小学奥数知识名师点拨 例题精讲 工程问题(二).教师版

工程问题（二）

教学目标

1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；

3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；

4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．

知识精讲

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念

定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”

工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

例题精讲

模块一、工程问题——变速问题

【例 1】甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字．前后共打50分钟，前25

分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共（ ）字．

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 、

【关键词】走美杯，三年级，初赛，四年级

【解析】由“前25分钟比后25分钟少打640个字”，可知：多打这640个字需要的时间是：640÷32=20（分钟），

那么就知饭前用了30分钟，饭后用了20分钟，如果这640个字全部用饭前的速度打，则需要10分钟，故可知饭前的速度是64个字每分钟，饭后的速度是96个字每分钟，则文稿一共有：64×30+96×20=3840个字。

【答案】3840

【例 2】工厂生产一批产品，原计划15天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计

划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务，则这批产品有 件。

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 、

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】设工厂原计划每天生产产品件，则改进生产工艺后每天生产产品的数量为件。x 51011

x + 根据题意有，解得。所以这批产品共有11×15=165（件）。515(10)1111

x x =+?11x =【答案】165件

【例 3】甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040

元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】开始时甲队拿到元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为；

840050403360-=3360:50402:3=甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为．设甲开始时的工效为(3360960):(5040960)18:17+-=“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需天才能完成任务．有x (244):(343)18:17x x ?+?+=，化简为，解得．工程总量为，所以原计划2165413668x x +=+407x =

40547607

?+?=天完成．60(23)12÷+=【答案】天

12【例 4】甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做110

时提高．甲、乙两人合作小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了小时，还留下这件15625

6工作的

尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？1330

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】人大附中【解析】乙的工作效率是：，甲的工作效率是：，所以，2131(1653036--÷=215111(6(1)53651033+÷-?÷+=

单独由甲做需要：(小时)．113333

÷

=【答案】小时33【巩固】一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的，乙只能完成原来的．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要45910

合做多少天?

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由

甲单独完成．现设两人合作天，则甲单独做8-天，于是得到方程(×80％+×90％) ×x +110

×(8-x x 110115x )=l ，解出x =5.所以，在满足条件下，两人至少要合作5天．

【答案】5天

【巩固】要发一份资料，单用A 传真机发送，要10分钟；单用B 传真机发送，要8分钟；若A 、B 同时发送，

由于相互干扰，A 、B 每分钟共少发0.2页。实际情况是由A 、B 同时发送，5分钟内传完了资料（对方可同时接收两份传真），则这份资料有________页。

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】希望杯，六年级，一试

【解析】没受干扰时传真机的合作工作效率为，而实际的工作效率为，所以这份资料共有11910840+=15

（页）910.2(

8405

÷-=【答案】5天【例 5】甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，

甲清理的速度比乙快，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从13

开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具

后又工作了多少分钟？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】四中，入学测试，希望杯，六年级，2试

【解析】法一：直接求

首先求出甲的工作效率，甲个小时完成了米的工作量，因此每分钟完成（米），120010200603

÷=开始的时候甲的速度比乙快，也就是说乙开始每分钟完成为（米），换工具之后，13101(1) 2.533

÷+=工作效率提高一倍，因此每分钟完成（米），问题就变成了，乙分钟扫完了米的雪，2.525?=50200前若干分钟每分钟完成米，换工具之后的时间每分钟完成了米，求换工具之后的时间。这是一2.55个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫米，那么分钟应该能扫2.550 2.550125?=（米），比实际少了（米），这是因为换工具后每分钟多扫了（米），因此20012575-=5 2.5 2.5-=换工具后的工作时间为（分钟）.

75 2.530÷=法二：其实这个问题当中的米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之400间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为，甲比他快31

3

，甲每分钟可以清理，分钟之后，甲一共清理了份的工作量，乙和他的工作总量相460460240?=同，也是份，但是乙之前的工作效率为，换工具后的工作效率为，和（法一）相同的，利用24036鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了分钟。

(240350)(63)30-?÷-=【答案】分钟

30【例 6】甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的时，乙完成了任务的12

还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下2012

7.5个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】十三分，入学测试【解析】当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个，这时乙比甲少完成40个；1212

当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个；

所以在后来的小时内，乙比甲多完成了个，那么乙比甲每小时多完成7.5402060+=607.58÷=个．所以提高工效后乙每小时完成个．

40848+=【答案】个

48【例 7】甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15

天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降．结果两队同时完成工作，40%10%问工作时间内下了多少天雨？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高；在雨天，112115*********

-=一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高()11140%1220?-=()13110%1550

?-=．由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的3115020100-=11:5:360100

=，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天．1113512202

?+?=方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会继续出现。

【答案】10个雨天

【例 8】一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施

工，工作效率提高20％．当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖14

了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土?

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】甲、乙合作时工作效率为(+)×(1+20%)=．则的工程量需14÷27200

= (天)，则遇到地11612027200145027下水后，甲、乙两队又工作了10-5027=(天)．则此时甲、乙合作的工作效率为÷22027=220273481880

．遇到地下水前后工作效率的差为:

27200-81880=，则总工作量为47.25÷1894400=1100方土.1894400

【答案】1100方土

【例 9】甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨

天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工．那

30%80%么在施工期间，下雨的天数是 天．

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，1试【解析】在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为和，甲队比乙队的工作效率高；110116113101680

-= 在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为和，乙队的工作效率比甲队高1330%10100?=1180%1620

?=．由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间，晴1312010050

-=天与雨天的天数比为．13:8:155080=如果有8个晴天，则甲共完成工程的

，而实际的工程量为1，所以在施工期间，13815 1.2510100?+?=共有个晴天，个雨天．

8 1.25 6.4÷=15 1.2512÷=【答案】个雨天

12【例 10】一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，上午在甲工地工作112

的人数是乙工地人数的3倍，下午这批工人中的在乙工地工作。一天下来，甲工地的工作已完成，512

乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有 人。

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】 “甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍”说明甲、乙的工作量只比为3：2。112

