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泊松公式、泊松分布与大数定律

泊松公式、泊松分布与大数定律

7. 泊松公式、泊松分布与泊松大数定律

泊松(Possion )的名字对学概率论与数理统计的人来说,可谓耳熟能详。原因主要在于泊松近似公式,以及更重要的,原于该近似公式的泊松分布,分布的重要性和知名度在离散型分布中仅次于二项分布。泊松的另一个重要工作是把伯努利大数定律推广到每次试验中事件发生的概率可以不同的情况,现称泊松大数定律。

继狄莫佛给出二项概率近似计算公式(10)之后,丹尼尔和拉普拉斯也给出了二项概率近似计算公式,但这些公式在现今的教科书上已很少提及,只有泊松近似公式则不然,其形式为

,!),,(lim k e k p N b k N λλ-∞→= (11)

其中Np N ∞→=lim λ,N k ,,2,1,0 =。公式(11)在教科书上通称为泊松逼近公式、泊松近似公式

或泊松公式。它是泊松在1838年于一本有关《概率在法律审判的应用》一书中所引进,此公式适用于p 很小,N 很大而Np 又不甚大时,这正好填补了狄莫佛公式(10)的不足,因后者只适用于p 不太接近于0和1的时候。不过,从历史上看,狄莫佛早在1712年已实质上做出了这个结果。

泊松分布的概念及表和查表方法

目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质 命名原因 泊松分布实例

泊松分布(Poisson distribution),台译卜瓦松分布(法语:loi de Poisson,英语:Poisson distribution,译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)。泊松分布是以18~19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)命名的,他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为: 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。通常当n≧20,p≦时,就可以用泊松公式近似得计算。 事实上,泊松分布正是由二项分布推导而来的,具体推导过程参见本词条相关部分。 应用场景 在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位(在早期学界认为人类行为是服从泊松分布,2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性)。 应用示例

期望 方差公式的证明全集

期望与方差的相关公式的证明 -、数学期望的来由 早在17世纪,有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战,给他出了一道题目,题目是这样的:甲乙两个人赌博,他们两人获胜的机率相等,比赛规则是先胜三局者为赢家,赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候,甲胜了两局,乙胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那么如何分配这100法郎才比较公平? 用概率论的知识,不难得知,甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4,或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎,乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词,数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a (i =1,2,3 ,…),其分布列为i p (i =1,2,3, …),则当i i i p a ∑ ∞ =1 <∞时, 则称ξ存在数学期望,并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a , 如果i i i p a ∑ ∞ =1 =∞,则数学期望不存在。 [] 1 定义2 期望:若离散型随机变量ξ,当ξ=x i 的概率为P (ξ=x i )=P i (i =1,2,…,n ,…),则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望,反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 (1)设C 是常数,则E(C )=C 。 (2)若k 是常数,则E (kX )=kE (X )。 (3))E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下,仅仅知道随机变量取值的

