同济六版高等数学课后答案
同济六版高等数学课后答案
高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章
习题1-1
1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式.
2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . .
3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B).
4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.
5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ;
(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:
(1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)
x x y 1
arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);
(10)
x
e y 1=.
7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ;
(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .
(4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x .
8. 设
????
?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, )
4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)的图形.
. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:
(1)x x
y -=1, (-∞, 1);
(2)y =x +ln x , (0, +∞).
10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l , 0)内也单调增加.
11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l)上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;
(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？
(1)y =x2(1-x2); (2)y =3x2-x3;
(3)2
211x x y +-=;
(4)y =x(x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;
(6)
2x x a a y -+=
13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);.
(2)y =cos 4x ; (3)y =1+sin πx ; (4)y =xcos x ; (5)y =sin2x .
14. 求下列函数的反函数:
(1)
31+=x y 错误！未指定书签。错误！未指定书签。; (2)x x
y +-=11错误！未指定书签。;. (3)
d cx b
ax y ++=(ad -bc ≠0); . (4) y =2sin3x ; .
(5) y =1+ln(x +2);
(6)
122+=x
x y . 15. 设函数f(x)在数集X 上有定义, 试证: 函数f(x)在X 上有界的充分必要条
件是它在X 上既有上界又有下界.
16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:
(1) y =u2, u =sin x ,
61π=x , 32π=x ; (2) y =sin u , u =2x ,
81π=x ,42π=x ;. (3)u y =, u =1+x2, x1=1, x2= 2;.
(4) y =eu , u =x2, x1 =0, x2=1;
(5) y =u2 , u =ex , x1=1, x2=-1.
17. 设f(x)的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f(x2); .
(2) f(sinx)
(3) f(x +a)(a>0);.
(4) f(x +a)+f(x -a)(a >0).
18. 设???
??>-=<=1|| 11
|| 01||
1)(x x x x f , g(x)=ex 错误！未指定书签。, 求f[g(x)]和g[f(x)], 并
作出这两个函数的图形.
19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?=40?(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S0时, 求湿周L(L =AB +BC +CD)与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37
. .
20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销
售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.
(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;
(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 习题1-2
1. 观察一般项xn 如下的数列{xn}的变化趋势, 写出它们的极限:
(1)
n n x 21
=;. (2)
n x n n 1
)1(-=;. (3)
2
12n x n +=. (4)
11
+-=n n x n ;. (5) xn =n(-1)n .
2. 设数列{xn}的一般项n n x n 2cos π
=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时,
xn 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .
3. 根据数列极限的定义证明:
(1)0
1lim 2=∞→n n ;
(2)23
1213lim =++∞→n n n ; (3)1lim
22=+∞
→n a n n ;
(4)
1
9 999.0lim =???∞→ 个n n .
4. a
u n n =∞→lim ,
证明|
|||lim a u n n =∞
→. 并举例说明: 如果数列{|xn|}有极限, 但数列
{xn}未必有极限.
5. 设数列{xn}有界,
又0
lim =∞→n n y ,
证明:
lim =∞
→n n n y x .
6. 对于数列{xn}, 若x2k -1→a(k →∞), x2k →a(k →∞), 习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明:
(1)8
)13(lim 3=-→x x ; . (2)12
)25(lim 2=+→x x ;
.
(3)424lim
2
2-=+--→x x x ;
.
(4)21
241lim 3
2
1=+--→x x x .
2. 根据函数极限的定义证明:
(1)2121lim 33=+∞→x
x x ;
(2)0
sin lim =+∞→x x x .
3. 当x →2时, y =x2→
4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？
4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x|>X 时, |y -1|<0.01?
.
5. 证明函数f(x)=|x|当x →0时极限为零.
6. 求
,)(x x x f = x x x |
|)(=
?当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.
7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A , 则
A
x f x =∞
→)(lim .
8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x →x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
习题1-4
1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.
2. 根据定义证明:
(1)
39
2+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)x x y 1
sin =当x →0时为无穷小.
3. 根据定义证明: 函数x x
y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y|>104？
4. 求下列极限并说明理由:
(1)x x x 12lim
+∞→;
(2)x x x --→11lim
20.
6. 函数y =xcos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？
7. 证明: 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.