可设这批工人有X 人，每个工人的工效都为1，列式为：

X ：（X+4）=3：234512

X=X+126454 X=1214

X=48 所以这批工人有48人。

【答案】48人

模块二、工程问题方法与技巧整体分析法

【例 11】甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的，乙生产的个数是甲、12

丙两人生产个数之和的，丙生产了50个。这批玩具共有_________________个.13

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，二试

【解析】如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系，可能会略显复杂，我们需要引入一个中间量：甲乙丙三人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的

，则总和为，甲占了份，甲占了总数的；乙是甲丙和123113的，同理可知乙占了总数的，那么可知丙生产的玩具占总数的，所以总数是131411513412

--=（个）.55012012÷

=【答案】个

120【例 12】几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来

留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】西城实验

【解析】有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地的草(甲地草的

)，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草，每人每天割141434草为，全部的草为甲地草的，，所以共有20名学生．3112416÷=545120416

÷=【答案】20名学生

【巩固】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍．上午去甲112

工地的人数是去乙工地人数的倍，下午这批工人中有的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍3712

晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需名工人再做天，那么这批工人有多少人？

41【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有人．

12x 那么上午有人在甲工地，有人在乙工地；下午有人在甲工地，有人在乙工地．所以甲工地9x 3x 7x 5x 相当于人做了一整天；乙工地相当于人做了一整天．

()9728x x x +÷=()3524x x x +÷=由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量32是2份．人做一整天完成3份，那么人做一整天完成

份，所以乙工地还剩下8x 4x 3231222-=份．这份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要人做一整天，即，12143242???÷= ??

?824x =可得，那么这批工人有(人)．

3x =12336?=【答案】人

36【例 13】有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小

时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后

两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲 小时，帮乙 小时．

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，2试

【解析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们完

成工作的总时间为小时．在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙111212()67144

÷++=则在两个仓库都搬运过．甲完成的工作量是，所以丙帮甲搬了的货物，丙帮甲做1217648?=71188

-=的时间为小时，那么丙帮乙做的时间为小时．11318144÷=213113442

-=【答案】丙帮甲小时，丙帮乙小时．314132

【巩固】搬运一个仓库的货物，甲需小时，乙需小时，丙需小时．有同样的仓库和，甲在仓

101215A B A 库，乙在仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓B 库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：小时，丙帮助甲搬运了小1112()8101215÷++=111831015

??-?÷= ???时，丙帮助乙搬运了小时．

835-=【答案】小时

5【例 14】甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、A B B A 14

丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天．现在让甲队做工程，乙

A 202430A 队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做

B B A

工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，

即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设工程的工作总量为单位“1”，A 那么工程的工作量就是“”，那么这个问题就和例联系到了一起了。B 54

5三队合作完成两项工程所用的天数为：天。天里，乙队一直在完成51111184202430????+÷++= ? ?????

18B 工作，因此乙的工作量为，剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在工程上用了1318244

?=B B 天也就是说两队合作了天。531154430

??-÷= ???15解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率工作时间工作总量，表示出各个?=工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率．

【答案】天

15【例 15】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小

时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在仓库，乙

A 在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在仓库搬了多长时间？

B A 【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】因为、两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作，那么8小时可

A B 以搬完．因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是，所以甲每小时可以完成大111::6:5:4101215

=

仓库工作量的，丙每小时可以完成大仓库工作量的．那么甲16小161865420?=++141865430

?=++时完成了仓库的

，丙在仓库搬了小时．A 1416205?=A 41(16530

-÷=【答案】小时

6【例 16】一项工程，乙单独做要天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用

17整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天

完工．问：甲单独做需要几天？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做

的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为和，那么，所1V 2V 12112

V V V =+以，乙单独做要用天，甲的工作效率是乙的倍，所以甲单独做需要天．

122V V =1721728.5÷=【答案】天

8.5【例 17】一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，

再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用________小时。

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】甲乙合做1小时后，还剩下：，甲乙单独做2小时，共做，还需要做2×5=1011171151220--=113151220+=小时，还剩下，需要甲做1小时，还有，乙还需要做小时，一共需要1+10+1+ 110111101260-=11160154

÷=0.25=12.25小时

【答案】天

8.5【例 18】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替

甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了

多少小时？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】① 若甲、乙两人合作共需多少小时？

（小时）．11511171218365??÷+=÷= ???

②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？

．1135117112183636??-?+=-= ???

③余下的

由甲独做需要多少小时？136 （小时）．11136123

÷= ④共用了多少小时？ （小时）．11721433?+

=在工程问题中，转换条件是常用手法．本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时，

也就是每2小时，相当于两人合做1小时．这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．

【答案】小时1143

【巩固】一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每

610次小时，那么需要多长时间完成？

1【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】甲小时完成整个工程的，乙小时完成整个工程的，交替干活时两个小时完成整个工程的1161110

，甲、乙各干小时后完成整个工程的，还剩下，甲再干小时完成整个工11461015+=3443155?=15

1程的，还剩下，乙花小时即分钟即可完成．所以需要小时分钟来完成整个工程．1613013

20720【答案】小时分钟

720【巩固】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一

个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？

9.89.6【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】根据题意，有：，可知，甲做小时与乙做小时10.810.6++ 甲乙甲乙甲小时乙小时乙甲乙甲乙小时甲小时

10.60.4-=10.80.2-=的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量．

所以，乙单独工作需要小时．

9.85527.3-+÷=【答案】小时

7.3【例 19】公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、

丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】迎春杯，高年级，初赛

【解析】考虑水池减去甲乙丙两小时总和后的容积，则此部分按照甲乙丙的顺序灌刚好在整数小时后灌满，

按照乙丙甲的顺序灌少用15分钟，按照丙乙甲的顺序灌多用15分钟，三个一起灌用20分钟．所以速度应该是乙最快，甲居中，丙最慢．也就是说，此部分是甲灌1个小时后灌满．甲灌1个小时的水=乙灌45分钟的水=丙灌1个小时的水+乙灌15分钟的水．所以灌水速度甲乙丙，也∶∶3