概率论与数理统计课程报告:泊松分布及其在实际中的应用

泊松分布及其在实际中的应用 摘要:本文从泊松分布的定义和基本性质出发,举例讨论了泊松分布在实际中的重要应用。 关键字:泊松分布;应用;运筹学;分子生物学;核衰变 泊松分布是法国数学家泊松于1837年引入的,是概率论中的几大重要分布之一。作为一种常见的离散型随机变量的分布,其在实际中有着非常广泛的应用。 1泊松分布的定义及基本知识 1.1定义: (1)若随机变量X 的分布列为 ), ?=>= =-,2,1,0(0,! )(k k e k X P k λλλ 则称X 服从参数为λ的泊松分布,并用记号X~P(λ)表示。 (2)泊松流: 随机质点流:随机现象中源源不断出现的随机质点构成的序列。 若质点流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该质点流为泊松事件流(泊松流)。 例如某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数等这些事件都可以看作泊松流。 1.2有关泊松分布的一些性质 (1)满足分布列的两个性质:P(X=k)≥0(k=0,1,2,…), 且有 1! ! )(0 =?====-∞ =-∞=∞ =-∑∑∑ λλλ λ λλe e k e k e k X P k k k o k k . (2)若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的期望和方差分别为:E (X)=λ; D(X)=λ. (3)以n ,p 为参数的二项分布,当n →∞,p →0时,使得np=λ保持为正常数,则 λλ--→ -e k p p C k k n k k n ! ) 1(对于k=0,1,2,…一致成立。 由如上定理的条件λ=np 知,当n 很大时,p 很小时,有下面的近似公式 λλ--→ -=e k p p C k P k k n k k n n ! ) 1()( 2泊松分布的应用 对于试验成功概率很小而试验次数很多的随机过程, 都可以很自然的应用于泊松分布的理论。在泊松分布中的概率表达式只含一个参数λ,减少了对参数的确定与修改工作量, 模型构建比较简单, 具有很重要的实际意义。 以下具体举例说明泊松分布在实际中的重要应用。 (1)泊松分布在经济生活中的应用: 泊松分布是经济生活中的一种非常重要的分布形式,尤其是经常被运用在运筹学研究中的一个分布模型。如物料订单的规划,道路交通信号灯的设计,生产计划的安排,海港发

(整理)偏微分方程相关材料翻译

目录 前言vii 1 应用与方法概述 1 1.1 什么是偏微分方程1 1.2 求解并解释偏微分方程7 2傅里叶级数17 2.1 周期函数18 2.2 傅里叶级数26 2.3 以任意数为周期的函数的傅里叶级数38 2.4 半幅展开:余弦级数和正弦级数50 2.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式53 2.6 傅里叶级数的复数形式60 2.7 受迫振动69 收敛性的补充内容 2.8 傅里叶级数表示定理的证明77 2.9 一致收敛性和傅里叶级数85 2.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数的收敛性94 3 直角坐标中的偏微分方程103 3.1 物理和工程中的偏微分方程104 3.2 建模2 弦振动和波动方程109 3.3 一维波动方程的求解:分离变量法114 3.4 达朗贝尔方法126 3.5 一维热传导方程135 3.6 棒中的热传导:各种边界条件146 3.7 二维波动方程和热传导方程155 3.8 直角坐标中的拉普拉斯方程163 3.9 泊松方程:特征函数展开法170 3.10 诺伊曼条件和罗宾条件180 3.11 最大值原理187 4 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程193

4.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子194 4.2 圆膜的振动:对称情况198 4.3 圆膜的振动:一般情况207 4.4 圆域中的拉普拉斯方程216 4.5 圆柱体中的拉普拉斯方程228 4.6 亥姆霍兹方程和泊松方程231 关于贝塞尔函数的补充内容 4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数237 4.8 贝塞尔级数展开248 4.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式261 5球面坐标中的偏微分方程269 5.1 问题和方法概述270 5.2 对称狄利克雷问题274 5.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题281 5.4 亥姆霍兹方程及其在泊松方程、热传导方程和波动方程中的应用291 关于贝塞尔函数的补充内容 5.5 勒让德微分方程300 5.6 勒让德多项式和勒让德级数展开308 5.7 连带勒让德函数和连带勒让德级数展开319 6施图姆-刘维尔理论及其在工程中的应用325 6.1 正交函数326 6.2 施图姆-刘维尔理论333 6.3 悬链346 6.4 四阶施图姆-刘维尔理论353 6.5 梁的弹性振动和屈曲360 6.6 双调和算子371 6.7 圆板的振动377 7傅里叶变换及其应用389 7.1 傅里叶积分表示390 7.2 傅里叶变换398 7.3 傅里叶变换法411

泊松分布的概念及表和查表方法

泊松分布的概念及表和查表方法 Poisson分布,是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年时发表。 中文名泊松分布外文名poisson distribution 分类数学时间1838年 台译卜瓦松分布提出西莫恩·德尼·泊松 目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质

