概率论与数理统计习题集及答案最[新版].doc

第1章 概率论的基本概念

§1 .8 随机事件的独立性

1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。

A B L R C D

1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相

互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案

§1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性

P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)

= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)

424222p p p p p -=-+=

2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.

第2章 随机变量及其分布

§2.2 10-分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；

2 设随机变量X 有分布律： X 2

3 , Y ～π(X), 试求： p 0.

4 0.6

（1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布

2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？

§2.6 均匀分布和指数分布

2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。

§2.7 正态分布

1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3)； (1)确定c ，使得 P(X>c) = P(X

第2章作业答案

§2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X ≥1) – P(X ≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262, (2) P(X ≥1) = 0.981684,

(3) P(X ≤1) = 1 - P(X ≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式：

P(X=2,Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2)= 0.4× (222

22---++e e e

)= 22-e

（2）由全概率公式：P(Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y ≤2 | X=3)

= 0.4×52

-e + 0.6×

3

2

17-e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 （3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y ≤2)=

516.052458

.027067

.0)2()2,2(==≤≤=Y P Y X P

§2.3 2： 至少必须进行11次独立射击. §2.6 1： 3/5 2： 422

)2()1(----e e e

§2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3，

第3章 多维随机变量

§3.1 二维离散型随机变量

1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X 表示取到的红球

个数，用Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。

2. 设二维随机变量),(Y X

试根椐下列条件分别求a 和b 的值； (1)6.0)1(==X P ； (2)5.0)2|1(===Y X P ； (3)设)(x F 是Y 的分布函数，5.0)5.1(=F 。

§3.2 二维连续型随机变量

1. )(Y X 、的联合密度函数为：??

?<<<<+=他其0

1

0,10)(),(y x y x k y x f

求（1）常数k ；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。

2．)(Y X 、的联合密度函数为：?

??<<<<=他其00,10),(x

y x kxy y x f

求（1）常数k ；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。

§3.3 边缘密度函数

1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。

+∞<<∞-+∞<<∞-++=

y x y x y x f ,)

1)(1(1

),(222π

§3.4 随机变量的独立性

1. (X, Y) 的联合分布律如下， 试根椐下列条件分别求a 和b 的值； (1) 3/1)1(==Y P ； (2) 5.0)2|1(==>Y X P ； （3）已知X 与Y 相互独立。

第3§3.1 1 2： (1) a=0.1 b=0.3

(2) a=0.2 b=0.2

(3) a=0.3 b=0.1

§3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。 §3.3 1： +∞<<∞-+=++=

?∞

+∞-x x dy y x x f X )

1(2

)1)(1(1)(2222ππ；

+∞<<∞-+=

++=?

∞+∞

-y y dx y x y f Y )

1(2)

1)(1(1

)(22

2

2

ππ；

§3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。

第4章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X 表示取到的红球的个数，则EX 是： （A ）1； （B ）1.2； （C ）1.5； （D ）2.

2. 设X 有密度函数：??

?

??=0

83)(2

x x f 他其42≤≤x , 求)1(),12(),(2X E X E X E -,并求X

大于数学期望)(X E 的概率。

3. 设二维随机变量),(Y X

已知65.0)(=XY E ，

则a 和b 的值是： 1 0.1 b 0.2

（A ）a=0.1, b=0.3； （B ）a=0.3, b=0.1； （C ）a=0.2, b=0.2； （D ）a=0.15, b=0.25。

4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求)1(,,+XY E EY EX 。

???<<<<=他其02

0,10),(y x xy y x f

第4章作业答案

§4.1 1： B ； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D ； 4： 2/3，4/3，17/9；

第5章 极限定理

§5.2 中心极限定理

1． 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，

其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。

2． 某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理

分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；

第6章 数理统计基础

§6.1 数理统计中的几个概念

1． 有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本

均值X = ，样本均方差=S ，样本方差=2

S 。

2．设总体方差为2

b 有样本n X X X ,,,21Λ，样本均值为X ，则=),(1X X Cov 。

§6.2 数理统计中常用的三个分布

1. 查有关的附表，下列分位点的值：9.0Z = ，)5(2

1.0χ= ，)10(9.0t = 。

2．设n X X X ,,,21Λ是总体)(2

m χ的样本，求)(),

(X D X E 。

§6.3 一个正态总体的三个统计量的分布

1．设总体),(~2

σμN X ，样本n X X X ,,,21Λ，样本均值X ，样本方差2

S ，则

~/n

X σμ

- ，

~/n

S X μ

- ，

∑=-n

i i

X X

1

2

2

)(1

σ～ ，

∑=-n

i i

X

1

22

)(1

μσ～ ，

第6章作业答案

§6.1 1．0646.0,254.0,

57.12===s s x ； 2. n b X X Cov /),(21=；

§6.2 1．-1.29， 9.236， -1.3722； 2．n m X D m X E /2)(,)(==；

§6.3 1.)(),1(),

1(),1,0(22n n n t N χχ--；

第7章 参数估计

§7.1 矩估计法和顺序统计量法

1.设总体X 的密度函数为：????

