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泊松流、指数分布、爱尔朗分布

三种常用的理论分布:

(1) 泊松流与泊松分布

{N (t ),t>0}是计数过程,有

,2,1,0,!

)()(==-n e n t t P t n n λλ 且E[N (t )]=λt,Var[N(t)]=λt.

(2) 指数分布

当输入过程是一个泊松过程{N(t),t>0}时,设T 是两位顾客相继到达的时间间隔,有

F T (t )=P {T ≤t }=1-P {T >t } =1-P 0(t )=1-t e

λ-,t>0, F T (t )=0, t ≤0。

从而

???≤>='=-.0,00,)()(t t e t F t f t T T λλ(λ>

0),

且 E (T )=1/λ,

λ—单位时间到达的平均顾客数; 1/λ— 相继到达的平均间隔时间。

定理.输入过程{N(t), t>0}是参数为λ的泊松过程的充分必要条件是相继到达的时间间隔:T 1,T 2,…T n ,…相互独立,同服从参数为指数分布。

为一位顾客服务的时间V 一般也服从指数分布,有

?

??<>-=-.0,0,0,1)(t t e t F t V μ, ???<>-=-.0,

0,0,)(t t e t f t V μμ 其中 μ— 平均服务率;

E (V )= 1/μ—一位顾客的平均服务时间。 ρ=λ/μ—服务强度,刻画服务效率和服务机构利用程度的重要指标。

(3)爱尔朗(Erlang )分布

设V 1,V 2,…,V k 相互独立,V i ~E(0 ,k μ),则,T=V 1+V 2+…+V k 的概率密度为

??

???<>-=-.

0,0,0,)!1()()(1

t t k kt k t f k k μμ

称T 服从k 阶爱尔朗分布。

例:串列的k 个服务台,每个服务台的服务时间相互独立,服从相同的指数分布,则k 个服务台的总服务时间服从k 阶爱尔朗分布。

有:1)E (T )=μμ11)(1=?=∑=k k V E k

i i ; 2)k=1时,T ~E (0,μ);

3)k ≥30时,T 近似服从正态分布;

4)

.01)(2lim lim ==∞→∞→μ

k T Var t k (化为确定型分布)。