命名原因 泊松分布实例 泊松分布(Poisson distribution),台译卜瓦松分布(法语:loi de Poisson,英语:Poisson distribution,译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)。泊松分布是以18~19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)命名的,他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为: 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布

当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。通常当n≧20,p≦时,就可以用泊松公式近似得计算。 事实上,泊松分布正是由二项分布推导而来的,具体推导过程参见本词条相关部分。 应用场景 在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位(在早期学界认为人类行为是服从泊松分布,2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性)。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 观察事物平均发生m次的条件下,实际发生x次的概率P(x)可用下式表示: 例如采用㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组(~4×106核苷酸对)平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式: …… 是未产生二体的菌的存在概率,实际上其值的5%与采用㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株,recA-株(除去既不能修复又不能重组修复的二重突变)的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量,因此就意味着全部死亡的概率。 推导

标准正态分布的密度函数样本

幻灯片1 正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布, 这能够由 以下情形加以说明: ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一, 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的.能够证明, 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用, 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布. 这些性质是其它 ⑵ 正态分布有许多良好的性质, 许多分布所不具备的. ⑶ 正态分布能够作为许多分布的近似分布.幻灯片3 -标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数若连续型随机变量X 的密度函数为定义 则称X 服从标准正态分布,

记为标准正态分布是一种特别重要的它的密度函数经常被使用, 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 ( 2) 根据反常积分的运算有能够推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质若随机变量 , X 的密度函数为 则密度函数的性质为: 的图像称为标准正态( 高斯) 曲线幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知, 阴影面积为概率值。对同一长度的区间 , 若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。标准正态分布的分布规律时”中间多, 两头少” . 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数分布函数为幻灯片8 2、标准正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表, 有了它, 能够解决标准正态分布的概率计算.表中给的是x > 0时,①(x)的值. 幻灯片9 如果由公式得令则幻灯片10

二项分布概念及图表和查表方法

二项分布概念及图表 二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布服从0-1分布。 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中,二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上,当 时,二项分布就是伯努利分布,二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

医学定义 在医学领域中,有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件,称为二项分类变量(dichotomous variable),如对病人治疗结果的有效与无效,某种化验结果的阳性与阴性,接触某传染源的感染与未感染等。二项分布(binomial distribution)就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验,当成功的概率()是恒定的,且各次试验相互独立,这种试验在统计学上称为伯努利试验(Bernoulli trial)。如果进行次伯努利试验,取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述:P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 二项分布公式 P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!),注意:第二个等号后面的括号里的是上标,表示的是方幂。

正确理解 泊松分布 通俗解释

很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事,至少我就是如此。如果我们学习的意义是为了通过考试,那么我们大可停留在“只会做题”的阶段,因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目,因为那样一来卷子就变得不容易批改,大部分考试都会出一些客观题,比如到底是泊松分布还是肉松分布。而如果我们学习的目的是为了理解一样东西,那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布?”、“泊松分布的物理意义是什么?”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话,我们一定会说:“电话是一种机器,两个距离很远的人可以通过它进行交谈”,而不会说:“电话在1876 年由贝尔发明,一台电话由几个部分构成……”(泊松分布在1876 年由泊松提出,泊松分布的公式是……)所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛?” 泊松分布最常见的一个应用就是,它作为了排队论的一个输入。比如在一段时间t(比如 1 个小时)内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数(比如一直是200 人),而应该符合某种随机规律:假如在 1 个小时内来200 个学生的概率是10%,来180 个学生的概率是20%……一般认为,这种随机规律服从的就是泊松分布。 这当然只是形象化的理解什么是泊松分布,若要公式化定义,那就是:若随机变量X 只取非负整数值0,1,2,..., 且其概率分布服 从则随机变量X 的分布称为泊松分布,记作P(λ)。这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式时提出来的。泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ,它既是泊松分布的均值,也是泊松分布的方差。生活中,当一个随机事件,例如来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从