42∶∶=就是甲刚好是平均数．所以只用甲管灌满需要7小时．

【答案】7小时

【例 20】为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水

管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水。水池建成后，发现水池漏水。这时，

若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满。则当池水注满，并且关闭进水管与出水管时，经过 小时池水就会漏完。

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】希望杯

【解析】设满水池水位单位“1”，水池漏水相当于一个工作效率为的出水管，因此关闭进水管与出水管，1111341484

--=

经过84小时池水就会漏完

【答案】84小时

【例 21】蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需小时；排光一池水，单开排水

5管需小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开小时．问：31多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】法一：

小时排水比小时进水多，，说明排水开了小时后（实际加上进水3111123515-=121321510

÷= 3小时，已经过去小时了），水池还剩一池子水的

，6110再过小时，水池里的水为一池子水的，111310510+=把这些水排完需要小时，不到1小时，31910310

÷=所以共需要 小时小时分．996171010++

=7=54法二：小时排水比小时进水多，，111123515-=211415230?-=说明小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的

，8130排一池子需要小时，排一池子水的需要小时，31301133010?=所以实际需要小时小时分．19871010

-

=7=54【答案】小时分754【巩固】一项工程，甲、乙合作小时可以完成，若第小时甲做，第小时乙做，这样交替轮流做，恰3125

12好整数小时做完；若第小时乙做，第小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小时，1213

那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同，不会多小时，与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲做的，13第二种做法中最后小时是甲做的，而这小时之前的一小时是乙做的，所以乙甲甲，得乙131313+=23

=甲．甲、乙工作效率之和为：，甲的工作效率为：，35112563÷=5231(16336321

÷+== 所以甲单独做的时间为(小时)．112121

÷=【答案】小时

21

【例 22】甲、乙、丙3队要完成A ，B 两项工程．B 工程的工作量比A 工程的工作量多．甲、乙、丙3队14

单独完成A 工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做A 工

程，乙、丙两队共同做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程．那么，丙队与乙

队合作了多少天?

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】设A 项工程的工程总量为“1”，那么B 工程的工程总量为，A 、B 两项工程的工程总量为1+=545494．而甲、乙、丙合作时的工作效率为

++=，甲、乙、丙始终在同时工作，所以两项工程12012413018同时完成时所需的时间为

94÷=18(天)．在这18天，乙完成18×124=的工程量，则B 工程中剩下1834的54-=的工程量是由丙帮助完成，即÷=15(天)．即丙队与乙队合作了15天．341212130【答案】15天

【例 23】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需小时，单开丙管需

3要小时，要排光一池水，单开乙管需要小时，单开丁管需要小时，现在池内有的水，若按54616

甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开小时，问多少时间后水开始溢出水池？1【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答

【解析】甲乙丙丁顺序循环各开小时可进水：，循环次后水池还空：，111117345660-+-=5171156604

--?=的工作量由甲管注水需要：(小时)，所以经过小时后水开始溢出水池．14113434÷=33452044

?+=【答案】3

204

【例 24】一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成．现在甲先做小时，然后乙做小时，再

503012由甲做小时，接着乙做小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？

34【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答

【解析】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：，，1357165050+++=2468203030

+++=此时剩下的工作量为．还需甲做(小时)，162011(503075-+=11275503

÷=所以共需(小时)．22(1357)(2468)3633++++++++

=【答案】(小时)2363

【例 25】甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，

若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比

原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工

10作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？

【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答

【解析】首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成．如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一

天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、丙的

顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、

甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完成，这样有，可得；而按丙、甲、12+=++甲乙乙丙甲12

=丙甲乙的顺序去做，最后由乙做了半天来完成，这样有，可得．那么12+=++甲乙丙甲乙12

=丙，即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合．所以按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天是由

=甲乙甲完成的．那么有，可得，．这项工作由甲、乙、丙三人一1122=+=+甲乙丙丙甲34=乙甲12

=丙甲起做，要用天．131411410429????÷?++= ???????

【答案】天449

【例 26】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，

若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮12流工作一天，则比原计划多用天．已知甲单独完成这件工作需天．问：甲、乙、丙一起做13

10.75这件工作，完成工作要用多少天？

【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答

【解析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．容易知道，第一种情况下一定不是完整周

期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期天，第二种可能是完整周期1+2

+天．如果是第一种可能，有，得．然而此时甲、乙、丙的效率1123=+=+甲乙丙丙23

==乙丙甲和为，经过4个周期后完成，还剩下，而甲每天12228110.7533129???++= ???281124129129?=112171129129-=完成，所以剩下的不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不符，所以假141210.7543129==17129

设不成立．再看第二种可能：

完整周期

不完整周期完成总工程量第一种情况

个周期n 甲1天，乙1天“1”第二种情况

个周期n 乙1天，丙1天，甲天12“1”第三种情况个周期n 丙1天，甲1天，乙天13“1”可得，所以，．因为甲单独做需天，所以1123+=++=++甲乙乙丙丙甲乙12=丙甲34

=乙甲10.75工作效率为，于是乙的工作效率为，丙的工作效率为．44343343443?=41243243

?=于是，一个周期内他们完成的工程量为

．则需个完整周期，剩下432943434343++=91443??÷=????的工程量；正好甲、乙各一天完成．所以第二种可能是符合题意的．于是，根据第二97144343

-?=

种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是，所以三人合作完成工作需要943天．9437144399

