2020高考文科数学大题专项训练：三角函数

三角函数

A组基础通关

1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0.

(1)求角C的大小;

(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.

因为c cos B+(b-2a)cos C=0,

所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0,

所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C,

所以sin(B+C)=2sin A cos C.

又因为A+B+C=π,

所以sin A=2sin A cos C.

又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,

所以cos C=.

又C∈(0,π),所以C=.

(2)由(1)知,C=,

所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab.

又c=2,所以4=a2+b2-ab.

又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,

所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=×4×sin.

2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.

(1)若∠AMB=60°,求BC;

(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ.

由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.

在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2.

在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2.

(2)因为∠DCM=θ,

所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.

在Rt△MCD中,MC=;

,

在Rt△MAB中,MB=

°-

由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ,

所以cos θ-sin θ=sin θ,

即2sin θ=cos θ,

整理可得tan θ=.

3.已知向量m=(2a cos x,sin x),n=(cos x,b cos x),函数f(x)=m·n-,函数f(x)在y轴上的截距为,与y 轴最近的最高点的坐标是.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x的图象,求φ的最小值.

f(x)=m·n-=2a cos2x+b sin x cos x-,

由f(0)=2a-,得a=,

此时,f(x)=cos 2x+sin 2x,

由f(x)≤=1,得b=1或b=-1,

当b=1时,f(x)=sin,经检验为最高点;

当b=-1时,f(x)=sin,经检验不是最高点.

故函数的解析式为f(x)=sin.

(2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin2x+2φ+的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin x+2φ+的图象,

所以2φ+=2kπ(k∈Z),φ=-+kπ(k∈Z),

因为φ>0,所以φ的最小值为.

4.函数f(x)=A sin(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若g(x)=cos x·f(x),求g(x)在区间-上的最大值和最小值.

由已知f(x)最小正周期为2π,

所以=2π,解得ω=1.

因为f(x)的最大值为2,

所以A=2,

所以f(x)的解析式为f(x)=2sin.

(2)因为f(x)=2sin=2sin x cos+2cos x sin sin x+cos x,

所以g(x)=cos x·f(x)=sin x cos x+cos 2x=sin 2x+

=sin.

因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,

于是,当2x+,即x=时,g(x)取得最大值;当2x+=-,即x=-时,g(x)取得最小值0.

5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:

(1)求f(x)的解析式;

(2)若在△ABC中,AC=2,BC=3,f(A)=-(A为锐角),求△ABC的面积.

由题中表格给出的信息可知,函数f(x)的周期为T=-=π,

所以ω==2.

注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=+2kπ(k∈Z),

由0<φ<π,所以φ=.

所以函数的解析式为f(x)=sin=cos 2x.

(2)∵f(A)=cos 2A=-,且A为锐角,∴A=.

在△ABC中,由正弦定理得,,

∴sin B=·,

∵BC>AC,∴B

∴sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=, ∴S△ABC=·AC·BC·sin C=×2×3×.

6.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,C=,b=4,△ABC的面积为6.

(1)求c的值;

(2)求cos(B-C)的值.

已知C=,b=4,

因为S△ABC=ab sin C,

即6=×4a×,解得a=3,

由余弦定理,得c2=b2+a2-2ab cos C=10,解得c=.

(2)由(1)得cos B=-,

由于B是三角形的内角,得sin B=-,

所以cos(B-C)=cos B cos C+sin B sin C=.

B组能力提升

7.如图,在凸四边形ABCD中,C,D为定点,CD=,A,B为动点,满足AB=BC=DA=1.

(1)写出cos C与cos A的关系式;

(2)设△BCD和△ABD的面积分别为S和T,求S2+T2的最大值.

在△BCD中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2·BC·CD cos C=4-2cos C,

在△ABD中,BD2=2-2cos A,

所以4-2cos C=2-2cos A,即cos A=cos C-1.

(2)S=·BC·CD·sin C=·,T=AB·AD sin A=sin A,

所以S2+T2=sin2C+sin2A=(1-cos2C)+(1-cos2A)=-cos2C+cos C+

=--.

由题意易知,C∈(30°,90°),所以cos C∈,

当cos C=时,S2+T2有最大值.

8.某城市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收,园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域,其余作为市民活动区域.其中△ABD区域种植花木后出售,△BCD区域种植草皮后出售,已知草皮每平方米售价为a元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km.

(1)若BD=2 km,求绿化区域的面积;

(2)设∠BCD=θ,当θ取何值时,园林公司的总销售金额最大.

在△BCD中,BD=2,BC=6,CD=4,

-.

由余弦定理,得cos∠BCD=-

·

因为∠BCD∈(0°,180°),所以∠BCD=60°,

又因为A,B,C,D四点共圆,

所以∠BAD=120°.

在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos∠BAD,

将AD=4,BD=2代入化简,得AB2+4AB-12=0,

解得AB=2(AB=-6舍去).

所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×4sin 120°+×4×6sin 60°=8(km2),

即绿化空间的面积为8 km2.

(2)在△BCD、△ABD中分别利用余弦定理得

BD2=62+42-2×6×4cos θ,①BD2=AB2+42-2×4AB cos(π-θ),②联立①②消去BD,得AB2+8AB cos θ+48cos θ-36=0,

得(AB+6)(AB+8cos θ-6)=0,

解得AB=6-8cos θ(AB=-6舍去).

因为AB>0,所以6-8cos θ>0,即cos θ<.

S△ABD=AB·AD sin(π-θ)=(6-8cos θ)×4sin θ=12sin θ-16sin θcos θ,S△BCD=BC·CD sin θ=×6×4sin θ=12sin θ.

因为草皮每平方米售价为a元,则花木每平方米售价为3a元,设销售金额为y百万元.

y=f(θ)=3a(12sin θ-16sin θcos θ)+12a sin θ=48a(sin θ-sin θcos θ),

f'(θ)=48a(cos θ-cos2θ+sin2θ)=48a(-2cos2θ+cos θ+1)=-48a(2cos θ+1)(cos θ-1),

令f'(θ)>0,解得-

又cos θ<,不妨设cos θ0=,

则函数f(θ)在上为增函数;

令f'(θ)<0,解得cos θ<-,

则函数f(θ)在上为减函数,

所以当θ=时,f(θ)max=36 a.

答:(1)绿化区域的面积为8 km2;(2)当θ=时,园林公司的销售金额最大,最大为36a百万元.