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高考数学大题练习

高考数学大题

1.(12分)已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2) (1)若a ⊥b ,求tan θ的值;

(2)若a ∥b ,且θ为第Ⅲ象限角,求sin θ和cos θ的值。

2.(12分) 在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,且AC=BC=BD=2AE ,M 是AB 的中点.

(I)求证:CM ⊥EM:高考资源网

(Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值.

3.(13分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加

两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的

有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;

(Ⅱ)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培训的概率.高考资源网

4.(12分)

在△ABC 中,∠A .∠B .∠C 所对的边分别为a .b .c 。

B A cos cos =a

b

且sinC=cosA 高考资源网

(1)求角A .B .C 的大小; (2)设函数f(x)=sin (2x+A )+cos (2x-2

C

),求函数f(x)的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离。

5.(13分)已知函数f(x)=x+

x

a

的定义域为(0,+∞)且f(2)=2+22,设点P 是函数图象上的任意一点,

过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线,垂足分别为M ,N.

高考资源网

(1)求a 的值;

(2)问:|PM|·|PN|是否为定值?若是,则求出该定值,

若不是,则说明理由:

(3)设O 为坐标原点,求四边形OMPN 面积的最小值。

6.(13分)设函数f(x)=p(x-

x 1)-2lnx,g(x)=x

e 2(p 是实数,e 为自然对数的底数) (1)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围;

(2)若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求p 的值; (3)若在[1,e]上至少存在一点x 0,使得f(x 0)>g(x 0)成立,求p 的取值范围.高考资源网

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7. (12分)设P:函数y =ax2-2x+1在[1,+∞)内单调递减,Q:曲线y=x2-2ax+4a+5与x轴没有交点;如果“﹁P或Q”为真,“﹁P且Q”为假,求a的取值范围.高考资源网

8.(12分)从集合{}

1,2,3,4,5的所有非空子集

....中,等可能地取出一个。

(Ⅰ) 记性质r:集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r的概率;

(Ⅱ) 记所取出的非空子集的元素个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ高考资源网

9. (12分)已知函数

1

()ln(1),0

1

x

f x ax x

x

-

=++≥

+

,其中0

a>

()I若()

f x在x=1处取得极值,求a的值;()II求()

f x的单调区间;高考资源网

(Ⅲ)若()

f x的最小值为1,求a的取值范围。

10.(12分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x

+万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元。

(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式;

(Ⅱ)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?高考资源网

11. (12分)若()

f x是二次函数,不等式()0

f x<的解集是(0,5),且()

f x在区间[]

1,4

-上的最大值是12;高考资源网(I)求()

f x的解析式;

(II)是否存在实数,m使得方程37

()0

f x

x

+=在区间(,1)

m m+内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。

12. (14分)已知函数2

()(1)

f x x

=-,数列

{}

n

a是公差为d的等差数列,{}n b是公比为q

(,1

q R q

∈≠)的等比数列.若1(1),

a f d

=-

3

(1),

a f d

=+

1

(1),

b f q

=-

3

(1).

b f q

=+

(Ⅰ)求数列{}n a,{}n b的通项公式;高考资源网

(Ⅱ)若{}n c对n N*

∈,恒有3

12

1

123

23

n

n

n

c c

c c

a

b b b nb+

+++???+=,求

13521

n

c c c c

-

+++???+的值;

(Ⅲ)试比较

31

31

n

n

b

b

-

+

与1

2

n

n

a

a

+

+

的大小.

答案:

1.解:(1)a ⊥b ?sin θ+2cos θ-4sin θ=0?tan θ=3

2

………6分 (2)a ∥b ?2sin θ-(cos θ-2sin θ)=0?tan θ=

4

1

高考资源网

sin θ=-

1717 cos θ=-17

174………………………6分

2.解析:本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推

理能力.