二项分布概念及图表和查表方法

目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中,二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上,当 时,二项分布就是伯努利分布,二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中,有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件,称为二项分类变量(dichotomous variable),如对病人治疗结果的有效与无效,某种化验结果的阳性与阴性,接触某传染源的感染与未感染等。二项分布(binomial distribution)就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

考虑只有两种可能结果的随机试验,当成功的概率()是恒定的,且各次试验相互独立,这种试验在统计学上称为伯努利试验(Bernoulli trial)。如果进行次伯努利试验,取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述:P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!),注意:第二个等号后面的括号里的是上标,表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望:Eξ=np; 方差:Dξ=npq; 其中q=1-p 证明:由二项式分布的定义知,随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p。因此,可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的(0-1)分布随机变量之和。 设随机变量X(k)(k=1,2,3...n)服从(0-1)分布,则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立,所以期望:

3二项分布、泊松分布与泊松逼近

二项分布、泊松分布与泊松逼近 雅各布·伯努利与二项分布公式 雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli,1654—1705)来自数学史上的传奇家族—瑞士巴塞尔的伯努利家族,该家族的三代成员中产生了8位数学家,在17世纪和18世纪微积分理论及应用的发展中占有领先地位,雅各布·伯努利是其家族第一代数学家中的第一位,他与弟弟约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667—1748)、侄子丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700—1782)在数学史上享有声誉。 家族简介 在科学史上,父子科学家、兄弟科学家并不鲜见,然而,在一个家族跨世纪的几代人中,众多父子兄弟都是科学家的较为罕见,其中,瑞士的伯努利(也译作贝努力、伯努利)家族最为突出。 伯努利家族3代人中产生了8位科学家,出类拔萃的至少有3位;而在他们一代又一 代的众多子孙中,至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过,他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望,有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族中有两代人,他们中的大多数数学家,并非有意选择数学为职业,然而却忘情地沉溺于数学之中,有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。 老尼古拉·伯努利(Nicolaus Bernoulli,公元1623~1708年)生于巴塞尔,受过良好教育,曾在当地政府和司法部门任高级职务。他有3个有成就的儿子。其中长子雅各布(Jocob,公元1654~1705年)和第三个儿子约翰(Johann,公元1667~1748年)成为著名的数学家,第二个儿子小尼古拉(Nicolaus I,公元1662~1716年)在成为彼得堡科学院数学界的一员之前,是伯尔尼的第一个法律学教授。 雅各布·伯努利

数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布) 生存分析 贝叶斯概率公式 全概率公式讲解

数学期望:随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭,没有孩子的家庭有1000个,有一个孩子的家庭有9万个,有两个孩子的家庭有6000个,有3个孩子的家庭有3000个,则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量,记为X,它可取值0,1,2,3,其中取0的概率为0.01,取1的概率为0.9,取2的概率为0.06,取3的概率为0.03,它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11,即此城市一个家庭平均有小孩1.11个,用数学式子表示为:E(X)=1.11。 也就是说,我们用数学的方法分析了这个概率性的问题,对于每一个家庭,最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是: 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是:某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布,即平均分是80分,由正态分布的图形知x=80时的函数值最大,即随机变量在80附近取值最密集,也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x),表示概率密度):

离散型分布:二项分布、泊松分布 连续型分布:指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布 抽样分布只与自由度,即样本含量(抽样样本含量)有关 二项分布(binomial distribution ):例子抛硬币 1、 重复试验(n 个相同试验,每次试验两种结果,每种结果概率恒定————伯努利试验) 2、 抽样分布

数据分析-分布类别

各种分布 泊松分布 Poisson分布,是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布。 泊松分布的概率函数为: 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积、单位体积)内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为 特征函数为: 泊松分布与二项分布 当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1时,就可以用泊松公式近似得计算。 事实上,泊松分布正是由二项分布推导而来的。 泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说,若 ,其中n很大, p很小,因而不太大时,X的分布接近于泊松分布。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,某放射性物质发射出的粒子,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 卡方分布 卡方分布( 分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。n 个独立的标准

