(完整版)专升本高数真题.doc
2008年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
高等数学 试卷
一. 单项选择题（每题2分，共计60分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不
得分.
1. 函数2)1ln()(++-=x x x f 的定义域为 （ ） A. ]1,2[-- B. ]1,2[- C. )1,2[- D. )1,2(-
2. =?
?? ?
?π--π→
3sin cos 21lim
3x x
x （ ） A.1 B. 0 C. 2 D.3
3. 点0=x 是函数1
31311+-=
x
x
y 的 ( )
A.连续点
B. 跳跃间断点
C.可去间断点
D. 第二类间断点 4.下列极限存在的为 （ ）
A.x
x e +∞→lim B. x x x 2sin lim 0→ C.x
x 1
cos lim 0+→ D.32lim 2-++∞→x x x
5. 当0→x 时，)1ln(2
x +是比x cos 1-的（ ）
A ．低阶无穷小
B ．高阶无穷小
C ．等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小
6.设函数
???
????
>≤≤
--<+++=0,arctan 0
1,11,11sin )1(1)(x x x x x x x f ，则
)(x f
（ ）
A ．在1-=x 处连续，在0=x 处不连续
B ．在0=x 处连续，在1-=x 处不连续
C ．在1-=x ，0，处均连续
D ．在1-=x ，0，处均不连续 7.过曲线x e x y +=arctan 上的点(0,1)处的法线方程为
（ ）
A. 012=+-y x
B. 022=+-y x
C. 012=--y x
D. 022=-+y x 8.设函数)(x f 在0=x 处可导，)(3)0()(x x f x f α+-=且0)
(lim
0=α→x
x x ，则
=')0(f
（ ） A. -1 B.1 C. -3 D. 3
9.若函数)1()(ln )(>=x x x f x
，则=')(x f （ ） A. 1
)
(ln -x x B. )ln(ln )(ln )
(ln 1
x x x x x +-
C. )ln(ln )(ln x x x
D. x
x x )(ln
10.设函数)(x y y =由参数方程?????==t
y t
x 3
3
sin cos 确定，则
=π
=4
22x dx y d （ ）
A.-2
B.-1
C.234-
D. 23
4 11.下列函数中，在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的是 （ ）
A.x
e y = B.||ln x y = C.2
1x y -= D.21
x
y =
12. 曲线253
-+=x x y 的拐点是 （ ） A.0=x B.)2,0(- C.无拐点 D. 2,0-==y x 13. 曲线|
1|1
-=
x y （ ）
A. 只有水平渐进线
B. 既有水平渐进线又有垂直渐进线
C. 只有垂直渐进线
D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线 14.如果)(x f 的一个原函数是x x ln ,那么=''?
dx x f x )(2
（ ） A. C x +ln B. C x +2
C. C x x +ln 3
D. x C - 15
=+-?342x x dx
( )
A .
C x x +--13ln 21 B.C x x +--3
1ln 21 C. C x x +---)1ln()3ln( D. C x x +---)3ln()1ln( 16.设?+=
1
041x dx
I ，则I 的取值范围为 ( )
A .10≤≤I B.121≤≤I C. 40π≤≤I D.12
1
< 17. 下列广义积分收敛的是 （ ） A.dx x ? +∞ 1 3 B. ? +∞ 1 ln dx x x C.?+∞1dx x D. dx e x ?+∞-0 18. =-? -3 3 |1|dx x （ ） A.? -3 0|1|2dx x B. ?? -+--3 113 )1()1(dx x dx x C. ?? ----31 13 )1()1(dx x dx x D. ??-+--311 3)1()1(dx x dx x 19.若)(x f 可导函数，0)(>x f ，且满足? +-=x dt t t t f x f 0 2 2 cos 1sin )(2 2ln )(，则 = )(x f （ ） A. )cos 1ln(x + B. C x ++-)cos 1ln( C. )cos 1ln(x +- D. C x ++)cos 1ln( 20. 若函数)(x f 满足?-- +=1 1 )(211)(dx x f x x f ，则=)(x f （ ） A. 3 1-x B. 21-x C. 21+x D. 31+x 21. 若?=e dx x f x I 0 2 3)( 则=I ( ) A dx x f )(0 ? 2 e x B dx x f )(0 ?e x C dx x f )(210?2e x D dx x f )(210?e x 22.直线1 9452z y x =+=+与平面5734=+-z y x 的位置关系为 A. 