概率论与数理统计学1至7章课后答案

第二章作业题解:

掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.

解：

由表格知X 并且，361)12()2(=

===X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 36

5)8()6(=

===X P X P ；366)7(==X P 。 即 36

|

7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{Λ===-k ae k X P k 试确定常数a .

解：根据

1)(0

==∑∞=k k X P ，得10

=∑∞

=-k k

ae

，即

111

1

=---e ae 。 故 1-=e a

甲、乙两人投篮时, 命中率分别为 和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：

(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则

12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========

两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=???=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：

2016

.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=????=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。所以：

（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：

12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628

P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=???+?+??= 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k k

k X P ，求

)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<

2153152151)31(=++=

≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<

1152151=+= 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,2

1

}{Λ===k k X P k ，求 };6,4,2{)1(Λ=X P }3{)2(≥X P

解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(4

22642=++?=++=

=ΛΛΛX P

4

1

}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P

设事件A 在每次试验中发生的概率均为 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出 信号, 求下列事件的概率：

(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.

解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P

1792.04.06.04.04

334=+?=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P

31744.04.06.04.06.04.05

4452335=+?+?=C C .

某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为 的泊 松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;

(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!

k

P X k e k λλ-==

，由题意，0.53 1.5,0k λ=?==，所求事件的概率为 1.5e -.

(2) 0

(2)110!

1!

P X e e e e λλλλλλ

λ----≥=-

-

=--, 由题意，0.54 1.5λ=?=，所求事

件的概率为2

13e --.

为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于 解：设应配备m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X ，则)01.0,180(~B X 。 依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于，即99.0)(≥≤m X P ，也即

01.0)1(≤+≥m X P

因为n =180较大，p =较小，所以X 近似服从参数为8.101.0180=?=λ的泊松分布。 查泊松分布表，得，当m +1=7时上式成立，得m =6。 故应至少配备6名设备维修人员。

某种元件的寿命X (单位：小时) 的概率密度函数为：

2

1000

,1000()0,1000

x f x x x ?≥?

=???p 求5 个元件在使用1500 小时后, 恰有2 个元件失效的概率。

解：一个元件使用1500小时失效的概率为

3

1

10001000)15001000(1500

10001500

10002=

-==≤≤?x dx x X P 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ，则)3

1

,5(~B Y 。所求的概率为

22351280

(2)()()33243

P Y C ==?=

。

设某地区每天的用电量X (单位：百万千瓦?时) 是一连续型随机变量, 概率密度函数为：

212(1),01,()0,x x x f x ?-=??p p 其他

假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦?时, 求该地区每天供电量不足的概率. 若每天的供电量上升到90万千瓦?时, 每天供电量不足的概率是多少

解：求每天的供电量仅有80万千瓦?时, 该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量X 超过80万千瓦?时（亦即≥百万千瓦?时）的概率：

0.80.8

20

2

3

4

0.8

(0.8=1-P(X 0.8=1-()112(1)1(683)0.0272

P X f x dx x x dx

x x x -∞≤=--=--+=?

?f ））

若每天的供电量上升到90万千瓦?时, 每天供电量不足的概率为：

0.90.9

20

2340.9

(0.9=1-P(X 0.9=1-()112(1)1(683)

0.0037

P X f x dx x x dx

x x x -∞

≤=--=--+=?

?f ））

设随机变量~(2,4),K U -求方程2

2230x Kx K +++=有实根的概率.

解：方程2

2230x Kx K +++=有实根，亦即2

48124(3)(1)0K K K K ?=--=-+≥,

显然，当31K K ≥?≤-时，方程2

2230x Kx K +++=有实根；又由于~(2,4),K U -所求概率为：

1(2)431

4(2)3

---+-=--。

某型号的飞机雷达发射管的寿命X (单位：小时) 服从参数为 的指数分布, 求下列

事件的概率：

(1) 发射管寿命不超过100 小时; (2) 发射管的寿命超过300 小时;

(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.

解：(1) 发射管寿命不超过100 小时的概率：

1001000.0050.0050.50

(100)0.0051x x

P X e dx e e ---<==-=-?=

(2) 发射管的寿命超过300 小时的概率：

1.5 1.5(300)1(300)1(1)0.223P X P x e e -->=-<=--==

(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.

0.50.5 1.5(1)()0.15e e e -----=。

设每人每次打电话的时间(单位：分钟) 服从参数为 的指数分布. 求282 人次所打 的电话中, 有两次或两次以上超过10 分钟的概率.

