高考数学大题
1.(12分)已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2) (1)若a ⊥b ,求tan θ的值;
(2)若a ∥b ,且θ为第Ⅲ象限角,求sin θ和cos θ的值。
2.(12分) 在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,且AC=BC=BD=2AE ,M 是AB 的中点.
(I)求证:CM ⊥EM:高考资源网
(Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值.
3.(13分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加
两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的
有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
(Ⅱ)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培训的概率.高考资源网
4.(12分)
在△ABC 中,∠A .∠B .∠C 所对的边分别为a .b .c 。
若
B A cos cos =a
b
且sinC=cosA 高考资源网
(1)求角A .B .C 的大小; (2)设函数f(x)=sin (2x+A )+cos (2x-2
C
),求函数f(x)的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离。
5.(13分)已知函数f(x)=x+
x
a
的定义域为(0,+∞)且f(2)=2+22,设点P 是函数图象上的任意一点,
过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线,垂足分别为M ,N.
高考资源网
(1)求a 的值;
(2)问:|PM|·|PN|是否为定值?若是,则求出该定值,
若不是,则说明理由:
(3)设O 为坐标原点,求四边形OMPN 面积的最小值。
6.(13分)设函数f(x)=p(x-
x 1)-2lnx,g(x)=x
e 2(p 是实数,e 为自然对数的底数) (1)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围;
(2)若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求p 的值; (3)若在[1,e]上至少存在一点x 0,使得f(x 0)>g(x 0)成立,求p 的取值范围.高考资源网
7. (12分)设P:函数y =ax2-2x+1在[1,+∞)内单调递减,Q:曲线y=x2-2ax+4a+5与x轴没有交点;如果“﹁P或Q”为真,“﹁P且Q”为假,求a的取值范围.高考资源网
8.(12分)从集合{}
1,2,3,4,5的所有非空子集
....中,等可能地取出一个。
(Ⅰ) 记性质r:集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r的概率;
(Ⅱ) 记所取出的非空子集的元素个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ高考资源网
9. (12分)已知函数
1
()ln(1),0
1
x
f x ax x
x
-
=++≥
+
,其中0
a>
()I若()
f x在x=1处取得极值,求a的值;()II求()
f x的单调区间;高考资源网
(Ⅲ)若()
f x的最小值为1,求a的取值范围。
10.(12分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x
+万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元。
(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式;
(Ⅱ)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?高考资源网
11. (12分)若()
f x是二次函数,不等式()0
f x<的解集是(0,5),且()
f x在区间[]
1,4
-上的最大值是12;高考资源网(I)求()
f x的解析式;
(II)是否存在实数,m使得方程37
()0
f x
x
+=在区间(,1)
m m+内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。
12. (14分)已知函数2
()(1)
f x x
=-,数列
{}
n
a是公差为d的等差数列,{}n b是公比为q
(,1
q R q
∈≠)的等比数列.若1(1),
a f d
=-
3
(1),
a f d
=+
1
(1),
b f q
=-
3
(1).
b f q
=+
(Ⅰ)求数列{}n a,{}n b的通项公式;高考资源网
(Ⅱ)若{}n c对n N*
∈,恒有3
12
1
123
23
n
n
n
c c
c c
a
b b b nb+
+++???+=,求
13521
n
c c c c
-
+++???+的值;
(Ⅲ)试比较
31
31
n
n
b
b
-
+
与1
2
n
n
a
a
+
+
的大小.
答案:
1.解:(1)a ⊥b ?sin θ+2cos θ-4sin θ=0?tan θ=3
2
………6分 (2)a ∥b ?2sin θ-(cos θ-2sin θ)=0?tan θ=
4
1
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sin θ=-
1717 cos θ=-17
174………………………6分
2.解析:本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推
理能力.
方法一:
(I)证明:因为AC=BC ,M 是AB 的中点, 所以CM⊥AB. 又EA ⊥平面ABC ,
所以CM⊥EM. (Ⅱ)解:连结MD,设AE=, 则BD=BC=AC=2, 在直角梯形EABD 中, AB=
,M 是AB 的中点,所以DE=3,EM=
,MD=
因此DM⊥EM,
因为CM⊥平面EMD,所以CM⊥DM,因此DM⊥平面EMC, 故∠DEM 是直线DE 和平面EMC 所成的角.
在Rt△EMD 中,MD=EM=,tan∠DEM=
方法二: 如图,以点为坐标原点,以,分别为轴和轴,过点
作与平面垂直的直线为轴,建立直角坐标系
,
设
,则,,
.
,
.
(I )证明:因为,
,
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所以,
故.(II )解:设向量
与平面EMC 垂直,则n ⊥, n ⊥,
即n ·=0,n ·=0. 因为
,
,
所以y 0=﹣1,z 0=﹣2, 即n =(1, ﹣1, ﹣2). 因为
=(),
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cos <n, >=
DE 与平面EMC 所成的角θ是n 与夹角的余角,
所以tan θ=
.
3.解:任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A ,“该人参加过计算机培训”为事件B ,
由题设知,事件A 与B 相互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75.
(Ⅰ)解法一 任选1名下岗人员,该人没有参加培训的概率是 P 1=P(
·
)=P(
)·P(
)=0.4×0.25=0.1.
