第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.若复数z 满足i i z -=+1)1((i 是虚数单位),则z =()
A.i -
B.i 2-
C.i
D.i 2
2.命题“0x ?>,ln 0x >”的否定是()
A.0x ?>,ln 0x >
B.0x ?>,ln 0x >
C.0x ?>,ln 0x ≥
D.0x ?>,ln 0x ≤ 3.抛物线21
4y x =的焦点坐标是()
A.1(0,)16
B.1
(,0)16
C.(0,1)
D.(1,0)
4.等差数列}{n a 中,若27,391173951=++=++a a a a a a ,则数列}{n a 前11项的
和为()
A.121
B.120
C.110
D.132 5.“10x ->”是“210x ->”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 6.已知函数()y f x =的图象与直线8y x =-+相切于点()()5,5f ,则
()()55f f '+=()
A.1
B.2
C.0
D.1
2
7.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,若04123=++a S S ,则公比=q ()
A.2-
B.3-
C.23-或-
D.5
8.如图,空间四边形OABC 中,OA a OB b OC c ===,,,点M 在线段OA 上,
且2OM MA =,点N 为BC 的中点,则MN =()
A .121232a b c -+ B.111
222a b c -+-
C.211322a b c -++
D. 221332
a b c -+-
9.已知二次函数()()22f x ax x c x R =++∈的值域为[)0,+∞,则11
a c c a
+++的最小值 为()
A.8
B.42
C.4
D. 82
10.若函数x y e ax =+有大于零的极值点,则实数a 的取值范围是() A.1a >-B.1a e
>- C.1a <-D.1a e
<-
11.已知12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点,若椭圆C
上存在点A ,满足122||3||AF AF a -=,则椭圆的离心率的取值范围
是()
A.1,12?? ???
B.1,15??????
C.2,15?? ???
D.2,15?????
?
12.若函数()y f x =()x D ∈满足:对,,a b c D ?∈,(),(),()f a f b f c 均可作为一个三角形的边长,就称函数()y f x =是区间D 上的“小确幸函数”。
则下列四个函数:1
ln ,,2y x x x e ??=∈????
;2
ln ,,y x x e e ??=∈??;
2
ln ,,x y x e e x ??=
∈??;1,,22x x y x e ??=∈????
中,“小确幸函数”的个数是() A.3 B.2 C.1 D. 0
第II 卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应位置上) 13.1
20(23)x x dx -=?.
14.已知变量,x y 满足约束条件1
101x y x x y +≤??
+≥??-≤?
,则z =2x y -的最小值是.
15.已知n m S S ,分别表示等差数列{}n a 的前m 项与前n 项的和,且
22
n
m S S n m =,那么=n m a a .
16.若方程
11
422=-+-t y t x 所表示的曲线为C ,给出下列四个命题: ①若C 为椭圆,则14t <<; ②若C 为双曲线,则4t >或1t <; ③曲线C 不可能是圆;
④若5
12
t <<,曲线C 为椭圆,且焦点坐标为(52,0)t -; ⑤若1t <,曲线C 1t -
其中真命题的序号为(把所有正确命题的序号都填在横线上). 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)
已知函数()4cos sin 16f x x x π??
=+- ??
?
(I) 求()f x 的最小正周期;
(Ⅱ) 求()f x 在区间,64ππ
??-????
上的最大值和最小值.
18.(本小题满分12分)
已知数列{n a }为公差不为零的等差数列,1a =1,各项均为正数的等比
数列{n b }的第1 项、第3项、第5项分别是1a 、3a 、21a . (I)求数列{n a }与{n b }的通项公式;
(Ⅱ)求数列{n a n b }的前n 项和.
19.(本小题满分12分)
在ABC ?中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知
()cos23cos 1A B C -+=.
(I)求角A 的大小;
(II)若ABC ?的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值.
