 的移动方式。 习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2 ,2()0, 21n k n k n k n n C q p n k i P S k n k i +-+?+===?+=-?。 例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态) 在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程， 其指标集}{+ ∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。