?≤≤=-他

其

10)(1

x x

x f θθ，有样本n X X X ,,,21Λ，求未

知参数θ 的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~λπX ，为估计λ的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6

量数： 9 5 3 7 4 试求λ的一阶矩估计和二阶矩估计。

§7.2 极大似然估计

1.设总体X 的密度函数为：????

?≤≤+=他

其

10)1()(x x

x f θ

θ，有样本n X X X ,,,21Λ，求

未知参数θ 的极大似然估计。

第7章作业答案

§7.1 1：2

)1(

X

X -； 2： 5， 4.97； §7.2 1：21

)1ln (

+∑=n

i i

X

n

；

一.填空题（每空题2分，共计60分）

1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则

=)B A (p Y 0.6 , =)B -A (p 0.1 ，)(B A P ?= 0.4 , =)B A (p 0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，

则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。

3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现

从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量

(=)(X E 0.4，X 与2Y X Z +=的分布律为:

6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则

=<<-}42{X P 0.815 ， (~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。

7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相

互独立，则：=-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。 8、设2),(125===Y X Cov Y D X D ，）（，）（，则=+）（Y X D

30

9、设261,,X X Λ是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。

则：~X N （8 ， 8/13 ），

~16252

S )25(2χ，

~5

2/8s X - )25(t 。 二、（6分）已知随机变量X 的密度函数?

??≤≤=其它 , 01

0 ,)(2x ax x f

求：（1）常数a ， （2）)5.15.0(<

解:(1)由

?

+∞

∞

-==3,1)(a dx x f 得

(2) )515.0(?<

?

?==5

..15

.01

5

.02875.03)(dx x dx x f

(3) ??

?

??<≤<≤=x x x 0

x x F 1 , 110 , 0)(3

三、（6分）设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为：?

??≤≤≤≤=其它 , 010,10

,2),(y x y y x f

求：（1）X ，Y 的边缘密度，（2）讨论X 与Y 的独立性。 解:(1) X ，Y 的边缘密度分别为:

?????≤≤===????

?≤≤==???∞+∞

-其他，

，其他

010 22)()(

010

12)(1

01

0y y ydx dx y x f y f x ydy x f Y X

(2)由(1)可见

）

（）（），（y f x f y x f Y X ?=, 可知: X ，Y 相互独立

3． 填空题（每小题2分，共计60分）

1. 设随机试验E 对应的样本空间为S 。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设E 为等可能型试验，且S 包含10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。 2．3.0)(,4.0)(==B P A P 。若

A 与

B 独立，则=-)(B A P 0。28 ；若已知B A ,中至少

有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 0.3，=)(B A P 1/3 。

3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同的

概率为： 15/28。若有放回地回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。 4、1)()(==X D X E 。若

X

服从泊松分布，则

=≠}0{X P 11--e ；若X

服从均匀分布，则

=≠}0{X P 0 。

5、设),(~2

σμN X ，且

3.0}42{ },2{}2{=<<≥=

μ 2 ；

=>}0{X P 0.8 。

6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓）。

7、若随机变量X )5,1(~U ，则{

}=40〈〈X p 0.75 ；=+)12(X E __7___， =+)13(X D 12 ．

8、设

44

.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则

==}{n X P 3

4.0，并简化计算

=?

??

? ??-=∑k

k k k k 66

026.04.062.7)4.06(6.04.062=?+??。 9、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，

则：=-)2(Y X E -4 ，=-)2(Y X D 6 。

10、设161,,X X Λ是总体)4,20(N 的容量为16的样本，X 为样本均值，2

S 为样本方差。

则：~X

N （20， 1/4 ）

，{}

120>-X p = 0.0556 ， ~16152S )15(2

χ，~5

1/20s X - t(15)。

此题中9772.0)2(=Φ。

11、随机变量X 的概率密度?