20.(本小题满分12分) 如图,在三棱锥P ABC -中,
2PA PB AB ===,3BC =,90=∠ABC °,
平面PAB ⊥平面ABC ,D 、E 分别为AB 、AC 中点. (Ⅰ)求证:AB PE ⊥;
(Ⅱ)求二面角A PB E --的大小.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆G 的中心在平面直角坐标系的原点,离心率1
2
e =,右焦点与圆
C :22230x y x +--=的圆心重合.
(Ⅰ)求椭圆G 的方程;
(Ⅱ)设1F 、2F 是椭圆G 的左焦点和右焦点,过2F 的直线:1l x my =+与椭圆G 相交于A 、B 两点,请问1ABF ?的内切圆M 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线l 的方程,若不存在,请说明理由.
22.(本小题满分12分)
已知函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数).
(Ⅰ)求)(x f 的最小值;
(Ⅱ)设不等式()f x ax >的解集为P ,且{}|02x x P ≤≤?,求实数a 的取值范围. 一、 二、 三、 四、 五、 六、 七、 八、 九、 十、 十一、 十二、 选择题
ADCAABCCCC DB 十三、 填空题
13.014.4- 15.1
21
2--n m 16.②④⑤ 三、解答题
17.解: (I)∵f(x)=4cos xsin(x+)-1 =4cos x(sin x+cos x)-1
=sin 2x+2cos 2x-1=sin 2x+cos 2x
=2sin(2x+),
∴f(x)的最小正周期为π. (Ⅱ)∵-≤x ≤,∴-≤2x+≤.
∴当2x+=时,即x=时,f(x)取得最大值2, 当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1. 18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d,数列{}n b 的公比为q, 由题意得:23121a a a =,……………2分
2(12)1(120)d d ∴+=?+, 24160d d -=,
0d ≠,4,d ∴=所以43n a n =-.………………4分
于是{}1351,9,81,n b b b b ===的各项均为正数,,所以q=3,
13n n b -∴= (6)
分
(Ⅱ)1(43)3n n n a b n -=-,
0122135393(47)3(43)3n n n S n n --∴=+?+?+
+-?+-?.
1231335393(47)3(43)3n n n S n n -=+?+?+
+-?+-?.……………8分
两式两边分别相减得:
2312143434343(43)3n n n S n --=+?+?+?+
+?--?……………10分
231114(3333)(43)343(13)1(43)313
(54)35
n n
n n
n n n n --=+++++--???-=+--?-=-?-
(45)352
n n n S -+∴=.………………12分
19.(本小题满分12分)
解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得
1cos 2A =
,角60A =?(II)1
sin 532
S bc A ==4c ?=,由余弦定理得:2
21a =,()
2
2
2228
sin a R A ==25sin sin 47
bc B C R ∴== 20.(本小题满分12分) 解:(I)连结PD
PB PA =,∴AB PD ⊥.
//DE BC ,AB BC ⊥,∴AB DE ⊥.
又D DE PD =?,∴⊥AB 平面PDE 而?PE 平面PDE ,所以PE AB ⊥.
(II)因为平面⊥PAB 平面ABC 交于AB ,AB PD ⊥,所以ABC PD ⊥
如图,以D 为原点建立空间直角坐标系
∴()1,0,0B ,(
3
P ,30,,02E ?? ??
?
,∴()3
1,0,3,0,,32
PB PE ?=-= ?
. 设平面PBE 的法向量1(,,)n x y z =,∴30,
3
30,2
x z y z ?=??-=??令3z =13)n =.
DE ⊥平面PAB ,∴平面PAB 的法向量为2(0,1,0)n =.
设二面角的A PB E --大小为θ,则
121212
||1
cos cos ,2
n n n n n n θ?=<>=
=
?,所以60,θ=?即二面角的A PB E --大小为60?.
21.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)圆C :22230x y x +--=的圆心为(1,0).(1分)
设椭圆G 的方程22
221x y a b
+=,
则
11,2
c c e a ==
=,得
2
a =.