解：设每人每次打电话的时间为X ，X ~E ，则一个人打电话超过10分钟的概率为

510

5.010

5.05.0)10(-+∞

-+∞

-=-==>?e e

dx e

X P x x

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y ，则),282(~5

-e B Y 。 因为n =282较大，p 较小，所以Y 近似服从参数为9.12825

≈?=-e

λ的泊松分布。

所求的概率为

)1()0(1)2(=-=-=≥Y P Y P Y P

56625.09.219.119.19.19.1=-=--=---e e e

某高校女生的收缩压X (单位：毫米汞柱) 服2

(110,12)N , 求该校某名女生： (1) 收缩压不超过105 的概率;

(2) 收缩压在100 至120 之间的概率. 解：(1))42.0(1)42.0()12

110

105(

)105(Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 3372.06628.01=-=

(2))12

110

100()12110120()120100(-Φ--Φ=≤≤X P

5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(=-?=-Φ=-Φ-Φ=。

公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过 设计的, 设成年男性的 身高X (单位：厘米) 服从正态分布N (170，2

62), 问车门的最低高度应为多少 解：设车门高度分别为x 。则：

170

()10.010.99(

)6

x P X x -≤=-==Φ 查表得，(2.33)0.99Φ=，因此

170

2.336

x -=，由此求得车门的最低高度应为184厘米。

已知20 件同类型的产品中有2 件次品, 其余为正品. 今从这20 件产品中任意抽取4 次, 每次只取一件, 取后不放回. 以X 表示4 次共取出次品的件数, 求X 的概率分布与分布函数.

解：X 的可能取值为0,1,2。

因为1817161512(0),2019181719P X ===； 2184203

(2)95

C P X C ===

； 12332(1)1199595

P X ==-

-= 所以X

X 的分布函数为

0120119()921295

12x x F x x x

袋中有同型号小球5 只, 编号分别为1,2,3,4,5. 今在袋中任取小球3 只, 以X 表示取 出的3只中的最小号码, 求随机变量X 的概率分布和分布函数. 解：X 的可能取值为1,2,3。

因为6.0106

)1(3524====C C X P ； 1.01011)3(35

====C X P ； 3.01.06.01)2(=--==X P

所以X 的分布律为

X 的分布函数为

????

???≥<≤<≤<=3

1329.0216.010

)(x x x x x F

设连续型随机变量X 的分布函数为：

0,1,()ln ,1,1,x F x x x e x e

=≤

求（1）{2}P X <，{03}P X <<，{2 2.5}.P X <≤ （2）求X 的概率密度函数()f x 。 解：(1)2ln )2()2(==

101)0()3()30(=-=-=<

25.1ln 2ln 5.2ln )2()5.2()5.22(=-=-=≤

(2) ???<≤='=-其它0

1)()(1e x x x F x f

设连续型随机变量X 的分布函数为：

2

2,0,

()0,0.

x a be x F x x -

?+≥??

=?

?

（1）求常数,a b

（2）求X 的概率密度函数()f x 。 （3

）求P X <≤

解：(1)由1)(=+∞F 及)0()(lim 0

F x F x =→，得?

?

?=+=01

b a a ，故a =1,b =-1.

(2) ?????<≥='=-0

0)()(2

2

x x xe

x F x f x

(3) )4ln ()16ln ()16ln 4ln (F F X P -=<<

25.04

1

)1()1(2

4ln 2

16ln ==

---=--e e

。

设随机变量X

解：(1) Y 的可能取值为0, π2, 4π2。

因为2.0)2

()0(==

==π

X P Y P ；

7.0)()0()(2

==+===ππX P X P Y P ；

1.0)2

3()4

(2==

==π

πX P Y P 所以Y 的分布律为

(2) Y 因为 7.0)()0()1(==+==-=πX P X P Y P ；

3

.0)2

3()2

()1(==

+=

==π

π

X P X P Y P 所以Y

设随机变量X 的分布函数为

10.311()0.81212

x x F x x x <-??-≤

（1）求X 的概率分布； （2）求Y X =的概率分布。 解：(1) X 的可能取值为F (x )的分界点，即-1,1,2。

因为 3.0)1(=-=X P ；5.03.08.0)1(=-==X P ；2.08.01)2(=-==X P 所以X 的分布律为

(2) Y 的可能取值为1,2。

因为 8.0)1()1()1(==+-===X P X P Y P ；

2.0)2()2(=

===X P Y P

所以Y

设随机变量~(0,1)X N ，求下列随机变量Y 概率密度函数： （1）21;Y X =- （2）X

Y e

-=； (3)2

Y X =.

解：(1) 已知2

221)(x X e

x f -

=

π

因为)2

1

()21()12()()(+=+≤

=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y 求导得 )2

1

(21)21)(21()(+='++=y f y y f y f X X Y

8

)1(2)2

1(

2

2

2212121+-

+-=

=

y y e

e π

π

所以Y 参数分别为-1, 22服从正态分布。 (2) 已知2

221)(x X e

x f -=

π

因为

22

ln ()()()(ln )

(ln )1(ln )1(ln )1X Y t y

X F y P Y y P e y P X y P X y P X y F y --

--∞

=≤=≤=-≤=≥-=-≤-=--=-?

求导得

2

ln 2,0()0,0;

x

Y y f y y -?>=≤?

(3) 已知2

221)(x X e

x f -

=

π

2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=-

求导得

2,0()0,0;

y Y

y f y y -?>=≤?

解：(1)已知???

??<<=其他

01)(ππ

x x f X

)()()ln 2()()(2

2y X y

Y e F e X P y X P y Y P y F =≤=≤=≤=

求导得 )(2

1

))(()(222

2y

X y y y X Y e f e e e f y f ='=

因为当π<<2

0y e

，即πln 2

1

)(2

=

y X e f ；当y 取其他值时0)(2

=y X e f 。

所以 ?????<=其他

ln 221)(2ππ

y e

y f y

Y 为所求的密度函数。

二、第二章定义、定理、公式、公理小结及补充：