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高考数学经典常考题型第86专题 事件的关系与概率运算

高考数学经典常考题型第86专题 事件的关系与概率运算
高考数学经典常考题型第86专题 事件的关系与概率运算

第86专题训练 事件的关系与概率运算

一、基础知识

1、事件的分类与概率:

(1)必然事件:一定会发生的事件,用Ω表示,必然事件发生的概率为100%

(2)不可能事件:一定不会发生的事件,用?表示,不可能事件发生的概率为0%

(3)随机事件:可能发生也可能不发生的事件,用字母,,A B C 进行表示,随机事件的概率[]0,1P ∈

2、事件的交并运算:

(1)交事件:若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 同时发生,则称事件C 为事件A 与事件B 的交事件,记为A B ,简记为AB

多个事件的交事件:12n A A A :事件12,,,n A A A 同时发生

(2)并事件:若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 中至少一个发生(即A 发生或B 发生),则称事件C 为事件A 与事件B 的并事件,记为A B 多个事件的并事件:12n A A A :事件12,,,n A A A 中至少一个发生

3、互斥事件与概率的加法公式:

(1)互斥事件:若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件,则称,A B 互斥,即事件A 与事件B 不可能同时发生。例如:投掷一枚均匀的骰子,设事件“出现1点”为事件A ,“出现3点”为事件B ,则两者不可能同时发生,所以A 与B 互斥

(2)若一项试验有n 个基本事件:12,,

,n A A A ,则每做一次实验只能产生其中一个基本事件,

所以12,,,n A A A 之间均不可能同时发生,从而12,,,n A A A 两两互斥

(3)概率的加法公式(用于计算并事件):若,A B 互斥,则有

()()()P A B P A P B =+

例如在上面的例子中,事件A B 为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得

()()16P A P B ==,所以根据加法公式可得:()()()13

P A B P A P B =+= (4)对立事件:若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件,并事件A B 为必然事件,则称事件B 为事件A 的对立事件,记为B A =,也是我们常说的事件的“对立面”,对立事件概率

公式:()()1P A P A =-,关于对立事件有几点说明:

① 公式的证明:因为,A A 对立,所以A A =?,即,A A 互斥,而A A =Ω,所以()()()()P P A A P A P A Ω==+,因为()1P Ω=,从而()()

1P A P A =- ② 此公式也提供了求概率的一种思路:即如果直接求事件A 的概率所讨论的情况较多时,可以考虑先求其对立事件的概率,再利用公式求解

③ 对立事件的相互性:事件B 为事件A 的对立事件,同时事件A 也为事件B 的对立事件 ④ 对立与互斥的关系:对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。由对立事件的定义可知:,A B 对立,则,A B 一定互斥;反过来,如果,A B 互斥,则不一定,A B 对立(因为可能A B

不是必然事件)

4、独立事件与概率的乘法公式:

(1)独立事件:如果事件A (或B )发生与否不影响事件B (或A )发生的概率,则称事件A 与事件B 相互独立。例如投掷两枚骰子,设“第一个骰子的点数是1”为事件A ,“第二个骰子的点数是2”为事件B ,因为两个骰子的点数不会相互影响,所以,A B 独立

(2)若,A B 独立,则A 与B ,B 与A ,A 与B 也相互独立

(3)概率的乘法公式:若事件,A B 独立,则,A B 同时发生的概率()()()P AB P A P B =? ,比如在上面那个例子中,()()11,66

P A P B =

=,设“第一个骰子点数为1,且第二个骰子点数为2”为事件C ,则()()()()136P C P AB P A P B ==?=。 (4)独立重复试验:一项试验,只有两个结果。设其中一个结果为事件A (则另一个结果为A ),已知事件A 发生的概率为p ,将该试验重复进行n 次(每次试验结果互不影响),则在n 次中事

件A 恰好发生k 次的概率为()1n k k k n P C p p -=-

① 公式的说明:以“连续投掷3次硬币,每次正面向上的概率为

13”为例,设i A 为“第i 次正面向上”,由均匀的硬币可知()12

i P A =,设B 为“恰好2次正面向上”,则有:()()()()

123123123P B P A A A P A A A P A A A =++ 而()()()2

1231231231122P A A A P A A A P A A A ????=== ? ?????

()223223111132222P B C -????????∴=?= ? ? ? ?????????

② k n C 的意义:是指在n 次试验中事件A 在哪k 次发生的情况总数,例如在上面的例子中“3次

投掷硬币,两次正面向上”,其中23C 代表了符合条件的不同情况总数共3种

5、条件概率及其乘法公式:

(1)条件概率:

(2)乘法公式:设事件,A B ,则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =?

(3)计算条件概率的两种方法:(以计算()|P B A 为例)

① 计算出事件A 发生的概率()P A 和,A B 同时发生的概率()P AB ,再利用

()()

()|P AB P B A P A =即可计算

② 按照条件概率的意义:即B 在A 条件下的概率为事件A 发生后,事件B 发生的概率。所以以事件A 发生后的事实为基础,直接计算事件B 发生的概率

例:已知6张彩票中只有一张有奖,甲,乙先后抽取彩票且不放回,求在已知甲未中奖的情况下,乙中奖的概率。

解:方法一:按照公式计算。设事件A 为“甲未中奖”,事件B 为“乙中奖”,所以可得:()56

P A =,事件AB 为“甲未中奖且乙中奖”,则()11512616C C P AB A ?==。所以()()()1|5

P AB P B A P A == 方法二:按照条件概率实际意义:考虑甲在抽取彩票后没有中奖,则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的,所以乙中奖的概率为15

P =

6、两种乘法公式的联系:

独立事件的交事件概率:()()()P AB P A P B =?

含条件概率的交事件概率:()()()|P AB P A P B A =?

通过公式不难看出,交事件的概率计算与乘法相关,且事件,A B 通常存在顺承的关系,即一个事件发生在另一事件之后。所以通过公式可得出这样的结论:交事件概率可通过乘法进行计算,如果两个事件相互独立,则直接作概率的乘法,如果两个事件相互影响,则根据题意分出事件发生的先后,用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率(即条件概率)

二、典型例题:

例1:从1,2,3,4,5这5个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中,是对立事件的是( )

A.①

B. ②④

C.③

D. ①③

思路:任取两数的所有可能为{两个奇数;一个奇数一个偶数;两个偶数} ,若是对立事件,则首先应该是互斥事件,分别判断每种情况:①两个事件不是互斥事件,② “至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况,所以不互斥,③ “至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立,④ “至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况,所以不互斥。综上所述,只有③正确

答案:C

例2:5个射击选手击中目标的概率都是23

,若这5个选手同时射同一个目标,射击三次则至少有一次五人全部集中目标的概率是( ) A. 35113????-?? ??????? B. 53113????-?? ??????? C.352113????--?? ??????? D. 532113????--?? ???????

思路:所求中有“至少一次”,且若正面考虑问题所涉及的情况较多。所以考虑从问题的对立面入手,设所求事件为事件A ,则A 为“射击三次没有一次五人均命中目标”,考虑射击一次五人没有全命中目标的概率为5213??

- ???,所以()

35213P A ????=-?? ??????? ,从而可得

()()3521113P A P A ????=-=--?? ???????

答案:C 例3:甲,乙,丙三人独立的去译一个密码,分别译出的概率为111,,

534,则此密码能译出概率是( ) A.160 B.15 C.35 D.5960

思路:若要译出密码,则至少一个人译出即可。设事件A 为“密码译出”,正面分析问题情况较多,所以考虑利用对立面,A 为“没有人译出密码”,则

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