方法一:

(I)证明:因为AC=BC ,M 是AB 的中点, 所以CM⊥AB. 又EA ⊥平面ABC ,

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所以CM⊥EM. (Ⅱ)解:连结MD,设AE=, 则BD=BC=AC=2, 在直角梯形EABD 中, AB=

,M 是AB 的中点,所以DE=3,EM=

,MD=

因此DM⊥EM,

因为CM⊥平面EMD,所以CM⊥DM,因此DM⊥平面EMC, 故∠DEM 是直线DE 和平面EMC 所成的角.

在Rt△EMD 中,MD=EM=,tan∠DEM=

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方法二: 如图,以点为坐标原点,以,分别为轴和轴,过点

作与平面垂直的直线为轴,建立直角坐标系

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,则,,

.

.

高考数学大题练习

(I )证明:因为,

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所以,

故.(II )解:设向量

与平面EMC 垂直,则n ⊥, n ⊥,

即n ·=0,n ·=0. 因为

,

,

所以y 0=﹣1,z 0=﹣2, 即n =(1, ﹣1, ﹣2). 因为

=(),

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cos <n, >=

DE 与平面EMC 所成的角θ是n 与夹角的余角,

所以tan θ=

.

3.解:任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A ,“该人参加过计算机培训”为事件B ,

由题设知,事件A 与B 相互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75.

(Ⅰ)解法一 任选1名下岗人员,该人没有参加培训的概率是 P 1=P(

·

)=P(

)·P(

)=0.4×0.25=0.1.

所以该人员参加过培训的概率是1-P 1=1-0.1=0.9.高考资源网

解法二 任选1名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是 P 2=P(A·

)+P (

·B)=0.6×0.25+0.4×0.75=0.45.

该人参加过两项培训的概率是P 1=P (A·B)=0.6×0.75=0.45. 所以该人参加过培训的概率是P 2+P 1=0.45+0.45=0.9.

(Ⅱ)解法一 任选3 名下岗人员,3人中只有2人参加过培训的概率是 P 4=

×0.92

×0.1=0.243.

3人都参加过培训的概率是P 5=0.93

=0.729.

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是P 4+P 5=0.243+0.729=0.972. 解法二 任选3名下岗人员,3人中只有1人参加过培训的概率是

×0.9×0.12

=0.027.

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3人都没有参加过培训的概率是0.13

=0.001.

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是1-0.027-0.001=0.972.

4.解:(1)由

a b B A =c o s c o s 结合正弦定理得A B B A sin sin cos cos =

,则sin2A=sin2B,则在三角形中有A=B ,或A+B=2

π

当A=B 时,由sinC=cosA 得cosA=sin2A=2sinAcosA 得sinA=2

1

或 cosA=0(舍)

∴A=B=6π,C=32π

当A+B=2

π

时,由sinC=cosA 得cosA=1(舍)

综上:∴A=B=6π,C=3

……………………………………………………(6分)

(2)由(1)知f(x)=sin(2x+6π

)+cos(2x-3π)=sin(2x+6π)+cos(-2π+2x+6

π)

=2sin(2x+6

π

)

由2k π-2π≤2x+6π

≤2k π+2π得k π-3π≤x ≤k π+6

π(k ∈Z ) 所以函数f(x)的单调递增区间为[k π-3π,k π+6

π

](k ∈Z )……………(6分)

相邻两对称轴间的距离为2

π

…………………………………………………(1分)

5.解(1)∵f(2)=2+

2

a =2+22,∴a=2………………………………(3分)

(2)设点P 的坐标为(x 0,y 0),则有y 0=x 0+

2x ,x 0>0

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由点到直线的距离公式可知:|PM|=

2|

|00y x -=

1

x ,|PN|=x 0, 故有|PM|·|PN|=1,即|PM|·|PN|为定值,这个值为1…………………(5分) (3)由题意可设M(t,t),可知N(0,y 0).