直线与平面斜交 B. 直线与平面垂直 C. 直线在平面内 D. 直线与平面平行 23.=-+++→→1 1lim 2 2 220 0y x y x y x （ ） A. 2 B.3 C. 1 D.不存在 24.曲面2 2 y x z +=在点（1，2，5）处切平面方程（ ） A ．542=-+z y x B ．524=-+z y x C ．542=-+z y x D ．542=+-z y x 25.设函数3 3 xy y x z -=，则=???x y z 2 （ ） A. xy 6 B. 2233y x - C. xy 6- D. 2 233x y - 26.如果区域D 被分成两个子区域1D 和2D 且 5),(1 =??dxdy y x f D ， 1),(2 =??dxdy y x f D ,则=??dxdy y x f D ),( ( ) A. 5 B. 4 C. 6 D.1 27.如果L 是摆线?? ?-=-=t y t t x cos 1sin 从点)0,2(πA 到点)0,0(B 的一段弧，则 =-++?dy y y x dx xe y x x L )sin 3 1()3(32 ( ) A.1)21(2-π-π e B. ]1)21([22-π-π e C.]1)21([32-π-π e D. ]1)21([42-π-π e 28.以通解为x Ce y =（C 为任意常数）的微分方程为 ( ) A. 0=+'y y B. 0=-'y y C. 1='y y D. 01=+'-y y 29. 微分方程x xe y y -='+''的特解形式应设为=* y （ ） A .x e b ax x -+)( B.b ax + C.x e b ax -+)( D.x e b ax x -+)(2 30．下列四个级数中，发散的级数是 （ ） A. ∑∞ =1!1n n B. ∑∞=-1100032n n n C. ∑∞=12n n n D. ∑∞ =121n n 二、填空题（每题2分，共30分） 31．A x f x x =→)(lim 0 的____________条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0 . 32. 函数x x y sin -=在区间)2,0(π单调 ，其曲线在区间?? ? ?? π2,0内的凹凸性为 的. 33.设方程a a z y x (232 22=++为常数)所确定的隐函数),(y x f z = ,则 =??x z _____. 34. =+ ?x dx 1 . 35. ?ππ ?-=+3 3 ________cos 1dx x x . 36. 在空间直角坐标系中,以)042()131()140(，，，，，，，，----C B A 为顶点的 ABC ?的面积为__ . 37. 方程?? ???-==+ 214 92 2x y x 在空间直角坐标下的图形为__________. 38.函数xy y x y x f 3),(3 3 -+=的驻点为 . 39.若x y xy e y x z x tan 2312++=-，则=??) 0,1(x z . 40. ? ?ππ=440 ___________cos x dy y y dx 41.直角坐标系下的二重积分 ?? D dxdy y x f ),((其中D 为环域9122≤+≤y x )化 为极坐标形式为___________________________. 42.以x x xe C e C y 3231--+=为通解的二阶常系数线性齐次微分方程 为 . 43.等比级数 )0(0 ≠∑∞ =a aq n n ,当_______时级数收敛,当_______时级数发散. 44.函数2 1 )(2--= x x x f 展开为x 的幂级数为__________________ 45.∑∞ =??? ??-12n n n n 的敛散性为________的级数. 三、计算题（每小题5分，共40分） 46．求2 522232lim +∞→??? ? ??-+x x x x . 47. 求?+→20 32 4 01lim x x dt t t x . 48.已知)21sin(ln x y -=,求 dx dy . 49. 计算不定积分? xdx x arctan . 50.求函数)cos(y x e z x +=的全微分. 51．计算 ?? σD d y x 2 ，其中D 是由1,,2===xy x y y 所围成的闭区域. 52．求微分方程x e x y y sin cos -=+'满足初始条件1)0(-=y 的特解. 53．求级数∑∞ =+0 13n n n x n 的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点). 四、应用题（每题7分，共计14分） 54. 过曲线2x y =上一点)1,1(M 作切线L ，D 是由曲线2 x y =，切线L 及x 轴所围成的平面图形，求 （1）平面图形D 的面积; （2）该平面图形D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积. 55.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积A 最大,求腰长x 和它对底边的倾斜角α. 五、证明题（6分） 56. 证明方程?π--=0 2cos 1ln dx x e x x 在区间),(3 e e 内仅有一个实根.