正态分布变量的平方和服从自由度为n 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。 若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ,均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布),则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成 一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布(chi-square distribution),即分布(chi-square distribution),其中参数n称为自由度。正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样,自由度不同就是另一个分布。记为或者。 卡方分布与正态分布 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布,当自由度n很大时,分布 近似为正态分布。对于任意正整数x,自由度为 k的卡方分布是一个随机变量X 的机率分布。 期望和方差 分布的均值为自由度n,记为E( ) = n。分布的方差为2倍的自由度(2n),记为D( ) = 2n。 均匀分布 均匀分布(Uniform Distribution)是概率统计中的重要分布之一。 顾名思义,均匀,表示可能性相等的含义。 (1) 如果,则称X服从离散的均匀分布。 (2) 设连续型随机变量X的概率密度函数为,则称随机变

二项分布期望和方差的推导过程

二项分布期望和方差推导 若随机变量),(~p n B X ,则np X E =)(,)1()(p np X D -= 二项分布数学期望的证明: 注意到11--=k n k n nC kC (证明:11)]! 1()1[()!1()!1()!()!1()!1()!(!!--=---?--?=-?--?=-??=k n k n nC k n k n n k n k n n k n k n k kC ) 所以n n p p C X E )1(0)(00-?=111)1(1--?+n n p p C Λ+-?+-222) 1(2n n p p C Λ+-?+-k n k k n p p C k )1( 111)1()1(p p C n n n n -?-+--0)1(p p C n n n n -?+ 1101)1(---?=n n p p C n Λ+-?+--2211)1(n n p p C n Λ+-+---k n k k n p p nC ) 1(11 1121)1(p p C n n n n -?+---011 )1(p p C n n n n -?+-- 101)1([---=n n p C np Λ+-+--2111)1(n n p p C Λ+-+----k n k k n p p C )1(1111221)1(p p C n n n -+---])1(0111p p C n n n -+--- np p p np n =+-=-1])1[(,故np p p C i X E n i i n i i n ∑=-=-?=0)1()(; 二项分布方差的证明:)1()(p np X D -= 证明:i n i i p X E x X D ?-= ∑-12)]([)(i n i i i p X E X E x x ∑-?+-=122)]()(2[∑-??+?-?=n i i i i i i p X E p X E x p x 122])()(2[ ∑∑∑-=-?+?-?=n i n i i n i i i i i p X E p X E x p x 11 212 )()(2)()(22X E X E -= 故任何离散随机变量的方差均满足式子:)()()(22X E X E X D -= 当随机变量),(~p n B X 时,=)(X D 20 2)()1(np p p C i i n i n i i n --?-=∑ i n i n i i n p p C i i -=-?-=∑)1()1(0 220)1(p n p p C i i n i n i i n --?+-=∑(注意np p p C i X E n i i n i i n ∑=-=-?=0)1()() i n i n i i n p p iC i -=-?-=∑)1()1(222p n np -+i n i n i i n p p nC i -=---?-=∑)1()1(21122p n np -+ i n i n i i n p p C i n -=---?-?=∑)1()1(21122p n np -+i n i n i i n p p C n n --=---?-?=∑)1()1(22 2222p n np -+ i n i n i i n p p C n n -=---?-=∑)1()1(22222p n np -+i n i n i i n p p C p n n --=---?-=∑)1()1(22 22222p n np -+ (指数之后凑组合数下标2-n ,利用展开式i i n n i i n n b a C b a ---=--∑=+22022) () i n i n i i n p p C p n n ---=--?-=∑22 022 )1()1(22p n np -+