所以该人员参加过培训的概率是1-P 1=1-0.1=0.9.高考资源网
解法二 任选1名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是 P 2=P(A·
)+P (
·B)=0.6×0.25+0.4×0.75=0.45.
该人参加过两项培训的概率是P 1=P (A·B)=0.6×0.75=0.45. 所以该人参加过培训的概率是P 2+P 1=0.45+0.45=0.9.
(Ⅱ)解法一 任选3 名下岗人员,3人中只有2人参加过培训的概率是 P 4=
×0.92
×0.1=0.243.
3人都参加过培训的概率是P 5=0.93
=0.729.
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是P 4+P 5=0.243+0.729=0.972. 解法二 任选3名下岗人员,3人中只有1人参加过培训的概率是
×0.9×0.12
=0.027.
3人都没有参加过培训的概率是0.13
=0.001.
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是1-0.027-0.001=0.972.
4.解:(1)由
a b B A =c o s c o s 结合正弦定理得A B B A sin sin cos cos =
,则sin2A=sin2B,则在三角形中有A=B ,或A+B=2
π
当A=B 时,由sinC=cosA 得cosA=sin2A=2sinAcosA 得sinA=2
1
或 cosA=0(舍)
∴A=B=6π,C=32π
当A+B=2
π
时,由sinC=cosA 得cosA=1(舍)
综上:∴A=B=6π,C=3
2π
……………………………………………………(6分)
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+6π
)+cos(2x-3π)=sin(2x+6π)+cos(-2π+2x+6
π)
=2sin(2x+6
π
)
由2k π-2π≤2x+6π
≤2k π+2π得k π-3π≤x ≤k π+6
π(k ∈Z ) 所以函数f(x)的单调递增区间为[k π-3π,k π+6
π
](k ∈Z )……………(6分)
相邻两对称轴间的距离为2
π
…………………………………………………(1分)
5.解(1)∵f(2)=2+
2
a =2+22,∴a=2………………………………(3分)
(2)设点P 的坐标为(x 0,y 0),则有y 0=x 0+
2x ,x 0>0
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由点到直线的距离公式可知:|PM|=
2|
|00y x -=
1
x ,|PN|=x 0, 故有|PM|·|PN|=1,即|PM|·|PN|为定值,这个值为1…………………(5分) (3)由题意可设M(t,t),可知N(0,y 0).
∵PM 与直线y=x 垂直,
∴k PM ·1=-1,即
t
x t
y --00=-1, 解得t=
21(x 0+y 0),又y 0=x 0+0
2x ∴t=x 0+
22
x . ∴S △OPM =
2
021x +22,S △OPN =2
12
0x +22高考资源网
∴S △MPN = S △OPM + S △OPN =
2
1(2
0x +201x )+2≥1+2
当且仅当x 0=1时,等号成立。
∴此时四边形OMPN 面积有最小值1+2……………………………………(5分)
6.(1)∵f ’(x)=2
22x
p
x px +-,要使f(x)为单调增函数,须f ’(x)≥0恒成立,即px 2-2x+p ≥0恒成立,即p ≥
122+x x =x x 12+恒成立,又x
x 12+
≤1,
所以当p ≥1时,f(x)在(0,+∞)为单调增函数。
要使f(x)为单调减函数,须f ’(x) ≤0恒成立, 即px 2-2x+0≤0恒成立,即p ≤
122
+x x =x x 12+恒成立,又x
x 12+>0, 所以当p ≤0时,f(x)在(0,+ ∞)为单调减函数。
综上所述,f(x)在(0,+∞)为单调函数,p 的取值范围为p ≥1或p ≤0…(4分)
(2)∵f ’(x)=p+
x
x p 2
2-,∴f ’(1)=2(p-1),设直线l :y=2(p-1)(x-1), y=2(p-1)(x-1) y=x
e 2
当p=1时,方程无解;当p ≠1时由△=(p-1)2-4(p-1)(-e)=0,
得p=1-4e ,综上,p=1-4e ……………………………………………………(4分) (3)因g(x)=
x
e
2在[1,e]上为减函数,所以g(x)∈[2,2e] ①当p ≤0时,由(1)知f(x)在[1,e]上递减?f(x)max =f(1)=0<2,不合题意
②当p ≥1时,由(1)知f(x)在[1,e]上递增,f(1) <2,又g(x)在[1,e]上为减函数,故只需f(x)max >g(x)min ,x ∈[1,e],
即:f(e)=p(e-
e 1)-2lne >2?p >1
42-e e . ③当0<p <1时,因x-x
1
≥0,x ∈[1,e]
所以f(x)=p(x-x 1)-2lnx ≤(x-x 1)-2lnx ≤e-e
1
-2lne <2不合题意
综上,p 的取值范围为(1
42-e e
,+∞)……………………………………(5分)
7、解:由P 知,a =0或???
??≤<,11,0a
a 解得a ≤0.
由Q 知,Δ=(-2a )2
-4(4a +5)<0,解得-1 “﹁P 或Q ”为真,“﹁P 且Q ”为假,∴P 与Q 一真一假; 若P 正确,Q 不正确,则有?? ?≥-≤≤. 51, 0a a a 或∴a ≤-1.高考资源网 若P 不正确,Q 正确,则有? ??<<->.51,