÷==【答案】天749

小学数学教师考试试卷

一、填空(每空0.5分，共20分) 1、数学是研究( 数量关系)和( 空间形式)的科学。 2、数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现(基础性)、(普及性)和(发 展性)。义务教育的数学课程应突出体现(全面)、(持续)、(和谐发展)。 3、义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：(人 人都能获得良好的数学教育)，(不同的人在数学上得到不同的发展)。 4、学生是数学学习的(主体)，教师是数学学习的( 组织者)、( 引导者)与(合作者)。 5、《义务教育数学课程标准》(修改稿)将数学教学内容分为(数与代数)、(图形与几 何)、(统计与概率)、( 综合与实践)四大领域；将数学教学目标分为(知识与技能)、(数学与思考)、(解决问题)、(情感与态度)四大方面。 6、学生学习应当是一个(生动活泼的)、主动的和(富有个性)的过程。除(接受学习) 外，(动手实践)、(自主探索)与(合作交流)也是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、(计算)、推理、(验证)等活动过程。 7、通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数 学的“四基”包括(基础知识)、(基本技能)、(基本思想)、( 基本活动经验)；“两能” 包括(发现问题和提出问题能力)、 (分析问题和解决问题的能力)。 8、教学中应当注意正确处理：预设与(生成)的关系、面向全体学生与(关注学生个体差 异)的关系、合情推理与(演绎推理)的关系、使用现代信息技术与(教学手段多样化)的关系。 二、简答题：(每题5分，共30分) 1、义务教育阶段的数学学习的总体目标是什么？ 通过义务教育阶段的数学学习，学生能： (1). 获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、 基本活动经验。 (2). 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的 思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。 (3). 了解数学的价值，激发好奇心，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养 成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。 2、课程标准对解决问题的要求规定为哪四个方面？ (1)初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问 题，发展应用意识和实践能力。 (2)获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新 意识。 (3)学会与他人合作、交流。 (4)初步形成评价与反思的意识。 3、“数感”主要表现在哪四个方面？ 数感主要是指关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计、数量关系等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 4、课程标准的教学建议有哪六个方面？ (1)．数学教学活动要注重课程目标的整体实现； (2)．重视学生在学习活动中的主体地位； (3)．注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握；

关于小学一二年级的奥数知识点汇总

关于小学一二年级的奥数知识点汇总 一、数与代数方面 数与代数在一、二年级的学习中占了很大比重，比如：认识万以内的数、找数的规律、奇数和偶数、速算和巧算、等量代换、简单的排列和组合问题、数的拆分、数字谜、数阵图、简单的周期问题等，通过这些内容的学习让学生初步建立数感，提高计算、估算的能力，开拓思维，培养学生多元化解答的数理逻辑发散思维。具体内容如下： 1、数的认识：主要学习万以内数的认识，包括数的组成，如何把数拆分，如何判断奇数和偶数等。 2、找数的规律：主要内容包括让学生认识简单的等差数列、等比数列，能通过一列数来发现这一列数的规律，并能继续往下填写，还能发现简单数阵的规律。 3、速算和巧算：主要学习凑整法、带符号搬家、减法的巧算、找基准数等方法。 4、数字谜和数阵图：这部分的内容包括巧填算符，会填三四位数加减法算式谜，能通过找简单的重叠数填数阵图。 5、简单的周期问题：这部分将引导学生提前学习有余数的除法，通过有余数除法的计算来解决一些简单的周期问题。 6、另外：我们还会在一年级提前学习100以内进位加减法，在一年级升二年级时提前学习乘除法，整个代数方面我们会和学校教材紧密结合，即巩固基础又提高能力。 二、空间与图形方面 围绕这个教学目标，我们设置了如下内容：如认识简单立体和平面图形，感受平移、旋转、对称等现象，学会描绘物体相对的位置，会按一定的方法来数各种图形，会找到各种图形之间的内在联系，进行图形的分割和拼组，简单的图形周长的计算等。通过这些内容的学习，学生能建立初步的空间观念，为更高年级的几何学习打好基础。具体内容如下： 1、认识立体图形和平面图形：主要让学生认识常见的立体图形和平面图形，了解它们的特点，并能知道它们的组成。 2、图形的计数：在认识图形的基础上我们继续学习怎样计数，主要内容包括数线段、三角形、长方形、小方块，掌握数图形的一般方法，并能数一些较复杂的图形。

小学奥数知识点归纳和总结

小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类： 一、运算符号类 二、规律填数类 三、规律画图类 四、年龄问题类 五、间隔问题类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题类 七、有序思考类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练类（包含算式类） 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类（包含巧切西瓜） 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类（含数量关系、重叠问题、） 三年级奥数知识点分类： 一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。 二、应用题类 从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。 (1)和倍、差倍问题： 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，和倍问题：小数=和÷(倍数+1)。三、差倍问题： 小数=差÷(倍数-1) (2)年龄问题： 教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。 (3)盈亏问题： 介绍盈亏问题的主要形式 (双盈、双亏、一盈一亏) 分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。 (4)植树问题： 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株距×段数，封闭图形：棵数=段数不封闭图形：

两头都栽：棵数=段数+1 两头都不栽：棵数=段数-1 一头栽一头不栽：棵数=段数 (5)鸡兔同笼问题： 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式，揭示鸡兔同笼问题中的数量关系，假设法(6)行程问题： 相遇问题、追及问题等，相遇时间=总路程÷速度和，追及时间=距离÷速度差。 (7)周期问题 (8)还原问题 (9)归一问题 (10)体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类： 1.圆周率常取数据 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 2.常用特殊数的乘积 125×8＝1000 25×4＝100 125×3＝375 625×16＝10000 7×11×13＝1001 25×8＝200 125×4＝500 37×3=111 3.100内质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4.单位换算： 1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码 1公里=1000米=2里 1码=3英尺=36英寸 1海里=1852米=3.704里=1.15英里 1平方公里=1000000平方米=100公顷 =4平方里=0.3861平方英里 1平方米=100平方分米=10000平方厘米