??≤>=-0 ,00 ,)(x x e x f x λλ ，则称X 服从指数分布，=)(X E λ1。

13、设二维随机向量),(Y X 的分布律是： 则X 的方差=)(X D 0.21 ；

Y X 与的相关系数为:=XY ρ 3/7 。

二、 （7分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，

0.1，0.3．现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率． 解：设321A ,A ,A 分别表示产品取自甲、乙、丙厂， 有：

%5)P(A 80%,)A (P %,15)p(A 321===

B 表示取到次品，3.0)A B P(0.1,)A B (P ,2.0)A p(B

321===，

由贝叶斯公式：)B A (p 1=

24.0)()(/)()(3

1

11=??∑=k k k A B P A p A B P A p （

三、（7分）已知随机变量X 的密度函数

??

?≤≤=其它 ,

010

,)(x ax x f 求：（1）常数a ， （2）)5.00(<

+∞

∞

-==2,1)(a dx x f 得

(2)

)51.0(?<

.005

.00

25.02)(xdx dx x f

(3) ??

???<≤<≤=x x x 0

x x F 1 , 110 , 0)(2

四、（7分）设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为：?

??≤≤≤≤=其它 , 010,10

,4),(y x xy y x f

求：（1）X ，Y 的边缘密度，（2）由（1）判断X ，Y 的独立性。 解:(1) X ，Y 的边缘密度分别为:

?????≤≤===?????≤≤===????∞+∞

-+∞∞-其他，

，其他，，

010 24)()(

010 24)()(1

010y y xydx dx y x f y f x x ydy x dy y x f x f Y X

(2)由(1)可见

）

（）（），（y f x f y x f Y X ?=, 可知: X ，Y 相互独立

七、（5分）某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知8413.0)1(=φ，

9772.0)2(=φ。

解:设X 为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则X ∽B(10000,0.0064)。 该保险公司的利润函数为：X L ?-=1000120000。

所以}72{}480001000120000{}48000{≤=≥?-=

≥X P X P L P

}996

.764

729936

.00064.01000064

{

-≤

??-=X P 用中心极限定理

8413.0)1(=?φ

答：该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率为0。8413

4． 填空题（每小题2分，共计60分）

1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则

a) 若B A ,互斥，则=)B -A (p 0.5 ; b) 若B A ,独立,则=)B A (p Y 0.65 ; c) 若2.0)(=?B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，

(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 .

3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=X

E 8 .

4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的二项分布,则{}==2X p 0.64 , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- 0.210，=+)(Y X E 8 。 5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 0.0228 。

其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ.

6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有

Y X 与的相

则=a _0.1_，X 的数学期望=)(X E ___0.4_______，关系数=xy ρ___-0.25______。 7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总体)16,8(N 的容

量为16，8

的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2

22

1,S S 分别为样本方差。 则：~X

N(8,1) ，~Y X - N(0,1.5) ，{}

5.12>-Y X p = 0.0456 ，

~161521S )15(2

χ，~22

21S S F(15,7) 。 此题中9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ

8、设321,,.X X X 是总体X 的样本，下列的统计量中，A ，B ，C 是)(X E 的无偏统计量，)(X E 的无偏统计量中统计量 C 最有效。 A. 321X X X -+ B. 312X X - C.

)(3

1

321X X X -+ D. 21X X + 9. 设某商店一天的客流量X 是随机变量,服从泊松分布)(λπ,71,...,X X 为总体

X 的样本，

)(X E 的矩估计量为X ，160，168，152，153，159，167，161为样本观测值，则)(X E 的矩

估计值为 160

10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指： H 0 成立的条件下拒绝H 0 的错误 ,也称为弃真错误。

二、（6分）已知随机变量X 的密度函数??

???+∞<≤=其它 , 02

,)(2x x a

x f

求：（1）常数a ， （2）)45.0(<

?

+∞

∞

-==2,1)(a dx x f 得

(2) )45.0(<

?

?

==4

5

.04

2

25.02

)(dx x

dx x f (3) ???