,
习题1-5
1. 计算下列极限:
(1)35
lim 22-+→x x x ;
(2)13
lim 223+-→x x x ;
(3)11
2lim 22
1-+-→x x x x ;
(4)x x x x x x 2324lim 2
230++-→;
(5)h x h x h 220)(lim -+→;
(6))112(lim 2x x x +-∞→;
(7)121
lim 22
---∞→x x x x ;
(8)13lim 2
42--+∞→x x x x x ;
(9)458
6lim 22
4+-+-→x x x x x ;
(10)
)12)(11(lim 2x x x -+∞→;
.
(11))21 41211(lim n n +???+++∞→;
(12)2)
1( 321lim
n n n -+???+++∞→;
(13)35)3)(2)(1(lim
n n n n n +++∞→;
(14))
1311(lim 31x x x ---→;
2. 计算下列极限:
(1)22
32)
2(2lim -+→x x x x ;
(2)12lim 2
+∞→x x
x ;
(3))
12(lim 3+-∞
→x x x .
3. 计算下列极限:
(1)x x x 1
sin lim 20→;
(2)x x
x arctan lim ∞→.
.
4. 证明本节定理3中的(2).
习题 1-7
1. 当x →0时, 2x -x2 与x2-x3相比, 哪一个是高阶无穷小？
2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x3, (2))
1(212x -是否同阶？是否等价？
(2)因为1
)1(lim 211)
1(21lim 121=+=--→→x x x x x ,
3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x~x ;
(2)
2~1sec 2
x
x -.
4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:
(1)x x
x 23tan lim 0→;
(2)m
n x x x )(sin )sin(lim
0→(n , m 为正整数);
(3)x x x x 3
0sin sin tan lim -→;
(4))
1sin 1)(11(tan sin lim
320-+-+-→x x x
x x .
5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);
(2) 若α ~β, 则β~α(对称性);
(3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性).
习题1-8
1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:
(1)
??
?≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;
(2)
??
?>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .
2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:
(1)
231
22+--=x x x y , x =1, x =2;
(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ? ? ?);
(3)
x y 1
cos 2=, x =0; (4)??
?>-≤-=1
31 1x x x x y , x =1.
3. 讨论函数x x x x f n n
n 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型.
4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)≠0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当x ∈U(x0)时, f(x)≠0.
5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:
(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ? ? ?, ±n , n 1
±, ? ? ?是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;
(2)f(x)在R 上处处不连续, 但|f(x)|在R 上处处连续;
(3)f(x)在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.
习题1-9
1. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及
)
(lim 2
x f x →.
.
2. 设函数f(x)与g(x)在点x0连续, 证明函数 ?(x)=max{f(x), g(x)}, ψ(x)=min{f(x), g(x)} 在点x0也连续. ,
3. 求下列极限: (1)5
2lim 20+-→x x x ;
(2)3
4
)2(sin lim x x π→;
(3))
2cos 2ln(lim 6
x x π→;
(4)x x x 1
1lim 0-+→; (5)145lim 1---→x x x x ;
(6)a x a
x a x --→sin sin lim ; (7))
(lim 22x x x x x --++∞
→.
4. 求下列极限:
(1)x
x e 1lim
∞
→;
(2)x x
x sin ln lim 0
→; (3)2
)11(lim x
x x +∞→;
(4)x
x x 2
cot
20
)tan 31(lim +→;
(5)2
1
)63(lim -∞→++x x x x ;
(6)
x x x x
x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim . .
5. 设函数
??
?≥+<=0 0 )(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f(x)成为在(-∞, +∞)
内的连续函数？
习题1-10
1. 证明方程x5-3x =1至少有一个根介于1和2之间.
2. 证明方程x =asinx +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .
3. 设函数f(x)对于闭区间[a , b]上的任意两点x 、y , 恒有|f(x)-f(y)|≤L|x -y|, 其中L 为正常数, 且f(a)?f(b)<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b), 使得f(ξ)=0.