泊松过程与泊松分布的基本知识

泊松过程与泊松分布的基本知识泊松过程是随机过程的一个经典模型,是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说,每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢?可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律,即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢,就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。 比较:泊松分布 泊松过程的主要公式: 其实没多少不一样对不对?不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率,这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。 泊松过程的关键在于,它的到达间隔序列Tn,即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布,那么这个随机过程就会更一般化,我们成为是更新过程,这也是随机过程的推广。 泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程,齐次的意思很简单,就是说过程并不依赖于初始时刻,强度函数是一个常数,从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢?这以为着随着与时间的改变,强度是会改变的,改变服从强度函数,说了这

么久,强度究竟是个什么概念?强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率,或者说快慢,泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是,在一段时间内,发生的次数平均水平是次。 复合泊松过程:泊松过程我们已经知道,用描述一段时间累积发生的次数,但是如果每次发生带来的后果都是不一样的,我们怎么描述这个过程呢?比如,火车站到达的乘客是服从泊松过程的,但是每个乘客携带有不同重量的行李,我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢,这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算,因为简单泊松过程的期望很容易求。 更新过程: 上文已经说到,更新过程作为泊松过程的推广,更具有一般性,那么在讨论更新过程时,我们更多地讨来更新函数,更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)],怎么理解呢,就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理: 这个定理是可以证明的,Fn(t)是分布函数,就是说:在t时刻,更新函数值就是在这个时刻,n取遍所有值的分布之和。 那么是否可以这样理解,更新过程和泊松过程的区别就是更新间隔序列不同,那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数,就可以求解该过程的更新函数了,详细的推导就不写了。扔结论出来:对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到Lf(s),然后求 Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)),再对Lm(s)进行逆变换,就得到了m(t),这就是更新函数。

二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系

二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系 二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系?被浏览8,9732 个回答猴子微信公众号:猴子聊人物之前你已经了解概率的基础知识(如果还不知道概率能干啥,在生活中有哪些应用的例子,可以看我之前的《投资赚钱与概率》)。 今天我们来聊聊几种特殊的概率分布。这个知识目前来看,还没有人令我满意的答案,因为其他人多数是在举数学推导公式。我这个人是最讨厌数学公式的,但是这并不妨碍我用统计概率思维做很多事情。相比熟悉公式,我更想知道学的这个知识能用到什么地方。可惜,还没有人讲清楚。今天,就让我来当回雷锋吧。 首先,你想到的问题肯定是:1. 什么是概率分布?2. 概率分布能当饭吃吗?学了对我有啥用?好了,我们先看下:什么是概率分布? 1. 什么是概率分布?要明白概率分布,你需要知道先两个东东:1)数据有哪些类型2)什么是分布数据类型(统计学里也叫随机变量)有两种。第1种是离散数据。离散数据根据名称很好理解,就是数据的取值是不连续的。例如掷硬币就是一个典型的离散数据,因为抛硬币的就2种数值(也就是2种结果,要么是正面,要么是反面)。你可以把离散数据想象成一块一块垫脚石,你可以从一个数值调到另一个数

值,同时每个数值之间都有明确的间隔。 第2种是连续数据。连续数据正好相反,它能取任意的数值。例如时间就是一个典型的连续数据1.25分钟、1.251分钟,1.2512分钟,它能无限分割。连续数据就像一条平滑的、连绵不断的道路,你可以沿着这条道路一直走下去。 什么是分布呢?数据在统计图中的形状,叫做它的分布。 其实我们生活中也会聊到各种分布。比如下面不同季节男人的目光分布.。 各位老铁,来一波美女,看看你的目光停在哪个分布的地方。美女也看了,现在该专注学习了吧。现在,我们已经知道了两件事情:1)数据类型(也叫随机变量)有2种:离散数据类型(例如抛硬币的结果),连续数据类型(例如时间)2)分布:数据在统计图中的形状现在我们来看看什么是概率。概率分布就是将上面两个东东(数据类型+分布)组合起来的一种表现手段:概率分布就是在统计图中表示概率,横轴是数据的值,纵轴是横轴上对应数据值的概率。很显然的,根据数据类型的不同,概率分布分为两种:离散概率分布,连续概率分布。那么,问题就来了。为什么你要关心数据类型呢?因为数据类型会影响求概率的方法。对于离散概率分布,我们关心的是取得一个特定数值的概率。例如抛硬币正面向上的概率为:p(x=正面)=1/2而对于连续概率分布来说,我们无法给出每一个数值的概率,因为我们不可能列举每一