??+∞<≤≤=x x

x x F 2 2-12

0)(

三、（6分）设随机变量X ，Y 的概率密度分别为：=)(x f X ???≤-其它 ,

0,

0 ,x e x

=)(y f Y ???≤≤其它 ,

0,10

,1y ，且随机变量X ，Y 相互独立。

（1）求（X ，Y ）的联合概率密度为：),(y x f （2）计算概率值{}X Y p 2≥。

解:(1)

X ，Y 相互独立，可见（X ，Y ）的联合概率密度为

）

（）（），（y f x f y x f Y X ?=, ???≤≤≤=-其它 ,

01

0,0 ,),(y x e y x f x

（2）????-≥==

≥10

1

22),()2(x

x x

y dy e dx dxdy Y x f X Y P =131--e

八、（6分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知645.105.0=Z ，提示用中心极限定理） 解 总体X 服从

p 为参数的0-1分布，

9.0: ,9.0:0100=<=≥p p H p p H 1001,...,X X 为总体X 的样本，在0H 成立条件下，选择统计量

n

p p p X Z )1(000--=

，由 中心极限定理，z 近似服从标准正态分布，则拒绝域为05.0z z -<

经计算该体05.02z z -<-=，即得 Z 在拒绝域内,故拒绝0H ， 认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求

1、A 、B 是两个随机事件，已知0.125P(AB)

0.5,)B (p ,52.0)A (p ===，则

=)B -A (p 0.125 ;=)B A (p Y 0.875 ;=)B A (p 0.5 .

2、袋子中有大小相同的5只白球， 4只红球， 3只黑球， 在其中任取4只

(1)4只中恰有2只白球1只红球1只黑球的概率为：4

121

3

1425C C C C . (2) 4只中至少有2只白球的概率为：4

12

4

814381C C C C +-. (3) 4只中没有白球的概率为：412

4

7C C

3、设随机变量X 服从泊松分布}6{}5{),(===X P X p λπ，则{}=X

E 6 .

4、设随机变量X 服从B （2，0. 6）的二项分布,则{}==2X p 0.36 , Y 服从B （8，0. 6）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P = 1-0.410 ，=+)(Y X E 6 。 5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （70，16），则该学校学生的及格率为 0.9938 ，成绩超过74分的学生占比}74{≥X P 为 0.1587 。 其中标准正态分布函数值9938.0)5.2(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ.

6、有甲乙两台设备生产相同的产品，甲生产的产品占60%，次品率为10%；乙生产的产品占40%，次品

率为20%。(1) 若随机地从这批产品中抽出一件,抽到次品的概率为 0.14 ；（2）若随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该产品是甲设备生产的概率是 3/7 .

7、设101,...,X X 及151,...,Y Y 分别是总体)6,20(N 的容量为10，15的两个独立样本，Y X ,分

别为样本均值，2

22

1,S S 分别为样本方差。

则：~X N(20,3/5) ，~Y X - N(0,1) ，{}

1>-Y X p = 0.3174 ，

~2321S )9(2

χ，~22

21S S F(9,14) 。

此题中8413.0)1(=Φ。此题中9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ 8、设321,,.X X X 是总体X 的样本，下列的)(X E 统计量中， C 最有效。 A. 321X X X -+ B. 312X X - C.

)(3

1

321X X X -+ 9. 设某商店一天的客流量X 是随机变量,服从泊松分布)(λπ,71,...,X X 为总体X 的样本，

)(X E 的矩估计量为X ，15,16,18,14,16,17,16为样本观测值，则)(X E 的矩估计值为 16

10、在假设检验中，往往发生两类错误，第一类错误是指 H 0 成立的条件下拒绝H 0 的错误 ,第二类错误是指 H 1 成立的条件下拒绝H 1 的错误 ,显著水平α是指控制第一类错误的概率 小于α .

二、（6分）已知随机变量X 的密度函数??

?

??+∞<≤+=其它 , 00 ,1)(2x x a

x f

求：（1）常数a ， （2）)31(<

<-X p （3）X 的分布函数F （X ）。

解:(1)由

?

+∞

∞

-=

=π

2

,1)(a dx x f 得

(2) )31(<

<-X p =?

?

-=+=31

3

2

3

2

112

)(dx x dx x f π (3) ???

??+∞<≤≤=x x x F 0 arctanx 2

0)(π

三、（6分）设随机变量X ，Y 的概率密度分别为：=)(x f X ?????≤≤其它 , 0,20

,2x x

=)(y f Y ?