小学数学教师基本功考试试题及答案

小学数学教师基本功考试试题 A课程标准部分（35分） 一、填空题：（每空分，共15分） 1、在各个学段中，《课程标准》安排了（数与代数）、（空间与图形）、（统计与概率）、（实践与综合应用）四个学习领域。 2、数学是人们对客观世界（定性把握）和（定量刻画），逐渐抽象概括，形成（方法）和（理论），并进行广泛应用的过程。 3、义务教育阶段的数学课程应突出体现（基础性）、（普及性）和（发展性），使数学教育面向全体学生，实现人人学（有价值的数学）；人人都能（获得必需的数学）；不同的人在数学上（得到不同的发展）。 4、数学教学活动必须建立在学生的（认知发展水平）和已有的（知识基础之上）。 学生是数学学习的主人，教师是数学学习的（组织者）、（引导者）与（合作者）。 5、有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与（记忆），（动手实践）、（自主探索）与（合作交流）是学生学习数学的重要方式。 6、对数学学习的评价要关注学生学习的（结果），更要关注他们学习的（过程）；要关注学习数学的（水平），更要关注他们在数学活动中所表现出来的（情感与态度），帮助学生（认识自我），（建立信心）。 7.在数学课标中，对总体目标部分从以下四个方面提出了要求，即（知识与技能）、（数学思考）、（解决问题）、（情感与态度），这四个方面是一个密切联系的有机整体，对人的发展具有十分重要的作用，他们是在丰富多彩的数学活动中实现的。 二、简答题（每题4分，共20分） 1、《数学课程标准》的总体目标是什么 通过义务教育阶段的学习，学生能够：⑴获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。⑵初步学会运用数学的思维方式去观察，分析现实社会，去解决现实生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识。⑶体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。⑷具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面得到充分发展。 2、“数与代数”领域第一学段主要包括哪些内容 万以内的数，简单的分数和小数、常见的量、基本运算、简单的数量关系。 3、第二学段的教学建议是什么 一．让学生在现实情境中体验和理解数学二、鼓励学生独立思考，引导学生自主探究、合作交流三、加强估算，鼓励解决问题的多样化四、重视培养学生应用数学的意识和能力 4、简要说明第一学段的评价建议是什么 一．注重对学生数学学习过程的评价二、恰当评论学生基础知识和基本技能的理解和掌握三、重视对学生发现问题和解决问题能力的评价四、评价方式要多样化五、评价结果以定性描述的方式呈现。 5、小组合作学习是数学课堂上的一种学习方式，谈谈在哪些情况下适合进行小组学习

最全小学奥数知识要点

最全小学奥数知识要点归纳 同学们:小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、应用题、行程、组合七大板块，其中必须掌握的三十六个知识点. 以下是小学奥数知识清单： 2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题 基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

5、鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6、盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 第二部分（知识点7-11） 7、牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式：

小学数学教师招考试题及答案

理论知识（20分） 一、综合知识（每小题1分，共12分） 1.教育行政部门、学校应当将预防犯罪教育作为（）的内容纳入学校教育教学计划，结合常见多发的未成年人犯罪，对不同年龄的未成年人进行有针对性的预防犯罪教育。 A.法制教育 B.重点教学 C.主要教学 D.法治教育 2.《中华人民共和国义务教育法实施细则》是（）开始实施。 A.1992年3月14日 B.1992年2月29日 C.1995年3月18日 D.1995年3月14日 3. “不要认为只有你们同儿童谈话、教育他、命令他的时候才是进行教育。你们在生活的每时每刻、甚至他们不在场的时候，也在教育着儿童。你们怎样穿戴，怎样同别人谈话，怎样谈论别人，怎样欢乐和发愁，怎样对待朋友和敌人，怎样笑，怎样读报，这一切对儿童都有着教育意义。”马卡连柯的这些话体现了教师职业道德规范的（）。 A.教书育人 B.爱岗敬业 C.关爱学生 D.为人师表 4.“活的教育学”指的是（）的著作。 A.陶行知 B.苏霍姆林斯基 C.亚里士多德 D.柏拉图 5.“为谁培养人”、“培养什么样的人”是（）所含的内容。 A.培养目标 B.教育目的 C.教育方针 D.课程目标 6.（）是教师根据教学目的和要求，组织学生对实际实物进行实地观察、研究，从而在实际中获得新知识或巩固、验证已学知识的方法。 A.练习法 B.参观法 C.并行法 D.实践法 7.教师在教学过程中，就所学的知识对学生进行提问属于（）。 A.绝对性评价 B.相对性性评价 C.形成性评价 D.诊断性评价

8.根据《中华人民共和国教师法》第三十七条规定，教师有下列情形：①故意不完成教育教学任务给教育教学工作造成损失的②体罚学生，经教育后不改正的③品行不良、侮辱学生，影响恶劣的④无故旷工多次者，由所在学校、其他教育机构或者教育行政部门给予行政处分或者解聘的是（）。 A.①② B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 9.《中小学教师违反职业道德行为处理办法》中的处分包括（）。 ①警告、记过②撤销专业技术职务或者行政职务③开除或者解除聘用同④降低专业技术职务等 A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④ 10.在十九大报告中，要求全党牢牢坚持（）这个党和国家的生命线、人民的幸福线。 A.群众路线 B.四项基本原则 C.党的基本路线 11.当前我国正处于实现“两个一百年”奋斗目标的历史交汇期，坚持和发展中国特色社会主义更加需要依靠（）。 A.法治 B.法制 C.党对全面依法治国的领导 12.《中国共产党纪律处分条例》规定，执行党纪处分决定的机关或者受处分党员所在单位，应当在（）内将处分决定的执行情况向作出或者批准处分决定的机关报告。 A.一个月 B.六个月 C.一年 二、课标知识（每小题1分，共8分） 1.《数学课程标准》中使用了“经历、感受、体验、体会、探索”等刻画数学活动水平的（）动词。 A.过程性目标 B.知识技能目标 C.探究性目标 D.发展性目标 2.（）的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。 A.数形结合 B.模型思想 C.几何直观 D.创新意识 3.学生的数学学习活动应是一个（）的过程。