4. 若f(x)在[a , b]上连续, a ( )()()(21+???++= ξ. . 5. 证明: 若f(x)在(-∞, +∞)内连续, 且) (lim x f x ∞→存在, 则f(x)必在(-∞, +∞)内有界. . 6. 在什么条件下, (a , b)内的连续函数f(x)为一致连续？ 总习题一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件. 数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件. (2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. ) (lim 0 x f x x →存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件. (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是 ∞ =→)(lim 0 x f x x 的________条件. ∞ =→)(lim 0 x f x x 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件. (4)f(x)当x →x0时的右极限f(x0+)及左极限f(x0-)都存在且相等是) (lim 0 x f x x →存 在的________条件. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f(x)=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A)f(x)与x 是等价无穷小; (B)f(x)与x 同阶但非等价无穷小; (C)f(x)是比x 高阶的无穷小; (D)f(x)是比x 低阶的无穷小. 3. 设f(x)的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f(ex); (2) f(ln x); (3) f(arctan x); (4) f(cos x). 4. 设 ???>≤ =0 0 0)(x x x x f , ???>-≤=0 0 0)(2 x x x x g , 求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)]. 5. 利用y =sin x 的图形作出下列函数的图形: (1)y =|sin x|; (2)y =sin|x|; (3) 2sin 2x y =. 6. 把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数. 7. 根据函数极限的定义证明5 36lim 23=---→x x x x . 8. 求下列极限: (1)22 1) 1(1lim -+-→x x x x ; (2)) 1(lim 2x x x x -++∞ →; (3)1)1232(lim +∞→++x x x x ; (4)30sin tan lim x x x x -→; (5)x x x x x c b a 10)3(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2 )(sin lim π →. 9. 设?????≤+>=0 0 1sin )(2x x a x x x x f , 要使f(x)在(-∞, +∞)内连续, 应怎样选择数a? 10. 设 ?????≤<-+>=-01 )1ln(0 )(11x x x e x f x , 求f(x)的间断点, 并说明间断点所属类形. 11. 证明() 1 1 2111lim 222=++???++++∞ →n n n n n . 12. 证明方程sin x +x +1=0在开区间) 2 ,2(ππ-内至少有一个根. 13. 如果存在直线L : y =kx +b , 使得当x →∞(或x →+∞, x →-∞)时, 曲线y =f(x)上的动点M(x , y)到直线L 的距离d(M , L)→0, 则称L 为曲线y =f(x)的渐近线. 当直线L 的斜率k ≠0时, 称L 为斜渐近线. (1)证明: 直线L : y =kx +b 为曲线y =f(x)的渐近线的充分必要条件是 x x f k x x x )(l i m ) ,( -∞→+∞→∞→= , ] )([lim ) ,( kx x f b x x x -= -∞→+∞→∞ →. (2)求曲线 x e x y 1 )12(-=的斜渐近线. 习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的 函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称 t θ ω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转 是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？ 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？ 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义. 4. 设f(x)=10x2, 试按定义, 求f '(-1). . 5. 证明(cos x)'=-sin x . 6. 下列各题中均假定f '(x0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么: (1)A x x f x x f x =?-?-→?) ()(lim 000; . (2)A x x f x =→)(lim 0, 其中f(0)=0, 且f '(0)存在; . (3)A h h x f h x f h =--+→) ()(lim 000 . 7. 求下列函数的导数: (1)y =x4; (2)32 x y =; (3)y =x1. 6; (4) x y 1 =; (5)21x y =; (6)5 3x x y =; (7) 5322x x x y = ; . 8. 已知物体的运动规律为s =t3(m). 求这物体在t =2秒(s)时的速度. 9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率: π 32=x , x =π. 11. 求曲线y =cos x 上点) 21 ,3(π处的切线方程和法线方程式. . 12. 求曲线y =ex 在点(0,1)处的切线方程. 13. 在抛物线y =x2上取横坐标为x1=1及x2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性: (1)y =|sin x|; (2)?????=≠=0 00 1sin 2x x x x y . 15. 设函数 ?? ?>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f 为了使函数f(x)在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 16. 已知?? ?<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ . 17. 已知f(x)=???≥<0 0 sin x x x x , 求f '(x) . 18. 证明: 双曲线xy =a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2 . . 习题 2-2 1. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)'=-csc2x ; (csc x)'=-csc xcot x . . 2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+ =x x x y ; (2) y =5x3-2x +3ex ; (3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ?cos x ; (5) y =x2ln x ; (6) y =3excos x ; (7) x x y ln =; (8)3ln 2+=x e y x ; (9) y =x2ln x cos x ; (10)t t s cos 1sin 1++=; 3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求 6 π=' x y 和 4 π='x y . (2)θθθρcos 21sin +=,求 4 π θθρ=d d . (3) 553)(2 x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) . 4. 以初速v0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2 021gt t v s -=. 求: (1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 5. 求曲线y =2sin x +x2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程. 6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x); (3)2 3x e y -=; (4) y =ln(1+x2); (5) y =sin2x ; (6)2 2x a y -=; (7) y =tan(x2); (8) y =arctan(ex); (9) y =(arcsin x)2;