??≤≤其它 , 0,10

,2y y ，且随机变量X ，Y 相互独立。

（1）求（X ，Y ）的联合概率密度为：),(y x f （2）计算概率值{}2

X

Y p ≥。

解:(1)X ，Y 相互独立，可见（X ，Y ）的联合概率密度为

）

（）（），（y f x f y x f Y X ?=, ???≤≤≤≤=其它 ,

010,20

,),(y x xy y x f

（2）????==

≥≥1012

2

2),()(x x

y xydy dx dxdy Y x f X Y P =61

u X n E u

E k n

k ==∑=)1()?(1

, 它为u 的无偏估计量. 996.244.295

.07.0155.0)1(2

2

222

>=?=-=s n χ 八、（6分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元

件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知645.105.0=Z ，提示用中心极限定理）

解 总体

X 服从p 为参数的0-1分布，

9.0: ,9.0:0100=<=≥p p H p p H 2’ 1001,...,X X 为总体X

的样本，在0H 成立条件下，选择统计量

n

p p p X Z )1(000--=

，由 中心极限定理，z 近似服从标准正态分布，则拒绝域为05.0z z

-<

经计算该体05.02z z

-<-=，即得 Z 在拒绝域内,故拒绝0H ，

认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求

5． 填空题（每空题3分，共计60分）

1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3p(AB)

0.5,)B (p ,6.0)A (p ===，则

=)B A (p Y 0.8 、=)B A (p 0.6 ,事件A,B 的相互独立性为： 相互独立 。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球3只、白球1只，

(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到红球的概率为： 1/3 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到红球的概率为： 9/25 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到红球的概率为： 21/55 .

3、设随机变量X 服从参数为100的泊松分布，则==)(X D X E ）（ 100 ,利用“3σ” 法

则，可以认为X 的取值大多集中在 70 ---130 范围。

4、设随机变量X 服从N （500，1600）的正态分布,则{}=≥580X p 0.0228 , Y

服从N （500，900）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则Y X +服从 N （1000，2500） 分布;若

{}==≥+a a Y X p 则,05.0 1082.5 。8413.0)1(=Φ；

9772.0)2(=Φ,95.0)645.1(=Φ

5.已知随机变量X 的密度函数??

?≤≤=其它 ,

010

,2)(x x x f

则:（1）)515.0(?<

（2）X 的分布函数F （x ）= ??

???<≤<≤=x x x 0x x F 1 , 110 , 0)(2

。

6、设随机变量(X,Y)具有4)(,9)(==Y D X D ，6/1-=XY ρ，则)(Y X D += 11 ，

)43(+-Y X D = 51 。

7、两个可靠性为p>0的电子元件独立工作，

（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：2

p ； （2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：2

)1(1p --；

8、若随机变量X )3,0(~U ，则{}=-21〈〈

X p 2/3；=)(X E _1.5 ， =+)12(X D 3 ．

二、（6分）计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ，“程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件321,,N N N 。则根据全概率公式有 025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(3

1

=?+?+?==

∑=i i

i

N M P N P M P ，

根据Bayes 公式，该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为

24.0025

.001.06.0)()|()()|(111=?==

M P N M P N P M N P ，

60.0025

.005

.03.0)()|()()|(222=?==

M P N M P N P M N P ，

16.0025

.004

.01.0)()|()()|(333=?==

M P N M P N P M N P 。

三、（6分）设随机变量X ，Y 的概率密度分别为：=)(x f X ???≤-其它 ,

0,

0 ,x e x ，

=)(y f Y ?

??≤≤其它 , 0,10

,2y y ，且随机变量X ，Y 相互独立。

（1）求（X ，Y ）的联合概率密度为：),(y x f （2）计算概率值{}X Y p 2≤。

解:(1)

X ，Y 相互独立，可见（X ，Y ）的联合概率密度为

）

（）（），（y f x f y x f Y X ?=, ??

?≤≤≤=-其它 , 01

0,0 ,2),(y x y e y x f x 3’ ??

??∞

--<-===

<10

2

2/1222),()2(y

x x

y e ydx e dy dxdy Y x f X Y P 3‘

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_

习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{

解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册标准答案详解

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

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第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案

概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )

概率论与数理统计作业与解答

概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹?设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示? 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为 E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC; 或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ). (和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB) 2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率 ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率 A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝. C 6 (C 2 )6 32 C 8C 4(C 2)4 80 0.2238, P(B) 8 皆 0.5594, P(A) 8 /143 ★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品?现从中任取3件?求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99 ⑴冷 0.724.⑵虫产 0.2526. C 50 1960 C 50 392 5. 从1?9九个数字中?任取3个排成一个三位数?求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率? 4 (1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-, 9 ⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5, 9 或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝. 1 1 2 C m C M m C m m(2M - m -1) M (M -1) 6 — C 16 143 P(C)二 C 8 CJC 2 ) 30 0.2098. 143 C 16

概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案

. 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=

10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）