(2分)
∴2222213b a c =-=-=, (3分)
∴椭圆G 的方程22
143
x y +=.(4分)
(Ⅱ)如图,设1ABF ?内切圆M 的半径为r ,与直线l 的切点为C ,则三角形1ABF ?的面积等于ABM ?的面积+1AF M ?的面积+1BF M ?的面积. 即1
221
()2ABF S AB AF BF r =++=△12121[()()]242
AF AF BF BF r ar r +++==.当
1ABF S △最大时,r 也最大,1ABF ?内切圆的面积也最大. (5
分)
设11(,)A x y 、22(,)B x y (120,0y y ><),
则1
1211221211
22
ABF S F F y F F y y y =
?+?=-△. (6分) 由22
1
143x my x y =+???+=??,得22(34)690m y my ++-=, 解得21236134m m y m -++=+,22361
m m y --+=.(7分) ∴1
2212134
ABF
m S m +=+△. (8分) 令21t m =+,则1t ≥,且221m t =-,
有1
22121212
1
3(1)4313ABF t t S t t t t
=
==-+++△.(9分) 令1
()3f t t t =+,因为()f t 在[1,)+∞上单调递增,有()(1)4f t f ≥=.(10分)
∴11234
ABF S ≤=△. 即当1t =,0m =时,4r 有最大值3,得max 3
4r =,这时
所求内切圆的面积为9
16
π
. (11分)
∴存在直线:1l x =,
1ABF ?的内切圆M 的面积最大值为9
16
π.(12分)
22.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ))(x f 的导数.1)(-='x e x f
令0,0)(;0,0)(<<'>>'x x f x x f 解得令解得 从而)0,()(-∞在x f 内单调递减, 在),0(+∞内单调递增
所以。当x=0时,)(x f 取得最小值1。 (Ⅱ)因为不等式ax x f >)(的解集为P , 且P x x ?≤≤}20|{,
所以对于任意]2,0[∈x ,不等式ax x f >)(恒成立。 由()f x ax >得()1x a x e +<
当x=0时,上述不等式显然成立,故只需考虑]2,0(∈x 的情况。
将.1)1(-<<+x
e a e x a x
x
变形为
令)(,1)(x g x e x g x 则-=的导数,)1()(2
x e x x g x
-='
令.1,0)(;1,0)(<<'>>'x x g x x g 解得令解得
从而)1,0()(在x g 内单调递减,在(1,2,)内单调递增。 所以,当1=x 时,)(x g 取得最小值e -1。
a ∴1-e ,即a 的范围是()1,-∞-e
高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是
( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分)
【一】选择题:本大题共12小题,每题5分,总分值60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的. 1.命题〝假设2x =,那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠,那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=,那么2x = C 、假设2320x x -+≠,那么2x ≠ D 、假设2x ≠,那么2 320x x -+= 2.〝直线l 垂直于ABC △的边AB ,AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 .过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6,那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4.圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6.在空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0), (0,2,0),(2,2,2).那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕
高二数学上学期期末考试题 一、 选择题:(每题5分,共60分) 2、若a,b 为实数,且a+b=2,则3a +3b 的最小值为( ) (A )18, (B )6, (C )23, (D )243 3、与不等式x x --23≥0同解的不等式是 ( ) (A )(x-3)(2-x)≥0, (B)0
16、已知双曲线162x -9 2 y =1,椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点,椭圆与双曲线的离心率互为倒数,则椭圆的方程为 . 三、 解答题:(74分) 17、如果a ,b +∈R ,且a ≠b ,求证: 4 22466b a b a b a +>+(12分) 19、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1,求线段PP 1中点M 的轨迹方程。(12分) 21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为3m ,如果池 222、131719x=x 2 000000将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程 即14 22 =+y x ,所以点M 的轨迹是一个椭圆。 21、解:设水池底面一边的长度为x 米,则另一边的长度为米x 34800, 又设水池总造价为L 元,根据题意,得 答:当水池的底面是边长为40米的正方形时,水池的总造价最低,