小学奥数数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

小学数学教师考试专业素养测试题

小学数学教师考试专业素养测试题 一、教育理论、心理学试题（18分） 1、选择题（12分） ⑴“学而不思则罔，思而不学则殆”的学思结合思想最早出自( )。 A.《学记》 B.《论语》 C.《孟子》 D.《中庸》 ⑵教师的根本任务是（） A.教书 B.育人 C.教书育人 D.带好班级 ⑶对小学生的舆论起主要导向作用的是（）。 A.班干部 B.教师 C.学生自身 D.学生领袖 ⑷马斯洛需要层次论中的最高层次需要是（） A、生理与安全需要 B、社交与尊重需要 C、求知与审美需要 D、自我实现需要 ⑸马克思认为，人的劳动能力是( )的总和。 A.知识与能力 B.智力与能力 C.体力与智力 D.体力与能力 ⑹王强考试不及格时总是说：“那些考得好的人都是靠死记硬背的，并不能证明他们有能力，我考得差也不说明我没有能力，其实分数是无所谓的。”这是（）。 A.合理化 B.反向作用 C.补偿 D.压抑 2、写出你最崇拜的两位教育家的名字以及他们的主要教育思想和一句名言。（6分） 名字主要教育思想他（她）的教育名言 二、《数学课程标准》知识试题（22分） 1、填空题（18分） ⑴《数学课程标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并 从、 、、 等四个方面作出了进一步的阐述。 ⑵在各个学段中，《数学课程标准》安排了“”、“”、“”、 “”四个学习领域。课程容的学习，强调学生的数学活动，发展学生 的、、 、，以及 与的能力。 ⑶要初步培养培养学生从数学的角 度、，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。 ⑷新课程中的数学评价，要建立多 元，多样的评价体系。 2、简答题（4分）

学生的数感主要表现在哪些方面？ 三、数学学科知识和基本技能试题（60分） ㈠学科知识（22分）（其中⑴⑵小题各3分，⑶至⑹小题4分。） ⑴小红前面有6人，后面有18人，这一排共有（）人。 ⑵6个好朋友见面，每两人握一次手，一共握（）手。 ⑶把一个长5分米，宽4分米，高3分米的长方体木块削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的表面积是（）。 ⑷把一长25厘米，宽18厘米的长方形纸，剪成边长是5厘米的小正方形，最多可以剪（）个这样的小正方形。 ⑸某小学四、五年级的同学去参观科技展览。346人排成两路纵队，相邻两排前后各相距0.5米，队伍每分钟走65米，现在要过一座长629米的桥，从排头两人上桥至排尾两个离开桥，共需要（）分钟。 ⑹一个圆锥形状的沙堆，占地面积的周长是25.12米，高3米，这堆沙的体积是（）立方米。如果每立方米沙重1.7吨，这堆沙重（）吨。 ㈡案例分析（请围绕新课标精神分析下面的案例）（13分） 案例： 一次数学新授课中，我按照事先设计的教案圆满地完成了授课的任务，累得我口干舌燥。下课后，一位学生拿着她的课堂本找到我，说：“老师，您刚才在课后的练习中出的这道应用题我是这样做的，您看这种做法对吗？”我看了一眼答案，发现答案不对，于是不加思索地说：“做错了，再回去认真思考，找找错的原因。”她很疑惑地捧着本子走回了座位。临上课时，她又一次找到我，说：“老师，我一直在想这道题，我总感觉这道题我这样做也是对的。”看着她那坚定的目光，我又一次拿起她的练习本，仔细地看起来。结果发现，她的解题方法同样正确，只是得到的答案不一样。 回到办公室，我认真地将那道题进行了研究，原来由于自己的一时疏忽，使题目的数据间产生了矛盾，造成了一道题出现了两种答案的情况发生。 第二天，在我的数学课上，我首先对这位学生独立思考、敢于向老师挑战的勇气大加表扬，并鼓励其他的学生再对这道题进行探究。此时，学生呈现出高涨的学习热情，在宽松的学习氛围中或静心思考、或热烈讨论，结果又产生了好几种解题的思路和不同的答案。针对这种情况，我启发学生进一步对老师当初的编题进行质疑，寻找解决办法。很快，题目中数据存在矛盾的问题被学生找到了，并通过再一次的商讨，编写出了正确的应用题。 这堂课上我惊喜地发现，孩子们更欢迎今天这种教学的方式，每一个学生都表现得那样兴趣盎然！ 教学的过程应该是师生交往、积极互动共同发展的过程，教师应该是学生学习的组织者、促进者、合作者。这位老师的教学案例给你带来了哪些思考？我们的教学观念、教学方法应该如何适应新形势下教育的需要呢？（从教师观、学生观和对培养学生的创新精神等方面进行反思） ㈢教学设计（25分）

【小学数学】小学奥数所有知识点大汇总(最全)

1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差;求这两个数。 方法①：（和－差）÷2= 较小数;和-较小数=较大数 方法②：（和+ 差）÷2=较大数;和- 较大数=较小数 例如：两个数的和是15;差是5;求这两个数。 方法：（15-5）÷2=5 ;（15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为50;大数是小数的4倍;求这两个数。 方法：50÷（4+1）=10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-倍数（较小数）=几倍数（较大数） 例如：两个数的差为80;大数是小数的5倍;求这两个数。 方法：80÷（5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数

2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄; 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差． 题目一般用“照3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”； 这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数=段数+1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数=全长÷株距; 株距=全长÷棵数; 3 、直线两端都不植树：棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ;