二项分布中方差的计算

二项分布中方差的计算 假设ξ~B (n ,p ), 即k n k k n q p C k P -==}{ξ 考虑E [ξ(ξ-1)]=Eξ2-Eξ 而 ∑∑ ∑∑=----=-=-=--=-----?-?=--=-=-n k k n k k n n k k n k n k k n k n k k n k k n q p C p n n q p k n k n n n q p k n k n k k q p C k k E 2 222222 )1()]!2(2[)!2()!2()1()! (!! ) 1()1()]1([ξξ 令2-=k i 上式=222220 22 2 )1()1(np p n p n n q p C p n n n i i n i i n -=-=-∑-=--- 即2222np p n E E -=-ξξ, 再将E ξ=np 代入上式,得)1(222222p np p n np np p n E -+=+-=ξ 最后得npq np p np p n E E D =--+=-=22222)()1()(ξξξ 例1的分布图 例2的分布图 4.2 超几何分布 例1的图形:

例2的图形: 定义4.2 设N 个元素分为两类, 有N 1个属于第一类, N 2个属于第二类(N 1+N 2=N ). 从中不重复抽样取n 个, 令ξ表示这n 个中第一类元素的个数, 则ξ的分布称为超几何分布, ),....,1,0()(2 1n m C C C m P n N m n N m N == =-ξ 规定: 如n

正态分布、概率

信息系统项目管理师重点知识点:完工概率计算总结 例图: 活动BCD的乐观(m)工期都是9天,最可能(o)工期为12天,最悲观(p)工期都是15天,那么在14天内完成单项活动的概率和完成全部这三项活动的概率是多少 首先计算平均工期(PERT):公式--(乐观时间+4*最可能时间+悲观时间)/ 6 (9+4*12+15)/6=12天; 其次计算标准差:公式--(悲观时间-乐观时间)/ 6 ; (15-9)/6=1天 再计算偏离平均工期:方法--[给出的天数计算(14)-计算出来的平均工期(12)]/标准差(1) (14-12)/1=2 备注:此时得出来的为几,之后就是使用几西格玛 (Sigma)(1σ=68,37%)(2σ=95.46%)(3σ=99.73%)(6σ=99.99966%百万分之三点四) 计算每一项活动在14天内完工的概率是:方法--正态分布概率+西格玛/偏离平均工期数 50%+95.46%/2=97.73% 备注:50%参考正态分布图,95.46参考2西格玛值; 计算全部活动在14天内完工概率是:方法--每一项活动的概率相乘 97.73%*97.73%*97.73%=93.34% 下图为简要正态分布图:

备注:正态分布有50%成功,有50%不成功 如计算将上面的14天,修改为13天; 偏离平均工期就是1天,计算方法:(13-12)/1=1天,则应该使用1西格玛; 计算每一项活动在13天内完工的概率是:方法--正态分布概率+西格玛/偏离平均工期数 50%+68.37%/2=84.19% 备注:50%参考正态分布图,68.37参考1西格玛值; 计算全部活动在13天内完工概率是:方法--每一项活动的概率相乘 84.19%*84.19%*84.19%=59.67% 如果计算为11-15天的概率:最小值的概率+最大值的概率 68.37/2+99.75/2=84.06%

二项分布的数学期望和方差

4EX np ∴== 100.40.6 2.4DX npq ==??= 222() 2.4418.4EX DX EX =+=+= 12. 解:8n =,0.2p = 根据二项分布的数学期望和方差的公式 1.6EX np == (1) 1.28DX npq np p ==-= 求解得 8n =,0.2p = 13. 解: ~(1,)B p ξ 2(1)9D p p ξ∴=-= 解方程2209 p p -+=,得23p =或13p = ξ∴的概率函数为 {}1(1)(0,1)k k p k p p k ξ-==-= 将13p =或23 p =代入,得ξ的概率函数为 {}121()()33 k k p k ξ-== 或 {}112()()(0,1)33k k p k k ξ-=== 14. 解:设ξ的概率密度为 1,()0, a x b f x b a ?≤≤?=-???其他 =3E ξ,1=3D ξ ∴得方程组2+=32()1 =12 3a b b a ????-???,解得24a b =??=?