∵PM 与直线y=x 垂直,

∴k PM ·1=-1,即

t

x t

y --00=-1, 解得t=

21(x 0+y 0),又y 0=x 0+0

2x ∴t=x 0+

22

x . ∴S △OPM =

2

021x +22,S △OPN =2

12

0x +22高考资源网

∴S △MPN = S △OPM + S △OPN =

2

1(2

0x +201x )+2≥1+2

当且仅当x 0=1时,等号成立。

∴此时四边形OMPN 面积有最小值1+2……………………………………(5分)

6.(1)∵f ’(x)=2

22x

p

x px +-,要使f(x)为单调增函数,须f ’(x)≥0恒成立,即px 2-2x+p ≥0恒成立,即p ≥

122+x x =x x 12+恒成立,又x

x 12+

≤1,

所以当p ≥1时,f(x)在(0,+∞)为单调增函数。

要使f(x)为单调减函数,须f ’(x) ≤0恒成立, 即px 2-2x+0≤0恒成立,即p ≤

122

+x x =x x 12+恒成立,又x

x 12+>0, 所以当p ≤0时,f(x)在(0,+ ∞)为单调减函数。

综上所述,f(x)在(0,+∞)为单调函数,p 的取值范围为p ≥1或p ≤0…(4分)

(2)∵f ’(x)=p+

x

x p 2

2-,∴f ’(1)=2(p-1),设直线l :y=2(p-1)(x-1), y=2(p-1)(x-1) y=x

e 2

当p=1时,方程无解;当p ≠1时由△=(p-1)2-4(p-1)(-e)=0,

得p=1-4e ,综上,p=1-4e ……………………………………………………(4分) (3)因g(x)=

x

e

2在[1,e]上为减函数,所以g(x)∈[2,2e] ①当p ≤0时,由(1)知f(x)在[1,e]上递减?f(x)max =f(1)=0<2,不合题意

②当p ≥1时,由(1)知f(x)在[1,e]上递增,f(1) <2,又g(x)在[1,e]上为减函数,故只需f(x)max >g(x)min ,x ∈[1,e],

即:f(e)=p(e-

e 1)-2lne >2?p >1

42-e e . ③当0<p <1时,因x-x

1

≥0,x ∈[1,e]

所以f(x)=p(x-x 1)-2lnx ≤(x-x 1)-2lnx ≤e-e

1

-2lne <2不合题意

综上,p 的取值范围为(1

42-e e

,+∞)……………………………………(5分)

7、解:由P 知,a =0或???

??≤<,11,0a

a 解得a ≤0.

由Q 知,Δ=(-2a )2

-4(4a +5)<0,解得-1

“﹁P 或Q ”为真,“﹁P 且Q ”为假,∴P 与Q 一真一假; 若P 正确,Q 不正确,则有??

?≥-≤≤.

51,

0a a a 或∴a ≤-1.高考资源网

若P 不正确,Q 正确,则有?

??<<->.51,

0a a ∴0

8、

∵l 与g(x)图象相切,∴ 得(p-1)(x-1)=x

e ,即(p-1)x 2-(p-1)x-e=0

9、解:(Ⅰ)222

22

'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=

-=++++高考资源网

∵()f x 在x=1处取得极值,∴2

'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a =

(Ⅱ)222

'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=

++

∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时,在区间(0,)'()0,f x +∞>上,∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞

②当02a <<时,由22'()0,'()0,a

a

f x x f x x a a

-->>

<<解得由解得 ∴()),a a

f x a a

+∞2-2-的单调减区间为(0,

单调增区间为(,). (Ⅲ)当2a ≥时,由(Ⅱ)①知,()(0)1;

f x f =的最小值为高考资源网

当02a <<时,由(Ⅱ)②知,

min =f(x)2()(0)1,a

f f a

-<=矛盾。 综上可知,若()f x 得最小值为1,则a 的取值范围是[2,).+∞ 10、解:(Ⅰ)设需要新建n 个桥墩,(1)1m n x m x +=-,即n=