小学数学教师招聘考试试题及答案

小学数学教师招聘试题及答案 一、填空题。(本大题共10个小题，每小题2分，共20分) 1、用0—9这十个数字组成最小的十位数是（1023456789 ），四舍五入到万位，记作（ 102346）万。 2、在一个边长为6厘米的正方形中剪一个最大的圆，它的周长是（18.84）厘米，面积是（28.26平方厘米） 3、△+□+□=44 △+△+△+□+□=64 那么□=（17 ），△=（10 ）。 4、汽车站的1路车20分钟发一次车，5路车15分钟发一次车，车站在80同时发车后，再遇到同时发车至少再过（60分钟）。 5、2/7的分子增加6，要使分数的大小不变，分母应增加（11）。 6、有一类数，每一个数都能被11整除，并且各位数字之和是20．问这类数中，最小的数是（） 7、在y轴上的截距是l，且与x轴平行的直线方程是( ) 8、函数的间断点为 ( ) 9、设函数，则 ( ) 10、函数在闭区间上的最大值为( ) 二、选择题。(在每小题的4个备选答案中，选出一个符合题意的正确答案，并将其号码写在题干后的括号内。本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1、自然数中，能被2整除的数都是 (C ) A．合数 B．质数 C．偶数D．奇数 2、下列图形中，对称轴只有一条的是(C) A．长方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．圆 3、把5克食盐溶于75克水中，盐占盐水的(B) A．1/20 B．1/16 C．1/15 D．1/14 4、设三位数2a3加上326，得另一个三位数5b9．若5b9能被9整除，则a+b等于( C) A．2 B．4 C．6 D．8 5、一堆钢管，最上层有5根，最下层有21根，如果是自然堆码，这堆钢管最多能堆（B ）根。A．208 B．221 C．416 D．442 6、“棱柱的一个侧面是矩形”是“棱柱为直棱柱” 的( A) A．充要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分又不必要条件 7、有限小数的另一种表现形式是( A) A．十进分数 B．分数 C．真分数 D．假分数 8、（） A．-2 B．0 C．1 D．2 9、如果曲线y=xf(x)d 在点（x， y）处的切线斜率与x2成正比，并且此曲线过点（1，-3）和（2，11），则此曲线方程为（）。 A．y= -2 B．y=2 -5 C．y= -2 D．y=2 -5 10、设A与B为互不相容事件，则下列等式正确的是（） A．P(AB)=1 B．P(AB)=0 C．P(AB)=P(A)P(B) C．P(AB)=P(A)+P(B) 三、解答题（本大题共18分） （1）脱式计算（能简算的要简算）（本题满分4分）

小学二年级奥数知识点：找规律填数.docx

找律填数 知航 找律在奥数目中属于常型，主要分找律填和找律填数.在之前的程里面 我已接触一型的，一我加深一型目的和理解.小朋友，要真察、勇敢地去探索律，相信你都能找出空缺的数. 精典例 例 1：找律填数. （1）1，3，5， 7，（），（） . （2）65 ，60，55，50 ，（），（） . （3）1，10 ，100 ， 1000，（），（） . （4）1，2，4，7，11，（），（） . （5）1，2，4， 8，（），（） . （6）1，3，4，7，11，（），（），（） . 思路点 第（ 1），从左往右依次增加；第（ 2 ）从左往右依次减少；第（ 3 ）， 从左往右依次在末尾添加一个，或者依次乘；第（ 4）从左往右，相两个 数相差 1,2,3,4??第（ 5 ）中， 1 ×2＝ 2,2 ×2 ＝ 4,4×2 ＝8，所以， 8 ×2 ＝??第（ 6 ）中，从第三个数开始，每个数都等于前面两个数的和. 模仿 找律填数 . （1）2，4，6， 8，（），（） . （2）1，5，9，13 ，（），（） .

（3）2，20 ，200 ， 2000，（），（） . （4）1，2， 2，4，3，6，4，8，（），（） . （5）49 ，42，35，（），（），（） . （6）4，6，9，13 ，（）， 24 ，（） . （7） 100，81 ，64 ，（）， 36 ，25，（）， 9，4，1例 2：仔细观察下列组图，在每一组的“？”处填上合适的数.（1 ） （2 ） （3 ） （4 ）

（5 ） 思路点拨 第（ 1）题中， 3 ＋ 4＋ 8＝ 15 ；第（ 2）题中，2×3＋ 1 ＝7 ；第（ 3 ）题中， 3 ×4＋ 5＝17 ；第（ 4 ）题中4×5－ 5＝20 ；第（ 5）题中，5＋ 3 ＋ 7＝ 15,15 ＋ 15 ＝ 30. 仔细观察每组图的规律，在空白处填合适的数. （1 ） （2 ） 例 3：根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数.

小学奥数知识点汇总基础知识点

小学奥数知识点汇总 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

小学奥数最主要的30个知识点

小学奥数最主要的30个知识点1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数小学奥数很简单，就这30个知识点 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