1,24()=20x f x ?≤≤?∴???其他 ξ为连续型随机变量 {}=2=0p ξ∴ {}3312111<<3=()==22 p f x dx dx ξ?? 15. 解:设ξ表示直到取到废品为止所要取的产品个数,则ξ的概率函数 {}-1 ==0.050.95(=1,2,)k p k k ξ???? 当{}-1 ==(1)(=1,2,)k p k p p k ξ-???时,由幂级数 -12=1 1= (1)n n nx x ∞-∑ 2-13 =11=(1)n n x n x x ∞+-∑ 可计算 -1=11=(1)=k k E kp p p ξ∞-∑ 2-122=1 1=(1)()= k k p D k p p E p ξξ∞---∑ 本题中=0.05p 1==200.05 E ξ∴, 210.05==19.490.05 D ξ- 16. 解:8 22[()]DX EX E x =- 222[()]428EX DX E x ∴=+=+= 17. 解:由题意X 的分布律为 {}=(0)!k p X k e k λλλ-=>

泊松分布推导

泊松分布推导 如果我们学习的目的是为了理解一样东西,那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布?”、“泊松分布的物理意义是什么?”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话,我们一定会说:“电话是一种机器,两个距离很远的人可以通过它进行交谈”,而不会说:“电话在18XX年由贝尔发明,一台电话由几个部分构成……”(泊松分布在18XX年由泊松提出,泊松分布的公式是……)所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛?” 泊松分布最常见的一个应用就是,它作为了排队论的一个输入。什么是排队论?比如我们去每天食堂打饭,最头疼的一个问题就是排队,之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限,假设学校有1000个学生,而食堂恰好配了1000个大叔和打饭的窗口,那么就永远不会有人排队。但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干,因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。 在一段时间t(比如1个小时)内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数(比如一直是200人),而应该符合某种随机规律:比如在1个小时内来200个学生的概率是10%,来180个学生的概率是20%……一般认为,这种随机规律服从的就是泊松分布。 也就是在单位时间内有k个学生到达的概率为: 其中为单位时间内学生的期望到达数。 问题是“这个式子是怎么来的呢?”——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的 一个特殊形式,因此可以先从简单的二项分布入手,寻找两者之间的联系。 二项分布很容易理解,比如一个牛仔一枪打中靶子的概率是p,如果我们让他开10枪,如果每击中一次目标就得1分,问他一共能得几分?虽然我们不能在牛仔射击前准确地预测出具体的得分k,但可以求出k的概率分布,比如k=9的概率是50%,k=8分的概率是30%……并且根据k的分布来判断他的枪法如何,这便是概率统计的思想。 具体计算的方法就是求出“得k分”的概率。比如“得9分”可以是“射失第1发,而命中其余的9发”,它的概率是p的9次方乘上1-p。 X O O OO O OOOO O X O OOOOOOO O O X O OOOOOO …… 根据组合数性质,在种情况下,牛仔都可以得到9分。因此牛仔“得9分”的概率。 同理,“得k分”的概率就是。而对于一个神枪手(p=1)来讲,他“得 10分”的概率就是1。 二项分布和泊松分布最大的不同是前者的研究对象是n个离散的事件(10次射击),而后者考察的是一段连续的时间(单位时间)。因此泊松分布就是在二项分布的基础上化零为整。 如果我们把单位时间划分成n个细小的时间片,假设在每个时间片内牛仔都在射击,只

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