所以 (2)m m

x x x x x

+y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+

x m 256= 256

2256.x m x m x

=++-

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,33

2222561'()(512).22m m f x mx x x x

=

-+=-)512(22125623

22

1

2-=+-=-x x m mx x m 高考资源网

令'()0f x =,得3

2

512x =,所以x =64 高考资源网

当0

当64640x <<时,'()f x >0. ()f x 在区间(64,640)内为增函数, 所以()f x 在x =64处取得最小值,此时,640119.64

m n x =-=-= 故需新建9个桥墩才能使y 最小。

11、解:(I )()f x 是二次函数,且()0f x <的解集是(0,5),

∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=

由已知,得612,a =22,()2(5)210().a f x x x x x x R ∴=∴=-=-∈高考资源网

(II )方程37()0f x x +=等价于方程32210370.x x -+=

设32()21037,h x x x =-+则2

'()6202(310).h x x x x x =-=- 当10(0,)3

x ∈时,'()

0,(h x h x <是减函数;当

10

(,)

3

x ∈+∞时,'()0,(h x h x >是增函数。

101

(3)10,()0,(4)50,327

h h h =>=-<=>

∴方程()0h x =在区间1010(3,),(,4)33

内分别有惟一实数根,而在区间(0,3),(4,)+∞内没有实数根,所以

存在惟一的自然数3,m =使得方程37()0f x x

+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根。

12、解:(Ⅰ) ∵ 312a a d -=, ∴ (1)(1)2f d f d d +--=. 即 22

(2)2d d d --=, 解得 d =2.

∴ 1(21)0a f =-=. ∴ 2(1)n a n =-. ………………………………… 2分 ∵ 231b q b =, ∴

22

2(1)(1)(2)f q q q f q q +==--. ∵ 0, 1q q ≠≠, ∴ 3q =.高考资源网

又1(1)1b f q =-=, ∴ 1

3n n b -=.………………………………………… 4分

(Ⅱ) 由题设知 1

2

1c a b =, ∴1212c a b ==. 当2n ≥时, 3112

1

123

123(1)n n n n n

c c c c c a b b b n b nb -+-+++

+

+=-, 31

12

123

1

23(1)n n

n c c c c a b b b n b --++++

=-,

高考资源网

两式相减,得12n

n n n c a a nb +=-=.

1

223n n n c nb n -== (

1122

c b a ==适合).…………………………… 7分

设T=

13521

n c c c c -++++,

24

22

263103(42)3n T n -=+?+?++-高考资源网

224622232363103(46)3(42)3n n T n n -=?+?+?+

+-+-

两式相减 ,得

2422282434343(42)3n n T n --=+?+?+

+?--

19(91)

24(42)991n n n --=+?---1929(42)922n n

n =+?---? 55

94922n n

n =-+?-.

255

()316216n n T =

+-.………………………………………………… 9分

(Ⅲ) 3131n n b b -+31=31

n n -+2131n

=-+, 12n n a a ++2212(1)22n n n ==-++. 现只须比较31n

+与22n +的大小.

高考资源网

当n=1时, 31422n

n +==+;

当n=2时, 3110226n

n +=>+=;

当n=3时, 3128228n

n +=>+=;

当n=4时, 31822210n

n +=>+=.

高考资源网

猜想2n ≥时,3122n

n +>+.

用数学归纳法证明

(1)当n=2时,左边3110n =+=,右边226n =+=,3122n

n +>+成立.

(2)假设当n=k 时, 不等式成立,即3122k

k +>+.

当n=k+1时, 1

3

13313123k k k k ++=?+=++?

2223222k k k >++?>++2(1)2k =++.

即当n=k+1时,不等式也成立.

由(1)(2),可知2n ≥时,3122n

n +>+都成立.

高考资源网

所以 3122n

n +≥+(当且仅当n =1时,等号成立)

所以2131n -

+2122n ≥-+.即3131n n

b b -+12n n a a ++≥. …………………………… 14分