小学数学教师新课标考试试题90148

小学数学教师新课标考试试题 一、单项选择选择题。 1、数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间（交往互动与共同发展）的过程。 2、教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，学会（用教材教）。 3、新课程的核心理念是（一切为了每一位学生的发展） 4、根据《数学课程标准》的理念，解决问题的教学要贯穿于数学课程的全部内容中，不再单独出现（概念）的教学。 5、“三维目标”是指知识与技能、（过程与方法）、情感态度与价值观。 6、《数学课程标准》中使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的（过程性目标）的动词。 7、建立成长记录是学生开展（多样评价）的一个重要方式，它能够反映出学生发展与进步的历程。 8、学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和（富有个性）的过程。 9、“用数学”的含义是（用所学数学知识解决问题）。 １0、教师由“教书匠”转变为“教育家”的主要条件是（以研究者的眼光审视和分析教学理论与教学实践中的各种问题，对自身的行为进行反思。）。 二、填空题 1、为了体现义务教育的普及性、( 基础性)和发展性，新的数学课程首先关注每一个学生的情感、( 态度)、( 价值观)和一般能力的发展。 2、内容标准是数学课程目标的进一步（具体化）。内容标准应指关于（内容学习）的指标。 3、《新课程标准标准》提倡以“（问题情境）——（建立模型）——解释、应用与拓展”的基本模式呈现知识内容。 4、数学学习的主要方式应由单纯的（记忆）、模仿和（训练）转变为（自主探索）、（合作交流）与实践创新。 5、从“标准”的角度分析内容标准，可发现以下特点：（基础性）（层次性）（发展性）（开放性）。 6、数学教师应由单纯的知识传递者转变为学生学习数学的（组织者）、（引导者）和合作者。 7、数学教学应该是从学生的（生活经验）和（已有知识背景）出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的（数学知识与技能）、（数学思想和方法）。 8、数学学习评价应由单纯的考查学生的（学习结果）转变为关注学生学习过程中的（变化与发展），以全面了解学生的数学学习状况，促进学生更好地发展。 9、课程标准将传统的数学学习内容充实、调整、更新、重组以后，构建了（数与代数）、（空间与图形）、（统计与概率）、（实践与综合应用）四个学习领域。 10、义务教育阶段的数学课程应实现人人学( 有价值)的数学，人人都能获得( 必需 )的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。 11、课程的最高宗旨和核心理念是（一切为了学生的发展）。 12、新课程倡导的学习方式是（动手实践）、（自主探索）、（合作交流）。 三、简答题。 1、新课标理念下的数学学习评价应怎样转变？ 答：应由单纯的考查学生的学习结果转变为关注学生学习过程中的变化与发展，以全面了解学生的数学学习状况，促进学生更好地发展。既要关注学生学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展；既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感、态度、个性倾向。 2、怎样培养学生的统计观念呢？ 答：（1）使学生经历统计活动的全过程。（2）使学生在现实情境中体会统计对决策的影响。（3）了解统计的多种功能。 3、对于应用问题，《标准》是如何进行改革的？ 答：选材强调现实性、趣味性和可探索性；题材呈现形式多样化（表格、图形、漫画、对话、文字等）；强调对信息材料的选择与判断（信息多余、信息不足……）；解决的策略多样化；问题答案可以不唯一；淡化人为编制的应用题类型及其解题分析。 四、论述题。 1、请结合自己的切身体会谈谈新课程对教师素质发展提出了哪些新的要求？ 答：（1）关注专业化理论发展；（2）关注教师的情意和职业道德素质的发展；（3）关注教师的人文知识素养和多元知识结构的发展；（4）关注教师专业技能和研究能力的发展；（5）关注教师心理素质的发展；（6）关注教师学习意识的提高和自主发展能力的提高。 2、从“标准”的角度分析内容标准，有哪些特点。 答: 其一是基础性：内容标准的基础性体现在两个方面，一是内容的基础性，二是“标高”的基础性。

小学一年级奥数(思维训练)知识点

一年级学生的认知结构分析 认知结构分析： 小学一年级还处于对数学基本元素和概念的感性认识上，因此，重点是兴趣培养。让孩子对数学感兴趣，孩子就有了"最好的老师"，在以后的学习中可以省力不少。所以为了培养学生良好的数学思考力和较好的数学意识、数学眼光，所应当采取的主要授课方式是以“公式韵律化、解题故事化、教学游戏化、学习趣味化”为教学特色，通过风趣的教学语言，生动有效的教学方式，将学生带入迷人的数学世界，使学生的数学推理及逻辑思维能力得到培养，思维得到拓展，成绩做到拔尖。例如：一年级学生计算：1+2=3 可以设计这样的题：你能想出哪些算式的结果也等于3 呢. 前者是顺向思维，而后者就是逆向思维了。启发学生思维，久而久之，学生受益良多。 一年级学习奥数的目的： 在于培养学生学习数学的兴趣与感觉，力求图文并茂，由较多的图画自然地向较多的数学言语与文字叙述过渡。 以上仅供参考！

小学一年级奥数（思维训练）知识点 1、认数、写数及简单的分类 1）认数：根据图形说出对应的数目 2）写数：根据不同类型的图形写出所对应的数字 3）简单的分类：实物的分类、图形的分类 （重在训练多种分类方法） 主要是让学生从课内知识到思维训练知识的学习有一个过渡阶段。 2、认识图形（是数图形的基础） 1）认识点 2）认识线：线段、射线、直线、平行、和相交 3）认识角：锐角、直角、钝角 4）认识常见的集合图形：三角形（锐角、直角、钝角）、正方形、长方形、圆形及其他多边形（梯形、平行四边形）5）认识常见的立体图形：正方体、长方体、球体、圆柱体等 3、数一数 1）数线段： 2）角：3）三角形： 4）正方形：5）长方形：

小学奥数知识总结手册

小学（数学）奥数知识总结手册 目录 1、和差倍问题 2、年龄问题的三个基本特征： 3、归一问题的基本特点： 4、鸡兔同笼问题 5、植树问题 6、盈亏问题 7、牛吃草问题 8、周期循环与数表规律 9、平均数 9、抽屉原理 10、定义新运算 11、加法乘法原理和几何计数 12、数列求和 13、二进制及其应用 14、质数与合数 15、约数与倍数 16、余数及其应用 17、余数、同余与周期 18、数的整除 19、分数与百分数的应用 20、分数拆分 21、分数大小的比较 22、完全平方数 23、比和比例 24、综合行程 25、工程问题 26、逻辑推理 27、立体图形 28、几何面积 29、时钟问题—快慢表问题

30、时钟问题—钟面追及 31、浓度与配比 32、经济问题 33、简单方程 34、不定方程 35、循环小数 1、和差倍问题 2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4、鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 5、植树问题 6、盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。